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第九章 直线和圆的方程
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
直线与圆、圆与圆 点到直线的距离 公式法 数学运算
２０２１新高考 １１ ５ 多项选择题 中
Ⅰ， 的位置关系 公式、圆的方程及应用 直接法 数学抽象
２０２１全国乙文 １４ ５ 填空题 易 直线的方程 点到直线的距离 直接法 数学运算
，
直线与圆、圆与 数学运算
２０２０课标 理 １１ ５ 单项选择题 中 直线与圆相切、直线方程 数形结合法
Ⅰ ， 圆的位置关系 逻辑推理
直线与圆的 半径、弦长的一半、 数学运算
２０２０课标 文 ６ ５ 单项选择题 易 数形结合法
Ⅰ ， 位置关系 弦心距的关系 逻辑推理
命题规律与备考策略
考查内容 本章考查的内容主要有 给出条件求解直线方程与圆的 要为课程学习情境 重点考查数学运算 逻辑推理 直观想象的核心
：① ， 、 、
方程 以直线 圆的位置关系为背景考查与圆相关的弦 弦中点 切 素养．
；② 、 、 、
线及最值等问题 结合直线方程的特征考查倾斜角 斜率范围和平 复习建议 本章内容分两节 复习时可以分为两大专题 一 有关直
；③ 、 ， ：（ ）
面图形面积的计算问题 直线 圆及圆锥曲线常综合考查 同时考查 线与圆的方程的求解 二 直线与圆的位置关系及相关问题的求解．
；④ 、 ， ；（ ）
一元二次方程相关知识 整体代换思想的应用等． 还需结合直线方程 圆的方程的求解方法进行复习 体会方程思想在
， 、 ，
题型赋分 本章内容中涉及的考题 难度以中档为主 题型主要以选 求解中的灵活运用 体会在处理直线与圆的位置关系及弦长问题时用
， ， ，
择题 填空题的形式出现 偶以解答题形式出现 分值约为 分． 几何法求解的思路．
、 ， ， ５
命题特点 近几年对本章内容的考查方式及题目难度变化不大 主要 备考策略 针对本章的知识特点 备考时要突出重点和细化考点 和
， ， ，
考查直线 圆的方程及位置关系 考查直线方程的求解 直线过定点问 其他知识的交汇融合点应予以重点关注 例如与基本不等式 函数等
、 ， 、 ， 、
题的求解 含参直线方程中参数取值范围的求解 直线与圆位置关系 知识相结合的最值问题等．同时注重数形结合思想 等价转化等思想方
、 、 、
中涉及弦长与切线方程的求解 以常规题型 常规解法为主要方向 常 法的应用．
， 、 ，
结合基本不等式 函数 三角形面积等知识考查最值问题．试题情境主
、 、４ ６２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§９．１ 直线方程与圆的方程
直线的方程 学生用书Ｐ１５５
１．（２０２０课标 文，８，５分）点 到直线ｙ ｋ ｘ 距离的
Ⅲ （０，－１） ＝ （ ＋１）
最大值为
（ ）
Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ．２ ８ ４
１． 答案 Ｂ Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．
３ ３
２．（２０１９上海春，１６，５分）以 ａ ａ 为圆心的两圆均过 答案 Ｄ 以 ＡＢ 为 ｘ 轴 ＡＣ 为 ｙ 轴建立如图所示的坐标
（ １，０），（ ２，０） ，
与ｙ轴正半轴分别交于 ｙ ｙ 且满足 ｙ 系 由题可知Ｂ Ｃ Ａ 则直线 ＢＣ 的方程
（１，０）， （０， １），（０， ２）， ｌｎ １＋ ， （４，０）， （０，４）， （０，０），
( ) 为ｘ ｙ ．
ｙ 则点 １ １ 的轨迹是 ＋ －４＝０
ｌｎ ２＝０， ａ ，ａ （ ）
１ ２
直线 圆 椭圆 双曲线
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２． 答案 Ａ
ｘ２ ｙ２
３．（２０２１全国乙文，１４，５分）双曲线 的右焦点到直线
－ ＝１
４ ５
ｘ ｙ 的距离为 ．
＋２ －８＝０
设Ｐ ｔ ｔ 由对称知识可得点Ｐ关于直线ＢＣ的对称
３． 答案 （ ，０）（０＜ ＜４），
５ 点Ｐ 的坐标为 ｔ 点Ｐ关于ｙ轴的对称点Ｐ 的坐标为
以下为教师用书专用（１—２） ｔ １ 根据反 （ 射 ４， 定 ４－ 理 ） 可 ， 知 Ｐ Ｐ 就是光线 ＲＱ 所 ２ 在直线．由
（－，０）， １ ２
１．（２０１４四川文，９，５分）设ｍ Ｒ 过定点Ａ的动直线ｘ ｍｙ ｔ
∈ ， ＋ ＝０ Ｐ Ｐ 两点坐标可得直线 Ｐ Ｐ 的方程为 ｙ ４－ ｘ ｔ 设
和过定点Ｂ的动直线ｍｘ ｙ ｍ 交于点Ｐ ｘ ｙ 则 ＰＡ １、 ２ １ ２ ＝ ｔ（ ＋），
－ － ＋３＝０ （ ， ）， ｜ ｜＋ ４＋
ＰＢ 的取值范围是 ( ) ( )
｜ ｜ （ ） ＡＢＣ的重心为Ｇ 易知Ｇ ４ ４ ．因为重心Ｇ ４ ４ 在光
△ ， ， ，
３ ３ ３ ３
Ａ．［ ５，２ ５］ Ｂ．［ １０，２ ５］ ｔ( )
线ＲＱ上 所以有 ４ ４－ ４ ｔ 即 ｔ２ ｔ ．
Ｃ．［ １０，４ ５］ Ｄ．［２ ５，４ ５］ ， ＝ ｔ ＋ ， ３ －４ ＝０
答案 Ｂ 直线ｘ ｍｙ 过定点Ａ 直线ｍｘ ｙ ｍ ３ ４＋ ３
＋ ＝０ （０，０）， － － ＋３＝
过定点Ｂ ． 所以ｔ 或ｔ ４ 因为 ｔ 所以ｔ ４ 即ＡＰ ４ 故选 ．
０ （１，３） ＝０ ＝ ， ０＜ ＜４， ＝ ， ＝ ， Ｄ
当ｍ 时 过定点Ａ的直线方程为ｘ 过定点Ｂ的直线方程 ３ ３ ３
① ＝０ ， ＝０，
为ｙ 两条直线互相垂直 此时Ｐ ＰＡ ＰＢ ．
＝３， ， （０，３），∴ ｜ ｜＋｜ ｜＝４ 圆的方程 学生用书Ｐ１５５
当ｍ 时 直线ｘ ｍｙ 的斜率为 １ 直线ｍｘ ｙ ｍ
② ≠０ ， ＋ ＝０ －ｍ， － － ＋３＝ １．（２０２０课标 ，文８，理５，５分）若过点 的圆与两坐标轴
Ⅱ （２，１）
都相切 则圆心到直线 ｘ ｙ 的距离为
的斜率为ｍ． １ ｍ 两条直线互相垂直 即点Ｐ可 ， ２ － －３＝０ （ ）
０ ∵ －ｍ× ＝－１，∴ ，
５ ２ ５ ３ ５ ４ ５
视为以ＡＢ为直径的圆上的点．当点Ｐ与点Ａ或点Ｂ重合时 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
， ５ ５ ５ ５
ＰＡ ＰＢ 有最小值 ．当点 Ｐ 不与点 Ａ 点 Ｂ 重合时 １． 答案 Ｂ
｜ ｜＋｜ ｜ １０ ， ，
ＰＡＢ为直角三角形 且 ＰＡ ２ ＰＢ ２ ＡＢ ２ ．由不等式 ２．（２０２０北京，５，４分）已知半径为 的圆经过点 则其圆
△ ， ｜ ｜ ＋｜ ｜ ＝｜ ｜ ＝１０ １ （３，４），
心到原点的距离的最小值为
性质知 ＰＡ ＰＢ ｜ ＰＡ ｜ ２ ＋｜ ＰＢ ｜ ２ ＰＡ ＰＢ （ ）
｜ ｜＋｜ ｜≤２ ＝２ ５，∴ ｜ ｜＋｜ ｜
２ Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７
２． 答案 Ａ
．
∈［ １０，２ ５］
(
综合 得 ＰＡ ＰＢ ． ３．（２０２０江苏，１４，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已知Ｐ ３
①② ｜ ｜＋｜ ｜∈［ １０，２ ５］ ， ，
评析 本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质，解 ２
) ( )
答本题的关键是找到点Ｐ的轨迹．属中档题． Ａ Ｂ 是圆 Ｃ ｘ２ ｙ １ ２ 上的两个动点 满足 ＰＡ
０ ， ， ： ＋ － ＝３６ ， ＝
２．（２０１３湖南理，８，５分）在等腰直角三角形ＡＢＣ中 ＡＢ ＡＣ ２
， ＝ ＝４， ＰＢ 则 ＰＡＢ面积的最大值是 ．
点Ｐ是边ＡＢ上异于Ａ Ｂ的一点．光线从点Ｐ出发 经ＢＣ ＣＡ ， △
， ， ， ３． 答案
反射后又回到点Ｐ 如图 ．若光线 ＱＲ 经过 ＡＢＣ 的重心 则 １０ ５
（ ） △ ， ４．（２０１８天津文，１２，５ 分）在平面直角坐标系中 经过三点
ＡＰ等于 ， （０，
（ ） 的圆的方程为 ．
０），（１，１），（２，０）
４． 答案 ｘ２ ｙ２ ｘ
＋ －２ ＝０
第九章 直线和圆的方程 ４ ６３
解析 解法一 根据题意画出图形如 ３．（２０１５北京文，２，５分）圆心为 且过原点的圆的方程是
： （１，１）
图所示
， （ ）
结合图形知经过三点 ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２
（０，０），（１，１），（２， Ａ．（ －１） ＋（ －１） ＝１ Ｂ．（ ＋１） ＋（ ＋１） ＝１
