文档内容
专题 16 圆锥曲线的标准方程与几何性质
一、知识速览
二、考点速览知识点1 椭圆
1、椭圆的定义
（1）平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭
1 2 1 2
圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
（2）集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|FF|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
1 2 1 2
①当2a>|FF|时，M点的轨迹为椭圆；
1 2
②当2a＝|FF|时，M点的轨迹为线段FF；
1 2 1 2
③当2a<|FF|时，M点的轨迹不存在．
1 2
2、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性
质 A(－a,0)，A(a,0)， A(0，－a)，A(0，a)，
1 2 1 2
顶点
B(0，－b)，B(0，b) B(－b,0)，B(b,0)
1 2 1 2
离心率 e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
3、椭圆中的几个常用结论
（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．
（2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
（3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．
（4）焦点三角形：椭圆上的点P(x，y)与两焦点F，F 构成的△PFF 叫做焦点三角形．
0 0 1 2 1 2
若r＝|PF|，r＝|PF|，∠FPF＝θ，△PFF 的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
1 1 2 2 1 2 1 2
①当r＝r，即点P为短轴端点时，θ最大；
1 2
②S＝|PF||PF|sin θ＝c|y|，当|y|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
1 2 0 0
③△PFF 的周长为2(a＋c)．
1 2知识点2 双曲线
1、双曲线的定义
（1）平面内与两个定点F，F(|FF|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双
1 2 1 2
曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
（2）集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|FF|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
1 2 1 2
①当2a<|FF|时，M点的轨迹是双曲线；
1 2
②当2a＝|FF|时，M点的轨迹是两条射线；
1 2
③当2a>|FF|时，M点不存在．
1 2
2、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
性质
线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长|AA|＝2a；
1 2 1 2
实、虚轴 线段BB 叫做双曲线的虚轴，它的长|BB|＝2b；
1 2 1 2
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
系
3、双曲线中的几个常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
（2）若P是双曲线右支上一点，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF| ＝c－a.
1 2 1min 2min
（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长
为2a.
（4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为
0，则直线PA与PB的斜率之积为.
（5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，则
1 2
，其中θ为∠FPF.
1 2
（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
（7）共轭双曲线
①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．
②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.
知识点3 抛物线
1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上．
2、抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦半径
|PF|＝x＋ |PF|＝－x＋ |PF|＝y＋ |PF|＝－y＋
0 0 0 0
(其中P(x，y))
0 0
3、抛物线中的几何常用结论
（1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦．
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2 p ，通径是过焦点最短的弦．
（2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点.
一、椭圆定义应用的类型及方法
1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程；2、焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正
弦定理或余弦定理，其中|PF|＋|PF|＝2a两边平方是常用技巧；
1 2
3、求最值：抓住|PF|与|PF|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF|·|PF|的最值；
1 2 1 2
利用定义|PF|＋|PF|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
1 2
【典例1】（2022高三·全国·专题练习）已知 的周长为20，且顶点 ，则顶点 的轨迹
方程是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23·24高三上·云南·阶段练习）已知点 为椭圆 上的一个动点，点 分别为椭
圆 的左、右焦点，当 的面积为1时， （ ）
A． B． C． D．
【典例3】（22·23高三·云南·阶段练习）已知 ，P是椭圆 上的任意一点，则
的最大值为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
【典例4】（23·24高三上·贵州黔东南·阶段练习）（多选）已知点 为椭圆C： 的左焦点，点
P为C上的任意一点，点 的坐标为 ，则下列正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为7
C． 的最小值为 D． 的最大值为1
二、求椭圆标准方程的2种常用方法
1、根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程；
2、待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a，b；若焦点位置不明
确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)【典例1】（2023高三·全国·专题练习）若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线
经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 .
【典例2】（22·23高三·全国·专题练习）经过椭圆M： 的左焦点和上顶点的直线记为
l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为 .
