文档内容
专题 17 圆锥曲线的综合应用
一、知识速览
二、考点速览
知识点1 直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆的位置判断设直线方程为 ，椭圆方程为
联立 消去y得一个关于x的一元二次方程
① 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
② 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③ 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x，y)，(x，y)，
1 1 2 2
则弦长公式为：
知识点2 直线与双曲线的位置关系
1、直线与双曲线的位置关系判断
将双曲线方程 与直线方程 联立消去 得到关于 的一元二次方程
，
（1）当 ，即 ，直线 与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线只有一个交点；
（2）当 ，即 ，设该一元二次方程的判别式为 ，
若 ，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若 ，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若 ，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.
2、直线与双曲线弦长求法
若直线 与双曲线 （ ， ）交于 ， 两点，
则 或 （ ）．（具体同椭圆相同）
知识点3 直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；
相离（没有公共点）.
2、以抛物线 与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率 不存在，设直线方程为 ，
若 ，直线与抛物线有两个交点；
若 ，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若 ，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率 存在.
设直线 ，抛物线 ，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组 ，的解的个数，
即二次方程 （或 ）解的个数.
①若 ，
则当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当 时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当 时，直线与抛物线相离，无公共点.
②若 ，则直线 与抛物线 相交，有一个公共点.
3、直线与抛物线相交弦长问题
（1）一般弦长
设 为抛物线 的弦， ， ，弦AB的中点为 .
①弦长公式： （ 为直线 的斜率，且 ）.
② ,
推导：由题意，知 ，① ②
由①-②，得 ，故 ，即 .
③直线 的方程为 .
（2）焦点弦长
如图， 是抛物线 过焦点 的一条弦，
设 ， ， 的中点 ，过点 ， ， 分别向抛物线的准线 作垂线，垂足分别为点 ， ， ，
根据抛物线的定义有 ， ，
故 .
又因为 是梯形 的中位线，所以 ，
从而有下列结论；
①以 为直径的圆必与准线 相切.
② (焦点弦长与中点关系)
③ .
④若直线 的倾斜角为 ，则 .
⑤ ， 两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即 ， .
⑥ 为定值 .
一、直线与圆锥曲线位置关系
1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到
一元二次方程，其中 ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直
线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，
或直线与圆锥曲线相切．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l： 与椭圆C： 的位置
关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【典例2】（2023·高三课时练习）直线 与抛物线 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【典例3】（2023·四川成都·高三模拟预测）已知命题p： ，命题q：直线 与抛物线
有两个公共点，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例4】（2023上·江西南昌·高三校考阶段练习）已知直线 与双曲线 ，若直线与双曲
线左支交于两点，求实数 的取值范围.
二、直线与圆锥曲线的弦长问题
设 ， 根据两点距离公式 ．
（1）若 在直线 上，代入化简，得
；
所在直线方程为 ，代入化简，得
（2）若
（3）构造直角三角形求解弦长， ．其中 为直线 斜率， 为直线倾斜角．
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于 、
两点，则弦 的长为 ．
【典例2】（2023·四川乐山·高三统考二模）已知直线 与抛物线 交于点 、 ，
以线段 为直径的圆经过定点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·新疆喀什·高三校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直
线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
三、求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的
常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中
方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（2022·江苏泰州·高三统考模拟预测）已知 ， 是过点 的两条互相垂直的直线，且 与椭
圆 相交于A，B两点， 与椭圆 相交于C，D两点．
（1）求直线 的斜率k的取值范围；
（2）若线段 ， 的中点分别为M，N，证明直线 经过一个定点，并求出此定点的坐标．
【典例2】（2023·吉林·通化一中高三校联考模拟预测）已知曲线E上任意一点Q到定点 的距离
与Q到定直线 的距离之比为 ．
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）斜率为 的直线l交曲线E于B，C两点，线段BC的中点为M，点M在x轴下方，直线OM
交曲线E于点N，交直线 于点D，且满足 （O为原点）．求证：直线l过定点．
【典例3】（2022上·江苏苏州·苏州中学高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知点 在抛
物线 上，圆
（1）若 ， 为圆 上的动点，求线段 长度的最小值；
（2）若点 的纵坐标为4，过 的直线 与圆 相切，分别交抛物线 于 （异于点 ），求证：直
线 过定点．
四、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求
得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
【典例1】（2023上·四川·南江中学高三校联考阶段练习）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭
圆过点 ．
（1）求椭圆的方程．
（2）设 是椭圆上一点（异于 ），直线 与 轴分别交于 两点．证明在 轴上存在两点
，使得 是定值，并求此定值．【典例2】（2023上·广东深圳·高三统考期末）点 是平面直角坐标系 上一动点，两直线 ，
，已知 于点 ， 位于第一象限； 于点 ， 位于第四象限.若四边形 的面积
为2.
