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重难点突破 03 阴影部分面积求解问题
目 录
方法一 直接公式法
方法二 和差法
题型01 直接和差法
题型02 构造和差法
题型03 割补法
类型一 全等法
类型二 等面积法
类型三 平移法、旋转法
类型四 对称法
题型04 容斥原理
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【基础】设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则
O
扇形弧长公式 nπR R
l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且 n n°
180
l
表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
扇形面积公式 nπR2 1
l
S扇形=
360
=
2
R
圆锥侧面积公式 S 圆锥侧 =πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） n°
l
圆锥全面积公式 S =πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） h
圆锥全
r
圆锥的高h，圆 r2+h2=l2
锥的底面半径r
【方法技巧】
1） 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长公式
nπR
l= 中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
180
2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，
nπR2 1
然后直接代入公式S扇形=
360
或 S扇形 =
2
l R中求解即可．
1
3）扇形面积公式S扇形=
2
l R 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角
形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可.
4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，
即
nπR
2πr= ，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据
180
圆锥的侧面积计算公式来解决问题．
6）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形
的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展
开后的扇形半径两个概念．
【阴影部分面积求解问题简介】求阴影部分面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图
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形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
1）直接用公式求解．
图形 公式
S = S
阴影 扇形ABC
A C
B
S = S
阴影 △ABC
A C
B
S = S = ab
阴影 四边形ABCD
D
A
b
a
B C
2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解．
①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S =S ±S ）
阴影 常见图形 常见图形
图形 面积计算方法 图形 面积计算方法
A S =S −S O S =S
阴影 △ACB 扇形 阴 影 扇 形 AOB
−S
ABD △AOB
A B
D
B C
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S =S −S S = S −S
阴影 △AOB 扇形 阴影 扇形BAD
O
C D COD 半圆AB
A B
O S =S S =S =
阴 影 半 圆 A 阴影 扇形之和
−S nπR2 πR2
AB △AOB =
360 2
A B
B C
S =S
阴 影 扇 形
−S
EAF △ADE
②构造和差法（所求阴影部分面积需要添加辅助线构造扇形、三角形或特殊四边形,然后进行相加减。）
图形 公式
S =S +S
阴影 扇形AOC △BOC
S =S -S
阴影 △ODC 扇形DOE
S =S -S
阴影 扇形AOB △AOB
S =S +S -S
阴影 扇形BOE △OCE 扇形COD
3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利
用公式法或和差法创造条件，从而求解．
①全等法
图形 公式
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S = S
阴影 △AOB
S = S
阴影 扇形BOC
S =S
阴影 矩形ACDF
S = S
阴影 正方形PCQE
②等面积法
图形 公式
S = S
阴影 扇形COD
③平移法
图形 公式
D F C D F C S =S
阴影 正方形BCFE
A E B A E B
S =S
阴影 矩形ABHG
④旋转法
图形 公式
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E E S =S
A A 阴影 扇形AOE
B B
O O
C C S = S
B B 阴影 扇形BOD
D D
A O E A O E
S = S -S
阴影 扇形ABE 扇形MBN
⑤对称法
图形 公式
S =S
阴影 △ACD
S = S
阴影 扇形CDE
1
S = S = S
阴影 △OBC 4 正方形ABCD
S = S - S
阴影 扇形ACB △ACD
4) 容斥原理
当阴影部分是由几个图形叠加形成时,
1）需先找出叠加前的几个图形;
2）然后理清图形之间的重叠关系.
图形（举例） 公式
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B' S =S +S −S
阴影 扇形BAB′ 半圆AB′ 半圆AB
A B
B S阴影=S +S −S
半圆AC 半圆BC △ACB
C A
C S阴影= S + S −S
扇形AEC 扇形BCD △ACB
A D E B
方法一 直接公式法
1．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，AB是半圆的直径，点C在直径上，以C为圆心、CA为半径向内作
直角扇形，再以D为圆心、DC为半径向内作直角扇形，使点E刚好落到半圆上，若AB=10，则阴影部分
的面积为（ ）
A．16π B．12π C．8π D．4π
【答案】C
【分析】过点E作EF⊥AB于点F，连接AE，BE，首先证明△AEF∼△EBF，设AC=x，则AF=2x，
BF=10−2x，EF=x，利用相似三角形的性质列方程即可求出x的值，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，连接AE，BE，
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AB是半圆的直径，
∵∠AEB=90°，即∠EAB+∠EBA=90°，
∴EF⊥AB，
∵∠AFE=∠EFB=90°，
∴∠EAB+∠AEF=90°，
∴∠EBA=∠AEF，
∴△AEF∼△EBF，
∴AF EF
= ，即EF2=AF·BF，
EF BF
∴
设AC=x，
EF⊥AB，且由作图可知阴影部分是两个半径相等的半圆，
∵四边形DCFE是正方形，
∴CD=DE=EF=CF=AC=x，
∴AF=2x，
∴BF=10−2x，
∴x2=2x(10−2x)，
∴x =0（舍去），x =4，
1 2
∴
90×π×42
S =2× =8π，
阴影 360
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形和扇形的面积，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及扇形的面积公式是
解题的关键．
2．（2023·四川成都·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC的长为半径
画弧，交AD于点E．若将一骰子（看成一个点）投到矩形ABCD中，则骰子落在阴影部分的概率为
．
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1
【答案】 π
6
【分析】本题考查了几何概率，先根据锐角三角函数求出∠AEB=30°，再根据扇形面积公式求出阴影部
分的面积，最后根据几何概率的求法解答即可．
【详解】解：∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，
∴BE=BC=2，
在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
AB 1
∴sin∠AEB= = ，
BE 2
∴∠AEB=30°，
∴∠EBA=60°，
∴∠EBC=30°，
30°π×22 1
∴阴影部分的面积：S= = π，
360° 3
∵矩形的面积为2，
1
π
∴将一骰子（看成一个点）投到矩形ABCD中，则骰子落在阴影部分的概率为3 1 ，
= π
2 6
1
故答案为： π．
6
3．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，
点D是BC的中点，将AD绕点A按逆时针方向旋转90°得AD'．那么图中阴影部分的面积为 ．
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9π
【答案】
4
【分析】先根据直角三角形的性质求出AD的长，再由扇形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D是BC的中点，
1
∴AD= BC=3，
2
90°π×32 9π
∴S = = ，
扇形ADD' 360° 4
9π
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
方法二 和差法
题型 01 直接和差法
4．（2019上·河北石家庄·九年级统考期中）已知点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC，
AB=10，BC:AC=3:4，阴影部分的面积为 ．
25
【答案】 π−24
2
【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积，根据AB=10，BC:AC=3:4，可
以求得AC，BC的长，再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC:AC=3:4，
设BC=3a,AC=4a(a>0)，
AC2+BC2=AB2，即(4a) 2+(3a) 2=102，
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解得：a=2，
BC=6,AC=8，
1 1 25
∴S =S −S = ×π×52− ×8×6= π−24．
阴影 半圆 △ABC 2 2 2
25
故答案为： π−24．
2
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
5．（2023·青海·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半
径作圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）.