【典例3】（23·24高三上·广东揭阳·期末）已知椭圆E： （ ），F是E的左焦点，过
E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为 ， 的面积为 ，则E的标准方程为
.
三、求椭圆离心率及其范围的方法
1、求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的
一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2、求椭圆离心率范围的2种方法
（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x ，y)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x|≤a，a－c≤|PF|≤a＋c
0 0 0 1
等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；
（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系
式，适用于题设条件直接有不等关系。
【典例1】（23·24高三上·江苏泰州·期中） ， 为椭圆 的左右两个焦点，椭圆
的焦距为 ， ，若线段 的中点 在椭圆 上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23·24高三上·山东济南·开学考试）已知椭圆 ： 的上顶点为 ，两个焦
点为 ， ，线段 的垂直平分线过点 ，则椭圆的离心率为 ．【典例3】（2023高三·全国·专题练习）已知F，F 分别是椭圆 的左、右焦点，若椭
1 2
圆上存在点P，使 ，则椭圆的离心率e的取值范围为 .
【典例4】（2023高三·全国·专题练习）设椭圆C： 的右焦点为F，椭圆C上的两点
关于原点对称，且满足 ， ，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
四、解决椭圆中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系
数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点
x2 y2
+ =1
坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y轴)过椭圆a2 b2 ( a>b>0 )上两点A、B，其中
b2
k ⋅k =−
AB中点为 P(x 0 ，y 0 ) ，则有 AB OP a2 。
2 2
{x y
1 1
+ =1¿¿¿¿
2 2
a b
A(x ，y ) B(x ，y )
证明：设 1 1 、 2 2 ，则有 ，
x2 −x2 y2 −y2 y2 −y2 b2
1 2 + 1 2 =0 1 2 =−
上式减下式得
a2 b2
，∴
x
1
2 −x
2
2 a2
，
y −y y +y y −y 2y y −y y b2 b2
1 2 1 2 1 2 0 1 2 0
⋅ = ⋅ = ⋅ =− k ⋅k =−
x −x x +x x −x 2x x −x x a2 AB OP a2
∴ 1 2 1 2 1 2 0 1 2 0 ，∴ 。
y2 x2
+ =1
特殊的：直线l (存在斜率)过椭圆a2 b2 ( a>b>0 )上两点A、B，线段AB中点为 P(x 0 ，y 0 ) ，则有
a2
k ⋅k =−
AB OP b2
。
【典例1】（23·24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知椭圆 以及椭圆内一点 ，则以 为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C．-4 D．4
【典例2】（22·23高三上·四川广安·期中）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点
的直线交椭圆 于 两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
五、双曲线定义的应用
1、判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
2、在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF|－|PF||＝2a，运用平方的方法，建
1 2
立|PF|与|PF|的关系．
1 2
【注意】在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是
双曲线的一支，则需确定是哪一支．
【典例1】（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆 与 轴切于点 ，分别过点
作圆 的切线并交于点 (点 不在 轴上)，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． 或 D．
【典例2】（2023高三·全国·模拟预测）如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为
为双曲线右支上一点，且 的延长线交 轴于点 ，且 ， 的内切圆半径为
4， 的面积为9，则 （ ）A．18 B．32 C．50 D．14
【典例3】（2023高三·天津南开·一模）已知拋物线 上一点 到准线的距离为 是双曲线
的左焦点， 是双曲线右支上的一动点，则 的最小值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
六、待定系数法求双曲线方程的五种类型
1、与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
2、若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)；
3、与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)；
4、过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)；
5、与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)
【典例1】（24·25高三上·浙江·开学考试）已知等轴双曲线 经过点 ，则 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（22·23高三上·湖南长沙·阶段练习）在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆
有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023高三·海南·模拟预测）已知双曲线 为坐标原点， 为双曲
线 的两个焦点，点 为双曲线上一点，若 ，则双曲线 的方程可以为（ ）
A． B． C． D．
七、求双曲线的离心率或其范围的方法
1、求双曲线的离心率或其范围的方法
（1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等
式)求解，注意e的取值范围．
（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，
能有效简化计算．
（4）通过特殊位置求出离心率．
2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：
当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－.