的圆 ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２
０） ， Ｃ．（ ＋１） ＋（ ＋１） ＝２ Ｄ．（ －１） ＋（ －１） ＝２
其圆心为 半径为 则该圆的方 答案 Ｄ 由题意得圆的半径为 故该圆的方程为 ｘ
（１，０）， １， ２， （ －
程为 （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝１ ． １） ２ ＋（ ｙ －１） ２ ＝２， 故选 Ｄ ．
即ｘ２ ｙ２ ｘ ． ４．（２０１６天津文，１２，５分）已知圆Ｃ的圆心在ｘ轴的正半轴上
＋ －２ ＝０ ，
解法二 设所求圆的方程为ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ
： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０（ ＋ －４ ＞
点Ｍ 在圆Ｃ上 且圆心到直线 ｘ ｙ 的距离为４ ５
０）， （０， ５） ， ２ － ＝０ ，
{Ｆ
＝０，
{Ｄ
＝－２， 则圆Ｃ的方程为 ．
５
由已知条件可得 １ ２ ＋１ ２ ＋ Ｄ ＋ Ｅ ＋ Ｆ ＝０， 解得 Ｅ ＝０， 答案 （ ｘ －２） ２ ＋ ｙ２ ＝９
２ ２ ＋２ Ｄ ＋ Ｆ ＝０， Ｆ ＝０， 解析 设圆Ｃ的方程为 （ ｘ － ａ ） ２ ＋ ｙ２ ＝ ｒ２ （ ａ ＞０），
所
（ １
以
）
方
利
所
法
用
求
总
圆
圆
结
的
的
几
方
常
何
程
见
特
为
的
征
ｘ
求
２
，
＋
圆
求
ｙ２
的
出
－２
方
圆
ｘ ＝
程
心
０
的
．
坐
方
标
法
和
：
半径长，从而写出圆
由题意可得
ì
î
í
ï ï
ïï
｜２
５
ａ
ａ
｜
＝
２
４
５
５
，
２ ｒ２
解得
{ａ
ｒ２
＝
＝
２
９
，
，
所以圆 Ｃ 的方程
的标准方程． （－ ） ＋（ ５） ＝ ，
为 ｘ ２ ｙ２ ．
（ ）利用待定系数法．若利用所给条件易求圆心的坐标和半径 （ －２） ＋ ＝９
２ 方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法，一般步
长，则常用标准方程求解；若所给条件与圆心、半径关系不密
骤为 设出圆的方程； 列出关于系数的方程组，并求出各系
切或涉及圆上多点，则常用一般方程求解． ① ②
数的值； 检验各值是否符合题意，并写出满足题意的圆的方
③
以下为教师用书专用（１—６） 程．有时也可利用圆的几何性质进行求解．
１．（２０１５课标 理，７，５分）过三点Ａ Ｂ Ｃ 的 评析 本题主要考查点与圆的位置关系，点到直线的距离公
Ⅱ （１，３）， （４，２）， （１，－７）
圆交ｙ轴于Ｍ Ｎ两点 则 ＭＮ 式以及圆的方程的求法，考查方程思想方法的应用，注意圆心
， ， ｜ ｜＝ （ ）
的横坐标的取值范围是解决本题的关键．
Ａ．２ ６ Ｂ．８ Ｃ．４ ６ Ｄ．１０
答案 Ｃ 设圆心为Ｐ （ ａ ， ｂ ）， 由点Ａ （１，３）， Ｃ （１，－７） 在圆 ５．（２０１５课标 Ⅰ 理，１４，５分）一个圆经过椭圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１ 的三个
１６ ４
上 ， 知ｂ ＝ ３－７ ＝－２ ．再由 ｜ ＰＡ ｜ ＝ ｜ ＰＢ ｜， 得 ａ ＝１ ．则 Ｐ （１，－２）， 顶点 且圆心在 ｘ 轴的正半轴上 则该圆的标准方程为
２ ， ，
．
ＰＡ ２ ２ 于是圆Ｐ的方程为 ｘ ２ ｙ
｜ ｜＝ （１－１） ＋（３＋２） ＝５， （ －１） ＋（ ( )
２
＋２） ２ ＝２５ ．令ｘ ＝０， 得ｙ ＝－２±２ ６， 则 ｜ ＭＮ ｜＝｜（－２＋２ ６）－（－２－ 答案 ｘ － ３ ＋ ｙ２ ＝ ２５
２ ４
． 解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点 Ａ Ｂ
２ ６）｜＝４ ６ （４，０）、 （０，
２．（２０１５课标 文，７，５ 分）已知三点 Ａ Ｂ Ｃ Ｃ ．易知线段ＡＢ的垂直平分线的方程为 ｘ ｙ ．
Ⅱ （１，０）， （０， ３）， （２， ２）、 （０，－２） ２ － －３＝０
( )
则 ＡＢＣ外接圆的圆心到原点的距离为
３）， △ （ ） 令ｙ 得ｘ ３ 所以圆心坐标为 ３ 则半径ｒ ３
＝０， ＝ ， ，０ ， ＝４－ ＝
２ ２ ２
５ ２１ ２ ５ ４ ( )
Ａ．
３
Ｂ．
３
Ｃ．
３
Ｄ．
３
５ ．故该圆的标准方程为 ｘ
－
３ ２
＋
ｙ２
＝
２５．
答案 Ｂ 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中画出 ＡＢＣ 易知 ２ ２ ４
△ ， 评析 本题考查圆和椭圆的方程，求出圆心坐标是解题关键．
ＡＢＣ是边长为 的正三角形 其外接圆的圆心为 Ｄ
△ ２ ， ６．（２０１４陕西理，１２，５分）若圆Ｃ的半径为 其圆心与点
１， （１，０）
æ è ç １， ２ ３ ３ ö ø ÷．因此 ｜ ＯＤ ｜＝ １ ２ ＋ æ è ç２ ３ ３ ö ø ÷ ２ ＝ ３ ７ ＝ ３ ２１．故选 Ｂ ． 关于 答 直 案 线 ｘ ｙ ２ ＝ ＋（ ｘ ｙ 对 －１ 称 ） ， ２ 则 ＝１ 圆Ｃ的标准方程为 ．
解析 根据题意得点 关于直线ｙ ｘ对称的点 为
（１，０） ＝ （０，１）
圆心 又半径ｒ 所以圆Ｃ的标准方程为ｘ２ ｙ ２ ．
， ＝１， ＋（ －１） ＝１
４ ６４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
学生用书Ｐ１５５
1
考点 直线的方程
１．直线的倾斜角与斜率
名称 定义 范围 联系
当直线ｌ与ｘ轴
相交时 我们取ｘ 当直线不垂直于ｘ轴 即
， （１） ，
轴作为基准 ｘ
， α π 时 直线的斜率和直
倾斜角 轴正向与直线ｌ α ≠ ２ ，
０≤ ＜π 向上的方向之间 线的倾斜角为一一对应关系．
[ )
所成的角α叫做 当α π 时 α越
（２） ∈ ０， ，
直线ｌ的倾斜角 ２
大 直线ｌ的斜率 越大 当
， ② ；
倾斜角不是 ° ( ) ９０ α π 时 α 越大 直
的直线 它的倾 ∈ ，π ， ， ， ２
斜 角 α 的 线ｌ的斜率也 越大．
斜率 ｋ Ｒ ③
正切值叫做 ∈ 所有的直线都有倾斜角
① （３） ，
这条直线的斜 但不是所有的直线都有斜率
率 记为ｋ
，
２．直线方程的几种形式
名称 条件 方程 适用范围
斜率 ｋ 与点 ｘ 直线 的 斜 率 必
点斜式 （ ０， ｙ ｙ ｋ（ｘ ｘ）
ｙ ④ － ０＝ － ０ 存在
０）
斜率ｋ与直线在ｙ 直线 的 斜 率 必
斜截式 ｙ ｋｘ ｂ
轴上的截距ｂ ＝ ＋ 存在
两点 ｘ ｙ ｙ ｙ ｘ ｘ 直线的斜率必存
两点式 （ １， １）， － １ － １
ｘ ｙ ｙ ｙ ＝ｘ ｘ 在且不为零
（ ２， ２） ２－ １ ２－ １
直线在 ｘ 轴上的 直线的斜率必存
ｘ ｙ
截距式 截距ａ与直线在ｙ 在且不为零 且直 ａ ＋ ｂ ＝１ ，
轴上的截距ｂ 线不过原点
Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ２ 平面直角坐标系
一般式 ＋ ＋ ＝０（ ＋
——— Ｂ２ 内的所有直线
≠０）
当直线与ｘ轴不垂直时 直线的方程可设为ｙ ｋｘ ｂ 当直线与
， ＝ ＋ ；
ｙ轴不垂直时 直线的方程可设为ｘ ｍｙ ｎ 注意理解ｍ ｎ的含义．
， ＝ ＋ ， 、
-@
符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线
系方程有如下几种：
（ ）过定点Ｍ（ｘ ，ｙ ）的直线系方程为 ｙ ｙ ｋ（ｘ ｘ ）
１ ０ ０ － ０＝ － ０
（这个直线系方程中不包含直线ｘ ｘ ）； ＝ ０
（ ）和直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 平行的直线系方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ′
２ ＋ ＋ ＝０ ＋ ＋
（Ｃ′ Ｃ）；
＝０ ≠
（ ）和直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 垂直的直线系方程为Ｂｘ Ａｙ Ｃ′
３ ＋ ＋ ＝０ － ＋
；
＝０
（ ）经过两相交直线Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ （Ａ２ Ｂ２ ）和Ａ ｘ