【答案】16−4π/−4π+16
【分析】分析出阴影面积=正方形面积−圆的面积，再利用相应的面积公式计算即可．
【详解】解：由图得，阴影面积=正方形面积−4个扇形面积，
即阴影面积=正方形面积−圆的面积，
∴S =42−π⋅22=16−4π．
阴影
故答案为：16−4π．
【点睛】本题考查了扇形面积的求法，正方形面积及圆的面积的求法是解题关键．
6．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=√2，以点C为圆心
画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是 ．
π
【答案】1−
4
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【分析】连接CD，利用等腰直角三角形的性质求得扇形的半径，再利用图中阴影部分的面积
=S −S 即可解答．
△ABC 扇形CEF
【详解】解：连接CD，如图，
∵以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，
∴CD⊥AB，
∵△ACB为等腰直角三角形，
1
∴CD=AD=BD= AB．
2
∵AB=√2AC=√2⋅√2=2，
∴CD=1，
∴阴影部分的面积=S −S
△ABC 扇形CEF
1 90π×12
= BC⋅AC−
2 360
1 π
= ×√2×√2−
2 4
π
=1− ．
4
π
故答案为：1− ．
4
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、圆的切线的性质定理、扇形、三角形的面积等知识点，
连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
7．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧
BE，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
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6π
【答案】
5
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出∠A的度数，利用扇形面积公式计算即
可．
【详解】解：正五边形的内角和=(5−2)×180°=540°，
540°
∴∠A= =108°，
5
108π22 6π
∴S = = ，
扇形ABE 360 5
6π
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是
解答本题的关键．
题型 02 构造和差法
8．（2023·四川泸州·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为
Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)( )
3π 3π 3π 3π
A． B．6− C．5− D．3+
4 4 4 4
【答案】C
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【分析】本题考查了三角形内切圆的性质；勾股定理求得AB=5，进而根据等面积法求得，三角形的内切
3
半径，根据S =S − S −S ，即可求解．
阴影 △ABC 4 圆 正方形
【详解】解：Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB= √32+42 =5，
1
∴ S = AC⋅BC=6，C =AC+BC+AB=12，
△ABC 2 △ABC
2S
∴内切圆半径r= =1，
C
∴ S =πr2=π，
圆
设⊙O与AC切于点D，与BC切于点E，连接OD、OE，
则四边形ODCE为正方形，
3 3 3
∴ S =S − S −S =6− π−1=5− π．
阴影 △ABC 4 圆 正方形 4 4
故选：C．
9．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点
A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（ ）
1 1 1 1
A．3− π B．3π− C． π D． π−3
3 3 3 3
【答案】A
【分析】利用平行四边形的面积减去扇形面积和三角形面积即可求解．
【详解】解：过点D作DF⊥AB于F，
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∵AD=2，∠A=30°，
1
∴DF= AD=1 ．
2
∵以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，
∴AE=AD=2，
又∵AB=4，
∴BE=2，
∴S =S −S −S
阴影 ▱ABCD 扇形ADE △BCE
30π⋅AD2 1
=AB⋅DF− − BE⋅DF
360 2
30π×22 1
=4×1− − ×2×1
360 2
π
=3−
．
3
故选A．
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，平行四边形和三角形的面积公式，扇形的面积公式，不
规则图形面积的求法，掌握相关面积公式和定理是解题的关键．
10．（2023·安徽·模拟预测）如图，⊙O的半径为2，AB=2√3，则阴影部分的面积是 ．（结果保
留π）
4π
【答案】 −√3
3
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OB，求出OH的长和∠AOB的度数，根据S −S 即可
❑扇形AOB ❑△AOB
求出答案．
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【详解】解：如图所示，过点O作OH⊥AB于点H，连接OB，
1
∴∠AHO=∠BHO=90°，AH=BH= AB=√3，OA=OB=2，
2
AH √3 1
∴sin∠AOH= = ，∠AOH=∠BOH= ∠AOB，OH=√AO2−AH2=√22−(√3) 2=1，
AO 2 2
∴∠AOH=60°，
∴∠AOB=2∠AOH=120°，
120π×22 1 4
∴图中阴影部分的面积为S −S = − ×2√3×1= π−√3，
❑扇形AOB ❑△AOB 360 2 3
4
故答案为： π−√3．
3
【点睛】此题考查了垂径定理、扇形面积、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，
求出OH的长和∠AOB的度数是解题的关键．
11．（2023上·安徽六安·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2．点
D为BC边的中点，以点D为圆心，CB长为直径画半圆，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为
．（结果保留π）
3√3
【答案】π−
4
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的特征、勾股定理、扇形的面积，根据含30°角的直角三角形
的特征得AB=2AC=4，再利用勾股定理得BC=2√3，BD=CD=√3，进而可得CE=√3，BE=3，再
利用阴影部分的面积=S −S 即可求解，熟练掌握基础知识，利用分割法解决问题是解题的关键．
扇形BDE △BDE
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【详解】解：连接CE、ED，如图：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2，点D为BC边的中点，
∴∠ABC=30°，AB=2AC=4，
∴∠CDE=60°，∠BDE=180°−60°=120°，
∴BC=√42−22=2√3，BD=CD=√3，
1
∴CE= BC=√3，BE=√BC2−CE2=√(2√3) 2
−√3
2=3，
2
2
1 120π⋅√3 1 1 3√3
∴图中阴影部分的面积=S −S =S − S = − × ×3×√3=π− ．
扇形BDE △BDE 扇形BDE 2 △BCE 360 2 2 4
3√3
故答案为：π− ．
4
12．（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）如图，在半径为√5，圆心角等于45°的扇形AOB内
部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在A´B上，则阴影部分的面积为
．
5 3
【答案】 π−
8 2
【分析】连接OF，由勾股定理可计算得正方形CDEF的边长为1，则正方形CDEF的面积为1，等腰直角
1 1 5 5 3
三角形COD的面积为 ，扇形AOB的面积为 π⋅(√5)
2=
π，所以阴影部分的面积为 π− ．
2 8 8 8 2
【详解】解：连接OF，则OF=√5,
∵∠AOB=45°,
∴∠DCO=90°−∠COD=45°.
