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第十章 圆锥曲线 ５ １９
§１０．３ 抛物线
设直线ｌ的方程为ｙ ｋｘ ｋ ．
抛物线的定义和标准方程 学生用书Ｐ１７８ ＝ －１（ ≠０）
{ｙ ｋｘ
１．（２０２０课标
Ⅰ
理，４，５分）已知Ａ为抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
上
由
ｘ２
＝
＝－
－
４
１
ｙ
，得ｘ２
＋４
ｋｘ
－４＝０
．
一点 点Ａ到Ｃ的焦点的距离为 到ｙ轴的距离为 则ｐ 设Ｍ ｘ ｙ Ｎ ｘ ｙ
， １２， ９， ＝ （ １， １）， （ ２， ２），
ｙ
（ ） 则ｘ ｘ 直线ＯＭ的方程为ｙ １ｘ．
１ ２＝－４， ＝ｘ
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．６ Ｄ．９ １
１． 答案 Ｃ ｘ
令ｙ 得点Ａ的横坐标ｘ １．
２．（２０２０北京，７，４分）设抛物线的顶点为Ｏ 焦点为Ｆ 准线为ｌ ＝－１， Ａ＝－ｙ
， ， ， １
Ｐ是抛物线上异于Ｏ的一点 过Ｐ作ＰＱ ｌ于Ｑ 则线段ＦＱ ｘ
， ⊥ ， 同理得点Ｂ的横坐标ｘ ２．
的垂直平分线 Ｂ＝－ｙ
（ ） ２
经过点Ｏ 经过点Ｐ 设点Ｄ ｎ
Ａ． Ｂ． （０， ），
平行于直线ＯＰ 垂直于直线ＯＰ æ ｘ ö æ ｘ ö
Ｃ． Ｄ． 则Ｄ→Ａ ç １ ｎ÷ Ｄ→Ｂ ç ２ ｎ÷
２． 答案 Ｂ ＝è－ｙ ，－１－ ø， ＝è－ｙ ，－１－ ø，
１ ２
３．（２０１７课标 文，１２，５分）过抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点Ｆ 且斜 ｘ ｘ ｘ ｘ
Ⅱ ： ＝４ ， Ｄ→Ａ Ｄ→Ｂ １ ２ ｎ ２ １ ２ ｎ ２
率为 的直线交Ｃ于点Ｍ Ｍ在ｘ轴的上方 ｌ为Ｃ的准线 · ＝ｙ ｙ ＋（ ＋１） ＝æ ｘ２öæ ｘ２ö＋（ ＋１）
３ （ ）， ， １ ２ ç １÷ç ２÷
点Ｎ在ｌ上且ＭＮ ｌ 则Ｍ到直线ＮＦ的距离为 è－ øè－ ø
⊥， （ ） ４ ４
Ａ． ５ Ｂ．２ ２ Ｃ．２ ３ Ｄ．３ ３ ＝ｘ １６ ｘ ＋（ ｎ ＋１） ２ ＝－４＋（ ｎ ＋１） ２．
３． 答案 Ｃ １ ２
４．（２０２１ 北京，１２，５ 分）已知抛物线Ｃ 令Ｄ→Ａ Ｄ→Ｂ 即 ｎ ２ 得ｎ 或ｎ ．
： · ＝０， －４＋（ ＋１） ＝０， ＝１ ＝－３
ｙ２
＝４
ｘ
，
Ｃ 的焦点为 Ｆ
，
点 Ｍ 在 Ｃ 上
，
综上
，
以ＡＢ为直径的圆经过ｙ轴上的定点
（０，１）
和
（０，－３）
．
若 ＦＭ 则 Ｍ 的横坐标是
｜ ｜ ＝６， 以下为教师用书专用（１—１０）
．
１．（２０１５浙江理，５，５分）如图 设抛物线ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ 不
４． 答案 ， ＝４ ，
５ 经过焦点的直线上有三个不同的点Ａ Ｂ Ｃ 其中点Ａ Ｂ在抛
５．（２０２１新高考
Ⅰ
，１４，５分）已知Ｏ为坐标原点
，
抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝ 物线上 点Ｃ在ｙ轴上 则 ＢＣＦ与
，
ＡＣ
，
Ｆ的
，
面积之比
，
是
ｐｘ ｐ 的焦点为Ｆ Ｐ为Ｃ上一点 ＰＦ与ｘ轴垂直 Ｑ为ｘ ， ， △ △
２ （ ＞０） ， ， ，
轴上一点 且 ＰＱ ＯＰ．若 ＦＱ 则 Ｃ 的准线方程为 （ ）
， ⊥ ｜ ｜ ＝ ６，
．
５． 答案 ｘ ３
＝－
２
解题指导 抛物线的问题，需要借助图形来分析，利用抛物
线定义及平面几何知识建立关于ｐ的方程从而解决问题．
６．（２０２１上海，１１，５分）已知抛物线 ｙ２ ｐｘ ｐ 若第一象限
： ＝２ （ ＞０），
的Ａ Ｂ在抛物线上 焦点为Ｆ ＡＦ ＢＦ ＡＢ 则 ＢＦ ＢＦ ２
， ， ，｜ ｜＝２，｜ ｜＝４，｜ ｜＝３， ｜ ｜－１ ｜ ｜ －１
直线ＡＢ的斜率为 ． Ａ． ｜ ＡＦ ｜－１ Ｂ． ｜ ＡＦ ｜ ２ －１
ＢＦ ＢＦ ２
｜ ｜＋１ ｜ ｜ ＋１
６． 答案 ５ Ｃ． ｜ ＡＦ ｜＋１ Ｄ． ｜ ＡＦ ｜ ２ ＋１
２ 答案 Ａ 过Ａ Ｂ点分别作ｙ轴的垂线 垂足分别为Ｍ Ｎ
解题指导 抛物线的问题的突破口是其定义，利用定义进行 ， ， ， ，
则 ＡＭ ＡＦ ＢＮ ＢＦ ．
线段之间的转化，再结合平面几何知识及斜率概念即可解决问题． ｜ ｜＝｜ ｜－１，｜ ｜＝｜ ｜－１
Ｓ
７．（２０１９北京理，１８，１４分）已知抛物线Ｃ ｘ２ ｐｙ经过点 ． 可知 △ ＢＣＦ
： ＝－２ （２，－１） Ｓ ＝
求抛物线Ｃ的方程及其准线方程 △ ＡＣＦ
（１） ；
设Ｏ为原点 过抛物线Ｃ的焦点作斜率不为 的直线ｌ交 １ ＣＢ ＣＦ ＢＣＦ
（２） ， ０ ·｜ ｜·｜ ｜·ｓｉｎ∠
抛物线Ｃ于两点Ｍ Ｎ 直线ｙ 分别交直线ＯＭ ＯＮ于 ２
， ， ＝－１ ，
点Ａ和点 Ｂ．求证 以 ＡＢ 为直径的圆经过 ｙ 轴上的两个 １ ＣＡ ＣＦ ＢＣＦ
： ·｜ ｜·｜ ｜·ｓｉｎ∠
２
定点．
ＣＢ ＢＮ
｜ ｜ ｜ ｜
７． 解析 由抛物线Ｃ ｘ２ ｐｙ经过点 得ｐ ．所 ＝ ＣＡ ＝ ＡＭ
（１） ： ＝－２ （２，－１）， ＝２ ｜ ｜ ｜ ｜
以抛物线Ｃ的方程为ｘ２ ｙ 其准线方程为ｙ ． ＢＦ
＝－４ ， ＝１ ｜ ｜－１ 故选 ．
证明 抛物线Ｃ的焦点为Ｆ ． ＝ ＡＦ ， Ａ
（２） ： （０，－１） ｜ ｜－１
５ ２０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
２．（２０１４课标 理，１０，５分）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ ｙ ｘ 或ｙ ｘ
Ⅰ ： ＝８ ， Ｃ． ＝ ３（ －１） ＝－ ３（ －１）
准线为ｌ Ｐ是ｌ上一点 Ｑ是直线ＰＦ与Ｃ的一个交点．若Ｆ→Ｐ
， ， ＝ ｙ ２ ｘ 或ｙ ２ ｘ
４ Ｆ→Ｑ ， 则 ｜ ＱＦ ｜＝ （ ） Ｄ． ＝ ２ （ －１） ＝－ ２ （ －１）
答案 Ｃ 设直线ＡＢ与抛物线的准线ｘ 交于点Ｃ．分别
＝－１
７ ５
Ａ． Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．２ 过Ａ Ｂ作ＡＡ ＢＢ 垂直于准线于Ａ Ｂ ．由抛物线的定义可设
２ ２ ， １， １ １， １
ＢＣ
答案 Ｂ Ｆ→Ｐ Ｆ→Ｑ 点Ｑ在线段ＰＦ上 且在两端点 ＢＦ ＢＢ ｔ ＡＦ ＡＡ ｔ．由三角形的相似得｜ ｜
∵ ＝４ ，∴ ， ｜ ｜＝｜ １｜＝ ，｜ ｜＝｜ １｜＝３ ＡＢ ＝
之间 过 Ｑ 作 ＱＭ ｌ 垂足为 Ｍ 由抛物线定义知 ＱＦ ｜ ｜
， ⊥ ， ， ｜ ｜ ＝ ＢＣ
ＱＭ 设抛物线的准线ｌ与ｘ轴的交点为Ｎ 则 ＦＮ 又易 ｜ ｜ １
｜ ｜， ， ｜ ｜＝４， ｔ ＝ ，
ＱＭ ＰＱ ＱＭ ４ ２
知 ＰＱＭ ＰＦＮ 则｜ ｜ ｜ ｜ 即｜ ｜ ３ ． ＱＭ
△ ∽△ ， ＦＮ ＝ ＰＦ ， ＝ ∴ ｜ ｜＝３， ＢＣ ｔ Ｂ ＣＢ π 直线ｌ的倾斜角α π或 ２ ．
｜ ｜ ｜ ｜ ４ ４ ∴ ｜ ｜＝２，∴ ∠ １ ＝ ，∴ ＝ π
即 ＱＦ ．故选 ． ６ ３ ３
｜ ｜＝３ Ｂ 又Ｆ 直线ＡＢ的方程为ｙ ｘ 或ｙ ｘ ．
（１，０），∴ ＝ ３（ －１） ＝－ ３（ －１）
故选 ．
Ｃ
３．（２０１４课标 文，１０，５ 分）已知抛物线 Ｃ ｙ２ ｘ 的焦点为 Ｆ ６．（２０１２四川理，８，５分）已知抛物线关于ｘ轴对称 它的顶点在
Ⅰ ： ＝ ， ，
坐标原点Ｏ 并且经过点Ｍ ｙ ．若点Ｍ到该抛物线焦点的
Ａ ｘ ｙ 是Ｃ上一点 ＡＦ ５ ｘ 则ｘ ， （２， ０）
（ ０， ０） ，｜ ｜＝ ０， ０＝ （ ） 距离为 则 ＯＭ
４ ３， ｜ ｜＝ （ ）
． ． ． ．
Ａ１ Ｂ２ Ｃ４ Ｄ８ ( ) Ａ．２ ２ Ｂ．２ ３ Ｃ．４ Ｄ．２ ５
答案 Ａ 由ｙ２ ＝ ｘ得 ２ ｐ ＝１， 即ｐ ＝ １ ， 因此焦点Ｆ １ ，０ ， 答案 Ｂ 由题意可设抛物线方程为ｙ２ ＝２ ｐｘ （ ｐ ＞０） ．
２ ４ ｐ
由 ＭＦ 得ｐ 抛物线方程为ｙ２ ｘ．
准线方程为ｌ ： ｘ ＝－ １ ， 设Ａ点到准线的距离为ｄ ， 由抛物线的 ｜ ｜＝ ２ ＋２＝３ ＝２，∴ ＝４
４ 点Ｍ的坐标为 ＯＭ
∴ （２，±２ ２），∴ ｜ ｜＝ ４＋８＝２ ３，
定义可知ｄ ＡＦ 从而ｘ １ ５ ｘ 解得ｘ 故选 ． 故选 ．
＝｜ ｜， ０＋ ＝ ０， ０＝１， Ａ Ｂ
４ ４ ７．（２０１１课标文，９，５分）已知直线ｌ过抛物线Ｃ的焦点 且与Ｃ
评析 本题考查抛物线的定义及标准方程，将 ＡＦ 转化为点Ａ ，
｜ ｜ 的对称轴垂直 ｌ与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 ＡＢ Ｐ为Ｃ的准线
到准线的距离是解题的关键． ， ， ，｜ ｜＝１２，
上一点 则 ＡＢＰ的面积为
４．（２０１３课标 理，１１，５分）设抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点为 ， △ （ ）
Ⅱ ： ＝２ （ ＞０）
Ｆ 点Ｍ在Ｃ上 ＭＦ 若以ＭＦ为直径的圆过点 则 Ａ．１８ Ｂ．２４ Ｃ．３６ Ｄ．４８
， ，｜ ｜＝５， （０，２）， 答案 Ｃ 设抛物线方程为ｙ２ ｐｘ ｐ ．
Ｃ的方程为 ＝２ （ ＞０）
（ ） ｐ
ｙ２ ｘ或ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ或ｙ２ ｘ 当ｘ 时 ｙ ｐ
Ａ． ＝４ ＝８ Ｂ． ＝２ ＝８ ∵ ＝ ，｜ ｜＝ ，
ｙ２ ｘ或ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ或ｙ２ ｘ ２
Ｃ． ＝４ ＝１６ Ｄ． ＝２ ＝１６ ＡＢ
答案 Ｃ 以ＭＦ为直径的圆过点 点Ｍ在第一 ｐ ｜ ｜ １２ ．
∵ （０，２），∴ ∴ ＝ ＝ ＝６
象限．由 ｜ ＭＦ ｜ ＝ ｘ Ｍ＋ ｐ ＝５ 得Ｍ æ è ç ５－ ｐ ， ２ ｐ ( ５－ ｐ ) ö ø ÷．从而以 又Ｐ到 ２ ＡＢ的 ２ 距离始终为ｐ ，
２ ２ ２
Ｓ １ ．
ＭＦ为直径的圆的圆心Ｎ的坐标为 æ ç ５ １ ｐ ( ｐ ) ö ÷ ∴ △ ＡＢＰ＝ ２ ×１２×６＝３６
è ， ２ ５－ ø，
２ ２ ２
点Ｎ 的横坐标恰好等于圆的半径 圆与 ｙ 轴切于点
∵ ，∴
( ｐ )
从而 １ ｐ 即ｐ２ ｐ 解得ｐ
（０，２）， ２＝ ２ ５－ ， －１０ ＋１６＝０， ＝２
２ ２
或ｐ 抛物线方程为ｙ２ ｘ或ｙ２ ｘ．故选 ．
＝８，∴ ＝４ ＝１６ Ｃ
５．（２０１３课标 文，１０，５分）设抛物线 Ｃ ｙ２ ｘ 的焦点为 Ｆ
Ⅱ ： ＝４ ，
直线 ｌ过 Ｆ且与 Ｃ 交于 Ａ Ｂ 两点．若 ＡＦ ＢＦ 则 ｌ
， ｜ ｜ ＝３｜ ｜， 评析 本题主要考查抛物线的定义、抛物线方程等相关知识，
的方程为
（ ） 明确准线上任一点到直线ｌ的距离为ｐ．
ｙ ｘ 或ｙ ｘ
Ａ． ＝ －１ ＝－ ＋１ ８．（２０１７山东，理１４，文１５，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 双
，
ｙ ３ ｘ 或ｙ ３ ｘ ｘ２ ｙ２
Ｂ． ＝ （ －１） ＝－ （ －１） 曲线 ａ ｂ 的右支与焦点为Ｆ的抛物线ｘ２
３ ３ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ＝