【典例1】（23·24高三上·四川南充·阶段练习）已知双曲线 的左右焦点 点
关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【典例2】（22·23高三·全国·对口高考）双曲线 和椭圆 有共同的焦点，则椭圆的
离心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（22·23高三下·四川成都·开学考试）已知 ， 分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上
一点，且 ，设 ，当 的范围为 时，双曲线C离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2022高三·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 左、右
顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得 的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
八、抛物线定义的应用
1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
【典例1】（22·23高三·全国·专题练习）已知动点 的坐标满足方程 ，则动
点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对
【典例2】（23·24高三上·福州·阶段练习）已知 的顶点在抛物线 上，若抛物线的焦点 恰好
是 的重心，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例3】（22·23高三·厦门·模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 为 上一点， 为
靠近点 的三等分点，若 ，则 点的纵坐标为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
九、抛物线的标准方程的求法
1、定义法
根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．
标准方程有四种形式，要注意选择．
2、待定系数法
（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 p的方
程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；
（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨
论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．
另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方
程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．
【典例1】（23·24高三上·青岛·开学考试）设抛物线 ： 的焦点为 ， 在 上， ，
则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022高三·黑龙江佳木斯·三模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 且倾斜角为30°的直线交抛物线于点 （ 在第一象限）， ，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，
若 ，则抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
十、抛物线几何性质的应用技巧
1、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口
方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2、与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦
长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是
正确解题的关键．
【典例1】（2024高三·四川成都·一模）直线 与抛物线 交于 、 两点，若
，其中 为坐标原点，则 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23·24高三·昆明·模拟预测）（多选）在直角坐标系 中，已知抛物线 ：
的焦点为 ，过点 的倾斜角为 的直线 与 相交于 ， 两点，且点 在第一象限， 的面积是
，则（ ）
A． B． C． D．
易错点1 忽视圆锥曲线定义中的限制条件
点拨：在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于 。这种规定是为了避免出现两种特殊情
况——轨迹为一条线段或无轨迹。在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时要求距离差加了绝
对值，其实如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支，对此考生经常出错。【典例1】（2023高三·全国·专题练习）已知动点 满足 ，则动点
的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）已知点 ，动点 满足 ，则动点
的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
【典例3】（2023高三·全国·专题练习）已知点 ， ，则在平面内满足下列条件的动点P的
轨迹为双曲线的是（ ）
A． B． C． D．
易错点2 求圆锥曲线准方程时忽视“定位”分析
点拨：确定椭圆或双曲线的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆或双曲线
与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不
明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a、b 的值，常用待定系数法求解。
2 2
【典例1】（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率 ，且该双曲线经过点 ，则该
双曲线的标准方程为 .
【典例2】（23·24高三上·全国·课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是 ， ，并且椭圆经过点 ；
（2）经过两点 ， ．
【典例3】（23·24高二上·上海·课时练习）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ；
（2）焦距为4，且经过点 ．
易错点3 求与抛物线有关的最值问题是忽视定点位置
点拨：求与抛物线有关的最值问题常见题型及方法：
①具备定义背景，可用定义转化为几何问题来处理；
②不具备定义背景，可由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法来处理。
在这两类题型中，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错。
【典例1】（2023高三·四川成都·二模）已知点 是抛物线 的焦点，点 ，且点
为抛物线 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【典例2】（22·23高三·全国·模拟预测）已知 ，P分别是抛物线 上的一个定点
和动点， 是另一个定点，点P到直线 的距离为d，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【典例3】（2023高三·西藏·一模）已知点P为抛物线 上一动点，点Q为圆
上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若 的最小值为
3，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
