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2023届高考数学三轮冲刺卷：空间向量
一、选择题（共20小题；）
8
1. 若向量 ⃗a=(1,λ,2)，⃗b=(2,−1,2)，且 ⃗a 与 ⃗b 的夹角余弦为 ，则 λ 等于 ()
9
2 2
A. 2 B. −2 C. −2或 D. 2或−
55 55
2. 设点 M 是 z 轴上一点，且点 M 到 A(1,0,2) 与点 B(1,−3,1) 的距离相等，则点 M 的坐
标是 ()
A. (−3,−3,0) B. (0,0,−3)
C. (0,−3,−3) D. (0,0,3)
3. 平面 α 的法向量为 (1,2,−2)，平面 β 的法向量为 (−2,−4,k)，若 α∥β，则 k 等于 ()
A. 2 B. −4 C. 4 D. −2
4. 已知平面 α 内有一个点 M(1,−1,2)，平面 α 的一个法向量是 ⃗n=(6,−3,6)，则下列点 P 中
在平面 α 内的是 ()
A. P(2,3,3) B. P(−2,0,1) C. P(−4,4,0) D. P(3,−3,4)
5. 已知向量 ⃗a=(1,0,−1)， 则下列向量中与 ⃗a 成 60∘ 夹角的是 ()
A. (−1,1,0) B. (1,−1,0) C. (0,−1,1) D. (−1,0,1)
6. 正方形 ABCD 的边长为 1，PA⊥ 平面 ABCD，PA=1，M 、 N 分别是 PD 、 PB 的
中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是 ()
√3 √3 √3 2√3
A. B. − C. D.
6 6 3 3
7. 已知 ⃗a=(2,0,3)，⃗b=(4,−2,1)，⃗c=(−2,x,2)，若 (⃗a−⃗b)⊥⃗c，则 x= ()
A. 4 B. −4 C. 2 D. −2
8. 下列说法中正确的是 ()
A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B. 空间的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D. 基底 ⃗a，⃗b，⃗c 中基向量与基底 ⃗e，⃗f，⃗g 中基向量对应相等
9. 设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ，若平面 α，β 的法向量分别为 ⃗n 和 ⃗n ，则 cosθ= ()
1 2
⃗n ⋅⃗n ∣⃗n ⋅⃗n ∣
1 2 1 2
A. B.
∣⃗n ∣∣⃗n ∣ ∣⃗n ∣∣⃗n ∣
1 2 1 2
∣⃗n ∣∣⃗n ∣ ∣⃗n ∣∣⃗n ∣
1 2 1 2
C. D.
⃗n ⋅⃗n ∣⃗n ⋅⃗n ∣
1 2 1 2
10. 在直角坐标系中，A(−2,3)，B(3,−2)．沿 x 轴把直角坐标系折成 120∘ 的二面角，则此时线
段 AB 的长度为 ()A. 2√5 B. 2√11 C. 5√2 D. 4√2
11. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面
PAD⊥面ABCD，M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC，则点 M 在正方
形 ABCD 内的轨迹为下图中的 ()
A. B.
C. D.
3 ( 3π)
12. 已知 tanα= ，α∈ π, ，则 cosα= ()