第十章 圆锥曲线 ５ ２１
２ｐｙ ｐ 交于Ａ Ｂ两点．若 ＡＦ ＢＦ ＯＦ 则该双曲线 离为 ．
（ ＞０） ， ｜ ｜＋｜ ｜＝４｜ ｜， ９
的渐近线方程为 ．
抛物线的几何性质 学生用书Ｐ１７８
答案 ｙ ２ｘ
＝±
２ １．（２０２０课标 ，文７，理５，５分）设Ｏ为坐标原点 直线ｘ 与
解析 本题考查双曲线 抛物线的基础知识 考查运算求解 Ⅲ ， ＝２
、 ， 抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 交于Ｄ Ｅ两点 若ＯＤ ＯＥ 则Ｃ的焦
能力和方程的思想方法． ： ＝２ （ ＞０） ， ， ⊥ ，
点坐标为
设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ． （ ）
（ １， １）， （ ２， ２） ( ) ( )
ｐ ｐ ｐ １ １
因为 ＯＦ ＡＦ ＢＦ 所以 ｙ ｙ 即ｙ ｙ Ａ． ，０ Ｂ． ，０ Ｃ．（１，０） Ｄ．（２，０）
４｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜， ４× ＝ １＋ ＋ ２＋ ， １＋ ２ ４ ２
２ ２ ２ １． 答案 Ｂ
{ｘ２ ｐｙ
＝２ ， ２．（２０１９课标 ，文９，理８，５分）若抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点
ｐ ．由 ｘ２ ｙ２ 消去ｘ 得ａ２ｙ２ ｐｂ２ｙ ａ２ｂ２ 所以ｙ ｙ Ⅱ ＝２ （ ＞０）
＝ ① ， －２ ＋ ＝０， １＋ ２ ｘ２ ｙ２
ａ２ －ｂ２ ＝１ 是椭圆
ｐ＋ ｐ ＝１
的一个焦点
，
则ｐ
＝ （ ）
３
ｐｂ２ ｂ
＝ ２ ａ２ ② ．由 ①② 可得 ａ ＝ ２ ２ ， 故双曲线的渐近线方程为ｙ ＝± ２． Ａ．２ 答案 Ｄ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．８
３．（２０１７课标 理，１０，５分）已知Ｆ为抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点
２ｘ． Ⅰ ： ＝４ ，
过Ｆ作两条互相垂直的直线ｌ ｌ 直线ｌ 与Ｃ交于Ａ Ｂ两点
２ １，２， １ ， ，
思路分析 由抛物线的定义和 ＡＦ ＢＦ ＯＦ 可得ｙ 直线ｌ 与Ｃ交于Ｄ Ｅ两点 则 ＡＢ ＤＥ 的最小值为
｜ ｜＋｜ ｜＝４｜ ｜ １ ２ ， ， ｜ ｜＋｜ ｜ （ ）
ｙ 的值（用ｐ表示）．再联立双曲线和抛物线的方程，消去 ｘ
＋ ２ Ａ．１６ Ｂ．１４ Ｃ．１２ Ｄ．１０
得关于ｙ的一元二次方程，由根与系数的关系得ｙ ｙ ．从而得 ３． 答案 Ａ
１＋ ２
ｂ ４．（２０１８北京文，１０，５分）已知直线ｌ过
的值，近而得渐近线方程．
ａ 点 且垂直于ｘ轴．若ｌ被抛物线
（１，０）
解题关键 求渐近线方程的关键是求
ｂ
的值，利用题中条
ｙ２
＝４
ａｘ截得的线段长为
４，
则抛物线
ａ 的焦点坐标为 ．
件建立等量关系是突破口，注意到 ＡＦ 、 ＢＦ 为焦半径，因此 ４． 答案
｜ ｜ ｜ ｜ （１，０）
应利用焦半径公式求解．又Ａ、Ｂ为两曲线的交点，因此应联立 ５．（２０２１全国乙文，２０，１２ 分）已知抛物
它们的方程求解．这样利用ｙ １＋ ｙ ２ 这个整体来建立等量关系便 线Ｃ ： ｙ２ ＝２ ｐｘ （ ｐ ＞０） 的焦点Ｆ到准线的距离为 ２ ．
可求解．
求Ｃ的方程
（１） ；
９．（２０１２陕西理，１３，５分）如图是抛物线形拱桥 当水面在ｌ时
， ， 已知Ｏ为坐标原点 点Ｐ在Ｃ上 点Ｑ满足Ｐ→Ｑ Ｑ→Ｆ 求
拱顶离水面 米 水面宽 米．水位下降 米后 水面宽 （２） ， ， ＝９ ，
２ ， ４ １ ， 直线ＯＱ斜率的最大值．
米．
５． 解题指导 （ ）利用抛物线的焦点到准线的距离求出ｐ的
１
值，从而得出抛物线方程；（ ）解决问题的关键在于将其转化
２
为向量的坐标运算问题，注意利用抛物线特殊的设点方式来
简化求解过程，将直线ＯＱ的斜率最值问题转化为单变量最值
问题，利用基本不等式的知识即可求得结果．
答案
解析
（１）∵
抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
的焦点Ｆ到准线的距离
解析 建
２
立
６
坐标系如图所示．
为
２，∴
ｐ
＝２
．
∴
抛物线Ｃ的方程为ｙ２
＝４
ｘ．
由已知不妨设点Ｐ ｘ２ ｘ Ｑ ｘ ｙ
（２） （４ ０，４ ０）， （ １， １），
则Ｐ→Ｑ ｘ ｘ２ ｙ ｘ
＝（ １－４ ０， １－４ ０），
Ｆ Ｑ→Ｆ ｘ ｙ
∵ （１，０），∴ ＝（１－ １，－ １），
{ｘ ｘ２ ｘ
Ｐ→Ｑ Ｑ→Ｆ １－４ ０＝９（１－ １），
∵ ＝９ ，∴ ｙ ｘ ｙ
１－４ ０＝９（－ １），
则抛
点
物
Ａ
线方程为
在抛
ｘ２
物
＝－
线
２ ｐ
上
ｙ．
ｐ 即抛物线方程为ｘ２ ｙ． 整理得
ì
í
ï ï ｘ １＝
１
１
０
（９＋４ ｘ２ ０），
∵ （２，－２） ，∴ ＝１， ＝－２
ï
当ｙ 时 ｘ ． ïｙ ４ ｘ
＝－３ ， ＝± ６ î １＝ ０，
１０
水位下降 米后 水面宽为 米．
∴ １ ， ２ ６ ｙ ｘ
评析 本题考查了解析法在实际问题中的运用．坐标运算是解 ∴ ｋ ＯＱ＝ｘ １ ＝ ４ ０ ｘ２，
题的关键． １ ９＋４ ０
当ｋ 最大时 ｘ
１０．（２０１６浙江，９，４分）若抛物线ｙ２ ｘ上的点Ｍ到焦点的距 ＯＱ ， ０＞０，
＝４
离为 １０， 则Ｍ到ｙ轴的距离是 ． ∴ ｋ ＯＱ＝ ４ ≤ ４ ＝ １ ，
答案 ９ ｘ ９ ＋４ ｘ ０ ２ ３６ ３
解析 设Ｍ ｘ ｙ 由抛物线方程知焦点Ｆ ．根据抛 ０
（ ０， ０）， （１，０） 当且仅当 ｘ ９ 时取
物线的定义得
｜
ＭＦ
｜＝
ｘ
０＋１＝１０，∴
ｘ
０＝９，
即点Ｍ到ｙ轴的距 ４ ０＝ｘ
０
“＝”，
５ ２２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｋ２
此时ｘ ３ 点Ｐ的坐标为 Δ ｋ２ 故ｘ ｘ ２ ＋４．
０＝ ， （９，６）， ＝１６ ＋１６＞０， １＋ ２＝ ｋ２
２
ｋ２
因此ｋ 的最大值为 １ ． 所以 ＡＢ ＡＦ ＢＦ ｘ ｘ ４ ＋４．
ＯＱ ｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝（ １＋１）＋（ ２＋１）＝ ｋ２
３
ｋ２
由题设知４ ＋４ 解得ｋ 舍去 或ｋ
ｋ２ ＝８， ＝－１（ ） ＝１，
因此ｌ的方程为ｙ ｘ ．
＝ －１
由 得ＡＢ的中点坐标为
（２） （１） （３，２），
所以ＡＢ的垂直平分线方程为ｙ ｘ 即ｙ ｘ ．
－２＝－（ －３）， ＝－ ＋５
设所求圆的圆心坐标为 ｘ ｙ 则
{ｙ ｘ
（ ０， ０），
０＝－ ０＋５， {ｘ {ｘ
ｙ ｘ ２ 解得 ０＝３，或 ０＝１１，
解后反思 针对抛物线 ｙ２ ＝２ ｐｘ（ｐ ＞０ ）上的点 Ａ，常设 Ａ （ ｘ ０＋１） ２ ＝ （ ０－ ０＋１） ＋１６ ． ｙ ０＝２ ｙ ０＝－６ ．
（ ｐｘ２， ｐｘ）来简化计算． ２
２ ２ 因此所求圆的方程为 ｘ ２ ｙ ２ 或 ｘ ２ ｙ
６．（２０１９课标
Ⅰ
理，１９，１２分）已知抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝３
ｘ的焦点为Ｆ
， ２ ．
（ －３） ＋（ －２） ＝１６ （ －１１） ＋（ ＋
６） ＝１４４
斜率为 ３ 的直线ｌ与Ｃ的交点为Ａ Ｂ 与ｘ轴的交点为Ｐ． 方法总结 有关抛物线的焦点弦问题，常用抛物线的定义进
， ，
２ 行转化求解，在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体
若 ＡＦ ＢＦ 求ｌ的方程
（１） ｜ ｜＋｜ ｜＝４， ； 运算．一般地，求直线和圆的方程时，利用待定系数法求解．
若→ＡＰ Ｐ→Ｂ 求 ＡＢ ．
（２） ＝３ ， ｜ ｜ 以下为教师用书专用（１—１０）
６． 解析 设直线ｌ ： ｙ ＝ ２ ３ ｘ ＋ ｔ ， Ａ （ ｘ １， ｙ １）， Ｂ （ ｘ ２， ｙ ２） ． １．（２０１６课标 Ⅱ 文，５，５分）设Ｆ为抛物线Ｃ ： ｙ２ ＝４ ｘ的焦点 ， 曲线
( ) ｋ
ｙ ｋ 与Ｃ交于点Ｐ ＰＦ ｘ轴 则ｋ
由题设得Ｆ ３ 故 ＡＦ ＢＦ ｘ ｘ ３ ＝ ｘ （ ＞０） ， ⊥ ， ＝ （ ）
（１） ，０ ， ｜ ｜＋｜ ｜＝ １＋ ２＋ ，
４ ２
１ ３
由题设可得ｘ ｘ ５ ． Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．２
１＋ ２＝ ２ ２
{ ２ 答案 Ｄ 由题意得点Ｐ的坐标为 ．把点Ｐ的坐标代
（１，２）
ｙ ３ｘ ｔ ｋ
由 ＝ ＋，可得 ｘ２ ｔ ｘ ｔ２ 入ｙ ｋ 得ｋ 故选 ．
２ ９ ＋１２（ －１） ＋４ ＝０， ＝ ｘ （ ＞０） ＝１×２＝２， Ｄ
ｙ２ ｘ
＝３ 评析 利用垂直得到点Ｐ的坐标是求解的关键．
ｔ
则ｘ ｘ １２（ －１）． ２．（２０１５课标 文，５，５分）已知椭圆Ｅ的中心在坐标原点 离心
１＋ ２＝－ Ⅰ ，
９
ｔ 率为 １ Ｅ的右焦点与抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点重合 Ａ Ｂ是Ｃ
从而 １２（ －１） ５ 得ｔ ７ ．所以ｌ的方程为ｙ ３ ｘ ７ ． ， ： ＝８ ， ，
－ ＝ ， ＝－ ＝ － ２
９ ２ ８ ２ ８ 的准线与Ｅ的两个交点 则 ＡＢ
{ ， ｜ ｜＝ （ ）
ｙ ３ ｘ ｔ ． ． ． ．
由→ＡＰ Ｐ→Ｂ可得ｙ ｙ ．由 ＝ ＋，可得ｙ２ ｙ ｔ ． Ａ３ Ｂ６ Ｃ９ Ｄ１２
（２） ＝３ １＝－３ ２ ２ －２ ＋２ ＝０ 答案 Ｂ 抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点坐标为 准线方程
ｙ２ ｘ ： ＝８ （２，０），
＝３ ｘ２
所以ｙ ｙ ．从而 ｙ ｙ 故ｙ ｙ ． 为ｘ ．从而椭圆Ｅ的半焦距ｃ ．可设椭圆Ｅ的方程为
１＋ ２＝２ －３ ２＋ ２＝２， ２＝－１， １＝３ ＝－２ ＝２ ａ２ ＋
代入Ｃ的方程得ｘ
１＝３，
ｘ
２＝ ３
１ ．故
｜
ＡＢ
｜＝
４
３
１３． ｙ
ｂ
２
２ ＝１（
ａ
＞
ｂ
＞０），
因为离心率ｅ
＝ ａ
ｃ
＝ ２
１
，
所以ａ
＝４，
所以ｂ２
＝
ａ２
思路分析 （
１
）由
｜
ＡＦ
｜＋｜
ＢＦ
｜＝４
确定Ａ、Ｂ两点横坐标之
ｃ２ ．由题意知 ＡＢ ２
ｂ２
１２ ．故选 ．
和，联立直线ｌ的方程（含参）与抛物线方程，由根与系数的关 － ＝１２ ｜ ｜＝ ａ ＝２× ＝６ Ｂ
４
系得Ａ、Ｂ两点横坐标之和的含参表达式．两者相等，列方程求 评析 本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质，运算失误容易
出参数． 造成失分．
（ ）Ｐ点在ｘ轴上，由→ＡＰ Ｐ→Ｂ知 Ａ、Ｂ 两点纵坐标的比例关
３．（２０１５陕西文，３，５分）已知抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
的准线经过
２ ＝３ 点 则该抛物线焦点坐标为
系，由根与系数的关系得Ａ、Ｂ两点纵坐标之和，二者联立，确 （－１，１）， （ ）
定Ａ、Ｂ的纵坐标，进而确定Ａ、Ｂ的坐标，从而求得 ＡＢ ． Ａ．（－１，０） Ｂ．（１，０） Ｃ．（０，－１） Ｄ．（０，１）