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∴∠COD=∠DCO.
∴CD=OD.
∴EF=ED=OD.
Rt△OEF中，
OE2+EF2=OF2,
∴(2EF) 2+EF2=(√5) 2 ，解得EF=1
∴OD=CD=EF=1
45 1 5 3
∴S =S −S −S = π×(√5) 2 − ×1×1−1×1= π− ．
阴影 扇形AOB △ODC CDEF 360 2 8 2
5 3
故答案为： π−
8 2
【点睛】本题考查扇形面积的计算，勾股定理，正方形的性质；构造直角三角形运用勾股定理是解题的关
键．
13．（2022·福建·一模）如图，在平行四边形纸板ABCD中，点E，F，O分别为AB，CD，BD的中
点，连接DE，OF，BF．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为
．
3
【答案】
8
1
【分析】根据点E，F，O分别为AB，CD，BD的中点，得到S = S ，
△EOD 2 △BED
1 1 3
S =S = S ，从而得到S = S ，进而得出S = S ，由此即可得到答案．
△BEF △BED 4 ▱ABCD △EOD 8 ▱ABCD 阴影 8 ▱ABCD
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【详解】解：如图，连接OE，
∵四边形ABCD为平行四边形，点E，F，O分别为AB，CD，BD的中点，
∴点E，F，O在同一直线上，
1 1 1 1 1
∴S = S ，S =S = S = ⋅ S = S ，
△EOD 2 △BED △BEF △BED 2 △ABD 2 2 ▱ABCD 4 ▱ABCD
1 1
∴S = S = S ，
△EOD 2 △BED 8 ▱ABCD
1 1 3
∴S =S +S = S + S = S ，
阴影 △BEF △EOD 4 ▱ABCD 8 ▱ABCD 8 ▱ABCD
3
∴飞镖落在阴影部分的概率为 ，
8
3
故答案为： ．
8
【点睛】本题考查了几何概率，平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，
3
根据题意计算出S = S 是解此题的关键．
阴影 8 ▱ABCD
14．（2023·广东梅州·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交
于A、B两点，点B坐标为(0,2√3)，OC与⊙D交于点C，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为
．
【答案】2π−2√3/−2√3+2π
【分析】连接AB，从图中明确S =S −S ，然后根据公式计算即可．
阴影 半圆 △ABO
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【详解】解：连接 AB ，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
根据同弧对的圆周角相等得：∠OBA=∠OCA=30°，
∵点B坐标为(0,2√3)，
∴OB=2√3 ，
√3 AO
∴ OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2√3× =2，AB= =4，
3 sin30°
即圆的半径为2，
π×22 1
∴S =S −S = − ×2×2√3=2π−2√3．
阴影 半圆 △ABO 2 2
故答案为：2π−2√3．
【点睛】本题考查了同弧对的圆周角相等；90°的圆周角对的弦是直径；锐角三角函数的概念；圆、直角
三角形的面积分式，解题的关键是熟练运用所学的知识进行解题．
15．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，扇形AMB的圆心角∠AMB=60°，将扇形
AMB沿射线MB平移得到扇形CND，已知线段CN经过A´B的中点E，若AM=2√3，则阴影部分的周长为
．
√3π
【答案】2√3+
3
【分析】连接ME，根据E为A´B的中点，扇形AMB的圆心角∠AMB=60°，得出
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1 30×2√3π √3π
∠EMB=∠AME= ∠AMB=30°，求出l = = ，证明EN=MN，根据
2 B´E 180 3
NE+NB+l =MN+NB+l 求出结果即可．
B´E E´B
【详解】解：连接ME，如图所示：
⏜
∵E为 的中点，扇形AMB的圆心角∠AMB=60°，
AB
1
∴∠EMB=∠AME= ∠AMB=30°，
2
∵AM=2√3，
∴EM=BM=2√3，
30×2√3π √3π
∴l = = ，
B´E 180 3
根据平移可知，AM∥CN，
∴∠AME=∠MEN，
∴∠BME=∠MEN，
∴EN=MN，
∴阴影部分的周长为：
NE+NB+l =MN+NB+l
B´E E´B
=MB+l
B´E
√3π
=2√3+ ．
3
√3π
故答案为：2√3+ ．
3
【点睛】本题主要考查了平移的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握平移的
性质是解题的关键．
16．（2024·西藏拉萨·统考一模）如图，等腰△ABC的顶点A，C 在⊙O上， BC边经过圆心0且与⊙O
交于D 点，∠B=30°.
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(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AB=6，求阴影部分的面积
【答案】(1)见解析；
(2)6√3−2π
【分析】（1）连接OA，由AB=AC，∠B=30°，可得∠CAB=120°，由OC=OA，可得∠OAB=90°，
即可求证；
（2）在RtΔOAB中，利用勾股定理可求得OA=2√3，再根据S =S −S ，即可求解.
阴 RtΔOAB 扇形OAD
【详解】（1）证明：连接OA，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°，∠CAB=120°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠C=30°，
∴∠OAB=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是圆O的切线．
（2）解：∵∠B=30°，∠OAB=90°，
∴OB=2OA
∵AB=6，
∴OA2+62=(2OA) 2
∴OA=2√3
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1 60π⋅OA2 1 60π×12
∴S =S −S = OA⋅AB− = ×2√3×6− =6√3−2π．
阴 RtΔOAB 扇形OAD 2 360 2 360
【点睛】此题主要考查切线的判定定理、直角三角形的性质、勾股定理、扇形的面积公式，熟练掌握切线
的判定定理是解题的关键.