４ １ ＋ １ ＋ １＝０ １＋ １≠０ ２ ＋
Ｂ ｙ Ｃ （Ａ２ Ｂ２ ）的交点的直线系方程为Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ λ
２ ＋ ２＝０ ２＋ ２≠０ １ ＋ １ ＋ １＋
（Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ ） （这个直线系不包括直线Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ ）．
２ ＋ ２ ＋ ２ ＝０ ２ ＋ ２ ＋ ２＝０
2
考点 圆的方程
１．圆的标准方程
方程 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ ｒ 表示圆心为 （ａ，ｂ） （１） （ － ） ＋（ － ） ＝ （ ＞０） ⑤ ，
半径为ｒ的圆的标准方程
；
特别地 以原点为圆心 ｒ ｒ 为半径的圆的标准方程
（２） ， ， （ ＞０）
为 ｘ２ ｙ２ ｒ２ ．
⑥ ＋ ＝
２．圆的一般方程
( Ｄ ) ２ ( Ｅ ) ２ 方程ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ 可变形为 ｘ ｙ
＋ ＋ ＋ ＋ ＝０ ⑦ ＋ ＋ ＋ ＝
２ ２
Ｄ２ Ｅ２ Ｆ
＋ －４ ．
４
( Ｄ Ｅ ) 当Ｄ２ Ｅ２ Ｆ 时 方程表示以 为圆心
（１） ＋ －４ ＞０ ， － ，－ ，
２ ２
Ｄ２ Ｅ２ Ｆ
＋ －４ 为半径的圆
；
２
( Ｄ Ｅ )
当Ｄ２ Ｅ２ Ｆ 时 方程表示一个点
（２） ＋ －４ ＝０ ， － ，－ ；
２ ２
当Ｄ２ Ｅ２ Ｆ 时 方程不表示任何图形
（３） ＋ －４ ＜０ ， ；
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径
（４） ，
而一般方程突出了方程形式的特点 ｘ２ 和ｙ２ 的系数相等且不
：ａ．
为 没有ｘｙ这样的二次项
０，ｂ． ；
Ａ Ｃ 且Ｂ 是方程Ａｘ２ Ｂｘｙ Ｃｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ 表
（５） ＝ ≠０ ＝０ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０
示圆的必要不充分条件
；
已知Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 则以ＰＱ为直径的圆的方程
（６） （ １， １）， （ ２， ２），
为 ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ ．
（ － １）（ － ２）＋（ － １）（ － ２）＝０
３．点Ｐ ｘ ，ｙ 与圆 ｘ－ａ ２＋ ｙ－ｂ ２＝ｒ２ 的位置关系
（ ０ ０） （ ） （ ）
若 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 则点Ｐ在圆外 （１） （ ０－ ） ＋（ ０－ ） ＞ ， ；
若 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 则点Ｐ在圆上
（２） （ ０－ ） ＋（ ０－ ） ＝ ， ；
若 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 则点Ｐ在圆内．
（３） （ ０－ ） ＋（ ０－ ） ＜ ，
平面上定点 Ａ 与圆 Ｐ 上动点 Ｂ 之间距离的最大值为
ＰＡ ｒ 最小值为 ＰＡ ｒ 其中ｒ为圆Ｐ的半径 ．
⑧ ｜ ｜＋ ， ⑨ ｜｜ ｜－ ｜ （ ）
-@
具有某些共同特征的圆的集合称为圆系，它们的方程叫
做圆系方程．常见的圆系方程有如下几种：
（ ）过直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 与圆ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ （Ｄ２ Ｅ２
１ ＋ ＋ ＝０ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０ ＋
Ｆ ）交点的圆系方程为ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ λ（Ａｘ Ｂｙ Ｃ） －４ ＞０ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝
（λ Ｒ）． ０ ∈
（ ）过圆Ｃ ：ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ （Ｄ２ Ｅ２ Ｆ ）和圆
２ １ ＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＝０ １＋ １－４ １＞０
Ｃ ：ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ （Ｄ２ Ｅ２ Ｆ ）交点的圆系方程
２ ＋ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２＝０ ２＋ ２－４ ２＞０
为ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ λ（ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ ） （λ ）
＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＋ ＋ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ０ ≠－１
（其中不含圆 Ｃ ，因此注意检验 Ｃ 是否满足题意，以防丢
２ ２
解）．
第九章 直线和圆的方程 ４ ６５
学生用书Ｐ１５６
一、求直线方程的方法 ２．求圆的方程的方法
１．求直线方程可分为两种类型 待定系数法 根据题意 选择方程形式 标准方程或一
（１） ：① ， （
一是根据题目条件选择相应的直线方程形式 写出方程 这 般方程 根据条件列出关于ａ ｂ ｒ或Ｄ Ｅ Ｆ的方程组 解
， ， ）；② ， ， ， ， ；③
是直接法 二是根据直线在题目中所具有的某些性质 先设出方 出ａ ｂ ｒ或Ｄ Ｅ Ｆ 代入所选的方程中即可．
； ， ， ， ， ， ，
程 含参数或待定系数 再确定其中的参数值 然后写出方程 几何法 在求圆的方程的过程中 常利用圆的一些性质
（ ）， ， ， （２） ： ，
这是间接法． 或定理直接求出圆心和半径 进而可写出标准方程．常用的几何
，
２．求直线方程应注意的问题 性质 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 圆心在任一弦
：① ；②
选择直线方程时 应注意分类讨论思想的应用 选用点 的中垂线上 两圆内切或外切时 切点与两圆圆心在一条直
（１） ， ， ；③ ，
斜式或斜截式时 需讨论直线的斜率是否存在 选用截距式时 线上．
， ； ，
需讨论直线是否过原点． 例２ 已知圆Ｃ的圆心在直线ｘ
＋
ｙ
＝０
上
，
圆Ｃ与直线ｘ
－
ｙ
＝０
求直线方程时 如果没有特别要求 求出的方程应化为 相切 且截直线ｘ ｙ 所得的弦长为 则圆 Ｃ 的方程为
（２） ， ， ， － －３＝０ ６，
一般式Ａｘ
＋
Ｂｙ
＋
Ｃ
＝０（
Ａ２
＋
Ｂ２
≠０）
． ．
例１ 已知 ＡＢＣ的三个顶点分别为 Ａ Ｂ 解题思路
△ （－３，０）， （２，１），
Ｃ ．求 思路一 几何法 欲求圆Ｃ的方程 只需确定圆心和半径．
（－２，３） ： （ ）： ，
ＢＣ边所在直线的方程 利用题目条件 根据几何性质确定圆心和半径．
（１） ； ，
ＢＣ边上的中线ＡＤ所在直线的方程 思路二 待定系数法 设圆的标准方程为 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２
（２） ； （ ）： （ － ） ＋（ － ）
ＢＣ边的垂直平分线ＤＥ的方程． ｒ２ ｒ 分别依据题目条件列出关于ａ ｂ ｒ的方程 联立解得
（３） ＝ （ ＞０）， ， ， ，
解题思路 ａ ｂ ｒ 从而得圆的方程．
， ， ，
欲求ＢＣ边所在直线的方程 只需利用直线的两点式方 思路三 待定系数法 设圆的一般方程为ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ
（１） ， （ ）： ＋ ＋ ＋ ＋
程即可得．
＝０（