｜ ｜ ｐ
７．（２０１８课标 ，文２０，理１９，１２分）设抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点 答案 Ｂ 抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的准线方程为ｘ 由
Ⅱ ： ＝４ ＝２ （ ＞０） ＝－ ，
为Ｆ 过Ｆ且斜率为ｋ ｋ 的直线ｌ与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 ＡＢ ２
， （ ＞０） ， ，｜ ｜ ｐ ｐ
． 题设知 即 所以焦点坐标为 ．故选 ．
＝８ － ＝－１， ＝１， （１，０） Ｂ
求ｌ的方程 ２ ２
（１） ；
求过点Ａ Ｂ且与Ｃ的准线相切的圆的方程． ４．（２０１４安徽文，３，５分）抛物线ｙ
＝
１ ｘ２ 的准线方程是
（ ）
（２） ，
４
７． 解析 （１） 由题意得Ｆ （１，０）， ｌ的方程为ｙ ＝ ｋ （ ｘ －１）（ ｋ ＞０）， Ａ． ｙ ＝－１ Ｂ． ｙ ＝－２
设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ． ｘ ｘ
{ｙ （ ｋ １， ｘ １）， （ ２， ２） Ｃ． ＝－１ Ｄ． ＝－２
由
ｙ２
＝ （
ｘ
－１），得ｋ２ｘ２
－（２
ｋ２
＋４）
ｘ
＋
ｋ２
＝０
． 答案 Ａ 由ｙ
＝
１ ｘ２ 得ｘ２
＝４
ｙ
，
焦点在ｙ轴正半轴上
，
且
２
ｐ
＝４ ４
第十章 圆锥曲线 ５ ２３
ｐ 结论．
即ｐ 因此准线方程为ｙ ．故选 ．
＝４， ＝２， ＝－ ＝－１ Ａ ８．（２０１８北京文，１０，５分）已知直线ｌ过点 且垂直于ｘ轴．
２ （１，０）
５．（２０１３四川文，５，５分）抛物线ｙ２
＝８
ｘ的焦点到直线ｘ
－ ３
ｙ
＝０
若ｌ被抛物线ｙ２
＝４
ａｘ截得的线段长为
４，
则抛物线的焦点坐
的距离是 标为 ．
（ ）
答案
（１，０）
Ａ．２ ３ Ｂ．２ Ｃ． ３ Ｄ．１
答案 Ｄ 由抛物线方程知 ２ ｐ ＝８⇒ ｐ ＝４， 故焦点Ｆ （２，０）， 由 解析 本题主要考查抛物线的性质 ， 弦长的计算．
由题意得ａ 设直线ｌ与抛物线的两交点分别为Ａ Ｂ
点到直线的距离公式知 Ｆ 到直线 ｘ ｙ 的距离 ｄ ＞０， ， ，
， － ３ ＝０ ＝
不妨令Ａ在Ｂ的上方 则Ａ ａ Ｂ ａ
， （１，２ ）， （１，－２ ），
｜２－ ３×０｜ ．故选 ．
＝１ Ｄ 故 ＡＢ ａ 得ａ
｜ ｜＝４ ＝４， ＝１，
评析
１＋３
考查抛物线的方程及其性质、点到直线的距离公式，考
故抛物线方程为ｙ２
＝４
ｘ
，
其焦点坐标为
（１，０）
．
查运 算求解能力．
９．（２０１７天津文，１２，５分）设抛物线ｙ２
＝４
ｘ的焦点为Ｆ
，
准线为ｌ．
已知点Ｃ在ｌ上 以Ｃ为圆心的圆与ｙ轴的正半轴相切于点Ａ．
６．（２０１２课标理，８，５分）等轴双曲线Ｃ的中心在原点 焦点在ｘ ，
， 若 ＦＡＣ ° 则圆的方程为 ．
轴上 Ｃ与抛物线ｙ２ ｘ的准线交于Ａ Ｂ两点 ＡＢ ∠ ＝１２０ ，
则Ｃ ， 的实轴长为 ＝１６ ， ，｜ ｜＝４ ３， 答案 （ ｘ ＋１） ２ ＋（ ｙ － ３） ２ ＝１
（ ） 解析 本题主要考查抛物线的几何性质 圆的方程．
，
Ａ． ２ Ｂ．２ ２ Ｃ．４ Ｄ．８ 由抛物线的方程可知Ｆ 准线方程为ｘ 设点Ｃ
答案 Ｃ 如图 ＡＢ为抛物线ｙ２ ｘ的准线 （１，０）， ＝－１， （－１，
， ＝１６ ， ｔ ｔ 则圆Ｃ的方程为 ｘ ２ ｙ ｔ ２
由题意可得Ａ ． ），＞０， （ ＋１） ＋（ －） ＝１，
（－４，２ ３） 因为 ＦＡＣ ° ＣＡ ｙ轴
设双曲线Ｃ的方程为ｘ２
－
ｙ２
＝
ａ２
（
ａ
＞０），
则有
１６－１２＝
ａ２
，
故ａ
＝ 所以
∠
ＯＡＦ
＝１２０
°
，
在
⊥
ＡＯＦ中
，
ＯＦ
双曲线的实轴长 ａ ．故选 ． ∠ ＝３０ ， △ ， ＝１，
２，∴ ２ ＝４ Ｃ 所以ＯＡ 即ｔ
＝ ３， ＝ ３，
故圆Ｃ的方程为 ｘ ２ ｙ ２ ．
（ ＋１） ＋（ － ３） ＝１
评析 本题考查了双曲线和抛物线的基础知识，考查了方程
的数学思想，要注意双曲线的实轴长为 ａ．
２ 方法总结 求圆的方程常用的方法为待定系数法，根据题
７．（２０１６课标 ，１０，５分）以抛物线Ｃ的顶点为圆心的圆交Ｃ于
Ⅰ 意列出关于三个独立参数ａ，ｂ，ｒ（或Ｄ，Ｅ，Ｆ）的方程组，从而得
Ａ Ｂ两点 交Ｃ的准线于Ｄ Ｅ两点．已知 ＡＢ ＤＥ 到参数的值，写出圆的方程．若题中涉及直线与圆的位置关系
， ， ， ｜ ｜ ＝４ ２，｜ ｜ ＝
则Ｃ的焦点到准线的距离为 或弦长，常把圆的方程设为标准形式，同时应考虑数形结合思
２ ５， （ ）
． ． ． ． 想的运用．
Ａ２ Ｂ４ Ｃ６ Ｄ８
答案 Ｂ 不妨设 Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０），
Ａ
（
ｘ
１，２ ２），
则 ｘ
１＝
１０．（２０１４ 陕西文，１１，５ 分） 抛物线 ｙ２
＝ ４
ｘ 的准线方程
２ ( ) ２ ( ｐ ) ２ 为 ．
（２
２
２ ｐ ） ＝ ４ ｐ ， 由题意可知 ｜ ＯＡ ｜＝｜ ＯＤ ｜， 得 ４ ｐ ＋８＝
２
＋ 答案 ｘ ＝－１
５， 解得ｐ ＝４ ．故选 Ｂ ． 解析 由抛物线方程知ｐ ＝２， 故该抛物线的准线方程为ｘ ＝
思路分析 设出抛物线Ｃ的方程，根据已知条件得出点Ａ ｐ ．故填ｘ ．
－ ＝－１ ＝－１
的坐标，利用 ＯＡ ＯＤ 建立关于 ｐ 的方程，解方程得出 ２
｜ ｜ ＝ ｜ ｜
学生用书Ｐ１７９
1 （１） 焦点在ｘ轴上的统一方程为 ｙ２ ＝ ｍｘ （ ｍ ≠０）； 焦点在 ｙ
考点 抛物线的定义和标准方程 轴上的统一方程为ｘ２ ｎｙ ｎ 简记 对称轴看一次项 符号
＝ （ ≠０）， ： ，
决定开口方向．
１．抛物线的定义 标准方程的求法 定义法和待定系数法．
（２） ：
到一定点Ｆ和定直线ｌ Ｆ ｌ 距离 相等 的点的轨迹叫
（ ∉ ） ①
做抛物线．定点Ｆ叫做抛物线的 焦点 定直线ｌ叫做抛物线
2
② ，
的 准线 ． 考点 抛物线的几何性质
③
注意 到一定点Ｆ和定直线ｌ Ｆ ｌ 距离相等的点的轨迹是
： （ ∈）
过点Ｆ且垂直于ｌ的直线． 标准
ｙ２ ｐｘ ｐ ｙ２ ｐｘ ｐ ｘ２ ｐｙ ｐ ｘ２ ｐｙ ｐ
２．抛物线的标准方程 方程 ＝２ （ ＞０） ＝－２ （ ＞０） ＝２ （ ＞０） ＝－２ （ ＞０）
５ ２４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
续表
１．焦点弦的性质
以抛物线ｙ２ ｐｘ（ｐ ）为例，设ＡＢ是抛物线的过焦点
图形 ＝２ ＞０
的一条弦（焦点弦），Ｆ是抛物线的焦点，Ａ（ｘ ，ｙ ），Ｂ（ｘ ，ｙ ），
１ １ ２ ２
Ａ、Ｂ在准线上的射影为Ａ 、Ｂ ，则有以下结论：
１ １
范围 ｘ ≥０， ｙ ∈ ｐ Ｒ ｘ ≤０， ｙ ｐ ∈ Ｒ ｘ ∈ Ｒ ， ｙ ｐ ≥０ ｘ ∈ Ｒ ， ｙ ｐ ≤０ （ １ ）ｘ １ ｘ ２＝ ｐ ４ ２ ，ｙ １ ｙ ２＝－ ｐ２；
准线 ｘ ＝－ ｘ ＝ ｙ ＝－ ｙ ＝ （ ）若直线ＡＢ的倾斜角为θ，且Ａ位于ｘ轴上方，Ｂ位于
２ ２ ２ ２ ２
( ｐ ) ( ｐ ) ( ｐ ) ( ｐ ) ｐ ｐ
焦点 ｘ轴下方，则 ＡＦ ， ＢＦ ；
，０ － ，０ ０， ０，－ ｜ ｜＝ θ ｜ ｜＝ θ
２ ２ ２ ２ １－ｃｏｓ １＋ｃｏｓ
对称 ｐ
关于ｘ轴对称 关于ｙ轴对称 （ ） ＡＢ ｘ ｘ ｐ ２ （其中θ为直线ＡＢ的倾斜角），
性 ３ ｜ ｜＝ １＋ ２＋ ＝ ２θ
ｓｉｎ
顶点 抛物线的通径长为 ｐ，通径是最短的焦点弦；
（０，０） ２
离心 ｐ２
ｅ （ ）Ｓ （其中θ为直线ＡＢ的倾斜角）；
率 ＝１ ４ △ ＡＯＢ＝ θ
２ｓｉｎ
焦半 ｐ ｐ ｐ ｐ
ｘ ｘ ｙ ｙ （ ） １ １ ２ 为定值；
径长 ④ ０＋ － ０＋ ０＋ － ０＋ ５ ＡＦ ＋ ＢＦ ＝ ｐ
２ ２ ２ ２ ｜ ｜ ｜ ｜
焦点 （ ）以ＡＢ为直径的圆与抛物线的准线相切；
ｘ ｘ ｐ ｘ ｘ ｐ ｙ ｙ ｐ ｙ ｙ ｐ ６
弦长 ⑤ ０＋ １＋ －（ ０＋ １）＋ ０＋ １＋ －（ ０＋ １）＋ （ ）以ＡＦ（或ＢＦ）为直径的圆与ｙ轴相切；
７
其中Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 是抛物线上两动点 且ＰＱ过焦点 （ ）以 Ａ Ｂ 为直径的圆与直线 ＡＢ 相切，切点为 Ｆ，
（ ０， ０）， （ １， １） ， ８ １ １
Ｆ 线段ＰＦ称为抛物线的焦半径 线段ＰＱ称为抛物线的焦点弦． Ａ ＦＢ °；
， ， ∠ １ １＝９０
-@ （ ）Ａ，Ｏ，Ｂ 三点共线，Ｂ，Ｏ，Ａ 三点也共线．
９ １ １
２．如图所示，ＡＢ是抛物线ｘ２ ｐｙ（ｐ ）的过焦点的一条
＝２ ＞０
弦（焦点弦），分别过 Ａ，Ｂ 作抛物线的切线，交于点 Ｐ，连接
ＰＦ，则有以下结论：
ｐ
（ ）点Ｐ的轨迹是一条直线，即抛物线的准线ｌ：ｙ ；
１ ＝－
２
（ ）两切线互相垂直，即ＰＡ ＰＢ；
２ ⊥
（ ）ＰＦ ＡＢ；
３ ⊥
æｘ ｘ ｐ ö
（ ）点Ｐ的坐标为ç Ａ＋ Ｂ， ÷．
４ è － ø
２ ２
学生用书Ｐ１８０
一、应用抛物线定义解题
２
利用抛物线的定义求解问题时 主要涉及求轨迹方程和求 Ａ．２ Ｂ． ２ Ｃ．１ Ｄ．
， ２
最值问题． 解析 由抛物线ｙ２ ｘ知其准线方程为ｘ 由抛物线定
＝４ ＝－１，
１．求轨迹方程问题时要充分利用到定点的距离和到定直线 义可知点Ｐ到直线ｌ ｘ 的距离等于点Ｐ到焦点Ｆ的距离
１： ＝－１ ，
的距离的几何特征 并验证其满足抛物线的定义 然后利用定义 点Ｐ到直线ｌ 的距离与点Ｐ到直线ｌ 的距离之和的最小值
， ， ∴ １ ２
确定抛物线的方程．
为点Ｆ 到直线ｌ ｘ ｙ 的距离 即ｄ ｜１－０＋１｜
２．求最值问题主要把握两个转化 一是把抛物线上的点到焦点 （１，０） ２： － ＋１＝０ ， ＝ ＝
： １ ２ ＋（－１） ２
的距离转化为抛物线上的点到准线的距离 二是把抛物线上的点到
； ．故选 ．
抛物线的准线距离转化为抛物线上的点到焦点的距离 在解题时要 ２ Ｂ
， 答案 Ｂ
准确把握题设条件 进行有效转化 探求最值问题．
， ， １－１ 已知抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点为Ｆ 准线为ｌ 点Ｍ
例１ 已知直线ｌ ｘ ｌ ｘ ｙ Ｐ为抛物线ｙ２ ｘ上 ： ＝２ （ ＞０） ， ， ，
任意一点 则点Ｐ到直
１：
线
＝
ｌ
－１
与
，２
ｌ
：
的
－
距
＋１
离
＝
之
０，
和的最小值为
＝４ Ｎ分别在抛物线Ｃ上
，
且Ｍ→Ｆ
＋３
Ｎ→Ｆ
＝
０
，
直线ＭＮ交ｌ于点Ｐ
，
ＮＮ′
⊥
ｌ
，
， １ ２ （ ）
垂足为Ｎ′．若 ＭＮ′Ｐ的面积为 则Ｆ到ｌ的距离为
△ ２４ ３， （ ）
第十章 圆锥曲线 ５ ２５
Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１２
１－１． 答案 Ｂ
１－２ 已知点Ｆ为抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点 点Ａ在抛
： ＝２ （ ＞０） ，
物线上 点Ｂ在抛物线的准线ｌ上 且Ａ Ｂ两点都在ｘ轴的上方．
， ， ，
若ＦＡ ＦＢ ＦＡＢ １ 则直线ＦＡ的斜率为 ．
⊥ ，ｔａｎ∠ ＝ ，
３
１－２． 答案 ３
４