17．（2023·山西长治·统考模拟预测）如图，在△ABC中，CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，分别以
点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，若点E、F是线段AC的
三等分点时，图中阴影部分的面积为（ ）
A．8√2−2π B．16√2−4π C．8√2−4π D．16√2−2π
【答案】A
【分析】连接CD，由等腰三角形的性质可得CD⊥AB，AD=BD=2，由题意可得AC=BC=3AD=6，
由勾股定理可得CD=4√2，再由S =S −S −S −S 代入进行计算即可．
阴影 △ABC 扇形ADF 扇形CEG 扇形BDH
【详解】解：如图，连接CD，
，
∵CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，AD=BD=2，
∵分别以点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，点E、F是线
段AC的三等分点，
∴AC=BC=3AD=6，
∴CD=√AC2−AD2=√62−22=4√2，
∴S =S −S −S −S
阴影 △ABC 扇形ADF 扇形CEG 扇形BDH
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1 ∠FAD×22×π ∠ECG×22×π ∠DBH×22×π
= AB⋅CD− − − ，
2 360° 360° 360°
1 22×π
= ×4×4√2− (∠FAD+∠ECG+∠DBH)
2 360°
4×π×180°
=8√2−
360°
=8√2−2π，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、扇形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的性质、
勾股定理、扇形的面积公式是解题的关键．
18．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知AB是⊙O的直径，DA、DE、BC是⊙O的三条切线，切点
分别为A、E、B，连接OE．
(1)如图1，求证：OE2=DE⋅CE；
(2)如图2，AD=1，BC=3，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)3√3−π
【分析】（1）连接OD，OC，根据切线的性质可得AB⊥BC，AB⊥AD，OE⊥CD，由OA=OE可
得DO垂直平分∠ADE，则∠ADO=∠CDO，同理可得∠BCO=∠ECO，可得出
∠ODE+∠OCE=90°，根据同角的余角相等可得∠EOD=∠ECO，证明△ODE∽△COE，根据相似
三角形的性质即可得出结论；
（2）连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，可得CF=2，利用勾股定理求出DF，
可得半径是√3，OC=2√3，可求出∠BOE=120°，根据S =S −S 即可求出答案．
阴影部分 四边形BCEO 扇形OBE
【详解】（1）证明：如图，连接OD，OC，
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，
∵DA、DE、BC是⊙O的三条切线，切点分别为A、E、B，
∴AB⊥BC，AB⊥AD，OE⊥CD，
∴AD∥BC，∠OED=∠CEO=90°，
∵OA=OE，
∴DO平分∠ADE，
1
∴∠ADO=∠CDO= ∠ADE，
2
1
同理可得：∠BCO=∠ECO= ∠BCE，
2
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠BCE=180°，
∴∠ODE+∠OCE=90°，
∵∠ODE+∠EOD=90°，
∴∠EOD=∠ECO，
∴△ODE∽△COE，
OE DE
∴ = ，
CE OE
∴OE2=DE⋅CE；
（2）解：如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，
，
则四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，DF=AB，
∵DA、DE、BC是⊙O的三条切线，切点分别为A、E、B，AD=1，BC=3，
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∴DE=AD=BF=1，CE=BC=3，
∴CF=BC−BF=2，CD=CE+DE=4，
∴DF=√CD2−CF2=2√3，
∴AB=DF=2√3，
∴⊙O的半径是√3，
∴OC=√OB2+BC2=2√3，
∴OC=2OB，
∴∠OCB=30°，
∴∠BCE=2∠OCB=60°，
∴∠BOE=360°−∠OBC−∠OEC−∠BCE=120°，
1 120×π×OB2
∴S =S −S =2× BC⋅OB− =3√3−π．
阴影部分 四边形BCEO 扇形OBE 2 360
【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，扇形的面积公式，相似三角形的判定和性质，熟练
掌握相似三角形的判定和性质及切线的性质是解题的关键．
题型 03 割补法
类型一 全等法
19．（2022上·安徽阜阳·九年级校考期末）AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD= 4√3，
则S =（ ）
阴影
8
A．π B．2π C． π D．4π
3
【答案】C
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【分析】先求出∠EOD，再根据含30°直角三角形的性质得CE，及AC=2AE，然后根据勾股定理求出
AE，进而得出AC，同理求出OE，OD，最后根据S =S 得出结论．
阴影 扇形AOD
【详解】解：∵∠C=30°，
∴∠EOD=2∠C=60°.
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD=4√3，
∴∠AEC=∠DEO=90°，CE=DE=2√3.
∴∠EDO=30°.
在Rt△ACE中，∠C=30°，
∴AC=2AE，
根据勾股定理，得(2AE) 2=(2√3) 2+AE2，
解得AE=2（负数舍去），
∴AC=2AE=4，
同理OE=2，OD=4，
1
∴S =S = ×2√3×2=2√3，
△AEC △OED 2
60π×42 8
∴S =S = = π.