Ｄ２
＋
Ｅ２
－４
Ｆ
＞０），
依据题目条件列出关于Ｄ
，
Ｅ
，
Ｆ的方程
，
联
欲求ＢＣ边上的中线ＡＤ所在直线的方程 需先利用中点坐 立解得Ｄ Ｅ Ｆ 从而得圆的方程．
， ， ，
（２） ，
标公式求得线段ＢＣ的中点Ｄ 考虑到Ａ Ｄ两点分别在ｘ轴 解析 解法一 ：∵ 所求圆的圆心在直线ｘ ＋ ｙ ＝０ 上 ，
（０，２）， 、 、
ｙ轴上 利用截距式即可得ＢＣ边上的中线ＡＤ所在直线的方程． ∴ 可设所求圆的圆心为 （ ａ ，－ ａ ） ．
，
ａ
欲求ＢＣ边的垂直平分线ＤＥ的方程 需求线段ＢＣ的中 所求圆与直线ｘ ｙ 相切 半径ｒ ２｜ ｜ ａ ．
（３） ， ∵ － ＝０ ，∴ ＝ ＝ ２｜ ｜
点Ｄ 第 问已得 和中垂线ＤＥ的斜率 用两直线垂直来求
（ （２） ） （ ）， ２
进而利用斜截式可得． 又所求圆截直线ｘ ｙ 所得的弦长为 圆心 ａ ａ
－ －３＝０ ６， （ ，－ ）
ｙ ｘ ａ
解析 ＢＣ边所在直线的方程为 －１ －２ 化简得ｘ 到直线ｘ ｙ 的距离ｄ ｜２ －３｜
（１） ＝ ， ＋ － －３＝０ ＝ ，
３－１ －２－２ ２
２ ｙ －４＝０ ． ｄ２ æ ç ６ ö ÷ ２ ｒ２ 即（２ ａ －３） ２ ３ ａ２ 解得ａ
线段ＢＣ的中点Ｄ的坐标为 可得ＢＣ边上的中线 ∴ ＋è ø ＝ ， ＋ ＝２ ， ＝１，
（２） （０，２）， ２ ２ ２
ＡＤ所在直线的方程为 ｘ ｙ 即 ｘ ｙ ． ∴ 圆Ｃ的方程为 （ ｘ －１） ２ ＋（ ｙ ＋１） ２ ＝２ ．
－３ ＋ ２ ＝１， ２ －３ ＋６＝０ 解法二 ： 设所求圆的方程为 （ ｘ － ａ ） ２ ＋（ ｙ － ｂ ） ２ ＝ ｒ２ （ ｒ ＞０），
ａ ｂ
（３） 由题意得ｋ ＤＥ＝－ｋ １ ＢＣ ＝２ ． ∴ ＢＣ边的垂直平分线ＤＥ的方 则圆心 （ ａ ， ｂ ） 到直线ｘ － ｙ －３＝０ 的距离ｄ ＝ ｜ － －３｜ ，
２
程为ｙ ｘ ．
＝２ ＋２ ａ ｂ ２
１－１ 已知点Ａ Ｂ 若直线ｌ过原点 且Ａ Ｂ两 ∴ ｒ２ ＝ （ － －３） ＋ ３ ， 即 ２ ｒ２ ＝（ ａ － ｂ －３） ２ ＋３ ． ①
（－１，２）， （１，４）， ， ， ２ ２
点到直线ｌ的距离相等 则直线ｌ的方程为 ａ ｂ
， （ ） 所求圆与直线ｘ ｙ 相切 ｜ － ｜ ｒ
ｙ ｘ或ｘ ｙ ｘ或ｙ ∵ － ＝０ ，∴ ＝ ，
Ａ． ＝ ＝０ Ｂ． ＝ ＝０ ２
ｙ ｘ或ｙ ｘ ｙ ｘ或ｙ １ ｘ 即 （ ａ － ｂ ） ２ ＝２ ｒ２． ②
Ｃ． ＝ ＝－４ Ｄ． ＝ ＝ 又 圆心在直线ｘ ｙ 上 ａ ｂ ．
２ ∵ ＋ ＝０ ，∴ ＋ ＝０③
１－１． 答案 Ａ {ａ
＝１，
解题突破 按题意分点Ａ，Ｂ在直线的同侧和异侧展开 联立 解得 ｂ
①②③， ＝－１，
讨论．
ｒ
＝ ２，
二、求圆的方程的方法 故圆Ｃ的方程为 ｘ ２ ｙ ２ ．
（ －１） ＋（ ＋１） ＝２
１．选择方程的原则 解法三 设所求圆的方程为ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ Ｄ２ Ｅ２
： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０（ ＋ －
（１） 已知条件多与圆心 、 半径有关 ， 或与切线 、 弦长 、 弧长 、 圆心 Ｆ 则圆心为 ( Ｄ Ｅ ) 半径ｒ Ｄ２ ＋ Ｅ２ －４ Ｆ ．
角 距离等有关 则设圆的标准方程为 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ ｒ ４ ＞０）， － ，－ ， ＝
、 ， （ － ） ＋（ － ） ＝ （ ＞０）； ２ ２ ２
已知圆上的三个点的坐标时 设圆的一般方程为ｘ２ ｙ２ Ｄ Ｅ
（２） ， ＋ ＋ 圆心在直线ｘ ｙ 上 即Ｄ Ｅ ．
Ｄｘ Ｅｙ Ｆ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ ． ∵ ＋ ＝０ ，∴ － － ＝０， ＋ ＝０①
＋ ＋ ＝０（ ＋ －４ ＞０） ２ ２
４ ６６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
又 圆Ｃ与直线ｘ ｙ 相切 { ｘ ｘ ｙ ｙ
∵ － ＝０ ， Ａ １＋ ２ Ｂ １＋ ２ Ｃ
Ｄ Ｅ 于对称轴 ｌ 由方程组 · ＋ · ＋ ＝０，可得到点 Ｐ
， ２ ２ １
－ ＋ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ Ａ ｙ ｙ Ｂ ｘ ｘ
∴ ２ ２ ＝ ＋ －４ ， 即Ｄ２ ＋ Ｅ２ ＋２ ＤＥ －８ Ｆ ＝０ ． ② 关于ｌ对称的点Ｐ 的坐标 （ １ ｘ － ２ ｙ ）＝ 其 （ 中 １－ Ａ ２） ｘ ｘ ．
２ ２ ２ （ ２， ２）（ ≠０， １≠ ２）
( Ｄ Ｅ ) 直线关于直线的对称
又知圆心 到直线 ｘ ｙ 的距离 ②
－ ，－ － － ３ ＝ ０ 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决 有两种情
２ ２ ，
Ｄ Ｅ 况 一是已知直线与对称轴相交 二是已知直线与对称轴平行．
： ；
－ ＋ －３ æ ö２ 特别地 点Ｐ ｘ ｙ 关于直线ｘ ａ的对称点为Ｐ′ ａ ｘ
ｄ
＝
２ ２
，
由已知得ｄ２
＋è
ç ６
ø
÷
＝
ｒ２
， ｙ 点Ｐ ｘ
，
ｙ 关
（
于
０，
直
０）
线 ｙ ｂ 的对
＝
称点为 Ｐ′ ｘ ｂ
（
ｙ
２ －
点
０，
２ ２ ０）； （ ０， ０） ＝ （ ０，２ － ０）；
即 Ｄ Ｅ ２ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ ． Ｐ ｘ ｙ 关于直线ｙ ｘ ｃ的对称点为Ｐ′ ｙ ｃ ｘ ｃ 点Ｐ ｘ
（ － ＋６） ＋１２＝
{
２
Ｄ
（ ＋ －４ ） ③
ｙ
（
关
０，
于
０）
直线ｙ ｘ ｃ
＝
的
＋
对称点为Ｐ′ ｃ ｙ
（
ｃ
０－
ｘ
，
．
０＋ ）； （ ０，
＝－２， ０） ＝－ ＋ （ － ０， － ０）
联立 解得 Ｅ 图形的对称问题一般转化为点的对称问题处理 也可利
①②③， ＝２， （３） ，
Ｆ 用坐标转移法解决问题．
＝０，
故圆Ｃ的方程为ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ． 例３ 一束光线经过点Ｐ 射在直线ｌ ｘ ｙ 上 反射后
＋ －２ ＋２ ＝０ （２，３） ： ＋ ＋１＝０ ，
答案 ｘ ２ ｙ ２ 或ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 经过点Ｑ 则入射光线所在直线的方程为 ．
（ －１） ＋（ ＋１） ＝２（ ＋ －２ ＋２ ＝０） （１，１），
２－１ 已知圆心在直线 ｘ ｙ 上 且圆经过点 Ａ 解题思路
－２ －３＝０ ， （２，
Ｂ 则该圆的方程为 ． 欲求入射光线所在直线的方程 需先求出点 Ｑ 关于直线 ｌ
－３）， （－２，－５）， ，
２－１． 答案 ｘ ２ ｙ ２ 或ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 的对称点Ｑ′ 进而利用点斜式写出直线方程．而欲求点 Ｑ′的坐
（ ＋１） ＋（ ＋２） ＝１０（ ＋ ＋２ ＋４ －５＝０） ，
２－２ 已知点Ｐ 圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２ 过Ｐ点 标 只需设出点 Ｑ′的坐标 依据线段 ＱＱ′的中点在直线 ｌ 上和
（－２，－３）， ：（ －４） ＋（ －２） ＝９， ， ，
作圆Ｃ的两条切线 切点分别为Ａ Ｂ． ＱＱ′ ｌ列方程组求解即可．
， 、 ⊥
求过Ｐ Ａ Ｂ三点的圆的方程 解析 设点Ｑ 关于直线ｌ的对称点为Ｑ′ ｘ′ ｙ′ 由已
（１） 、 、 ； （１，１） （ ， ），
求直线ＡＢ的方程． ìｙ′
（２） ï －１
２－２． 解析 如图所示 连接 ＣＡ ＣＢ ＣＰ．由平面几何知识 ïｘ′ ＝１， {ｘ′
（１） ， 、 、 知得í －１ 解得 ＝－２，
知 ＣＡ ＰＡ ＣＢ ＰＢ．则点Ｐ Ａ Ｃ Ｂ共圆 且ＣＰ为直径．该圆也 ïｘ′ ｙ′ ｙ′
， ⊥ ， ⊥ 、 、 、 ， ï ＋１ ＋１ ＝－２，
是过点Ａ Ｂ Ｐ的圆． î ＋ ＋１＝０，
、 、 ２ ２
Ｐ 圆心坐标为Ｃ 即Ｑ′ 由光学知识可知 点Ｑ′在入射光线所在的
∵ （－２，－３）， （４，２）， （－２，－２）， ，
∴
所求圆的方程为
（
ｘ
＋２）（
ｘ
－４）＋（
ｙ
＋３）（
ｙ