二、抛物线焦点弦问题的求解方法 解题思路
１．当直线与抛物线相交且直线过焦点时 要充分考虑抛物 分别求出直线ＡＥ ＢＥ的方程 然后联立 求解点Ｅ的坐
， （１） ， ， ，
线的定义 将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离 标 再结合直线ＥＦ与ＡＢ斜率之间的关系证明
， ， ；
进行转化 利用数形结合的方法或将交点坐标 ｘ ｙ ｘ ｙ 利用弦长公式求解 ＡＢ 构造 ＡＢＥ的面积关系式 结
， （ １， １），（ ２， ２） （２） ｜ ｜， △ ，
进行整体运算 如用根与系数的关系对 ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ 合函数的单调性求解最小值．
（ １＋ ２， １ ２， １＋ ２， １ ２
进行整体运算 求解． 解析 证明 显然直线ＡＢ的斜率存在
） （１） ： ，
( )
２．熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有关
易得Ｆ １ 设直线ＡＢ的方程为ｙ ｋｘ １
的选择题和填空题的关键． 见考点清单中的拓展延伸 ０， ， ＝ ＋ ，
（ ） ２ ２
例２ 已知抛物线ｙ２
＝４
ｘ的焦点为Ｆ
，
过点Ｆ作直线ｌ交抛 与抛物线方程ｘ２
＝２
ｙ联立
，
得ｘ２
－２
ｋｘ
－１＝０，
æ ｘ２ö æ ｘ２ö
物线于Ａ ， Ｂ两点 ， 则 Ａ １ Ｆ ＋ Ｂ １ Ｆ ＝ ， Ａ １ Ｆ ６ －｜ ＢＦ ｜ ２ 的最 设Ａ è çｘ １， １ ø ÷ ， Ｂ è çｘ ２， ２ ø ÷ ， 由根与系数的关系得 ｘ １＋ ｘ ２ ＝
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ２ ２
大值为 ． ｋ ｘ ｘ ．
２ ， １ ２＝－１
解析 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 易知Ｆ 设ｌ ｘ ｔｙ 对ｘ２ ｙ求导得 ｙ′ ｘ 所以切线ＡＥ的斜率为ｘ ＢＥ的斜
（ １， １）， （ ２， ２）， （１，０）， ： ＝ ＋１， ＝２ ， ＝ ， １，
代入ｙ２ ｘ 可得 ｙ２ ｔｙ 所以 ｙ ｙ ｔ ｙ ｙ 所以 ｘ２
＝４ －４ －４＝０， １＋ ２＝４， １ ２＝－４， 率为ｘ 则切线ＡＥ的方程为ｘ ｘ ｙ １ 切线ＢＥ的方程为ｘ ｘ
ｙ ｙ ２ ２， １ ＝ ＋ ， ２ ＝
ｘ ｘ （ １ ２） ｘ ｘ ｔ ｙ ｙ ｔ２ 所以 １ １ ２
１ ２＝ ＝１， １＋ ２＝ （ １＋ ２）＋２＝４ ＋２， ＡＦ ＋ ＢＦ ＝ ｘ２
１６ ｜ ｜ ｜ ｜ ｙ ２
ｘ ｘ ＋ ，
１ １ １＋ ２＋２ ．令 ＢＦ ｍ ｍ 则 １６ ２
ｘ ＋ｘ ＝ｘ ｘ ｘ ｘ ＝１ ｜ ｜ ＝ （ ＞１）， ＡＦ － ｘ２ｘ ｘ２ｘ ｘ ｘ
１＋１ ２＋１ １ ２＋（ １＋ ２）＋１ ｜ ｜ 当ｋ 时 联立ＡＥ与ＢＥ的方程可得ｙ １ ２－ ２ １ １ ２
( ) ( ) ≠０ ， ＝ ｘ ｘ ＝ ＝
ＢＦ ２ １ ｍ２ 令 ｆ ｍ １ ｍ２ ｍ 则 ２（ １－ ２） ２
｜ ｜ ＝１６ １－ｍ － ， （ ）＝ １６ １－ｍ － （ ＞１）， ｘ２ ｘ２ ｘ ｘ ( )
ｍ３ － １ ， ｘ ＝ ｘ １－ ｘ ２ ＝ １＋ ２ ＝ ｋ ， 故Ｅ ｋ ，－ １ ．
ｆ ′
（
ｍ
）＝
２（８
ｍ
－
２
）
，
令 ｆ ′
（
ｍ
）＝ ０，
得 ｍ
＝２，
所以当 ｍ
＞２
时
，
２ ２（ １－ ２） ２ ２
１ １
ｆ ′ ｍ 当 ｍ 时 ｆ′ ｍ 所以ｆ ｍ 在 上单调递 － －
（ ）＜０， １＜ ＜２ ， （ ）＞０， （ ） （１，２） 所以ｋ ｋ ２ ２ ｋ 所以ＥＦ ＡＢ．
增 在 上单调递减 所以当ｍ 时 ｆ ｍ 取得最大值 ＥＦ· ＡＢ＝ ｋ · ＝－１， ⊥
， （２，＋∞） ， ＝２ ， （ ） ， －０
为 ． 当ｋ 时 显然有ＥＦ ＡＢ．
４ ＝０ ， ⊥
答案 所以ＥＦ ＡＢ．
１；４ ⊥
２－１ 已知抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０），
过焦点Ｆ且斜率为
３
的
（２）
由→ＡＦ
＝
λＦ→Ｂ
，
得ｘ
１＝－
λｘ
２，
结合根与系数的关系
，
直线与Ｃ相交于Ｐ Ｑ两点 且Ｐ Ｑ两点在准线上的射影分别为
Ｍ ， Ｎ ， 则Ｓ △ ＭＦＮ＝
， ， ，
（ ）
得ｘ
２＝ １
２
－
ｋ
λ，
ｘ２
２＝ λ
１
，
从而ｋ２
＝
（１
４
－
λ
λ ） ２
，
Ａ．
８ ｐ２
Ｂ．
２ ３ｐ２
Ｃ．
４ ３ｐ２
Ｄ．
８ ３ｐ２
又
｜
ＡＢ
｜＝ １＋
ｋ２
｜
ｘ
１－
ｘ
２｜＝ １＋
ｋ２
４
ｋ２
＋４＝２（１＋
ｋ２
），
３ ３ ３ ３ ＥＦ ｋ２
２－１． 答案 Ｂ ｜ ｜＝ １＋ ，
２－２ （２０１８课标 Ⅲ 理，１６，５分）已知点Ｍ （－１，１） 和抛物线 所以Ｓ △ ＡＢＥ＝ １ ｜ ＡＢ ｜·｜ ＥＦ ｜＝ （１＋ ｋ２ ） ３ ，
Ｃ
：
ｙ２
＝４
ｘ
，
过Ｃ的焦点且斜率为ｋ的直线与Ｃ交于Ａ
，
Ｂ两点．若 ２
λ ２ ( ) [ ]
ＡＭＢ ° 则ｋ ． 因为ｋ２ （１－ ） １ λ １ 在 １ １ 上递减
∠ ＝９０ ， ＝ ＝ λ ＝ ＋λ－２ ， ，
２－２． 答案 ４ ４ ３ ２
２
例３ 过抛物线ｘ２
＝２
ｙ的焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ
，
Ｂ两 所以当λ
＝
１ 时
，
ｋ２ 取最小值
，
此时
△
ＡＢＥ 的面积取得最
点 抛物线在Ａ Ｂ处的切线交于点Ｅ． ２
， ，
求证 ＥＦ ＡＢ 小值２７ ２．
（１） ： ⊥ ；
[ ] ３２
设→ＡＦ λＦ→Ｂ 当λ １ １ 时 求 ＡＢＥ的面积的最 ２－３ （２０２０山东临沂期末，２０）如图 已知点Ｆ为抛物线Ｃ
（２） ＝ ， ∈ ， ， △ ， ：
３ ２ ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点 过点Ｆ的动直线ｌ与抛物线Ｃ交于Ｍ Ｎ
小值． ＝２ （ ＞０） ， ，
两点 且当直线ｌ的倾斜角为 °时 ＭＮ ．
， ４５ ，｜ ｜＝１６
求抛物线Ｃ的方程
（１） ；
试确定在ｘ轴上是否存在点Ｐ 使得直线ＰＭ ＰＮ关于ｘ
（２） ， ，
轴对称 若存在 求出点Ｐ的坐标 若不存在 请说明理由．
， ， ； ，
５ ２６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
假设满足题意的点Ｐ存在 设Ｐ ａ 由 知Ｆ ．
（２） ， （ ，０）， （１） （２，０）
当直线ｌ不与ｘ轴垂直时 设ｌ的方程为ｙ ｋ ｘ ｋ
① ， ＝ （ －２）（ ≠０），
由
{ｙ
＝
ｋ
（
ｘ
－２），得ｋ２ｘ２ ｋ２ ｘ ｋ２ ｘ ｘ ４
ｋ２
＋８
ｙ２ ｘ －（４ ＋８） ＋４ ＝０， １＋ ２＝ ｋ２ ，
＝８
ｘ ｘ ．Δ ｋ２ ２ ｋ２ ｋ２ ｋ２
１ ２＝４ ＝［－（４ ＋８）］ －４· ·４ ＝６４ ＋６４＞０，
直线ＰＭ ＰＮ关于ｘ轴对称
∵ ， ，
２－３． 解 Ｆ ( 析 ｐ （ ) １） 当 ｌ 直 的 线 方 ｌ 程 的 为 倾 ｙ 斜角 ｘ 为 ｐ ４ ． ５ °时 ， ｌ的斜率为 １， ∴ ｋ ＰＭ＋ ｋ ＰＮ＝０， 又ｋ ＰＭ＝ ｋ （ ｘ ｘ １ １ － － ａ ２） ， ｋ ＰＮ＝ ｋ （ ｘ ｘ ２ ２ － － ａ ２） ，
∵ ，０ ，∴ ＝ － ｋ ｘ ｘ ａ ｋ ｘ ｘ ａ ｋ ｘ ｘ ａ ｘ
２ ２ ∴ （ １－２）（ ２－ ）＋ （ ２－２）（ １－ ）＝ ［２ １ ２－（ ＋２）·（ １
{ ｐ ａ
由 ｙ ＝ ｘ － ，得ｘ２ ｐｘ ｐ２ ． ＋ ｘ ２）＋４ ａ ］＝－ ８（ ｋ ＋２） ＝０，∴ ａ ＝－２， 此时Ｐ （－２，０） ．
２ －３ ＋ ＝０
ｙ２
＝２
ｐｘ
，
４
②
当直线ｌ与ｘ轴垂直时
，
由抛物线的对称性
，
易知ＰＭ
，
ＰＮ
设Ｍ ｘ ｙ Ｎ ｘ ｙ 则ｘ ｘ ｐ 关于ｘ轴对称 此时只需Ｐ与焦点Ｆ不重合即可．
∴ ｜ Ｍ （ Ｎ ｜ １， ＝ ｘ １ １ ） ＋ ， ｘ ２＋ （ ｐ ２ ＝ ， ４ ｐ ２） ＝ ， １６， ｐ １ ＝ ＋ ４， ２＝３ ， 对称 综 ． 上 ， 存在 ， 唯一的点 Ｐ （－２，０）， 使直线 ＰＭ ， ＰＮ 关于 ｘ 轴
抛物线Ｃ的方程为ｙ２ ｘ．
∴ ＝８
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ１８１
抛物线的定义和标准方程
抛物线的几何性质
１．（２０２０山东滨州期末，７）已知抛物线ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ 准线
为ｌ Ｐ为该抛物线上一点 ＰＡ ｌ Ａ为垂
＝
足
４
．若直线ＡＦ的
，
斜率
１．（２０２１山东枣庄二模，４）已知点
（１，１）
在抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞
， ， ⊥ ， 上 则Ｃ的焦点到其准线的距离为
为 则 ＰＡＦ的面积为 ０） ， （ ）
－ ３， △ （ ）
１ １
Ａ．２ ３ Ｂ．４ ３ Ｃ．８ Ｄ．８ ３ Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．２
４ ２
１． 答案 Ｂ １． 答案 Ｂ
２．（２０２１湖北九师联盟２ 月质检，８）已知
２．（２０２１百 校 大联考（六），１２）已知Ｆ是抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的
＝２ （ ＞０）
抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
的焦点为Ｆ
，
点
焦点 斜率为 且经过焦点Ｆ的直线ｌ交该抛物线于Ｍ Ｎ两
( ｐ ) ， －２ ，
Ｍ ｘ ｘ 是抛物线 Ｃ 上一
（ ０，２ ２） ０＞
２
点
，
若
｜
ＭＮ
｜＝
５
，
则该抛物线的方程是
（ ）
２
ｐ
点 以点Ｍ为圆心的圆与直线ｘ 交 ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ
， ＝ Ａ． ＝ Ｂ． ＝２ Ｃ． ＝４ Ｄ． ＝６
２ ２． 答案 Ｂ
于Ｅ Ｇ两点 若 ＭＦＧ １ 则抛物线Ｃ的方程是 ３．（２０２１山东聊城二模，４）已知 ＡＢＣ的三个顶点都在抛物线ｘ２
， ， ｓｉｎ∠ ＝ ， （ ） △
３
ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ 上 且 Ｆ 为抛物线的焦点 若→ＡＦ １ →ＡＢ →ＡＣ 则
Ａ． ＝ Ｂ． ＝２ Ｃ． ＝４ Ｄ． ＝８ ＝８ ， ， ＝ （ ＋ ），
２． 答案 Ｃ ３
３．（２０２１广东湛江一模，６）已知抛物线Ｃ ： ｘ２ ＝－２ ｐｙ （ ｐ ＞０） 的焦点 ｜ →ＡＦ ｜＋｜ Ｂ→Ｆ ｜＋｜ Ｃ→Ｆ ｜＝ （ ）
为Ｆ 点Ｍ是Ｃ上的一点 Ｍ到直线ｙ ｐ的距离是Ｍ到Ｃ的
， ， ＝２ Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１２
准线距离的 倍 且 ＭＦ 则ｐ ３． 答案 Ｄ
２ ， ｜ ｜＝６， ＝ （ ）
４．（２０２０福建泉州３月适应性线上测试）已知Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 的准
Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０ ： ＝２ （ ＞０）
３． 答案 Ａ 线ｌ与ｘ轴交于点Ａ 点Ｂ Ｐ在Ｃ上 ＡＢＦ是面积为 的等腰直
， ， ，△ ２
４．（２０２１广东肇庆二模，１５）已知点Ｐ是抛物线ｘ２
＝８
ｙ上的一个
角三角形 Ｆ是焦点 则Ｃ的方程为 ｜
ＰＦ
｜的最小值为
动点 则点Ｐ到点Ａ 的距离与到抛物线的准线的距离之 （ ）， ， ＰＡ
， （２，０） ｜ ｜
和的最小值为 ． ．
４． 答案
２ ２ ４． 答案 ｙ２ ｘ ２
５．（２０２０海南三模，１５）已知圆ｘ２
－２
ｘ
＋
ｙ２
－８＝０
的圆心是抛物线 ＝４ ；
２
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
的焦点Ｆ
，
过点Ｆ的直线交该抛物线的准线于点 ５．（２０２０广东六校联盟第三次联考，１９）已知 Ｏ 为坐标原点
，
过
点Ｍ 的直线ｌ与抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 交于Ａ Ｂ两点
Ａ 与该抛物线的一个交点为 Ｂ 且→ＦＡ Ｆ→Ｂ 则 ＡＢ （１，０） ： ＝２ （ ＞０） ， ，
， ， ＝－３ ， ｜ ｜ ＝
． 且Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ ．
· ＝－３
求抛物线Ｃ的方程
５． 答案 ３２ （１） ；
过点Ｍ作直线ｌ′ ｌ交抛物线Ｃ于Ｐ Ｑ两点 记 ＯＡＢ
３ （２） ⊥ ， ， △ ，
第十章 圆锥曲线 ５ ２７
又直线ｌ′过点Ｍ 且ｌ′ ｌ
ＯＰＱ的面积分别为Ｓ Ｓ 证明 １ １ 为定值． ， ⊥，
５． 解 △ 析 （１） 设直线ｌ的方程 １， 为 ２， ｘ ＝ ｍｙ ： ＋ Ｓ １ ２ １ ， ＋Ｓ２ ２ 所以Ｓ ２＝２ １＋ ( －ｍ １ ) ２ ＝２ １＋ ｍ ｍ ２ ２ ，
与抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
联立
，
消去ｘ得ｙ２
－２
ｐｍｙ
－２
ｐ
＝０
．
所以 １ １ １ ｍ２ １
设Ａ
（
ｘ
１，
ｙ
１），
Ｂ
（
ｘ
２，
ｙ
２），
则ｙ
１＋
ｙ
２＝２
ｐｍ
，
ｙ
１
ｙ
２＝－２
ｐ
，
Ｓ２
１
＋Ｓ２
２
＝
４（１＋
ｍ２
）
＋
４（１＋
ｍ２
）
＝
４
，
由Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 得ｘ ｘ ｙ ｙ ｍｙ ｍｙ ｙ ｙ
· ＝－３， １ ２＋ １ ２＝（ １＋１）（ ２＋１）＋ １ ２＝（１＋ 即 １ １ 为定值．
ｍ２ ｙ ｙ ｙ ｙ ｍ ｍ２ ｐ ｐｍ２ ｐ Ｓ２ ＋Ｓ２
） １ ２＋（ １＋ ２） ＋１＝（１＋ ）·（－２ ）＋２ ＋１＝－２ ＋１＝－ １ ２
３，
解得ｐ
＝２，∴
抛物线Ｃ的方程为ｙ２
＝４
ｘ． 思路分析 （
１
）设直线ｌ的方程为ｘ
＝
ｍｙ
＋１
，与抛物线Ｃ的
证明 由 知 点Ｍ 是抛物线Ｃ的焦点 方程联立消去ｘ得关于ｙ的方程，利用根与系数的关系表示出
（２） ： （１） ， （１，０） ，
所以
｜
ＡＢ
｜＝
ｘ
１＋
ｘ
２＋
ｐ
＝
ｍｙ
１＋
ｍｙ
２＋２＋
ｐ
＝４
ｍ２
＋４，
ｙ
１＋
ｙ
２
，ｙ
１
ｙ
２
，从而由Ｏ→Ａ·Ｏ→Ｂ
＝－３
求得ｐ的值；
（ ）由题意求出弦长 ＡＢ 以及原点到直线 ｌ 的距离，计算
又原点到直线ｌ的距离为ｄ １ ２ ｜ ｜
＝ ，
ｍ２
１＋ ＯＡＢ的面积 Ｓ ，同理，求出 ＯＰＱ 的面积 Ｓ ，再求 １ １
△ １ △ ２ Ｓ２ ＋Ｓ２
所以Ｓ １ １ ｍ２ ｍ２ １ ２
１＝
２
×
１＋
ｍ２ ×４（ ＋１）＝２ １＋ ， 的值．
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ１８２ ５０分钟 ７５分
一、单项选择题（每小题５分，共２５分） ５． 答案 Ｄ
１．（２０２１河北石家庄３月质检，７）已知Ｆ是抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝８
ｘ的
二、多项选择题（每小题５分，共１５分）
焦点
，
Ｍ是 Ｃ 上一点
，
ＭＦ 的延长线交 ｙ 轴于点 Ｎ．若Ｍ→Ｆ
＝
６．（２０２０山东德州期末，１１）已知抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
的焦点
Ｆ→Ｎ 则 ＭＦ 的值为 为Ｆ 直线ｌ的斜率为 且经过点Ｆ 直线ｌ与抛物线Ｃ交于
２ ， ｜ ｜ （ ） ， ３ ，
Ａ Ｂ 两点 点 Ａ在第一象限 与抛物线的准线交于点 Ｄ 若
Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２ 、 （ ）， ，
１． 答案 Ａ ＡＦ 则以下结论正确的是
｜ ｜＝８， （ ）
２．（２０２１辽宁沈阳市郊联体一模，６）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦
： ＝８ ｐ Ｄ→Ｆ →ＦＡ
点为Ｆ Ｐ为Ｃ在第一象限上一点 若ＰＦ的中点到ｙ轴的距离 Ａ． ＝４ Ｂ． ＝
， ， ＢＤ ＢＦ ＢＦ
为 则直线ＰＦ的斜率为 Ｃ．｜ ｜＝２｜ ｜ Ｄ．｜ ｜＝４
３， （ ） ６． 答案 ＡＢＣ
Ａ． ２ Ｂ．２ ２ Ｃ．２ Ｄ．４ ７．（２０２１湖南衡阳联考（一），１１）已知抛物线Ｃ ｘ２ ｐｙ ｐ
２． 答案 Ｂ ： ＝２ （ ＞０），
过其准线上的点Ｔ 作Ｃ的两条切线 切点分别为Ａ Ｂ
３．（２０２１辽宁二模，４）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫 （１，－１） ， 、 ，
下列说法正确的是
斯 公元前 年 年 大约 年后 阿波罗尼奥更详 （ ）
（ ３７５ —３２５ ）， １００ ， ｐ
尽 系统地研究了圆锥曲线 并且他还进一步研究了这些圆锥 Ａ． ＝１
、 ， ＴＡ ＴＢ
曲线的光学性质 比如 从抛物线的焦点发出的光线或声波在 Ｂ． ⊥
， ：
经过抛物线反射后 反射光线平行于抛物线的对称轴 反之 直线ＡＢ的斜率为 １
， ； ， Ｃ．
平行于抛物线对称轴的光线 经抛物线反射后 反射光线经过 ２
， ， 线段ＡＢ中点的横坐标为
抛物线的焦点．设抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝
ｘ
，
一束平行于抛物线对称轴的
７．
Ｄ．
答案 ＢＣＤ
１
光线经过Ａ 被抛物线反射后 又射到抛物线 Ｃ 上的 Ｑ
（５，２）， ， ８．（２０２１江苏南通３月联考，１１）设Ａ Ｂ是抛物线ｙ ｘ２ 上的两
点 则Ｑ点的坐标为 ， ＝
， （ ） 点 Ｏ是坐标原点 下列结论成立的是
( ) ( ) ( ) ( ) ， ， （ ）
１ １ １ １ １ １ １ １ 若ＯＡ ＯＢ 则 ＯＡ ＯＢ
Ａ． ，－ Ｂ． ，－ Ｃ． ，－ Ｄ． ，－ Ａ． ⊥ ， ｜ ｜｜ ｜≥２
４ ２ ８ ４ １６ ４ ６４ ８ 若ＯＡ ＯＢ 则直线ＡＢ过定点
３． 答案 Ｄ Ｂ． ⊥ ， （１，０）
若ＯＡ ＯＢ 则Ｏ到直线ＡＢ的距离不大于
４．（２０２０福建３月质量检测，７）设抛物线Ｅ ｙ２ ｘ的弦ＡＢ过焦 Ｃ． ⊥ ， １
： ＝６
点Ｆ ＡＦ ＢＦ 过Ａ Ｂ分别作Ｅ的准线的垂线 垂足分别 若直线ＡＢ过抛物线的焦点Ｆ 且 ＡＦ １ 则 ＢＦ
，｜ ｜＝３｜ ｜， ， ， Ｄ． ， ｜ ｜＝ ， ｜ ｜＝１
是Ａ′ Ｂ′ 则四边形ＡＡ′Ｂ′Ｂ的面积等于 ３
， ， （ ） ８． 答案 ＡＣＤ
４．
Ａ．４
答
３
案 Ｃ
Ｂ．８ ３ Ｃ．１６ ３ Ｄ．３２ ３ 三、填空题（每小题５分，共１０分）
５．（２０２０山东潍坊模拟，８）抛物线有如下光学性质 过焦点的光 ９．（２０２１山东济南十一学校联考，１５）已知点Ｍ 抛物线
：
（－４，－２），
线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴 反之 ｘ２ ｙ的焦点为Ｆ 准线为ｌ Ｐ为抛物线上一点 过Ｐ作ＰＱ
； ， ＝４ ， ， ， ⊥
平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线 ｌ 点Ｑ为垂足 过 Ｐ 作抛物线的切线 ｌ ｌ 与 ｌ 交于点 Ｒ 则
， ， １， １ ，
的焦点．已知抛物线ｙ２
＝４
ｘ的焦点为Ｆ
，
一条平行于ｘ轴的光
｜
ＱＲ
｜＋｜
ＭＲ
｜
的最小值为 ．
线从点Ｍ 射出 经过抛物线上的点Ａ反射后 再经抛物 ９． 答案
（３，１） ， ， ５
线上的另一点Ｂ射出 则 ＡＢＭ的周长为 １０．（２０２１河北二轮复习联考（一），１６）如图 抛物线Ｃ ｘ２ ｙ的
， △ （ ） ， ： ＝４
焦点为Ｆ Ｐ为抛物线Ｃ在第一象限内的一点 抛物线Ｃ在点
７１ ８３ ， ，
Ａ． ＋ ２６ Ｂ．９＋ １０ Ｃ． ＋ ２６ Ｄ．９＋ ２６ Ｐ处的切线ＰＭ与圆Ｆ相切 切点为Ｍ 且交ｙ轴于点Ｑ 过
１２ １２ （ ） ，
５ ２８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
点Ｐ作圆Ｆ的另一条切线ＰＮ 切点为Ｎ 交ｙ轴于Ｔ点．若 因为ｘ ｘ ｂ ｘ ｘ ｂ２
（ ）， １＋ ２＝４－２ ， １ ２＝ ，
｜
ＦＱ
｜＝｜
ＦＰ
｜，
则
｜
ＦＴ
｜
的最小值为 ． 所以ｙ
１
ｙ
２＝
ｘ
１
ｘ
２＋
ｂ
（
ｘ
１＋
ｘ
２）＋
ｂ２
＝４
ｂ
，
所以Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ ｂ２ ｂ
· ＝ １ ２＋ １ ２＝ ＋４ ＝１２，
解得ｂ 或ｂ 舍 所以直线ｌ的方程为ｙ ｘ ．
＝－６ ＝２（ ）， ＝ －６
１２．（２０２１湖北武汉４月质检，２１）设抛物线Ｅ ｙ２ ｐｘ ｐ 的
： ＝２ （ ＞０）
焦点为Ｆ 过Ｆ作直线ｌ交抛物线Ｅ于Ａ Ｂ两点．当ｌ与ｘ轴
， ，
垂直时 ＡＯＢ的面积为 其中Ｏ为坐标原点．
，△ ８，
求抛物线Ｅ的标准方程
（１） ；
若ｌ的斜率存在且为ｋ 点Ｐ 直线ＡＰ与Ｅ的另一
（２） １， （３，０），
交点为Ｃ 直线ＢＰ与Ｅ的另一交点为Ｄ 设直线ＣＤ的斜
， ，
１０． 答案 １６
ｋ
９ 率为ｋ 证明 ２为定值．
２， ：ｋ
四、解答题（共２５分） １
( ｐ )
１１．（２０２０广东深圳线上统一测试，１９）已知以 Ｆ 为焦点的抛物 １２． 解析 当 ｌ 与 ｘ 轴垂直时 不妨设 Ａ ｐ
（１） ， ， ，
２
线Ｃ ： ｙ２ ＝２ ｐｘ （ ｐ ＞０） 过点Ｐ （１，－２）， 直线ｌ与Ｃ交于Ａ ， Ｂ两 Ｂ ( ｐ ｐ ) ＡＢ ｐ 则Ｓ １ ｐ ｐ ｐ
点 Ｍ为ＡＢ中点 且Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｐ λＯ→Ｆ． ，－ ，∴ ｜ ｜＝２ ， △ ＡＯＢ＝ ·２ · ＝８，∴ ＝４，
， ， ＋ ＝ ２ ２ ２
当λ 时 求点Ｍ的坐标 ｙ２ ｘ．
（１） ＝３ ， ； ∴ ＝８
证明 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ Ｃ ｘ ｙ Ｄ ｘ ｙ
（２） 当Ｏ→Ａ · Ｏ→Ｂ ＝１２ 时 ， 求直线ｌ的方程． （２） ： （ １， １ ｙ ）， ｙ （ ２， ２ ｙ ）， ｙ （ ３， ３）， （ ４， ４），