阴影 扇形AOD 360 3
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，扇形的面积等，将求不规则图形面
积转化为求规则图形的面积是解题的关键．
20．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=1，以点A为圆心，矩形的长AD为半径画
弧，交BC于点E，交AB的延长线于点F，若AE恰好平分∠BAD，则阴影部分的面积为（ ）
π−√2−1 2√2+π
A．1 B． C． D．√2−1
2 4
【答案】D
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1
【分析】由矩形的性质结合角平分线的定义可求出∠BAE=∠EAD= ∠BAD=45°，AB=BE=1，
2
AE=√2，再根据扇形的面积公式，矩形的面积公式和三角形面积公式计算出S =S −S 和
阴影BEF 扇形AEF △ABE
S =S −S −S ，最后相加即可．
阴影DCE 矩形ABCD 扇形ADE △ABE
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°．
∵AE恰好平分∠BAD，
1
∴∠BAE=∠EAD= ∠BAD=45°，
2
∴AB=BE=1，
∴AE=√AB2+BE2=√2，
45πAE2 45π×(√2) 2 1 1 1 1
∴S = = = π，S = AB⋅BE= ×1×1= ，
扇形AEF 360 360 4 △ABE 2 2 2
1 1
∴S =S −S = π− ；
阴影BEF 扇形AEF △ABE 4 2
由题意可知AD=AE=√2，
45πAE2 1
∴S =AB⋅AD=1×√2=√2，S = = π，
矩形ABCD 扇形ADE 360 4
1 1
∴S =S −S −S =√2− π− ，
阴影DCE 矩形ABCD 扇形ADE △ABE 4 2
∴阴影部分的面积为S +S =√2−1．
阴影BEF 阴影DCE
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积
计算等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
21．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC,BD相交于点O，以点B
为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
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【答案】π
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD=2√2，再
由扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：正方形ABCD，
∴AO=CO,BO=DO,AD=CD，∠DBE=45°，
∴△AOD≌△COB(SSS)，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD=√22+22=2√2
2
45×π×(2√2)
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即 =π，
360
故答案为：π．
【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键．
22．（2022·青海·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点
E，F，若AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【分析】结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，可得△AOE与△COF的面积相等，从而将阴影部分的面
积转化为△BDC的面积进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，
∴OA=OC，AB=CD=3，AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
¿，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴S =S ，
△AOE △COF
∴S =S +S +S =S +S +S =S ，
阴影 △AOE △BOF △COD △COF △BOF △COD △BCD
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1 1
∴S = BC⋅CD= ×4×3=6，
△BCD 2 2
故答案为：6．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三家形的判定与性质，根据证明三角形全等，将阴影部分的面积转化
为矩形面积的一半是解题的关键．
23．（2022上·江西南昌·九年级统考期末）如图，半径为10的扇形OAB中，∠AOB=90°，C为弧AB上
一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．若∠CDE=40°，则图中阴影部分的面积为（ ）
40 110 100
A． π B． π C． π D．10π
3 9 9
【答案】C
【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则 DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝40°，图中阴影
部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式△即可求得．
【详解】解：如图，连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴OD＝CE，DE＝OC，CD∥OE，
∵∠CDE＝40°，
∴∠DEO＝∠CDE＝40°，
在 DOE和 CEO中，¿，
∴△△DOE≌△C△EO（SSS），
∴∠COB＝∠DEO＝40°，
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
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40π×102 100
∵S OBC＝ ＝ π，
扇形 360 9
100
∴图中阴影部分的面积为 π，
9
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形OBC的面积等于阴影的面积是解题的
关键．
类型二 等面积法
24．（2023·辽宁锦州·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交
于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，则阴影部分的面积为（ ）
π π 2π
A． B． C． D．π
4 3 3
【答案】A
【分析】连接OE，OD，证明S =S ，可得S =S ，求解∠AOD=90°，再利用扇形的
△AOD △AED 阴影 扇形OAD
面积公式计算即可．
【详解】解：连接OE，OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
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∴BE=CE，
即点E是BC的中点，
∵点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴S =S ，
△AOD △AED
∴S =S ，
阴影 扇形OAD
∵∠AEC=90°，
∴∠AEB=90°，
∵∠BED=45°，
∴∠AED=45°，
∴∠AOD=90°，
90π×12 π
∴S = = ，
扇形OAD 360 4
π
∴S = ，
阴影 4
故选：A．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，熟练的证明
S =S 是解本题的关键．
阴影 扇形OAD
25．（2023·山西大同·校联考模拟预测）阅读与思考
下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务：
通过构造全等三角形来解决图形与几何中的问题
在图形与几何的学习中常常会遇到一些问题无法直接解答，需要作辅助线构造全等三角形才能得到解决，
比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交，构造全等三
角形，再运用全等三角形的性质解决此问题．
例：如图1，D是△ABC内的点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD．若△ABC的面积是10，求
图中阴影部分的面积．
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该问题的解答过程如下：
解：如图2，延长CD交AB于点E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADE=90°．
在△ADE和△ADC中，
¿
∴△ADE≌△ADC(ASA)．
∴S =S （依据*），ED=DC．
△ADE △ADC
任务：
(1)上述解答过程中的“依据*”是指 ；
(2)请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
(3)如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD的延
长线于点E，连接BE．若BE=5，请直接写出AD的长．
【答案】(1)全等三角形面积相等
(2)见解析
(3)10
【分析】（1）根据全等三角形的性质，即可得出答案；
（2）先判断△ADE≌△ADC(ASA)得出S =S （全等三角形面积相等），ED=DC，进而得到
△ADE △ADC
S =S ，即可得到答案；
△BDE △BDC