4 2
4 4 4 3
A. ± B. C. − D.
5 5 5 5
13. 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 ABCD−A B C D 中 ， AB=AD=A A =2，
1 1 1 1 1
∠A AB=∠A AD=60∘，∠BAD=90∘，则 A C 的长为 ()
1 1 1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
14. 已知两非零向量 ⃗e ，⃗e ，且 ⃗e 与 ⃗e 不共线，设 ⃗a=λ⃗e +μ⃗e （λ,μ∈R，且 λ2+μ2≠0），
1 2 1 2 1 2
则 ()
A. ⃗a∥⃗e B. ⃗a∥⃗e
1 2
C. ⃗a 与 ⃗e ，⃗e 共面 D. 以上三种情况均有可能
1 215. 如图，在空间四边形 OABC 中，⃗OA=⃗a，⃗OB=⃗b，⃗OC=⃗c，点 M 为 OA 的中点，点 N
为 BC 的中点，则 ⃗MN 等于 ()
1 2 1 1 1 1
A. ⃗a+ ⃗b+ ⃗c B. − ⃗a+ ⃗b+ ⃗c
2 3 2 2 2 2
1 1 1 2 2 1
C. ⃗a+ ⃗b− ⃗c D. − ⃗a+ ⃗b− ⃗c
2 2 2 3 3 2
16. 如图，在平行六面体 ABCD−A B C D 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 ⃗A B =⃗a，
1 1 1 1 1 1
⃗A D =⃗b，⃗A A=⃗c，则下列向量中与 ⃗B M 相等的向量是 ()
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
A. − ⃗a+ ⃗b+⃗c B. ⃗a+ ⃗b+⃗c C. ⃗a− ⃗b+⃗c D. − ⃗a− ⃗b+⃗c
2 2 2 2 2 2 2 2
π
17. 已知空间向量 ⃗a，⃗b 满足 ∣⃗a∣=∣⃗b∣=1，且 ⃗a，⃗b 的夹角为 ，O 为空间直角坐标系
3
的原点，点 A，B 满足 ⃗OA=2⃗a+⃗b，⃗OB=3⃗a−⃗b，则 △OAB 的面积为 ()
5 5 7 11
A. √3 B. √3 C. √3 D.
2 4 4 4
18. 在空间坐标系 O−xyz 中，已知 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1,√2)，若 S ，S ，
1 2
S 分别表示三棱锥 D−ABC 在 xOy，yOz，zOx 在坐标平面上的正投影图形的面积，则
3
()
A. S =S =S B. S =S 且 S ≠S
1 2 1 1 2 3 1
C. S =S 且 S ≠S D. S =S 且 S ≠S
1 3 3 2 2 3 1 3
19. 已知三点 A(−1,0,1) ， B(2,4,3) ， C(5,8,5) ，则 ()
A. 三点构成等腰三角形 B. 三点构成直角三角形
C. 三点构成等腰直角三角形 D. 三点构不成三角形
20. 已知 ⃗a=(2,−1,3)，⃗b=(−1,4,−2)，⃗c=(7,5,λ)，若 ⃗a，⃗b，⃗c 三向量共面，则实数 λ 等于
()62 63 64 65
A. B. C. D.
7 7 7 7
二、填空题（共5小题；）
21. 已知向量 ⃗a=(2,−3,0) ， ⃗b=(k,0,3) ，若 ⃗a 与 ⃗b 成 120∘ 角，则 k= ．
22. 已 知 向 量 ⃗a=(0,−1,1)， ⃗b=(4,1,0)， ∣λ⃗a+⃗b∣=√29， 且 λ>0， 则 λ=
．
23. 设空间向量 ⃗OA=(m,n,0)，⃗OB=(0,n,p) 均为单位向量，且与向量 ⃗OC=(1,1,1) 的夹角都
π
等于 ，则 cos∠AOB= ．
4
24. 若 ⃗a⊥⃗b，⃗c 与 ⃗a 、 ⃗c 与 ⃗b 的夹角均为 60∘，∣⃗a∣=1，∣⃗b∣=2，∣⃗c∣=3，则