１１． 解析 （１） 将Ｐ （１，－２） 代入抛物线Ｃ的方程ｙ２ ＝２ ｐｘ ， 得ｐ 直线ｌ的斜率为ｋ １＝ｘ １－ ｘ ２ ＝ １－ ２ ＝ｙ ８ ｙ ， 同理可得ｋ ２＝
＝２，
所以Ｃ的方程为ｙ２
＝４
ｘ
，
焦点为Ｆ
（１，０），
当λ
＝３
时
，
Ｏ→Ｍ １－ ２ １
（
ｙ２
１－
ｙ２
２）
１＋ ２
８
Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｆ 则 ｘ ｙ 可得Ｍ ．
＋ ＝３ ， （ Ｍ， Ｍ）＋（１，－２）＝３（１，０）， （２，２） ８ 直线ｌ的方程为ｙ ｙ ８ ｘ ｘ 则 ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ
设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ Ｍ ｘ ｙ ｙ ｙ ， － １＝ｙ ｙ （ － １）， （ １＋ ２） － １ ２
（２） （ １， １）， （ ２， ２）， （ ０， ０）， ３＋ ４ １＋ ２
由Ｏ→Ｍ
＋
Ｏ→Ｐ
＝
λＯ→Ｆ
，
可得
（
ｘ
０＋１，
ｙ
０－２）＝（
λ
，０），
所以ｙ
０＝２，
又
＝８
点
ｘ．
Ｆ 在直线ｌ上 所以 ｙ ｙ
所以直线ｌ的斜率存在且斜率ｋ ＝ ｙ ｘ １ １ － － ｙ ｘ ２ ２ ＝ ｙ ｙ ２ １ １－ ｙ ｙ ２ ２ ２ ＝ｙ １＋ ４ ｙ ２ ＝ ｙ ２ ０ 同 由 理 点 ， Ｐ 直 （２ 线 ，０ Ｂ ） Ｄ 在 的 直 方 线 程 Ｂ 为 Ｄ （ 上 ， ｙ ２＋ 得 ｙ ４ － ） ｙ ｙ １ － ｙ ２ ｙ ＝ ２ ｙ １ ４ ６ ＝ ， ８ ｘ ，
设直线ｌ的方程为ｙ ｘ ｂ 联立 {ｙ ＝ ｘ ＋ ｂ ４ ， － 消 ４ 去ｙ 同理可 ｋ （ 得 ３， ｙ ｙ ０ １ ） ｙ ｙ ３＝－２４ ｙ ， ｙ ， ｙ ｙ － ２ ４＝２４， ｋ
＝１， ＝ ＋ ， ｙ２ ＝４ ｘ ， ， 所以 ｋ ２ ＝ｙ １＋ ｙ ２ ＝ １＋ ２ ＝ １ ２ ＝ －１６ ＝ ２ ， 所以 ｋ ２为定值．
整理得ｘ２ ＋（２ ｂ －４） ｘ ＋ ｂ２ ＝０， １ ３＋ ４ － ｙ ２４ ＋ － ｙ ２４ －２４ －２４ ３ １
由Δ ｂ ２ ｂ２ ｂ 可得ｂ ． １ ２
＝（２ －４） －４ ＝１６－１６ ＞０， ＜１
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 ( ｐ ) ｐ ｐ
Ｆ Ｐ点到ｙ轴的距离为 ＰＦ 其中 ＰＦ ｘ
１．（２０２１北京朝阳质量检测一，９）已知抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝４
ｘ的焦点
２
，０ ， ｜ ｜－
２
， ｜ ｜＝ Ｐ＋
２
，
为Ｆ 准线为ｌ 点Ｐ是直线ｌ上的动点．若点Ａ在抛物线Ｃ上 ｐ ｐ
ＰＡ ＰＦ ＦＡ
， ， ， ∴ ｜ ｜＋｜ ｜－ ≥｜ ｜－ ，
且 ＡＦ 则 ＰＡ ＰＯ Ｏ为坐标原点 的最小值为 ２ ２
｜ ｜＝５， ｜ ｜＋｜ ｜（ ） （ ） 此时点Ｐ为线段ＡＦ与抛物线的交点
，
Ａ．８ 答案 Ｂ 取 Ｂ Ｏ ．２ 关于 １３ 准线ｌ的 Ｃ 对 ． 称 ４１ 点为Ｏ′ （－ Ｄ ２ ．６ ，０）， 由题意 ， ∴ ｜ ＦＡ ｜＝ ( ０－ ｐ ) ２ ＋（－２－０） ２ ＝ ４＋ ｐ２ ，
得ｘ 不妨取Ａ ２ ４
Ａ＝４， （４，４）， ｐ
则 （｜ ＰＡ ｜ ＋｜ ＰＯ ｜）ｍｉｎ ＝ ｜ ＡＯ′ ｜ ＝ ［４－（－２）］ ２ ＋４ ２ ＝ ５２ ＝ 由题可得 ｜ ＦＡ ｜－
２
＝２ ３－２ ２，
故选
２ １３， Ｂ． ｐ２ ｐ
思路分析 首先运用抛物线的定义求得点Ａ的坐标，运用 ∴２ ３－２ ２＝ ４＋ － ，
４ ２
对称性得Ｏ′的坐标，即有 ＰＡ ＰＯ ＰＡ ＰＯ′ ，Ａ、Ｐ、Ｏ′ 解得ｐ
｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜ ＝４ ２，
三点共线时取得最小值． 故选
Ｄ．
２．（２０２１北京通州一模，９）已知点Ｐ是抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 上
＝２ （ ＞０）
一点 且点Ｐ到点Ａ 的距离与到ｙ轴的距离之和的最
， （０，－２）
小值为 则ｐ
２ ３－２ ２， ＝ （ ）
Ａ．２ ２ Ｂ．４ Ｃ．３ ２ Ｄ．４ ２
ｐ
答案 Ｄ 抛物线 ｙ２ ｐｘ ｐ 的准线为 ｘ 焦点
＝２ （ ＞０） ＝－ ，
２
第十章 圆锥曲线 ５ ２９
Ｍ 满足 →ＦＡ Ａ→Ｍ 则抛物线方程为
， ２ ＝ ， （ ）
ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ
Ａ． ＝８ Ｂ． ＝１６
ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ
Ｃ． ＝２４ Ｄ． ＝３２
ｐ
答案 Ｃ 由题意知 抛物线的准线方程为ｘ 过点Ａ
， ＝－ ，
２
作准线的垂线 垂足为Ｂ 由抛物线的定义 得 ＡＢ ＡＦ ｘ
， ， ， ｜ ｜＝｜ ｜＝ Ａ
ｐ ｐ
设准线与 ｘ 轴的交点为 Ｃ 因为 →ＦＡ Ａ→Ｍ 所以
＋ ＝２＋ ， ， ２ ＝ ，
２ ２
ｐ
３．（２０２１浙江宁波二模，２）已知抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的准线经过 ＡＢ ２＋
＝２ （ ＞０） ｜ ｜ ２ 即 ２ ２ 解得ｐ 所以抛物线的方程为ｙ２
点Ｐ 则该抛物线的焦点坐标为 ＦＣ ＝ ， ｐ ＝ ， ＝１２， ＝
（－１，－２）， （ ） ｜ ｜ ３ ３
． ． ｘ 故选 ．
Ａ（１，０） Ｂ（２，０） ２４ ， Ｃ
． ． ( ｐ )
Ｃ（０，１） Ｄ（０，２） 一题多解 由题意知，抛物线的焦点为 Ｆ ， ，准线方
ｐ ０
答案 Ａ 抛物线的准线经过点Ｐ ２
∵ （－１，－２），∴ ＝１， ｐ
２ 程为ｘ ，由 →ＦＡ Ａ→Ｍ得，Ａ是线段ＦＭ上靠近点Ｆ的三等
该拋物线的焦点坐标为 故选 ． ＝－ ２ ＝
∴ （１，０）， Ａ ２
( ｐ ) ( ｐ )
４．（２０２１天津河北二模，６）已知抛物线ｙ２
＝４ ２
ｘ的准线与双曲 分点，所以 Ｍ
－
，
３
ｙ
０
，所以Ａ→Ｍ
＝ － －２
，
２
ｙ
０
，又→ＦＡ
＝
ｘ２ ２ ２
线 ｙ２ ａ 相交于 Ａ Ｂ 两点 Ｆ 为抛物线的焦点 若 ( ｐ ) ( ｐ ) ｐ
ａ２ － ＝１（ ＞０） ， ， ， ，ｙ ，所以 ，解得ｐ ，所以抛物线
２－ ０ ２ ２－ ＝－ －２ ＝１２
ＦＡＢ为直角三角形 则实数ａ的值为 ２ ２ ２
△ ， （ ） 的方程为ｙ２ ｘ，故选 ．
＝２４ Ｃ
１ ２ １ ２ ８．（２０２１山西忻州二模，１１）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ： ＝２ （ ＞０）
９ ９ ３ ３ 为Ｆ 准线为ｌ 过Ｆ的直线与抛物线Ｃ交于点Ａ Ｂ 与ｌ交于
， ， ， ，
答案 Ｄ 由题意 抛物线的准线方程为ｘ Ｆ
， ＝－ ２， （ ２，０）， 点Ｄ 若Ｄ→Ｂ Ｂ→Ｆ ＡＦ 则ｐ
ｘ２ ａ２ ， ＝４ ，｜ ｜＝４， ＝ （ ）
将ｘ 代入 ｙ２ 得ｙ２ ２－
＝－ ２ ａ２ － ＝１， ＝ ａ２ ， Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．６
答案 Ｂ 如图 设准线与ｘ轴的交点为Ｋ 作ＡＡ ｌ ＢＢ
由对称性不妨取Ａ
æ
è
ç
－ ２，
２－
ａ２
ａ２ ö
ø
÷
，
Ｂ
æ
è
ç
－ ２，－
２－
ａ２
ａ２ ö
ø
÷
， ⊥
ｌ
，
垂足 分 别为Ａ
１
，
，
Ｂ
１，
则ＢＢ
１∥
ＦＫ
∥
ＡＡ
１，
又
，
Ｄ→Ｂ
＝４
１
Ｂ→
⊥
Ｆ
，
，
所以
１
ＢＢ
∵ △
ＦＡＢ 为直角三角形
， ｜
ＡＦ
｜ ＝ ｜
ＢＦ
｜，∴
→ＡＦ
·
Ｂ→Ｆ
＝ ｜
ＢＢ
１｜＝｜
ＢＦ
｜＝
１
｜
ＤＢ
｜，
设
∠
ＤＢＢ
１＝
θ
，
则
ｃｏｓ
θ
＝
｜
ＤＢ
１｜
＝
１ ．因
４ ｜ ｜ ４
æ
ç ２－
ａ２ ö
÷
æ
ç ２－
ａ２ ö
÷ 即 ２－
ａ２
解得ａ 为ＢＢ ＡＡ 所以 ＦＡＡ ＤＢＢ θ 所以 ＦＡＡ １
è２ ２，－ ａ２ ø·è２ ２， ａ２ ø＝０， ８－ ａ２ ＝０， １∥ １， ∠ １＝∠ １＝ ， ｃｏｓ∠ １＝ ，
４
２ 故选 ． 所以 ＫＦ ＡＡ １ ＡＦ 即ｐ ．故选 ．
＝ ， Ｄ ｜ ｜＝｜ １｜－ ｜ ｜＝４－１＝３， ＝３ Ｂ
３ ４
５．（２０２１天津南开期末，８）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ Ａ
： ＝６ ，
为Ｃ上一点且在第一象限 以 Ｆ 为圆心 ＦＡ为半径的圆交 Ｃ
， ，
的准线于Ｍ Ｎ两点 且Ａ Ｆ Ｍ三点共线 则 ＡＦ
， ， ， ， ， ｜ ｜＝ （ ）
Ａ．１２ Ｂ．９ Ｃ．６ Ｄ．３
答案 Ｃ 因为Ａ Ｆ Ｍ三点共线 所以ＡＭ为圆的直径
， ， ， ，
所以ＡＮ ＭＮ ＡＮ ｘ轴
⊥ ， ∥ ，
又Ｆ为ＡＭ的中点 且点Ｆ到准线的距离为 所以 ＡＮ
， ３， ｜ ｜＝６，
由抛物线的定义可得 ＡＦ ＡＮ 故选 ．
６．（２０２１山西晋中二模，
｜
７）已
｜＝
知
｜
点
｜
Ｆ
＝
是
６，
抛物线
Ｃ
Ｅ ｙ２ ｐｘ ｐ
９．（２０２１豫东豫北十所名校第四次联考，１１）已知抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
： ＝２ （ ＞０） ｐ 的焦点为Ｆ 准线为ｌ Ｍ Ｎ为抛物线上的两点 与坐标原点
的焦点 Ｏ为坐标原点 Ａ Ｂ是抛物线Ｅ上的两点 满足 ＦＡ （ ＞０） ， ， ， （
， ， ， ， ｜ ｜＋ 不重合 ＭＡ ｌ于Ａ ＮＢ ｌ于Ｂ 已知ＭＮ的中点Ｄ的坐标为
｜
ＦＢ
｜＝１０，
→ＦＡ
＋
Ｆ→Ｂ
＋
Ｆ→Ｏ
＝
０
，
则ｐ
＝ （ ） Ａ
）
Ｂ
，
Ｆ与
⊥
ＭＮＦ
，
的面
⊥
积比为
，
则ｐ的值为
（２，
１），△ △ ２∶ １， （ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
或 １
ｐ
答案 Ｄ 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则 ＦＡ ＦＢ ｘ Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．１ Ｄ．１
（ １， １）， （ ２， ２）， ｜ ｜＋｜ ｜＝ １＋ ２ ＋ ( ｐ ) ２
答案 Ｃ 抛物线的焦点 Ｆ 准线 ｌ 的方程为 ｘ
ｘ ２＋ ２ ｐ ＝ ｘ １＋ ｘ ２＋ ｐ ＝１０①， 由→ＦＡ ＋ Ｆ→Ｂ ＋ Ｆ→Ｏ ＝ ０ ， 知→ＦＡ ＋ Ｆ→Ｂ ＋ Ｆ→Ｏ ＝ ｐ (ａ２ ) (ｂ２ ) ２ ，０ ， ( ｐ ) ＝
( ｐ ) ｐ － ．设 Ｍ ｐ， ａ ， Ｎ ｐ， ｂ （ ａ ≠ ｂ ）， 则 Ａ － ， ａ ， Ｂ
ｘ ｘ ３ ｙ ｙ ０ 所以ｘ ｘ ３ 联立 解得ｐ ２ ２ ２ ２
１＋ ２－ ２ ， １＋ ２ ＝ ， １＋ ２＝ ２ ②， ①② ＝４， ( ｐ )
ｂ ．设ＭＮ与ｘ轴的交点为Ｅ ｍ ．Ｓ １ ａ ｂ
故选 Ｄ ． － ２ ， （ ，０） △ ＡＢＦ＝ ２ ｜ － ｜·
７．（２０２１吉林长春第二次质量检测，１０）已知抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ ｐ ｐ