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（3）延长CE，AB相交于点Q，先判断出△AEQ≌△AEC(ASA)，得出EQ=EC，继而得出
CQ=2BE=10，再判断出△ABD≌△CBQ(ASA)，即可得出结论．
【详解】（1）由题意可知，依据是全等三角形面积相等，
故答案为：全等三角形面积相等．
（2）解：如图2，延长CD交AB于点E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADE=90°．
在△ADE和△ADC中，
¿，
∴△ADE≌△ADC(ASA)．
∴S =S （全等三角形面积相等），ED=DC．
△ADE △ADC
∴S =S （等底同高的两个三角形面积相等），
△BDE △BDC
1 1
∴S +S = S + S
△ADE △BDE 2 △ACE 2 △BCE
1
= (S +S )
2 △ACE △BCE
1
= S
2 △ABC
=5
∴S =S =S +S =5
阴影部分 △ABD △ADE △BDE
（3）解：如图：
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延长CE，AB相交于点Q，
∵ AD平分∠BAC交BC于点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠AEQ=∠AEC=90°，
∵AE=AE，
∴△AEQ≌△AEC(ASA)，
∴EQ=EC，
∵∠CBQ=90°，
∴CQ=2BE=10，
∵∠ABC=∠AEC，∠ADB=∠CDE，
∴∠BAD=∠BCQ，
∵AB=CB，∠ABD=∠CBQ，
∴△ABD≌△CBQ(ASA)，
∴AD=CQ=10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本
题的关键．
26．（2023上·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接
BC，CD，AC，BD，BC=CD，∠ACD=30°，AB=12，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】9√3
【分析】连接OD，OC，OC交BD于点E，过点O作OF⊥CD于点F，由圆周角定理可得
∠AOD=2∠ACD=60°，再由OD=OC=OB以及三角形内角和定理可得
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1
∠OBD=∠ODB= (180°−∠DOB)=30°，△COD为等边三角形，从而得到OE⊥BD，BD=2BE，
2
1
再计算出BD的长，最后根据S =S = BD⋅CE，进行计算即可得到答案．
阴影 △BCD 2
【详解】解：连接OD，OC，OC交BD于点E，过点O作OF⊥CD于点F，则：OD=OC=OB，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACD=30°，AB=12，
1
∴OD=OC=OB= AB=6，∠AOD=2∠ACD=60°，
2
∵BC=CD，A´B为半圆，
1
∴∠DOC=∠COB= (180°−∠AOD)=60°，
2
∵OD=OC=OB，
1
∴∠OBD=∠ODB= (180°−∠DOB)=30°，△COD为等边三角形，
2
∴OE⊥BD，BD=2BE，
1
∴OE= OB=3，BE=√OB2−OE2=3√3，
2
∴BD=2BE=6√3，CE=OC−OE=6−3=3，
1 1
∴S =S = BD⋅CE= ×6√3×3=9√3，
阴影 △BCD 2 2
故答案为：9√3．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理，熟练掌
握等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理是解题的关键．
类型三 平移法、旋转法
27．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为8cm的⊙O中，连接CE，
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AC，AE，沿直线CE折叠，使得点D与点O重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
4√3
A．32√3cm2 B．8√3cm2 C．8πcm2 D．( +3π)cm2
3
【答案】A
1
【分析】根据正六边形的性质，折叠的性质以及圆的对称性可得出OM=MD= OC=4cm，再根据直角
2
三角形的边角关系求出CM，进而求出CE，由图形中各个部分面积之间的关系可得S =2S ，根
阴影部分 △COE
据三角形的面积计算公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接OD，交CE于点M，则OD⊥CE，
1 1
由折叠可知OM=MD= OD= OC=4(cm)，
2 2
360°
∠COM= =60°，
6
在Rt△COM中，
CM=√3OM=4√3(cm)，
∴CE=2CM=8√3(cm)，
由题意可知，△ACE是等边三角形，阴影部分面积等于S ，
四边形ACOE
连接OA，点O为△ACE的内心，到三边的距离相等，
S =S =S ，
△OAC △OAE △OEC
∴S =2S
阴影部分 △COE
1
=2× ×8√3×4
2
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=32√3(cm2 )，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆，翻折的性质以及直角三角形的边角关系，掌握正六边形和圆的性质以及
直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
28．（2023·浙江·模拟预测）如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O 的直
1
径，半圆O 过C点且与半圆O 相切，则图中阴影部分的面积( )
2 1
7−π 5−π 7 5
A． B． C． D．
9 9 9 9
【答案】D
【分析】利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圆
的半径，从而求阴影部分的面积．
【详解】解：连接O O ，设O 的半径为x．
1 2 2
∵O O 2−AO 2=AO 2 ，
1 2 1 2
∴(2+x) 2−22=(2−x) 2，
2
解得：x=
3
设⊙O 交BC于D，⊙O 交BC于E．
1 2
2√2 √2
∴CE=PE=√2x= ，BC=√2AB，CD= AB=√2
3 2
1 1 1 1 2√2 2√2 5
∴S =S −S = CD⋅AD− CE⋅PE= ×√2⋅√2− × ⋅ =
阴影 △ADC △CEP 2 2 2 2 3 3 9
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故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，以及三角形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积等于梯形PEDA的面
积是关键．
29．（2018·山西·统考中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以
AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8
【答案】A
【分析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积- ABD的面积.
△ 90×π×42 1
【详解】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积- ABD的面积= − ×4×2=4π-4，
360 2
△
故选：A．
【点睛】本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
类似四 对称法
30．（2017上·山东东营·九年级校联考期末）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若
AC=BC= √2，则图中阴影部分的面积是
π
【答案】
4
【分析】本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先利用圆周角定理的推论得到
∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于
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是得到S =S ，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
△AOC △BOC
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=√2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
√2
∴S =S ，OA= AC=1，
△AOC △BOC 2
90·π·12 π
∴S =S = = ．
阴影部分 扇形AOC 360 4
π
故答案为 ．
4
31．（2023·广西北海·统考三模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点
O，交AD于点F，交BC于点E．若AB=3，AC=4，AD=5，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的逆定理，利用三角形全等，
把阴影面积转化为△ABC的面积计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD∥BC，OA=OC，∠EOA=∠FOC，∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△OFC中，
∵¿，
∴△AOE≌△OFC(AAS)，
∴S =S ，
△AOE △OFC
在△AOB和△DOC中，