（1）若动点 的轨迹为 ，求 的方程.
（2）设 ，过点 分别作直线 ， 交 于点 ， .若 与 的倾斜角互补，证明直线
的斜率为一定值，并求出这个定值.
【典例3】（2023·河北衡水·高三模拟预测）已知点 在抛物线 上，过点
的直线 与 相交于 两点，直线 分别与 轴相交于点 .
（1）当弦 的中点横坐标为3时，求 的一般方程;
（2）设 为原点，若 ，求证: 为定值.
五、圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【典例1】（2022上·江苏宿迁·如东中学高三校考期中）已知 为椭圆 的左､右焦点，点 为
其上一点，且 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知直线 与椭圆 相交于 两点，与 轴交于点 ，若存在 ，使得 ，
求 的取值范围.
【典例2】（2023·河北秦皇岛·高三校联考二模）已知双曲线 实轴的一个端点是 ，虚
轴的一个端点是 ，直线 与双曲线的一条渐近线的交点为 .
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线 与曲线 有两个不同的交点 是坐标原点，求 的面积最小值.【典例3】（2023·全国·高三模拟预测）已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物
线 于 、 两点，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 为坐标原点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线与抛物线 的另
一交点为 ， 的中点为 ，求 的取值范围．
六、圆锥曲线中的证明问题
1、圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，
如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用
直接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 过 和 两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线 上运动时，直线 ， 分
别交椭圆于两点P和Q（不同于B，A）.证明：点B在以 为直径的圆内.
【典例2】（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）点 是抛物线 ： （ ）的焦点， 为坐
标原点，过点 作垂直于 轴的直线 ，与抛物线 相交于 ， 两点， ，抛物线 的准线与 轴
交于点 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设 、 是抛物线 上异于 、 两点的两个不同的点，直线 、 相交于点 ，直线 、
相交于点 ，证明： 、 、 三点共线．
七、圆锥曲线中的探索性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程
有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
【典例1】（2023下·河南开封·通许一中高三校考阶段练习）已知椭圆 过点和 ．
（1）求C的方程；
（2）不过原点 的直线 与 交于不同的 两点，且直线 的斜率成等比数列．在 上是否存
在一点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
【典例2】（2023上·重庆·高三统考阶段练习）已知抛物线 经过点 ，直线
与 交于 ， 两点（异于坐标原点 ）．
（1）若 ，证明：直线 过定点．
（2）已知 ，直线 在直线 的右侧， ， 与 之间的距离 ， 交 于 ， 两点，试问
是否存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【典例3】（2023上·重庆·南开中学高三校考阶段练习）已知双曲线 的左、右顶点
分别为A、B，渐近线方程为 ，焦点到渐近线距离为1，直线 与C左右两支分别交于
P，Q，且点 在双曲线C上.记 和 面积分别为 ， ， ， 的斜率分别为
，
（1）求双曲线C的方程；
（2）若 ，试问是否存在实数 ，使得 ， ， .成等比数列，若存在，求出 的值，不存在
说明理由.
易错点2 忽视直线与双曲线相交的特殊性
点拨：直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种
一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程 ，
（1）若 ，直线与双曲线相交，有两个交点；若 ，直线与渐进线平行，有一个交点
（2）若 ，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；（3）若 ，直线与双曲线相离，没有公共点；
二是可以利用数形结合的思想
【典例1】（2023·重庆·统考高三二模）已知点 和双曲线 ，过点 且与双曲线 只有一
个公共点的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
【典例2】（2022·吉林·东北师大附中高三校考模拟预测）过点 且与双曲线 有且只有一个
公共点的直线有（ ）条．
A．0 B．2 C．3 D．4
易错点2 忽视特殊性误判直线与抛物线的位置关系
点拨：在直线与抛物线的位置关系中存在特殊情况，即直线与抛物线对称轴平行时只有一个交点。在解题
时要注意，不要忘记其特殊性．
【典例1】（2023·全国·高三校联考期末）过点 作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样
的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与曲线 恰有一个公共点，则实数a的
值为 .
易错点3 解决直线与圆锥曲线位置关系时忽视对直线斜率不存在的讨论
点拨：解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为
方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方
程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根。
【典例1】（2023上·山东聊城·高三校联考期末）（多选）已知过点 的直线与椭圆 交于 、
两点，则弦长 可能是（ ）
A．1 B． C． D．3【典例2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过
的直线l交C的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为
4.
（1）求C的方程；
（2）证明： ，求 .