＝２ （ ＞ ｐ Ｓ １ ａ ｂ ｍ ．由 Ｓ Ｓ 得 ｍ
上一点Ａ ｙ Ｆ为焦点 直线 ＦＡ交抛物线的准线于点 ， △ ＭＮＦ＝ ｜ － ｜· － △ ＡＢＦ＝２ △ ＭＮＦ － ＝
０） （２， ０）， ， ２ ２ ２
５ ３０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｐ ｘ ｙ Ｂ Ｃ ｘ ｙ Ｆ为抛物线的焦点 则
所以ｍ 舍去 或ｍ ｐ．因为Ｍ Ｎ Ｄ Ｅ四点共线 所以 （ １， １）， （１，２）， （ ２， ２）， ， （ ）
， ＝０（ ） ＝ ， ， ， ， 抛物线的准线方程为ｘ
２ Ａ． ＝－１
ａ ｂ ａ ｂ
ｋ ｋ 即 － １ 结合 ＋ 解得ｐ ． 若→ＦＡ Ｆ→Ｂ Ｆ→Ｃ ０ 则 →ＦＡ Ｆ→Ｂ Ｆ→Ｃ 成等差数列
ＭＮ＝ ＤＥ， ａ２
－
ｂ２ ＝
２－
ｐ，
２
＝１， ＝１ Ｂ．
若Ａ
＋
Ｆ Ｃ
＋
三点
＝
共
，
线 则ｙ ｙ
， ，
ｐ Ｃ． ， ， ， １ ２＝－１
２ 若 ＡＣ 则ＡＣ的中点到ｙ轴距离的最小值为
１０．（２０２１非凡吉创３月联考，１０）抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
的焦点为 Ｄ．
答案 Ａ
＝
Ｂ
６
Ｄ
，
把Ｂ 代入ｙ２ ｐｘ 得ｐ 所以
２
抛物线
Ｆ 过Ｆ且斜率为ｋ的直线ｌ交抛物线于Ａ Ｂ两点 分别以ＦＡ （１，２） ＝２ ， ＝２，
， 、 ， 、 的准线方程为ｘ 故 正确
ＦＢ为直径作 Ｍ Ｎ 不过Ｆ点的 Ｍ Ｎ的两条公切线交于 ＝－１， Ａ ；
☉ 、☉ ， ☉ 、☉ 因为Ａ ｘ ｙ Ｂ Ｃ ｘ ｙ Ｆ 所以→ＦＡ ｘ
点Ｑ
，
两公切线分别切
☉
Ｍ于Ｓ
、
Ｔ
，∠
ＳＱＴ
＝６０
°
，
则ｋ
＝ （ ）
（ １， １）， （１，２）， （ ２， ２）， （１，０）， ＝（ １－１，
ｙ Ｆ→Ｂ Ｆ→Ｃ ｘ ｙ 又由→ＦＡ Ｆ→Ｂ Ｆ→Ｃ ０ 得ｘ
Ａ．±１ Ｂ．± ２ Ｃ．± ３ Ｄ．±２
１）， ＝（０，２）， ＝（ ２－１， ２）， ＋ ＋ ＝ ， １＋
ｘ
答案 Ｃ Ｍ为ＦＡ的中点
，
由抛物线的定义可知
：｜
ＦＡ
｜＝
２＝２，
ｐ 所以 →ＦＡ Ｆ→Ｃ ｘ ｘ Ｆ→Ｂ 即 →ＦＡ Ｆ→Ｂ Ｆ→Ｃ
ｘ ｘ 故 Ｍ与ｙ轴相切 同理 Ｎ与ｙ轴相切 故ｙ ｜ ｜＋｜ ｜＝ １＋１＋ ２＋１＝４＝２｜ ｜， ｜ ｜，｜ ｜，｜
Ａ＋ ＝２ Ｍ， ☉ ， ，☉ ， 成等差数列 故 正确
２ ｜ ， Ｂ ；
轴是 Ｍ Ｎ的一条公切线 由圆的几何性质可知直线ｌ与 ｙ ｙ
☉ 、☉ ， 因为Ａ Ｆ Ｃ 三点共线 所以 ｋ ｋ 即 １ ２ 所以
ｙ轴交点为Ｑ 不妨设圆Ｍ与ｙ轴相切于Ｓ 则由 ＳＱＴ ° ， ， ， ＡＦ ＝ ＣＦ， ｘ ＝ｘ ，
， ， ∠ ＝６０ １－１ ２－１
ＳＱＭ ° 直线ｌ的倾斜角为 °或 ° ｋ ． ｙ ｙ
⇒∠ ＝３０ ⇒ ６０ １２０ ⇒ ＝± ３ １ ２ 化简得ｙ ｙ 故 不正确
＝ ， １ ２＝－４， Ｃ ；
１ ｙ２ １ ｙ２
１－１ ２－１
４ ４
设ＡＣ的中点为Ｍ ｘ ｙ 因为 ＡＦ ＣＦ ＡＣ ＡＦ
（ ０， ０）， ｜ ｜＋｜ ｜≥｜ ｜，｜ ｜＋｜
ＣＦ ｘ ｘ ｘ 所以 ｘ 得ｘ 即ＡＣ的
｜＝ １＋１＋ ２＋１＝２ ０＋２， ２ ０＋２≥６， ０≥２，
中点到ｙ轴距离的最小值为 故 正确．故选 ．
２， Ｄ ＡＢＤ
三、填空题
１３．（２０２１北京市育英中学高三３月月考，１３）过抛物线Ｃ ｙ２ ｘ
： ＝４
的焦点Ｆ 且斜率为 的直线交Ｃ于点Ｍ Ｍ在ｘ轴上方 ｌ
， ３ （ ），
为Ｃ的准线 点Ｎ在ｌ上且ＭＮ ｌ 则Ｍ到直线ＮＦ的距离为
， ⊥，
１１．（２０２１河南六市第二次联考，１１）已知抛物线 Ｃ ｘ２ ｐｙ ｐ ．
： ＝２ （ ＞
( ) 答案
的焦点为Ｆ Ｍ ｘ １ 为该抛物线上一点 若以Ｍ为圆心 ２ ３
０） ， ０， ， 解析 如图
２ ，
的圆与Ｃ的准线相切于点Ａ ＡＭＦ ° 过Ｆ且与ｙ轴垂
，∠ ＝１２０ ，
直的直线ｌ与Ｃ交于Ｇ Ｈ两点 Ｐ 为Ｃ的准线上的一点 则
， ， ０ ，
ＧＨＰ 的面积为
△ ０ （ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．９
答案 Ｄ 如图 由抛物线的定义及题意得 ＭＡ ＭＦ
， ｜ ｜＝｜ ｜＝
ｐ ( )
＋１ ＭＡ ｙ轴．因为Ｍ ｘ １ 是该抛物线上一点 所以ｘ
， ∥ ０， ， ０＝
２ ２
由抛物线Ｃ ｙ２ ｘ 得Ｆ 准线方程为ｘ ．
ｐ 所以 ＡＢ ｐ 其中Ｂ为准线与ｙ轴的交点 连接ＡＦ．因 ： ＝４ ， （１，０）， ＝－１
， ｜ ｜＝ （ ），
为 ＡＭＦ ° 所以 ＭＦＡ ＭＡＦ ° 所以 ＡＦＢ
则直线ＭＦ
：
ｙ
＝ ３（
ｘ
－１），
与抛物线ｙ２
＝４
ｘ联立得
３
ｘ２
－１０
ｘ
＋３
∠ ＝１２０ ， ∠ ＝∠ ＝３０ ， ∠ ＝
ＡＢ ｐ 解得ｘ １ ｘ ．
° 在 ＡＢＦ中 ＢＦ ｐ 则 ＡＦＢ ｜ ｜ 即 ３ ＝０， １＝ ， ２＝３
３０ ， Ｒｔ△ ，｜ ｜＝ ， ｔａｎ∠ ＝ ＢＦ ， ＝ ｐ ， ３
｜ ｜ ３ 点Ｍ在ｘ轴上方 Ｍ
解得ｐ 所以抛物线方程为 ｘ２ ｙ 此时 ＧＨ 所以 ∵ ，∴ （３，２ ３），
＝３， ＝６ ， ｜ ｜ ＝６，
ＭＮ ｌ Ｎ
ＧＨＰ 的面积为Ｓ １ ＧＨ ＢＦ １ 故选 ． ∵ ⊥，∴ （－１，２ ３），
△ ０ ＝ ｜ ｜·｜ ｜＝ ×６×３＝９， Ｄ Ｆ 直线ＮＦ ｙ ｘ 即 ｘ ｙ ．
２ ２ ∵ （１，０），∴ ： ＝－ ３（ －１）， ３ ＋ － ３＝０
Ｍ到直线ＮＦ的距离为｜３ ３＋２ ３－ ３｜ ．
∴ ＝２ ３
２ ２
（ ３） ＋１
故答案为 ．
２ ３
１４．（２０２１浙江百校３月联考，１６）已知抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦
＝２ （ ＞０）
点为Ｆ 若点Ａ Ｂ是该抛物线上的点 →ＡＢ →ＡＦ Ｂ→Ｆ
， ， ，｜ ｜＝６， · ＝０，
线段ＡＢ的中点Ｍ在抛物线的准线上的射影为Ｎ 则 Ｍ→Ｎ 的
， ｜ ｜
解题关键 解决本题的关键在于根据已知条件，将问题转 最大值为 ．
化到直角三角形ＡＢＦ中，利用边角关系求ｐ．
二、多项选择题
１２．（２０２０山东威海三模，１１）已知抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 上三点Ａ
＝２ （ ＞０）
第十章 圆锥曲线 ５ ３１
答案 ＭＱＮ ° ＮＱ ＦＱ
３ ２ ∴ ∠ ＝３０ ，∴ ｜ ｜＝２，｜ ｜＝４，
解析 如图所示 设 ＡＦ ａ ＢＦ ｂ 则 ＰＱ ｌ ＰＱＦ °
， ｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ∵ ⊥，∴ ∠ ＝６０ ，
由抛物线的定义知 ＰＱ ＰＦ
ＡＢ ａ２ ｂ２ ，｜ ｜＝｜ ｜，
｜ ｜＝ ＋ ＝６， ＦＰＱ为等边三角形 ＰＦ ＦＱ ．
ａ ｂ ∴ △ ，∴ ｜ ｜＝｜ ｜＝４
根据抛物线的定义可得 ＭＮ ＋ ．
｜ ｜＝
２
ａ ｂ
＋
ａ ｂ ａ２ ｂ２ ＭＮ
结合 ＋ ＋ 得 ｜ ｜ ２
≤ ， ＡＢ ＝
２ ２ ｜ ｜
ａ２
＋
ｂ２
２
≤ ，
２
所以 ＭＮ 的最大值为 ２ ＡＢ ．
｜ ｜ ｜ ｜＝３ ２
２
１５．（２０２１山西顶级名校４月联考，１６）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 四、解答题
： ＝２ （ ＞
的焦点为Ｆ 准线为 ｌ．若位于 ｘ 轴上方的动点 Ａ在准线 ｌ １７．（２０２１安徽合肥一模，２０）已知Ｆ是抛物线Ｅ ｙ２ ｐｘ ｐ
０） ， ： ＝２ （ ＞０）
的焦点 直线ｌ ｙ ｋ ｘ ｍ ｍ 与抛物线Ｅ交于Ａ Ｂ两点
上 线段ＡＦ与抛物线Ｃ相交于点Ｂ 且 １ １ ２ 则 ， ： ＝ （ － ）（ ＞０） ， ，
， ， ＢＦ － ＡＦ ＝ ， 与抛物线Ｅ的准线交于点Ｎ．
｜ ｜ ｜ ｜ ３
抛物线Ｃ的标准方程为 ． 若ｋ 时 ＡＢ ｍ 求抛物线Ｅ的方程
（１） ＝１ ，｜ ｜＝４ ２ ＋２， ；
答案 ｙ２ ｘ 是否存在常数ｋ 对于任意的正数ｍ 都有 ＦＡ ＦＢ
＝３ ( ) （２） ， ， ｜ ｜·｜ ｜＝｜
解析 设 ＡＦＯ α α π ＦＮ ｜ ２ ？ 若存在 ， 求出ｋ的值 ； 若不存在 ， 说明理由．
∠ ＝ ０＜ ＜ ２ ， 解析 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ．
过点Ｂ作ＢＢ′ ⊥ ｌ于点Ｂ′ ， { ｙ２ ｐ
（
ｘ
１， １）， （ ２， ２）
由 ＝２ ， 消去ｙ得ｋ２ｘ２ ｋ２ｍ ｐ ｘ ｋ２ｍ２ ．
（１） ｙ ｋ ｘ ｍ －２（ ＋ ） ＋ ＝０
＝ （ － ）
ｌ与抛物线Ｅ交于两点 ｋ ．
∵ ，∴ ≠０
又 ｍ ｐ Δ ｋ２ｍｐ ｐ２ 恒成立
∵ ＞０， ＞０，∴ ＝８ ＋４ ＞０ ，
{ ｐ
ｘ ｘ ｍ ２
１＋ ２＝２ ＋ｋ２，
∴
ｘ ｘ ｍ２．
１ ２＝
当ｋ 时
则 ＢＦ ＢＢ′ ＢＢ′ ＣＦ 则 ＡＢＢ′ ＡＦＯ α． ＝１ ，
｜ ｜＝｜ ｜， ∥ ， ∠ ＝∠ ＝ ＡＢ ｋ２ ｘ ｘ ｍｐ ｐ２ ｍ 化简得 ｐ
ＢＢ′ ＢＦ ｜ ｜＝ １＋ ｜ １－ ２｜＝２ ４ ＋２ ＝４ ２ ＋２， （ ＋
在 ＡＢ′Ｂ中 α ｜ ｜ ｜ ｜ ＢＦ ＡＢ α ｍ ｐ ．
Ｒｔ△ ，ｃｏｓ ＝ ＡＢ ＝ ＡＢ ，｜ ｜＝｜ ｜ｃｏｓ ， ２ ＋２）（ －２）＝０
｜ ｜ ｜ ｜
ＡＦ ∵
ｐ
＞０，
ｍ
＞０，∴
ｐ
＝２
．
∴
抛物线Ｅ的方程为ｙ２
＝４
ｘ．
从而 ＡＦ ＢＦ ＡＢ ＡＢ α 即ＡＢ ｜ ｜
｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜（１＋ｃｏｓ ）， ＝ α，
１＋ｃｏｓ
ＡＦ α
故 ＢＦ ｜ ｜ｃｏｓ
｜ ｜＝ α ，
１＋ｃｏｓ
又 １ １ ２
ＢＦ － ＡＦ ＝ ，
｜ ｜ ｜ ｜ ３
α
所以 １＋ｃｏｓ １ ２
ＡＦ α－ ＡＦ ＝ ，
｜ ｜ｃｏｓ ｜ ｜ ３
所以 ＡＦ ３
｜ ｜＝ α，
２ｃｏｓ 假设存在常数ｋ满足题意．
在 ＡＦＣ中 α ｜ ＣＦ ｜ ｐ ｐ ＡＦ α （２） ( ｐ )
Ｒｔ△ ，ｃｏｓ ＝ ＡＦ ＝ ＡＦ ， ＝｜ ｜ｃｏｓ ， 抛物线Ｅ的方程为ｙ２ ｐｘ ｐ 其焦点为Ｆ
｜ ｜ ｜ ｜ ∵ ＝２ （ ＞０），∴ ，０ ，
２
所以ｐ
＝
３
α·ｃｏｓ
α
＝
３
，
所以抛物线 Ｃ 的标准方程为 ｙ２
准线为ｘ
ｐ
Ｎ
( ｐ
ｋ
(
ｍ
ｐ ))
２ｃｏｓ ２ ＝－ ，∴ － ，－ ＋ ，
＝３ ｘ． ２ ( ２ ｐ ) ２ ２
１６．（２０２１天津河东一模，１４）已知抛物线ｙ２
＝４
ｘ的焦点为Ｆ
，
准 从而
｜
ＦＮ
｜
２
＝
ｐ２
＋
ｋ２ ｍ
＋
．
２
线为ｌ 抛物线上一点Ｐ ＰＱ与准线ｌ垂直且交于点Ｑ 以ＦＱ
， ， ， ｐ ｐ
由抛物线的定义得 ＦＡ ｘ ＦＢ ｘ
为直径的圆截直线 ｌ 所得的弦长为 则 ＰＦ 的长度为 ，｜ ｜＝ １＋ ，｜ ｜＝ ２＋ ，
２ ３， ２ ２
． ( ｐ ) ( ｐ ) ｐ ｐ２
ＦＡ ＦＢ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
答案 ∴ ｜ ｜·｜ ｜＝ １＋ · ２＋ ＝ １ ２＋ （ １＋ ２）＋
４ ２ ２ ２ ４
解析 由题意知 ｐ ( ｐ ) ２ ｐ２
， ＝２， ｍ ．