∵¿，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
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∴S =S ，
△AOB △DOC
∵AB=3，AC=4，AD=5，AB2+AC2=BC2
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
1 1
∴S =S = AB·AC= ×3×4=6，
阴影 △ABC 2 2
故选：C．
32．（2023·河北保定·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB
于点E(E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若
AB=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
π 1 π 1 π 1 π 1
A． − B． − C． − D． −
8 8 8 4 2 8 2 4
【答案】B
【分析】图中阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．
【详解】解：以OD为半径作弧DN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD=OC，∠DOC=90°，
∵∠EOB=∠FOD，
∴S =S ，
扇形BOM 扇形DON
2
√2
90π×( )
2 1 π 1，
∴S =S −S = − ×1×1= −
阴影 扇形DOC ΔDOC 360 4 8 4
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，解题的关键是求出阴影部分的面积等于扇形DOC的面
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积减去△DOC的面积．
33．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，半径OA=3，则图中阴影部分的面
积是 ，（结果保留π）
【答案】3π
【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式
是解题的关键．根据等边三角形的性质可得S =S ，∠AOC=120°，将阴影部分的面积转化为扇
ΔCOB ΔAOC
形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴S =S ，∠AOC=120°，
ΔCOB ΔAOC
∵⊙O的半径为3，
120⋅π×32
∴S =S = =3π，
阴影 扇形AOC 360
故答案为：3π．
34．（2023·江苏南通·统考二模）如图，在⊙O中，弦AB垂直于半径OC，垂足为D，点E在OC的延长
线上，且∠EAC=∠CAB．
(1)求证：直线AE是⊙O的切线；
1
(2)若OE=6,sin∠E= ，求图中阴影部分的面积．
2
【答案】(1)见解析
3π
(2)S =
阴影 2
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【分析】（1）连接OA．根据半径相等可得∠OAC=∠OCA，根据∠OCA+∠CAB=90°，
∠EAC=∠CAB，等量代换可得∠OAC+∠EAC=90°，即可得证；
1
（2）连接OB，根据特殊角的三角函数值得出∠E=30°,OA= OE=3，进而可得△OAC是等边三角形．
2
再结合垂径定理，根据S =S ，即可求解．
阴影 扇形BOC
【详解】（1）解：如图，连接OA．
∵OA=OC．
∴∠OAC=∠OCA
∵OC⊥AB，
∴∠ADC=90°
∴∠OCA+∠CAB=90°．
又∵∠EAC=∠CAB,∠OAC=∠OCA．
∴∠OAC+∠EAC=90°，
∴∠OAE=90°．
∴AE⊥OA
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）如图，连接OB．
OA 1
∵在Rt△OAE中，sin∠E= = ，OE=6．
OE 2
1
∴∠E=30°,OA= OE=3
2
∴∠AOC=60°．
又∵OA=OC
∴△OAC是等边三角形．
又∵弦AB垂直于半径OC．
∴OD=DC,AD=BD,A´C=B´C
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∴S =S ,∠BOC=∠AOC=60°．
△OBD △CAD
60π×32 3π
∴S =S = = ．
阴影 扇形BOC 360 2
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，求扇形面积，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知
识，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理是解题的关键．
题型 04 容斥原理
35．（2022上·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、BC、
AC边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当AB=8，BC=4时，则阴影
部分的面积为 ．
【答案】8√3
【分析】根据阴影部分面积等于以AC,BC为直径的2 个半圆的面积加上S 减去AB为半径的半圆面积
△ABC
即S ．
△ABC
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2
∵ AB=8，BC=4
∴AC=√82−42=4√3
1 1 (1 ) 2 1 (1 ) 2 1 (1 ) 2
∴ S = AC⋅BC+ π× AC + π× BC − π× AB
阴影部分 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
= AC⋅BC+ π× (AC2+BC2−AB2)
2 2 4
1
= AC⋅BC
2
1
= ×4√3×4
2
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=8√3．
故答案为：8√3
【点睛】本题考查了勾股定理，求扇形面积，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
36．（2021·广东江门·校考三模）如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，
D两点，弦AF切小半圆于点E．已知AB=4，∠BAF=30°，则图中阴影部分的面积是（ ）
√3 π √3 π √3 π √3 π
A． + B． + C． + D． +
2 3 3 2 2 2 3 3
【答案】A
【分析】连接OE、OF，如图，根据切线的性质得到OE⊥AF，再利用勾股定理计算出EF=√3，计算出
∠FOE=60°，∠BOF=60°，则∠DOE=120°，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积
=S +S −S 进行计算．
扇形BOF △OEF 扇形DOE
【详解】连接OE、OF，如图，
∵弦AF切小半圆于点E，
∴OE⊥AF，
∵AB=4，∠BAF=30°，
∴OA=OB=OF=2，OE=1，
在Rt△OEF中，EF=√22−12=√3，
∵∠BAF=30°，
∴∠OFE=30°，
∴∠FOE=60°，∠OAF=30°，
∴∠BOF=60°，
∴∠DOE=120°，
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图中阴影部分的面积=S +S −S
扇形BOF △OEF 扇形DOE
60×π×22 1 120×π×12
= + ×1×√3−
360 2 360
π √3
= + ．
3 2
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积公式，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
37．（2023·广东肇庆·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，以点C为
圆心，CA长为半径画弧，交BC于点D，交AB于点E，则图中阴影部分的面积是 ．(结果保留π)
π 1
【答案】 / π
3 3
【分析】本题考查不规则图形的面积计算，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质等知识，证明
△ACE是等边三角形，从而得到AB=2AC=4，AC=AE，继而得到S =S −S 从而得解．
阴影 扇形ACE 扇形CDE
掌握扇形面积公式是解题的关键．
【详解】如图，连接CD．
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴∠BAC=60°，AB=2AC=4，BC=√AB2−AC2=2√3，
又∵CA=CE，
∴△ACE是等边三角形
∴∠ACE=60°，∠ECD=30°，
∵AB=4，AC=AE，
∴AE=BE=2，
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∴
1 1
S =S −S +S −S = S −S +S − S =S −S
阴影 △BCE 扇形CDE 扇形ACE △ACE 2 △ABC 扇形CDE 扇形ACE 2 △ABC 扇形ACE 扇形CDE
60°π×22 30°π×22 π
∴S =S −S = − = ．
阴影 扇形ACE 扇形CDE 360° 360° 3
π
故答案为： ．
3
38．（2022·河南·统考中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O'处，得到
扇形A'O'B'．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
π √3
【答案】 +
3 2
【分析】设A'O与扇形AOB交于点C，连接OC，解Rt△OCO'，求得O'C=√3,∠COB=60°，根据阴
影部分的面积为S −(S −S )，即可求解．
扇形A'O'B' 扇形OCB △OCO'