(⃗a+2⃗b−⃗c) 2 = ．
25. 设向量 ⃗a 与向量 ⃗b 互相垂直，向量 ⃗c 与它们构成的角均为 60∘ 且 ∣⃗a∣=5，∣⃗b∣=3，
∣⃗c∣=2，则 ∣⃗a+2⃗b−3⃗c∣= ．
三、解答题（共5小题；）
π π
26. 设 ⃗a⊥⃗b，⟨⃗a,⃗c⟩= ， ⟨⃗b,⃗c⟩= ，且 ∣⃗a∣=1，∣⃗b∣=2，∣⃗c∣=3，求向量 ⃗a+⃗b+⃗c
3 6
的模．
27. 已知 i⃗ 、 ⃗j 、 ⃗k 是空间中不共面的三个向量， ⃗a=2i⃗+⃗j+3⃗k，⃗b=−i⃗−⃗j+2⃗k，
⃗c=5i⃗+3⃗j+4⃗k，求证：向量 ⃗a，⃗b，⃗c 共面．
28. 如图，在正四棱柱 ABCD−A B C D 中，AB=2，A A =4，E，F，M，N 分别是
1 1 1 1 1
A D ，D D，BC，BB 的中点．求证：平面EFC ∥平面AMN．
1 1 1 1 1
29. 如图所示，正方体 ABCD−A B C D 的棱长为 1，在三棱锥 A −ABD 中，求 A 到平面
1 1 1 1 1
A BD 的距离 d．
130. 如图，在长方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 中，AB=2，AD=1，AAʹ=1，证明直线 BCʹ 平行于平
面 DʹAC，并求直线 BCʹ 到平面 DʹAC 的距离．答案
1. C 【解析】因为
⃗a⋅⃗b 6−λ 8
cos⟨⃗a,⃗b⟩= = = ,
∣⃗a∣∣⃗b∣ 3√λ2+5 9
2
所以 λ=−2或 ．
55
2. B
−2 −4 k
3. C 【解析】因为 α∥β，所以两平面法向量平行，所以 = = ，所以 k=4．
1 2 −2
4. A
5. B
6. A
7. B
8. C 【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；
B 项，空间基底有无数个；
D 项中因为基底不惟一，所以 D 错．
9. B
10. B
【解析】如图，作 AC 垂直 x 轴，BD 垂直 y 轴，过 C 作 CD 平行于 y 轴，与 BD 交于 D，
则 ∠ACD 就是二面角的平面角．
∴ ∠ACD=120∘，连接 AB,AD，则 CD=2，BD=5，AC=3，在 △ACD 中，
√ ( 1)
AD= 9+4−2×3×2× − =√19，∴ AB=√19+25=2√11．
2
11. A
3 sinα 3
12. C 【解析】因为 tanα= ， = ，
4 cosα 4
3
所以 sinα= cosα．
4
又因为 sin2α+cos2α=1，
所以 (3 cosα ) 2 +cos2α=1，
4
16
整理得
cos2α=
，
254
解得 cosα=± ．
5
( 3π)
因为 α∈ π, ，
2
4
所以 cosα<0，故 cosα=− ．
5
13. B 【解析】因为 ⃗A C=⃗A A+⃗AB+⃗BC，
1 1
所以 ⃗A C2=(⃗A A+⃗AB+⃗BC) 2 ，
1 1
所以 |⃗A C|2=⃗A A2+⃗AB2+⃗BC2+2⃗A A⋅⃗AB+2⃗A A⋅⃗BC+2⃗AB⋅⃗BC，
1 1 1 1
所以 |⃗A C|2=22+22+22+2×2×2⋅cos120∘+2×2×2⋅cos120∘+0，
1
|⃗A C|2=4+4+4−4−4=4，
1
|⃗A C|2=2．
1
14. C 【解析】假设 ⃗a 与 ⃗e 共线，则设 ⃗a=k⃗e ，
1 1
所以 ⃗a=λ⃗e +μ⃗e 可变为 (k−λ)⃗e =μ⃗e ，
1 2 1 2
所以 ⃗e 与 ⃗e 共线，这与 ⃗e 与 ⃗e 不共线相矛盾，故假设不成立，
1 2 1 2
即 A 项不正确，同理 B 项不正确，则 D 项也错误，故选 C．
15. B
⃗MN =⃗MA+⃗AB+⃗BN
1 1
¿ =− ⃗OA+⃗OB+ (⃗OC−⃗OB)
【解析】 2 2
1 1 1
¿ =− ⃗a+ ⃗b+ ⃗c.