设ＦＱ的中点为Ｎ 过Ｎ作ＮＭ ｌ于Ｍ ＝ ＋ ＋ｋ２
， ⊥ ， ２
( ｐ ) ２ ｐ２ ( ｐ ) ２
则 ＭＮ １ ｐ ＭＱ 由 ＦＡ ＦＢ ＦＮ ２ 得 ｍ ｐ２ ｋ２ ｍ 即
｜ ｜＝ ＝１，｜ ｜＝ ３， ｜ ｜·｜ ｜＝｜ ｜ ＋ ＋ｋ２ ＝ ＋ ＋ ，
２ ２ ２
５ ３２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
é( ｐ ) ２ ｐ２ù
ｋ２ êê ｍ úú ． １ ．
（ －１）ë ＋
２
＋ｋ２ û＝０ － ( )
２
( ｐ ) ２ ｐ２ １６ １ ｔ － １ ＋４
ｍ ４
∵ ＋ ＞０，ｋ２＞０，
２ 由 ｔ 得 １ １ 所以 １ ＡＯＢ ．
ｋ２ 解得ｋ ． ０＜ ＜２， ｔ ＞ ， － ＜ｃｏｓ∠ ＜０
∴ －１＝０， ＝±１ ２ ５
∴ 都 存 成 在 立． ｋ ＝±１， 使得 ｜ ＦＡ ｜·｜ ＦＢ ｜＝｜ ＦＮ ｜ ２ 对于任意的正数ｍ 综上 ，ｃｏｓ∠ ＡＯＢ的取值范围是 æ è ç － ５ ， ５ ö ø ÷ ∪ æ è ç ５ ， １ ù û úú．
５ ５ ５ ２
思路分析 （ ）将直线方程与抛物线方程联立，根据弦长
１ １９．（２０２１浙江杭州二中高三下开学考，２１）椭圆Ｅ
ｘ２ ｙ２
ａ
公式，解得ｐ的值，从而求得抛物线的方程；（
２
）根据题意求 ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（
得点Ｎ的坐标，再由两点间的距离公式求得 ＦＮ ２，结合抛物
｜ ｜
线的定义写出 ｜ ＦＡ ｜ · ｜ ＦＢ ｜ ，由题意 ｜ ＦＡ ｜ · ｜ ＦＢ ｜ ＝｜ ＦＮ ｜ ２ 恒 ＞ ｂ ＞０） 的焦点到直线ｘ －３ ｙ ＝０ 的距离为 １０ ， 离心率为２ ５．
５ ５
成立，进而求得满足条件的ｋ的值．
抛物线Ｇ ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点与椭圆Ｅ的焦点重合 斜率为
１８．（２０２１浙江“９＋１”联盟４月联考，２１）如图 已知点Ｐ 到
ｋ的直线
：
ｌ过
＝
Ｇ
２
的
（
焦
＞
点
０
与
）
Ｅ交于Ａ Ｂ 与Ｇ交于Ｃ Ｄ．
，
， （２，１）
， ， ，
抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝
ａｘ
（
ａ
＞０）
的准线的距离为 ５
，
设过点Ｐ的直线
（１）
求椭圆Ｅ及抛物线Ｇ的方程
；
２ λ
与Ｃ相交于两点Ａ Ｂ 异于坐标原点Ｏ ． 是否存在常数λ 使得 １ ５ 为常数 若存在 求出
， （ ） （２） ， ＡＢ ＋ ＣＤ ？ ，
求实数ａ的值 ｜ ｜ ｜ ｜
（１） ； λ的值 若不存在 请说明理由．
求 ＡＯＢ的取值范围． ； ，
（２） ｃｏｓ∠ ( ｐ )
解析 设抛物线Ｇ的焦点为Ｆ 则Ｆ
（１） ， ，０ ，
２
ｐ
由题意得 ２ １０ 得ｐ
＝ ， ＝４，
１０ ５
所以抛物线Ｇ的方程为ｙ２ ｘ 且有Ｆ ．
＝８ ， （２，０）
ａ 又椭圆Ｅ的离心率为２ ５ 所以 ２ ２ ５ 得ａ
解析 抛物线Ｃ ｙ２ ａｘ ａ 的准线方程为ｘ ， ａ ＝ ， ＝ ５，
（１） ： ＝ （ ＞０） ＝－ ， ５ ５
４ 从而ｂ ．
ａ ＝１
所以点Ｐ到准线的距离为 ５ 得ａ ． ｘ２
２＋ ＝ ， ＝２ 所以椭圆Ｅ的方程为 ｙ２ ．
４ ２ ＋ ＝１
由 得抛物线Ｃ的方程为ｙ２ ｘ． ５
（２） （１） ＝２ 解法一 设直线ｌ的方程为ｘ ｍｙ ｍ Ａ ｘ ｙ
æｙ２ ö æｙ２ ö （２） ： ＝ ＋２（ ≠０）， （ １， １），
设Ａç １ ｙ ÷ Ｂç ２ ｙ ÷ ＡＢ的方程为ｔ ｙ ｘ Ｂ ｘ ｙ Ｃ ｘ ｙ Ｄ ｘ ｙ ．
è
２
， １ ø， è
２
， ２ ø， （ －１）＝ －２， （ ２{ ，
ｘ
２）
ｍ
，
ｙ
（ ３， ３）， （ ４， ４）
将ｘ ｔｙ ｔ代入抛物线方程ｙ２ ｘ 得ｙ２ ｔｙ ｔ ＝ ＋２，
进而
＝
有
＋
ｙ
２－
ｙ ｔ ｙ ｙ ｔ ．
＝２ ， －２ ＋２ －４＝０， 联立 ｘ２
ｙ２
消去ｘ
，
整理得
（
ｍ２
＋５）
ｙ２
＋４
ｍｙ
－１＝０
．
１＋ ２＝２， １ ２＝２ －４ ＋ ＝１，
因为Ａ Ｂ异于坐标原点Ｏ 所以ｙ ｙ ｔ 即ｔ ． ５
， ， １ ２＝２ －４≠０， ≠２ ｍ
所以 ＡＯＢ ｜ ＯＡ ｜ ２ ＋｜ ＯＢ ｜ ２ －｜ ＡＢ ｜ ２ ｙ １＋ ｙ ２＝－ｍ ４ ２ ， ｙ １ ｙ ２＝－ｍ２ １ ，
，ｃｏｓ∠ ＝ ＯＡ ＯＢ ＋５ ＋５
２｜ ｜｜ ｜
ｍ２
４ １ （ ｙ １ ｙ ２） ２ ＋ ｙ １ ｙ ２ ｙ １ ｙ ２（ ｙ １ ｙ ２＋４）
所以
｜
ｙ
１－
ｙ
２ ｜ ＝
２ ５
ｍ２ ＋５
＋１
，
得
｜
ＡＢ
｜ ＝
ｍ２
＋１ ｜
ｙ
１ －
ｙ
２ ｜
＝ æ è ç ｙ４ １ ＋ ｙ２ １ ö ø ÷ æ è ç ｙ４ ２ ＋ ｙ２ ２ ö ø ÷ ＝ ｜ ｙ １ ｙ ２｜ （ ｙ２ １＋４）（ ｙ２ ２＋４） ＝ ２ ５ ｍ （ ２ ｍ ＋ ２ ５ ＋１）．
４ ４ {ｘ ｍｙ
ｔ （ ｔ －２） ｔ ． 联立 ＝ ＋２，消去ｘ 整理得ｙ２ ｍｙ ．
＝ ｔ ｔ２ ｔ （ ≠２） ｙ２ ＝８ ｘ ， ， －８ －１６＝０
｜ －２｜ ５ －８ ＋１６ 所以ｙ ｙ ｍ 得 ＣＤ ｘ ｘ ｍ ｙ ｙ ｍ２ ．
ｔ２ ３＋ ４＝８ ， ｜ ｜＝ ３＋ ４＋４＝ （ ３＋ ４）＋８＝８（ ＋１）
①
当ｔ
（
ｔ
－２）＞０，
即 ｔ
＞２
或 ｔ
＜０
时
，ｃｏｓ∠
ＡＯＢ
＝ ｔ２ ｔ 则 １ ５
λ
５（
ｍ２
＋５） ５
λ
５（４
ｍ２
＋２０＋５
λ
）．
５ －８ ＋１６ ＡＢ ＋ ＣＤ ＝ ｍ２ ＋ ｍ２ ＝ ｍ２
｜ ｜ ｜ ｜ １０（ ＋１） ８（ ＋１） ４０（ ＋１）
＝ ( １ ) ２ ． 当 λ 即λ １６时 １ ５ λ 为定值 ５．
１ １ ２０＋５ ＝４， ＝－ ， ＡＢ ＋ ＣＤ
１６ ｔ － ＋４ ５ ｜ ｜ ｜ ｜ １０
４ 解法二 设直线ｌ的倾斜角为α
： ，
由ｔ 或ｔ 得 １ １ 或 １ 所以 ＡＯＢ １
＞２ ＜０， ０＜ ｔ ＜ ｔ ＜０， ０＜ｃｏｓ∠ ≤ ，
２ ２ 则 ＡＢ ２ ５ ＣＤ ８ ．
｜ ｜＝ ２α，｜ ｜＝ ２α
且 ＡＯＢ １ ． ５－４ｃｏｓ ｓｉｎ
ｃｏｓ∠ ≠ λ ２α λ ２α
５ 因此 １ ５ ５－４ｃｏｓ ５ ｓｉｎ
当ｔ ｔ ｔ 即ｔ 时 ＡＯＢ ． ＡＢ ＋ ＣＤ ＝ ＋
② （ －２）＝０（ ≠２）， ＝０ ，ｃｏｓ∠ ＝０ ｜ ｜ ｜ ｜ ２ ５ ８
ｔ２ æ λ ö
③
当ｔ
（
ｔ
－２）＜０，
即
０＜
ｔ
＜２
时
，ｃｏｓ∠
ＡＯＢ
＝－ ｔ２ ｔ ＝ ＝
５
＋è
ç ５
ｓｉｎ
２α
－
２ ５
ｃｏｓ
２α
ø
÷
，
５ －８ ＋１６ ２ ８ ５
第十章 圆锥曲线 ５ ３３
λ λ
当 ５ ２ ５ 即λ １６时 １ ５ 为定值 ５．
＝－ ， ＝－ ， ＡＢ ＋ ＣＤ
８ ５ ５ ｜ ｜ ｜ ｜ １０
学生用书Ｐ１８３
１．（２０２１ ５·３原创题）已知 Ｏ 为坐标原点 Ｆ 为抛物线 Ｃ ｘ２ 上的两点 若ｘ ｘ 则线段ＡＢ长度的最大值为
， ： ＝ ， １＋ ２＝１， ，
ｐ 线段ＡＢ最长时直线ＡＢ的方程为 ．
ｐｙ ｐ 的焦点 Ａ为Ｃ上一点 且 ＡＦ ３ ．若动点Ｍ在Ｃ
２ （ ＞０） ， ， ｜ ｜＝
２ ４． 答案 ３ ｙ ｘ ２或ｙ ｘ ２
的准线上 则 ＯＭ ＡＭ 的最小值是 ； ＝ ２ － ＝－ ２ ＋
， ｜ ｜＋｜ ｜ （ ） ２ ４ ４
５．（２０２１ ５·３原创题）已知抛物线 Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 过圆 Ｃ
ｐ ｐ ｐ ３ ３ｐ １： ＝２ （ ＞０） ２：
１． Ａ． 答案 Ｃ Ｂ． ３ Ｃ． ６ Ｄ． ２ （ 原 ｘ 点 －１） 过 ２ ＋ Ｏ （ ｙ Ｅ － 的 １） 中 ２ ＝ 点 １ 的 Ｇ作 圆 直 心 线 Ｐ ， ｌ 圆 与 Ｃ ２ 抛 与 物 ｙ 线 轴 Ｃ 切于 交 点 于不 Ｅ ， 同 Ｏ 的 为 两 坐标 点
２．（２０２１ ５ ·３ 原创题）阿基米德是古希腊伟大的物理学家 数学 Ｍ Ｎ ， 过点Ｍ作ｘ轴的垂线 分 ， 别与直线ＯＰ １ ＯＮ交于点Ａ Ｂ．
、 ， ， ， ， ，
家 他的数学贡献史无前例 因此他享有 数学之神 的称号．他 求抛物线Ｃ 的方程 并求其焦点坐标和准线方程
， ， “ ” （１） １ ， ；
最早利用逼近的思想方法得到了抛物线的弦与抛物线所围成的 求证 Ａ为线段ＢＭ的中点．
（２） ：
封闭图形的面积是阿基米德三角形面积的三分之二．抛物线的 ５． 解析 易知圆Ｃ 的圆心为Ｐ 因为抛物线Ｃ 过
（１） ２ （１，１）， １
弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德
圆Ｃ 的圆心 所以 ｐ 解得ｐ １ 所以Ｃ 的方程为ｙ２ ｘ
三角形 这条弦叫阿基米德三角形的底边 两切线的交点叫阿基 ２ ， ２ ＝１， ＝ ， １ ＝ ，
， ， ２
米德三角形的顶点．已知Ａ Ｂ是抛物线Ｃ ｘ２ ｙ上两个不同的 ( )
， ： ＝４ 焦点坐标为 １ 准线方程为ｘ １ ．
点 Ｐ ｍ 为该抛物线阿基米德三角形ＰＡＢ的顶点．则有如 ，０ ， ＝－
， （ ，－２） ４ ４
下结论 阿基米德三角形的底边所在直线过定点 设 ( )
：① （０，２）；② 证明 由题得点Ｅ 点Ｇ １ 直线ＯＰ ｙ ｘ 设直
Ｍ为弦ＡＢ的中点 则ＭＰ ｙ轴 当阿基米德三角形的底边最 （２） ： （０，１）， ０， ， ： ＝ ，
， ∥ ；③ ２
短时
，
弦ＡＢ与抛物线所围成的封闭图形面积为１６ ２
；④
设Ｆ为
线ｌ
：
ｙ
＝
ｋｘ
＋
２
１
（
ｋ
≠０），
Ｍ
（
ｙ２
１，
ｙ
１），
Ｎ
（
ｙ２
２，
ｙ
２），
３ {
抛物线的焦点 则 ＡＦ ＰＦ ＢＦ 成等比数列．其中不正确的 ｙ ｋｘ １
结论个数为
， ｜ ｜，｜ ｜，｜ ｜
∙∙∙
由 ＝ ＋
２
，得ｋｙ２
－
ｙ
＋
１
＝０，
（ ） ｙ２ ｘ ２
＝ ，
Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０
２． 答案 Ｄ 从而有ｙ ｙ １ ｙ ｙ １
３．（２０２１ ５ ·３ 原创题）已知直线ｌ ｙ ｋ ｘ 与抛物线Ｃ ｙ２ ｘ １＋ ２＝ ｋ ， １ ２＝ ２ ｋ，
交
于
于
点
Ａ
Ｍ
，
，
Ｂ
若
两
△
点
ＡＢ
， 过
Ｍ
线
的面
段
积
ＡＢ
为
的
１，
中
则
： 点
实
＝ 作
数
直 （
ｋ ＝
线 ＋ ３） ｌ′ 平 行 于 ｘ
．
轴 ： ， 交 ＝ Ｃ 直线ＯＮ ： ｙ ＝ｙ １
２
ｘ ， 因而有Ａ （ ｙ２ １， ｙ２ １）， Ｂ æ è çｙ２ １， ｙ ｙ ２ １
２
ö ø ÷ ， ｙ Ｍ＋ ｙ Ｂ＝ ｙ １＋ ｙ ｙ ２ １
２
ｙ ｙ ｙ２ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ
３． 答案 ± １ ＝ １ ｙ ２＋ １ ＝ １（ ｙ １＋ ２） ＝ｋｙ １ ＝２ ｙ １ ｙ ２·ｙ １ ＝２ ｙ２ １， 即ｙ Ｍ＋ ｙ Ｂ＝２ ｙ Ａ， 所
４ ２ ２ ２ ２
４．（２０２１ ５·３原创题）已知Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 是抛物线ｙ２ ｘ 以Ａ为线段ＢＭ的中点．
（ １， １）， （ ２， ２） ＝