【详解】如图，设A'O与扇形AOB交于点C，连接OC，如图
∵O'是OB的中点
1 1
∴OO'= OB= OA=1, OA＝2，
2 2
∵ ∠AOB＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移，
∴∠A'O'O=90°
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OO' 1
∴cos∠COB= =
OC 2
∴∠COB=60°
∴O'C=OCsin60°=√3
∴阴影部分的面积为S −(S −S )
扇形A'O'B' 扇形OCB △OCO'
=S −S +S
扇形AOB' 扇形OCB △OCO'
90 60 1
= π×22− π×22+ ×1×√3
360 360 2
π √3
= +
3 2
π √3
故答案为： +
3 2
【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得∠COB=60°是解题的关键．
39．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在扇形OAB中，∠AOB=150°，将扇形OAB绕点A顺时针旋转
得到扇形O' AB'，点O的对应点O'恰好落在A´B上，若OA=2，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】π+√3/√3+π
【分析】S =S +S −S ，据此即可求解．
阴影部分 扇形AO'B △AOO' 扇形AOO'
【详解】解：连接OO'，如图：
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由旋转的性质可得：OA=O' A
∵OA=OO'
∴△AOO'是等边三角形
过点O'作O'C⊥OA
∵OO'=2,∠O'OA=60°
∴O'C=OO'×sin∠60°=√3
150° 1 60°
S =S +S −S = ×π×22+ ×2×√3− ×π×22
阴影部分 扇形AO'B △AOO' 扇形AOO' 360° 2 360°
化简得：S =π+√3
阴影部分
故答案为：π+√3
【点睛】本题考查扇形面积及不规则图形面积的计算．抓住S =S +S −S 是解题
阴影部分 扇形AO'B △AOO' 扇形AOO'
关键．
40．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，将直径为4的半圆形分别沿CD，EF折叠使得直径两端点A，
B的对应点都与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
2 2 1 2
A．2√3− π B． π−2√3 C．2√3− π D． π−√3
3 3 3 3
【答案】A
【分析】连接AC,OC,BE,OE，可推出△ACO,△BEO,△COE是边长为2的等边三角形，进一步可得
S =2S −S ，即可求解．
阴影部分 △ACO 扇形AOC
【详解】解：连接AC,OC,BE,OE，如图所示：
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由折叠可知：AC=OC,BE=OE，CD⊥AB,EF⊥AB
1
∵OC=OE=OA=OB= AB=2
2
∴△ACO,△BEO是边长为2的等边三角形
∴∠AOC=∠BOE=60°
∴∠COE=60°
∴△COE也是边长为2的等边三角形
S =S −2(S −S )=S −2S +2S
阴影部分 扇形COE 扇形AOC △ACO 扇形COE 扇形AOC △ACO
∵S =S
扇形COE 扇形AOC
∴S =2S −S
阴影部分 △ACO 扇形AOC
1
∵OD= AO=1,∠COD=60°
2
∴CD=OD×tan60°=√3
1
∴S = ×2×√3=√3
△ACO 2
60° 3
∵S = ×π×22= π
扇形AOC 360° 3
2
∴S =2S −S =2√3− π
阴影部分 △ACO 扇形AOC 3
故选：A
【点睛】本题考查了圆中不规则图形面积的求解．得出S =2S −S 是解题关键．
阴影部分 △ACO 扇形AOC
41．（2023·江苏泰州·校考三模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以△ABC的三边为直径在BC同侧作半
圆，得两个月牙（图中阴影），过点A作BC的平行线，分别和以AB、BC为直径的半圆交于D、E两点，
若AD=4，AE=5，则阴影部分的面积和为 ．
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【答案】39
【分析】阴影部分的面积可以看成是以AC、AB为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减
去一个以BC为直径的半圆的面积．
【详解】解：设DE交以AC为直径的半圆于F，取BC的中点O，作OG⊥DF于G，连接
CF、BD、OA，
∵AC是直径，
∴∠AFC=90°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°
∵DF∥BC，OG⊥DF，
∴四边形BCFD和四边形DBOG是矩形，
∴BC=DF，OB=DG，
∵AD=4，AE=5，
1
∴AG= AE=2.5，
2
∴DG=AD+AG=6.5，
∴OB=OA=DG=6.5，BC=DF=2OB=13，
∴OG=√OA2−AG2=√6.52−2.52=6，
∴DB=OG=CF=6，
在Rt△ABD中，
AB=√AD2+BD2=√42+62=2√13，
AC=√BC2−AB2=√132−(2√13) 2=3√13，
S =直径为AC的半圆的面积+直径为AB的半圆的面积+S −直径为BC的半圆的面积
阴影 △ABC
1 (AC) 2 1 (AB) 2 1 1 (BC) 2
= π + π + AC×AB− π
2 2 2 2 2 2 2
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1 1 1 1
= π(AC) 2+ π(AB) 2− π(BC) 2+ AC×AB
8 8 8 2
1 1
= π(AC2+AB2−BC2)+ AC×BC
8 2
1
= AC×BC
2
1
= ×2√13×3√13
2
=39
故答案为39．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
42．（2022·山西长治·统考一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=12，BC=6，以
AB为直径的圆与以BC为直径的圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】9√3−3π/−3π+9√3
【分析】取AB,BC的中点E，O，连接DE,DO,DB，如图，根据S =S −S +S ，想办
阴影 △BCD 弓形BD 弓形CD
法分别求出阴影部分涉及的三个图形的面积即可．
【详解】解：取AB,BC的中点E，O，连接DE,DO,DB，如图，
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AC=12，BC=6，
BC 1
∴sinA= = ，AB=√122−62=6√3，
AC 2
∴∠A=30°,∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
1
∴∠ABD=60°，AD=AB⋅cosA=9,BD= AB=3√3，
2
∴CD=12−9=3，
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∵E为AB中点，
1 1 1 1 27√3
∴DE=BE= AB，S = S = × ×9×3√3= ，
2 △BED 2 △ABD 2 2 4
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BED=60°，
1 27√3 9π 27√3
∴S =S −S = π×(3√3) 2 − = − ，
弓形BD 扇形BED △BED 6 4 2 4
∵OD=OC,∠C=60°，
∴△OCD是等边三角形，
1
∴∠DOC=60°，且OC= BC=3，
2
1 3π
∴S = π×32= ，
扇形DOC 6 2
3π √3 3π 9√3
∴S =S −S = − ×32= − ，
弓形DC 扇形ODC △DOC 2 4 2 4
∴S =S −S +S = 1 ×3×3√3− (9π − 27 √3 ) + (3π − 9√3) =9√3−3π
阴影 △BCD 弓形BD 弓形CD 2 2 4 2 4
故答案为：9√3−3π．
【点睛】本题考查了圆的综合，涉及扇形面积的计算、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、解直角三
角形、勾股定理等知识，明确求解的思路、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
43．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，
AC=4，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D．
则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
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20
【答案】 π−8√3
3
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BCD与扇形ACE的面积之和与Rt△ABC的面积之差．
【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，
∴∠B=30°，BC=√3AC=4√3，
30π⋅(4√3) 2 60π⋅42 1 20
∴阴影部分的面积S=S +S −S = + − ×4×4√3= π−8√3，
扇形BCD 扇形ACE ΔACB 360 360 2 3
20
故答案为： π−8√3．
3
【点睛】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解答．
54