2 2 2
1 1
16. A 【解析】提示：⃗B M=⃗B B+⃗BM=− ⃗a+ ⃗b+⃗c．
1 1 2 2
17. B 【解析】∣⃗OA∣=√(2⃗a+⃗b) 2 =√4∣⃗a∣ 2+∣⃗b∣ 2+4⃗a⋅⃗b=√7，同理 ∣⃗OB∣=√7，
⃗OA⋅⃗OB 6∣⃗a∣ 2−∣⃗b∣ 2+⃗a⋅⃗b 11
则 cos∠AOB= = = ，
∣⃗OA∣∣⃗OB∣ 7 14
5√3
从而有 sin∠AOB= ，
14
1 5√3 5√3
所以 △OAB 的面积 S= ×√7×√7× = ．
2 14 4
18. D 【解析】D−ABC 在平面上的投影为 △ABC，故 S =2．
1
设 D 在 yOz 和 zOx 平面上的投影分别为 D 和 D ，则 D−ABC 在 yOz 和 zOx 平面上的
2 3
投影分别为 △OCD 和 △OAD ，
2 3
因为 D (0,1,√2)，D (1,0,√2)，
2 3
故 S =S =√2．
2 3
综上，选项D正确．19. D
20. D
33
{
2m−n=7, {m= ,
7
【解析】因为 ⃗c，⃗b，⃗c 三向量共面，所以有 ⃗c=m⃗a+n⃗b，即 −m+4n=5, 解得 所以
17
3m−2n=λ, n= ,
7
65
λ= ．
7
21. −√39
22. 3
2±√3
23.
4
24. 11
25. √31
【解析】提示：∣⃗a+2⃗b−3⃗c∣ 2=⃗a2+4⃗b2+9⃗c2+4⃗a⋅⃗b−6⃗a⋅⃗c−12⃗b⋅⃗c=31．
∣⃗a+⃗b+⃗c∣ 2 =(⃗a+⃗b+⃗c) 2
26. ¿ =1+4+9+2 ( 2×3× √3 +1×3× 1)
2 2
¿ ¿
所以 ∣⃗a+⃗b+⃗c∣=√17+6√3．
27. 设 ⃗c=m⃗a+n⃗b，则
5i⃗+3⃗j+4⃗k=m(2i⃗+⃗j+3⃗k)+n(−i⃗−⃗j+2⃗k)=(2m−n)i⃗+(m−n)⃗j+(3m+2n)⃗k，
{2m−n=5,
{m=2,
所以 m−n=3, 解得
n=−1.
3m+2n=4,
所以 ⃗c=2⃗a−⃗b，所以向量 ⃗a，⃗b，⃗c 共面．
28.
如图，建立空间直角坐标系 D−xyz，可得 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B (2,2,4)，D (0,0,4)，
1 1
C (0,2,4)，E(1,0,4)，F(0,0,2)，M(1,2,0)，N(2,2,2)．
1
{⃗EC ⋅⃗m=0,
平面 EFC 的一个法向量为 ⃗m=(x,y,z)，⃗EC =(−1,2,0)，⃗EF=(−1,0,−2)， 1
1 1 ⃗EF⋅⃗m=0,
{−x+2y=0,
所以
−x−2z=0.
令 y=1，得 x=2，z=−1，⃗m=(2,1,−1)．
设平面 AMN 的一个法向量为 ⃗n=(a,b,c)．
⃗AM=(−1,2,0)，⃗AN=(0,2,2)，
{−a+2b=0,
所以
2b+2c=0.
令 b=1，得 a=2，c=−1，⃗n=(2,1,−1)．
因为 ⃗m=⃗n，
所以平面 EFC ∥平面AMN．
1
29. 在三棱锥 A −ABD 中，A A 是三棱锥 A −ABD 的高，AB=AD=A A =1，
1 1 1 1
A B=BD=A D=√2，
1 1
1 1 1 1 √3
因为 × ×12×1= × ×√2× ×√2×d，
3 2 3 2 2
√3
所以 d= ．
3
30. 因为 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 为长方体，故 AB∥CʹDʹ，AB=CʹDʹ，
故 ABCʹDʹ 为平行四边形，故 BCʹ∥ADʹ，显然 直线BCʹ 不在平面 DʹAC 上，
于是直线 BCʹ 平行于平面 DʹAC；
直线 BCʹ 到平面 DʹAC 的距离即为点 B 到平面 DʹAC 的距离，设为 ℎ．
考虑三棱锥 ABCDʹ 的体积，以 ABC 为底面，可得
1 (1 ) 1
V = × ×1×2 ×1= .
3 2 3而 △ADʹC 中，AC=DʹC=√5，ADʹ=√2，故
3
S = .
△ADʹC 2
所以，
1 3 1 2
V = × ×ℎ = ⇒ℎ = ,
3 2 3 3
2
即直线 BCʹ 到平面 DʹAC 的距离为 ．
3