－２）＝０，
即ｘ２
＋
ｙ２
直线上 又ｋ ３－（－２） ５ 入射光线所在直线的方程为ｙ
ｘ ｙ ． ， ＰＱ′＝ ＝ ，∴ －
－２ ＋ －１４＝０ ２－（－２） ４
５ ｘ 即 ｘ ｙ ．
３＝ （ －２）， ５ －４ ＋２＝０
４
答案 ｘ ｙ
５ －４ ＋２＝０
３－１ 已知直线ｙ ｘ是 ＡＢＣ中 ＡＣＢ的平分线所在的直线
＝２ △ ∠ ，
若点Ａ Ｂ的坐标分别是 则点Ｃ的坐标为
， （－４，２），（３，１）， （ ）
Ａ．（－２，４） Ｂ．（－２，－４）
直线ＡＢ即为这两个圆的公共弦所在直线． Ｃ．（２，４） Ｄ．（２，－４）
（２） ３－１． 答案 Ｃ
由ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 与 ｘ ２ ｙ ２ 相减
＋ －２ ＋ －１４＝０ （ －４） ＋（ －２） ＝９ ， ３－２ 已知直线ｌ ｘ ｙ 直线ｌ ｘ ｙ 直线ｌ
得 ｘ ｙ ． ：３ ＋４ －１＝０， １：２ ＋ －４＝０， ２
６ ＋５ －２５＝０ 与直线ｌ 关于直线ｌ对称 求直线ｌ 的方程．
三、对称问题的处理方法 １ ， ２
３－２． 解析 直线ｌ ｘ ｙ 的斜率ｋ ３
直线间的对称问题本质是点与点的对称 主要包括中心对 ：３ ＋４ －１＝０ ＝－ ，
， ４
称和轴对称． 直线ｌ ｘ ｙ 的斜率ｋ ．
１：２ ＋ －４＝０ １＝－２
常见对称问题的求解方法 易求ｌ与ｌ 的交点为Ｐ Ｐ也在ｌ 上．
： １ （３，－２）， ２
中心对称 解法一 设ｌ 的方程为ｙ ｋ ｘ ｋ
（１） ： ２ ＋２＝ ２（ －３）（ ２≠０），
标公
①
式
若
得 {
点
ｘ ＝
Ｍ
２
（
ａ
ｘ
－
１，
ｘ １
ｙ
，
１） 与Ｎ （ ｘ ， ｙ ） 关于Ｐ （ ａ ， ｂ ） 对称 ， 则由中点坐 即
在 点
ｋ
ｌ
２
上
ｘ
Ｑ
－
取
ｙ
到
－
一
３
ｌ
ｋ
点
２
ｌ
－
Ｑ
２
的 （
＝
－ 距
０
１
．
， 离 １） 相 ， 等
ｙ ＝２ ｂ － ｙ １ ． ∵ ｋ １、 ｋ ２ ，
②
若直线关于点对称
，
则在已知直线上取两点
，
利用中点坐
∴
｜－ ２－１－３ ２－２｜
＝
｜－２＋１－４｜
，
标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标 再由两点式求出 ｋ２ ２ ２
， ２＋１ ２ ＋１
直线方程 或者求出一个对称点 再利用两直线平行得斜率 由 ｋ
， ， ， 即｜４ ２＋３｜ ．
点斜式得到所求直线方程． ｋ２ ＝ ５
２＋１
轴对称
（２） ｋ ２ 或ｋ 此时ｌ 与ｌ 重合 故舍去 ．
点关于直线的对称 ∴ ２＝－ ２＝－２（ ２ １ ， ）
① １１
若两点Ｐ ｘ ｙ 与Ｐ ｘ ｙ 关于直线ｌ Ａｘ Ｂｙ Ｃ 对 故直线ｌ 的方程为 ｘ ｙ ．
１（ １， １） ２（ ２， ２） ： ＋ ＋ ＝０ ２ ２ ＋１１ ＋１６＝０
称 则线段Ｐ Ｐ 的中点在对称轴ｌ上 而且Ｐ Ｐ 所在直线垂直 解法二 在直线ｌ 上取一点Ａ 并设点Ａ关于直线ｌ的
， １ ２ ， １ ２ ： １ （２，０），
第九章 直线和圆的方程 ４ ６７
对称点为Ｂ ｘ ｙ ． 消去ｘ 得 ｘ ｙ 或 ｘ ｙ 与ｌ 是同一条直
（ ， ） ０ ２ ＋１１ ＋１６＝０ ２ ＋ －４＝０（ １
ìｙ ( ) 线 舍去 故直线ｌ 的方程为 ｘ ｙ ．
ï ïｘ －０ · － ３ ＝－１， { ｘ ｙ ， ３－ ） ３ ， 已知直 ２ 线 ｌ ｘ ２ ＋ ｙ １１ ＋１６＝０ 及点 Ａ
则有í －２ ４ 即 ４ －３ －８＝０， ： ３ － － １ ＝ ０ （４， １），
ï ｘ ｙ ｘ ｙ Ｂ Ｃ ．
ï ＋２ ＋０ ３ ＋４ ＋４＝０， （０，４）， （２，０）
î３· ＋４· －１＝０， 试在ｌ上求一点Ｐ 使 ＡＰ ＣＰ 最小
２ ２ （１） ， ｜ ｜＋｜ ｜ ；
ì ï ï ｘ ＝ ４ ， ( ) （２） 试在ｌ上求一点Ｑ ， 使 ｜｜ ＡＱ ｜－｜ ＢＱ ｜｜ 最大．
í ５ 点Ｂ ４ ８ ． ３－３． 解析 如图 设点Ｃ关于ｌ的对称点为Ｃ′ ａ ｂ
∴ î ï ïｙ ＝－ ５ ８ ． ∴ ５ ，－ ５ ì ï ïａ ｂ －０ ＝ （ － １ １ ） ， ①， {ａ （ ， ），
由两点式得直线ｌ 的方程为 则í －２ ３ 解得 ＝－１，
２ ï ï ａ ＋２ ｂ ＋０ ｂ ＝１，
ｙ
＋２ ＝
ｘ
－３ ， 即 ２ ｘ ＋１１ ｙ ＋１６＝０ ．
î３·
２
－
２
－１＝０，
８ ４ 所以Ｃ′ ．所以直线ＡＣ′的方程为ｙ ．
－ ＋２ －３ （－１，１） ＝１
５ ５ {ｙ ( )
解法三 设直线ｌ 上的任意一点Ｎ ｘ ｙ 关于直线ｌ的对称 由 ＝１， 得直线ＡＣ′与直线ｌ的交点为Ｐ ２ 此时
点为Ｎ′ ｘ′ ： ｙ′ ２ （ ， ） ３ ｘ － ｙ －１＝０ ３ ，１ ，
（ ， ）， ＡＰ ＣＰ 取最小值．
ìｙ ｙ′ ( ) ｜ ｜＋｜ ｜
ï － ３
ïｘ ｘ′· － ＝－１， { ｘ′ ｙ′ ｘ ｙ
则有í － ４ 即 ４ －３ ＝４ －３ ，
ï ｘ ｘ′ ｙ ｙ′ ｘ′ ｙ′ ｘ ｙ
ï ＋ ＋ ３ ＋４ ＝２－３ －４ ，
î３· ＋４· －１＝０，
２ ２
ì ｘ ｙ
ïｘ′ ７ －２４ ＋６
ï ＝ ，
解得í ２５ Ｎ′ ｘ′ ｙ′ 在直线ｌ 上
ï ｘ ｙ ∵ （ ， ） １ ，
ïｙ′ －２４ －７ ＋８．
î ＝ 如图 设点Ｂ关于ｌ的对称点为Ｂ′ ｍ ｎ
２５ （２） ②， （ ， ），
７ ｘ －２４ ｙ ＋６ －２４ ｘ －７ ｙ ＋８ ． ì ï ｎ －４ １
∴２· ＋ －４＝０ ïｍ ＝－ ， {ｍ
２５ ２５ 则í －０ ３ 解得 ＝３，
整理得 ２ ｘ ＋１１ ｙ ＋１６＝０， 即直线ｌ ２ 的方程为 ２ ｘ ＋１１ ｙ ＋１６＝０ ． ï ï ｍ ＋０ ４＋ ｎ ｎ ＝３，
解法四 设直线 ｌ 上的任意一点 Ｎ ｘ ｙ 直线 ｌ 上一点 î３· － －１＝０，
： ２ （ ， ）， １ ２ ２
Ｎ′ ｘ ｘ 且Ｎ和Ｎ′关于直线ｌ对称 则有 所以Ｂ′ 所以直线ＡＢ′的方程为 ｘ ｙ
（ ０，４－２ ０）， ， （３，３）， ２ ＋ －９＝０，
ì ï ｜３ ｘ ＋４ ｙ －１｜ ｜３ ｘ ０＋４（４－２ ｘ ０）－１｜ 由 { ２ ｘ ＋ ｙ －９＝０，得直线ＡＢ′与直线ｌ的交点为Ｑ
ï ＝ ， ｘ ｙ （２，５），
í ２５ ２５ ３ － －１＝０
ïｙ ｘ 此时 ＡＱ ＢＱ 取最大值．
ï －（４－２ ０） ４ ｜｜ ｜－｜ ｜｜
î ｘ ｘ ＝ ，
－ ０ ３
{ ｘ ｙ ｘ
即 ｜３ ＋４ －１｜＝｜５ ０－１５｜，
ｘ ｙ ｘ
４ －３ ＝１０ ０－１２，
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ１５８
直线的方程
２
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． ２ Ｄ．２
２
１．（２０２１四川诊断性测试，９）已知直线ｌ ｂｘ ａｙ ａｂ ａ ｂ ３． 答案 Ｃ
： － ＋ ＝０（ ， ＞０）
经过点Ｐ （－１，２）， 则 ２ ａ ＋ ｂ的最小值为 （ ） ４．（２０２１广东广州一模，７）已知Ａ （－１，０）， Ｂ （０，２）， 直线 ｌ ：２ ｘ －
Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ａｙ ａ 上存在点Ｐ 满足 ＰＡ ＰＢ 则ｌ的倾斜角
１． 答案 Ｃ ２ ＋３＋ ＝０ ， ｜ ｜＋｜ ｜＝ ５，
的取值范围是
２．（２０２０广东广州华美学校３月考试，８） ａ 是 直线ｘ ｙ （ ）
“ ＝１” “ ＋ ＋１ [ ] [ ] [ )
和直线 ａ ｘ ａ２ｙ 互相垂直 的 π ２π π ２π
＝０ （ －２） ＋ ＋２＝０ ” （ ） Ａ． ， Ｂ． ０， ∪ ，π
充分不必要条件 必要不充分条件 ３ ３ ３ ３
Ａ． Ｂ． [ ] ( ] [ )
充要条件 既不充分也不必要条件 π ３π π ３π
Ｃ． Ｄ． Ｃ． ， Ｄ． ０， ∪ ，π
２． 答案 Ａ ４ ４ ４ ４
４． 答案 Ｄ
３．（２０２１重庆二模，７）已知实数 ａ ｂ ｃ 成等差数列 则点 Ｐ
， ， ， （２，
到直线ａｘ ｂｙ ｃ 的最大距离是
－１） ＋ ＋ ＝０ （ ） 圆的方程
４ ６８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
１．（２０２０山东聊城第一中学月考，５）已知圆Ｃ与直线ｙ ｘ及ｘ ２． 答案 Ａ
＝－ ＋
ｙ 都相切 圆心在直线ｙ ｘ上 则圆Ｃ的方程为 ３．（２０２１湖南永州二模，１４）大约在 多年前 我国的墨子给
－４＝０ ， ＝ ， （ ） ２０００ ，
ｘ ２ ｙ ２ 出了圆的概念 一中同长也 意思是说 圆有一个圆心 圆心
Ａ．（ －１） ＋（ －１） ＝２ “ ”， ， ，
ｘ ２ ｙ ２ 到圆周上的点的长都相等．这个定义比古希腊数学家欧几里得
Ｂ．（ －１） ＋（ ＋１） ＝２
ｘ ２ ｙ ２ 给圆下定义要早 多年．现有动点Ｐ满足 ＯＰ 其中Ｏ
Ｃ．（ ＋１） ＋（ －１） ＝４ １００ ｜ ｜ ＝２，
ｘ ２ ｙ ２ æ ö
Ｄ．（ ＋１） ＋（ ＋１） ＝４ 为坐标原点 若Ｍç １ ３÷ 则 ＰＭ 的最小值为 ．
１． 答案 Ａ ， è ，－ ø， ｜ ｜
２ ２
２．（２０２０重庆育才中学３月月考，７）圆Ｃ是以直线ｌ ｍ ｘ ３． 答案
：（２ ＋１） ＋ １
（
ｍ
＋１）
ｙ
＋２
ｍ
＝０
所过的定点为圆心
，
半径ｒ
＝４，
则圆Ｃ的方程为 ４．（２０２１广东珠海一模，１４）若方程ｘ２
＋
ｙ２
＋
λｘｙ
＋２
ｋｘ
＋４
ｙ
＋５
ｋ
＋
λ
＝０
表示圆 则ｋ的取值范围为 ．
（ ） ，
ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２ ４． 答案
Ａ．（ ＋２） ＋（ －２） ＝１６ Ｂ．（ －２） ＋（ －２） ＝１６ （－∞，１）∪（４，＋∞）
ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２
Ｃ．（ －２） ＋（ ＋２） ＝１６ Ｄ．（ ＋２） ＋（ ＋２） ＝１６
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ１５９ ２５分钟 ３０分
一、单项选择题（每小题５分，共１０分）
２ 恒成立
１．（２０２０山东济宁第一中学质量检测，３）过点Ｐ 的直线与 ＋ ｎ ≥８
（１，２）
圆ｘ２
＋
ｙ２
＝１
相切
，
且与直线ａｘ
＋
ｙ
－１＝０
垂直
，
则实数ａ的值为 ３． 答案 ＡＣＤ
三、填空题（每小题５分，共１５分）
（ ）
４ 或 ４ ４ ４．（２０２０福建龙岩教学质检，１４）已知直线ｌ的方程为λｘ ｙ λ
Ａ．０ Ｂ．－ Ｃ．０ Ｄ． ＋ －３ ＝
３ ３ ３ λ Ｒ 则直线ｌ恒过定点 若直线ｌ与圆Ｃ ｘ２ ｙ２
１． 答案 Ｃ ０（ ∈ ）， ， ： ＋
ｘ 相交于Ａ Ｂ两点 且满足 ＡＢＣ为等边三角形 则λ
２．（２０２１东北三省四市教研联合体第二次联考，１０）已知直线ｘ －２ ＝０ 、 ， △ ， ＝
＋ ．
ｙ ａ与圆ｘ２ ｙ２ 交于Ａ Ｂ两点 Ｏ为坐标原点 Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ
＝ ＋ ＝４ 、 ， ，｜ ＋ ｜＝ ４． 答案 ３９
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 则实数ａ的值为 （３，０）；±
３｜ － ｜， （ ） １３
５．（２０２１百校大联考（六），１６）已知点Ａ Ｂ 若圆
Ａ．±２ Ｂ．± ２ Ｃ．± ３ Ｄ．± ６ （－２，０）， （２，０），
２． 答案 Ｄ ｘ ａ ２ ｙ ２ 上存在点Ｐ 使得 ＡＰＢ ° 则实数ａ的
（ － ） ＋（ －３） ＝４ ， ∠ ＝９０ ，
取值范围是 ．
二、多项选择题（共５分）
５． 答案
［－ ７， ７］
３．（２０２１山东青岛一模，９）已知圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ｋｘ ｙ １ ｋ２ ｋ ６．（２０２１湖南衡阳联考（一），１６）阿波罗尼斯 约公元前
： ＋ － ＋２ ＋ － ＋１＝ （ ２６２
４ 公元前 年 证明过这样一个命题 平面内到两定点距离
下列说法正确的是 — １９０ ） ：
０， （ ） 之比为常数ｋ ｋ 且ｋ 的点的轨迹是圆 后人将此圆称
ｋ的取值范围是ｋ （ ＞０， ≠１） ，
Ａ． ＞０ 为阿氏圆．若平面内两定点 Ａ Ｂ 间的距离为 动点 Ｐ 满足
若ｋ 过Ｍ 的直线与圆Ｃ相交所得弦长为 则 、 ４，
Ｂ． ＝４， （３，４） ２ ３， ＰＡ
直线方程为 ｘ ｙ ｜ ｜ 则动点Ｐ的轨迹所围成的图形的面积为
１２ －５ －１６＝０ ＰＢ ＝ ３， ；
若ｋ 则圆Ｃ与圆ｘ２ ｙ２ 相交 ｜ ｜
Ｃ． ＝４， ＋ ＝１ →ＰＡ Ｐ→Ｂ的最大值是 ．
·
若ｋ ｍ ｎ 直线ｍｘ ｎｙ 恒过圆Ｃ的圆心 则 １
Ｄ． ＝４， ＞０， ＞０， － －１＝０ ， ｍ ６． 答案
１２π；２４＋１６ ３
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 思路分析 数形结合，半径最大即圆心到直线的距离最大，
１．（２０２１北京延庆一模，６）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 直线ｌ的 此时过定点的直线ｌ与定点和圆心的连线垂直，从而得最大半
，
方程为ｙ ｋ ｘ 以点 为圆心且与直线ｌ相切的所 径即是定点与圆心的距离．
＝ （ ＋１）＋３， （１，１）
有圆中 半径最大的圆的半径为 ２．（２０２１北京顺义二模，８）已知圆 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ 经过原点
， （ ） （ － ） ＋（ － ） ＝１ ，
则圆上的点到直线ｙ ｘ 距离的最大值为
Ａ．２ Ｂ．２ ２ ＝ ＋２ （ ）
Ｃ．４ Ｄ．８ Ａ．２ ２ Ｂ． ２＋２
答案 Ｂ 本题考查圆的方程 点到直线的距离公式 直线
、 、
与圆的位置关系 考查数形结合的思想方法 考查学生分析问 Ｃ． ２＋１ Ｄ． ２
， ， 答案 Ｂ 圆 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ 经过原点 ａ２ ｂ２
题与解决问题的能力 渗透数学运算与直观想象的核心素养． ∵ （ － ） ＋（ － ） ＝１ ，∴ ＋ ＝１，
， 则动圆 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ 的圆心在以原点为圆心 以 为半
直线ｌ 过点 则点 到直线 ｌ 的最大距离为 （ － ） ＋（ － ） ＝１ ， １
（－１，３）， （１，１） 径的圆上 如图．
，
２ ２ 因而半径最大的圆半径为 ．故
（１＋１） ＋（１－３） ＝２ ２， ２ ２
选 ．
Ｂ
第九章 直线和圆的方程 ４ ６９
ｘ 或 ｘ ｙ
Ｄ． ＝０ ２ ＋ －２＝０
答案 Ａ 当 ＡＢＣ的面积最大时 ＣＡ ＣＢ 又知圆Ｃ ｘ
△ ， ⊥ ， ：（ －
２ ｙ ２ 的半径为 所以圆心Ｃ到直线ＡＢ的距
２） ＋（ －１） ＝１０ １０，
离ｄ 当直线ｌ的斜率不存在时 经检验不满足题意 所以
＝ ５， ， ，
直线ｌ的斜率存在 设为ｋ 则ｌ的方程为ｙ ｋｘ 可化为ｋｘ ｙ
， ， ＝ ＋２， －
原点Ｏ到直线ｙ ｘ 的距离ｄ ｜２｜ 则圆上的点到直线 ｋ
＝ ＋２ ＝ ＝ ２， 则圆心Ｃ 到直线ｌ的距离ｄ ｜２ －１＋２｜ 解得
２ ＋２＝０， （２，１） ＝ ｋ２ ＝ ５，
＋１
ｙ ｘ 距离的最大值为 ．故选 ． ｋ 所以当 ＡＢＣ的面积最大时直线ｌ的方程为ｙ ｘ 即
＝ ＋２ ２＋２ Ｂ ＝２， △ ＝２ ＋２，
３．（２０２１吉林第三次调研考试，５）若圆Ｃ的半径为 圆心在第 ｘ ｙ 故选 ．
１， ２ － ＋２＝０， Ａ
一象限
，
且与直线
４
ｘ
－３
ｙ
＝０
和ｘ轴都相切
，
则该圆的标准方 ７．（２０２１天一大联考顶尖计划第三次联考，１０）若圆ｘ２
＋
ｙ２
＝６
上
程是
（ ） 的两个动点Ａ Ｂ满足 →ＡＢ 点 Ｍ 在圆 ｘ２ ｙ２ 上运
， ｜ ｜ ＝２ ２， ＋ ＝１６
ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２
Ａ．（ －３） ＋（ －１） ＝１ Ｂ．（ －２） ＋（ －３） ＝１ 动 则 Ｍ→Ａ Ｍ→Ｂ 的最小值是
ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２ ， ｜ ＋ ｜ （ ）
Ｃ．（ －２） ＋（ －１） ＝１ Ｄ．（ －３） ＋（ －２） ＝１
答案 Ｃ 因为圆Ｃ的半径为 圆心在第一象限 且与直 Ａ．２ Ｂ．３
１， ，
线 ｘ ｙ 和ｘ轴均相切 所以圆心的纵坐标为 半径为 Ｃ．４ Ｄ．５
４ －３ ＝０ ， １， １， 答案 Ｃ 由ｘ２ ｙ２ 可知圆心为坐标原点Ｏ 半径
ａ ＋ ＝６ （０，０），
从而设圆心坐标为 （ ａ ，１）， ａ ＞０， 则有 ｜ ２ ４ －３｜ ２ ＝１， 解得ａ ＝ 为ｒ １＝ ６， 因为 ｜ →ＡＢ ｜ ＝２ ２， 所以圆心到直线 ＡＢ 的距离 ｄ ＝
４ ＋（－３）
æ ö２
２ 或ａ ＝－ １ （ 舍去 ）， 所以圆Ｃ的标准方程为 （ ｘ －２） ２ ＋（ ｙ －１） ２ ｒ２ －è ç２ ２ ø ÷ ＝２， 设ＡＢ的中点为Ｎ ， 则 ｜ ＯＮ ｜＝ ｄ ＝２， 所以Ｎ点
２ ２
故选 在以原点为圆心 以ｒ 为半径的圆上 所以Ｎ点的轨迹方程
＝１， Ｃ． ， ＝２ ，
４．（２０２１广西玉林、柳州重点中学联考，９）已知抛物线Ｃ
：
ｘ２
＝４
ｙ 为ｘ２
＋
ｙ２
＝４，
因为Ｎ为ＡＢ的中点
，
所以Ｍ→Ａ
＋
Ｍ→Ｂ
＝２
Ｍ→Ｎ
，
因为点
的准线为ｌ
，
记ｌ与ｙ轴交于点Ｍ
，
过点Ｍ作直线ｌ
０
与抛物线Ｃ Ｍ在圆ｘ２
＋
ｙ２
＝１６
上运动
，
圆 ｘ２
＋
ｙ２
＝１６
的半径 ｒ
２＝４，
所以
相切 切点为Ｎ 则以ＭＮ为直径的圆的方程为
， ， （ ） Ｍ→Ｎ ｒ ｒ 所以 Ｍ→Ａ Ｍ→Ｂ Ｍ→Ｎ ．
Ａ．（ ｘ ＋１） ２ ＋ ｙ２ ＝４ 或 （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝４ ８．（ ｜ ２０２１ ｜ｍ 安 ｉｎ＝ 徽 ２ 宣 － 城 １＝ 质 ２， 检，９） ｜ 已知 ＋ Ｍ是 ｜ｍ 抛 ｉｎ＝ 物 ２｜ 线Ｃ ｜ｍ ｙ ｉｎ ２ ＝４ ｐｘ ｐ 在
Ｂ．（ ｘ ＋１） ２ ＋ ｙ２ ＝１６ 或 （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝１６ 第一象限内的点 以点Ｍ为圆心的圆Ｍ恰好 ： 经过 ＝２ 抛物 （ 线 ＞０ Ｃ ） 的
Ｃ．（ ｘ ＋１） ２ ＋ ｙ２ ＝２ 或 （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝２ 焦点Ｆ 若圆Ｍ与 ， 直线ｘ 相切于点Ｎ 且 ＭＦＮ的面积为
Ｄ．（ ｘ ＋１） ２ ＋ ｙ２ ＝８ 或 （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝８ 则圆 ， Ｍ的标准方程为 ＝－１ ， △
答案 Ｃ 依题意知Ｍ 切线ｌ 的斜率一定存在 设 １０， （ ）
其方程为 ｙ ＝ ｋｘ －１， 联立方 （ 程 ０， { － ｘ ｙ １ ２ ＝ ） ＝ ｋ ， ４ ｘ － ｙ ， １， 得 ０ ｘ２ －４ ｋｘ ＋４＝０， 由于 ， 直 Ａ Ｃ． ． （ （ 答 ｘ ｘ － 案 － ４ ４ ） ） ２ ２ Ａ ＋ ＋ （ （ ｙ ｙ 由 － － ４ ４ 题 ） ） ２ ２ 意 ＝ ＝ １ ２ 及 ６ ５ 抛物线的 Ｂ Ｄ ． ． （ （ 定 ｘ ｘ － 义 － ２ ３ 可 ） ） ２ ２ ＋ 知 ＋ （ （ 直 ｙ ｙ － － 线 ２ ３ ） ） ２ ｘ ２ ＝ ＝ ９ １６ 为抛物
＝－１
线ｌ
０
与抛物线Ｃ相切
，
所以Δ
＝１６
ｋ２
－１６＝０，
解得ｋ
＝±１，
故ｘ
Ｎ 线Ｃ的准线 得 ｐ 即ｐ 所以抛物线Ｃ的标准方程为
则Ｎ 或Ｎ 所以以ＭＮ为直径的圆的方程 ， － ＝－１， ＝２，
＝±２， （２，１） （－２，１）， ２
５．
为
（２ （ ０２
ｘ
１ ＋１ 山 ）
２
西 ＋
ｙ
大
２
＝ 同 ２ 重
或
点 （ 中
ｘ
－ 学 １）
２
３ ＋ 月
ｙ２
模 ＝２ 拟 ，
故
，７
选
）若 Ｃ 直 ． 线ｌ ： ａｘ － ｂｙ ＋２＝０（ ａ
ｙ２
＝４
ｘ
，
设点Ｎ
（－１，
ｙ
０ { ） ｙ ， ２ ０
Ｍ
＝４ （ ｘ
ｘ
０ ０ ， ，
ｙ
０），
由
△
ＭＦＮ的面积为
１０，
且
点Ｍ在抛物线上 得 因为ｘ ｙ 为正数 所
＞０， ｂ ＞０） 过点 （－１，２）， 则当 ２ ａ ＋ １ ｂ 取最小值时直线ｌ的斜率为 ， １ ｘ ｙ ０， ０ ，
（ ０＋１） ０＝１０，
２
（ ）
{ｘ
以得 ０＝４，所以圆Ｍ的圆心为Ｍ 半径ｒ 于
１ ｙ （４，４）， ＝４＋１＝５，
Ａ．２ Ｂ． Ｃ． ２ Ｄ．２ ２ ０＝４，
２ 是圆Ｍ的标准方程为 ｘ ２ ｙ ２ 故选 ．
答案 Ａ 因为直线ｌ过点 所以 ａ ｂ 即 （ －４） ＋（ －４） ＝２５， Ａ
（－１，２）， － －２ ＋２＝０， ９．（２０２１浙江百校３ 月联考，８）若平面上两点 Ａ Ｂ
ａ ｂ ( ) ( ａ ) （－２，０）， （１，
＋２ 又 ａ ｂ 所以 ２ １ ２ １ ｂ
＝１， ＞０， ＞０， ａ ＋ ｂ ＝ ａ ＋ ｂ · ＋ ＝ 则过点Ｂ的直线ｌ上满足 →ＢＡ Ｐ→Ｂ →ＰＡ Ｐ→Ｂ 的点
２ ２ ０）， （ － ）·（ ＋２ ）＝０
( ｂ ａ ) æ ａ ｂö ｂ ａ Ｐ的个数为 （ ）
２ １ ４＋ ４ ａ ＋ ｂ ≥ １ ２ è ç ４＋２ ｂ · ４ ａ ø ÷ ＝４， 当且仅当４ ａ ＝ ｂ ， Ａ ． ０ Ｂ ． １
． ．与直线ｌ的斜率有关
Ｃ２ Ｄ
即ａ ｂ时取等号 所以当 ２ １ 取最小值时直线ｌ的斜率为
＝２ ， ａ ＋ ｂ 答案 Ｃ 由 →ＢＡ Ｐ→Ｂ →ＰＡ Ｐ→Ｂ 得 Ｂ→Ｐ →ＰＡ Ｐ→Ｂ
（ － ）·（ ＋２ ）＝０， （ ＋ － ）·
ａ
故选 ． →ＰＡ Ｐ→Ｂ 可得 →ＰＡ Ｐ→Ｂ →ＰＡ Ｐ→Ｂ 即 →ＰＡ
ｂ ＝２， Ａ （ ＋２ ）＝ ０， （ －２ ）·（ ＋２ ）＝ ０， ｜ ｜ ＝
６．（２０２１四川内江二诊，９）已知过点 的直线ｌ与圆Ｃ ｘ ２｜ Ｐ→Ｂ ｜， 可得点Ｐ的轨迹为阿氏圆 ， 方程为 （ ｘ －２） ２ ＋ ｙ２ ＝４， 故点
（０，２） ：（ － Ｐ的个数即为ｌ与圆的交点个数．由于直线ｌ过定点 且
２ ｙ ２ 相交于Ａ Ｂ两点 当 ＡＢＣ面积最大时 直 （１，０），
２） ＋（ －１） ＝１０ ， ， △ ， 点 在圆内 所以直线与圆有两个交点 故选 ．
线ｌ的方程为 （１，０） ， ， Ｃ
（ ）
ｘ ｙ 二、多项选择题
Ａ．２ － ＋２＝０
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ １０．（２０２０山东聊城一中月考，１０）若直线过点Ａ 且在两坐
Ｂ．２ － ＋２＝０ ２ ＋ －２＝０ （１，２），
ｘ 标轴上截距的绝对值相等 则直线ｌ方程可能为
Ｃ． ＝０ ， （ ）
４ ７０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｘ ｙ ｘ ｙ ｙ于Ｂ Ｃ两点 则直线ＢＣ的方程为 ．
Ａ． － ＋１＝０ Ｂ． ＋ －３＝０ ２ ， ，
ｘ ｙ ｘ ｙ 答案 ｘ ｙ
Ｃ．２ － ＝０ Ｄ． － －１＝０ ６ ＋３ ＋４＝０
æ ｘ２ö æ ｘ２ö
答案 ＡＢＣ 当直线经过原点时 斜率为ｋ ２－０ 所求 解析 设Ｂçｘ １÷ Ｃçｘ ２÷
， ＝
１－０
＝２， è １，
２
ø， è ２，
２
ø，
的直线方程为ｙ ｘ 即 ｘ ｙ ｌ ｘ ｘ ｙ ｘ
＝２ ， ２ － ＝０； ∴ ＡＢ：（ １＋２） －２ －２ １＝０，
当直线不过原点时 设所求的直线方程为ｘ ｙ ｋ 把点Ａ ｘ
， ± ＝ ， （１， 圆心到直线ＡＢ的距离ｄ ｜－４－２ １｜
２） 代入可得 １－２＝ ｋ或 １＋２＝ ｋ ， 解得ｋ ＝－１ 或ｋ ＝３， 故所求的 ∵ ＝ ｘ ２ ＝１，
直线方程为ｘ ｙ 或ｘ ｙ ．综上知 所求的直线方程为 （ １＋２） ＋４
－ ＋１＝ ＋ －３＝０ ， ｘ２ ｘ ｘ ｙ
ｘ ｙ 或ｘ ｙ 或ｘ ｙ ． ∴３ １＋１２ １＋８＝０⇒６ １＋３ １＋４＝０，
２ － ＝０ － ＋１＝０ ＋ －３＝０ 同理 ｘ ｙ ｌ ｘ ｙ ．
１１．下列说法正确的是 ６ ２＋３ ２＋４＝０，∴ ＢＣ：６ ＋３ ＋４＝０
（ ） １４．（２０２１天津河西一模，１２）已知圆Ｃ的圆心坐标是 ｍ 若
ｘ ｙ （０， ），
截距相等的直线都可以用方程 表示 直线 ｘ ｙ 与圆Ｃ相切于点Ａ 则圆Ｃ的标准
Ａ． ａ ＋ ａ ＝１ ２ － ＋３＝０ （－２，－１），
方程为 ．
方程ｘ ｍｙ ｍ Ｒ 能表示平行ｙ轴的直线
Ｂ． ＋ －２＝０（ ∈ ） 答案 ｘ２ ｙ ２
经过点Ｐ 倾斜角为θ的直线方程为ｙ θ ｘ ＋（ ＋２） ＝５
Ｃ． （１，１）， －１＝ｔａｎ （ － 解析 由圆心与切点的连线与切线垂直
，
１） ｍ
经过两点Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ 的直线方程为 ｙ ｙ ｘ 得 ＋１ ｍ
Ｄ． １（ １， １）， ２（ ２， ２） （ ２－ １）（ － ×２＝－１，∴ ＝－２，
ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ２
答 １） 案 －（ Ｂ ２－ Ｄ １） 对 （ 于 － １）＝ 若 ０ 直线过原点 横纵截距都为零 则不 ∴ 圆心 （０，－２）， 则ｒ ＝ （０＋２） ２ ＋（－２＋１） ２ ＝ ５ ．
Ａ， ， ， 圆Ｃ的标准方程为ｘ２ ｙ ２ ．
ｘ ｙ ∴ ＋（ ＋２） ＝５
能用方程 表示 所以 不正确 １５．（２０２１浙江“山水联盟”４月联考，１６）已知过Ｐ 的直线
ａ ＋ ａ ＝１ ， Ａ ； （３，０）
对于 当ｍ 时 平行于ｙ轴的直线方程为 ｘ 所以 与圆Ｃ ：（ ｘ －２） ２ ＋（ ｙ －１） ２ ＝４ 交于 Ａ ， Ｂ 两点 （ 点 Ａ 在 ｘ 轴上
Ｂ， ＝０ ， ＝２， Ｂ 方 若 ＢＰ ＰＡ 则直线ＡＢ的斜率为 ．
正确 ）， ｜ ｜＝３｜ ｜，
；
对于 若直线的倾斜角为 ° 则该直线的斜率不存在 不 答案
Ｃ， ９０ ， ， ３－２ ２
能用ｙ θ ｘ 表示 所以 不正确 解析 如图 设直线ＡＢ的斜率为ｋ
－１＝ｔａｎ （ －１） ， Ｃ ； ， ，
对于 设点Ｐ ｘ ｙ 是经过两点Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ 的直
Ｄ， （ ， ） １（ １， １）， ２（ ２， ２）
线上的任意一点 根据Ｐ→Ｐ Ｐ→Ｐ可得 ｙ ｙ ｘ ｘ ｘ
， １ ２∥ １ （ ２－ １）（ － １）－（ ２－
ｘ ｙ ｙ 所以 正确．
１）（ － １）＝０， Ｄ
三、填空题
１２．（２０２１豫西南五校３月联考，１４）已知点Ｐ 在圆Ｃ ｘ２ ｙ２
（２，１） ： ＋
ａｘ ｙ ｂ 上 点Ｐ关于直线ｘ ｙ 的对称点也在圆 则直线ＡＢ ｙ ｋ ｘ 即ｋｘ ｙ ｋ 过点Ｃ作ＣＭ ＡＢ于
＋ －２ ＋ ＝０ ， ＋ －１＝０ ： ＝ （ －３）， － －３ ＝０， ⊥
上 则圆Ｃ的半径为 ． Ｍ 连接ＣＰ ＣＡ
， ， ， ，
答案 ｋ
２ 则 ＣＭ ｄ ｜－ －１｜
解析 解法一
：
由题意知圆心Ｃ (
－
ａ
，１
) 在直线ｘ
＋
ｙ
－１＝０
｜ ｜＝ ＝ ｋ２ ＋１ ，
２ ｋ ２
上
，
从而有
－
ａ
＋１－１＝０，
解得ａ
＝０，
又知点Ｐ
（２，１）
在圆Ｃ
：
ｘ２
所以ｄ２
＝
（
ｋ２
＋
＋
１
１
）
①
．
２ 又 ＢＰ ＰＡ
＋ ｙ２ ＋ ａｘ －２ ｙ ＋ ｂ ＝０ 上 ， 所以有 ２ ２ ＋１ ２ ＋０×２－２×１＋ ｂ ＝０， 即ｂ ＋３＝ 所以 ｜ Ａ ｜ Ｍ ＝３｜ Ｐ ｜， Ｍ 即 ＡＭ ２ ＰＭ ２．
｜ ｜＝２｜ ｜， ｜ ｜ ＝４｜ ｜
解得ｂ 所以圆Ｃ的半径ｒ ０ ２ ＋（－２） ２ －４×（－３） ． 结合 ＣＰ 得 ＣＡ ２ ｄ２ ＣＰ ２ ｄ２
０， ＝－３， ＝ ＝２ ｜ ｜＝ ２， ｜ ｜ － ＝４（｜ ｜ － ），
２ 所以 ｄ２
解法二 由解法一知ａ Ｃ 又点Ｐ 在圆Ｃ上 ３ ＝４②，
： ＝０，∴ （０，１）， （２，１） ，
∴ 圆Ｃ的半径为 （０－２） ２ ＋（１－１） ２ ＝２ ． 将 ① 代入 ② 得ｋ２ －６ ｋ ＋１＝０， 解得ｋ ＝ ６± ３６－４ ＝３±２ ２，
２
１３．（２０２１河南、湖南两省顶级名校３月联考，１６）已知过点Ａ
（２， 又点Ａ在ｘ轴上方 结合图形可得ｋ ．
作直线ＡＢ ＡＣ与圆ｘ２ ｙ ２ 相切 且交抛物线ｘ２ ， ＝３－２ ２
２） ， ＋（ －２） ＝１ ， ＝
学生用书Ｐ１５９
１．（２０２１ ５·３原创题）在等边 ＡＢＣ中 ＡＢ Ｐ是 ＡＢＣ所在 心的圆上都存在不同的两点Ｍ Ｎ 使得点Ｍ恰是线段ＣＮ的
△ ， ＝２， △ 、 ，
平面内一点
，
且满足
｜
→ＰＡ
｜ ＝ ２ ｜
Ｐ→Ｂ
｜，
则
｜
Ｐ→Ｃ
｜
的取值范 中点
，
则圆Ｂ的半径ｒ的取值范围是 ．
围为 ． é ù
２． 答案 êê １０ ４ １０úú
１ ２ ． ．（２ 答 ０２ 案 １ ５ · ［ ３ ２ 原 ３ 创 －２ 题 ２ ） ， 设 ２ Ａ ３＋２ ２］ 是以Ｈ 为圆心的圆上的 ３．（２０２１ ５ · ë ３原 ３ 创 ， 题） ５ 下列 û 关于曲线ｘ４ ＋ ｙ４ ＝１ 的表述 ， 正确的是
（１，０） （０，３）
一点 点Ｂ 点Ｃ为线段ＡＨ上任意一点 若以点Ｂ为圆
（
将所有正确表述的序号填在横线上
）
．
， （３，２）， ，
第九章 直线和圆的方程 ４ ７１
{ ｘ ＰＡ
该曲线位于正方形 －１≤ ≤１，的区域内 点Ｐ 都有｜ ｜ １ 即 ＰＢ ２ ＰＡ ２．
① ｙ ； ， ＰＢ ＝ ， ｜ ｜ ＝４｜ ｜
－１≤ ≤１ ｜ ｜ ２
该曲线围成的面积小于 设Ｐ ｘ ｙ 则 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｘ ２ ｙ２
② π； （ ０， ０）， （ ０－ ） ＋（ ０－ ） ＝４［（ ０＋６） ＋ ０］，
该曲线的长度大于 化简得 ｘ２ ｙ２ ａ ｘ ｂｙ ａ２ ｂ２ ．
③ ４ ２； ３ ０＋３ ０＋（４８＋２ ） ０＋２ ０＋１４４－ － ＝０①
该曲线关于ｘ轴 ｙ轴及坐标原点都对称． 又 点Ｐ在圆Ｃ上 ｘ２ ｙ２ ｘ ．
④ ， ∵ ，∴ ０＋ ０＝－８ ０ ②
３． 答案 将 代入 得 ａ ｘ ｂｙ ａ２ ｂ２ ．
４．（２０２１ ５ ·
①
３
③
原
④
创题）公元前 世纪 古希腊数学家阿波罗尼斯
② ①
{
（２４＋
ａ
２ ） ０＋２ ０＋１４４－ － ＝０
３ ， ２４＋２ ＝０， {ａ
在 平面轨迹 一书中 研究了众多的平面轨迹问 根据题意有 ｂ 解得 ＝－１２， Ｂ ．
（Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ） 《 》 ， ２ ＝０， ｂ ∴ （－１２，０）
题 其中有如下著名结果 平面内到两个定点Ａ Ｂ距离之比为 ａ２ ｂ２ ＝０，
， ： 、 １４４－ － ＝０，
λ λ 且λ 的点Ｐ的轨迹为圆 此圆称为阿波罗尼斯圆． 故对于Ａ 圆Ｃ ｘ ２ ｙ２ 上任意一点Ｐ 在平面
（ ＞０ ≠１） ， （－６，０）， ：（ ＋４） ＋ ＝１６ ，
ＰＡ ＰＡ
已知两定点Ａ Ｂ 若动点Ｐ满足｜ ｜ １ 上存在点Ｂ 使得｜ ｜ １ 恒成立．
（１） （－２，０）， （４，０）， ＰＢ ＝ ， （－１２，０）， ＰＢ ＝
｜ ｜ ２ ｜ ｜ ２
求点Ｐ的轨迹方程 设Ａ ｍ ｎ Ｂ ｓ ｔ Ｐ ｘ ｙ ．
； （３） （ ， ）， （ ，）， （ １， １）
已知Ａ Ｐ是圆Ｃ ｘ ２ ｙ２ 上任意一点 在 由 ＰＢ ２ ＰＡ ２得 ｘ ｓ ２ ｙ ｔ ２ ｘ ｍ ２ ｙ ｎ ２．
（２） （－６，０）， ：（ ＋４） ＋ ＝１６ ， ｜ ｜ ＝４｜ ｜ （ １－） ＋（ １－） ＝４（ １－ ） ＋４（ １－ ）
平面上是否存在点Ｂ
，
使得｜
Ｐ
Ｐ
Ｂ
Ａ
｜
＝
１ 恒成立
？
若存在
，
求
化简得
３
ｘ２
１＋３
ｙ２
１＋（２
ｓ
－８
ｍ
）
ｘ
１＋（２
ｔ
－８
ｎ
）
ｙ
１＋４
ｍ２
＋４
ｎ２
－
ｓ２
－
ｔ２
＝
｜ ｜ ２ ０，③
（３） 出 已 定 点 点 知 Ｂ Ａ Ｐ 、 坐 是 Ｂ ， 标 圆 使 ； Ｄ 得 若 ： 不 ｘ ｜ Ｐ Ｐ ２ 存 ＋ Ｂ Ａ ｙ ｜ 在 ２ ＝ ＝ ， ４ １ 说 上 恒 明 任 成 理 意 立 由 一 ． ； 只 点 需 ， 写 在 出 平面 两 内 个 求 定 出 点 两 Ａ 、 个 Ｂ 又 将 ∵ ④ Ｐ 代 在 入 圆 ③ { 得 Ｄ ２ ： （ ｓ ｘ － ２ ２ ８ ｓ ＋ － ｍ ｙ ８ ２ ＝ ｍ ＝ ０ ） ４ ， ｘ 上 １＋ ， （ ∴ ２ ｔ ｘ － ２ １ ８ ＋ ｎ ｙ ） ２ １ ｙ ＝ １ ４ ＋ { ， ４ ④ ｓ ｍ ＝ ２ ４ ＋ ｍ ４ ｎ ， ２ － ｓ２ － ｔ２ ＋１２＝０ ．
｜ ｜ ２ 根据题意有 ｔ ｎ 即 ｔ ｎ
的坐标 无需证明． ２ －８ ＝０， ＝４ ，
， ｍ２ ｎ２ ｓ２ ｔ２ ｍ２ ｎ２ ．
ＰＡ ４ ＋４ － － ＋１２＝０， ＋ ＝１
４． 解析 设点Ｐ ｘ ｙ 由｜ ｜ １ 得 ＰＢ ２ ＰＡ ２ 即 答案不唯一 只需满足上面的方程组即可 例如 Ａ
（１） （ ， ）， ＰＢ ＝ ｜ ｜ ＝４｜ ｜ ， ， ， （１，０），
｜ ｜ ２ æ ö
ｘ ２ ｙ２ ｘ ２ ｙ２ 化简得 ｘ ２ ｙ２ ． Ｂ 或Ａç １ ３÷ Ｂ 等．
（ －４） ＋ ＝４［（ ＋２） ＋ ］， （ ＋４） ＋ ＝１６ （４，０） è ， ø， （２，２ ３）
即点Ｐ的轨迹方程为 ｘ ２ ｙ２ ． ２ ２
（ ＋４） ＋ ＝１６
假设存在点Ｂ ａ ｂ 满足对圆Ｃ ｘ ２ ｙ２ 上任意一
（２） （ ， ） ：（ ＋４） ＋ ＝１６
