专题4.1数列的概念（B卷提升篇）解析版_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_01.同步练习_同步练习（第四套）_专题4.1数列的概念（B卷提升篇）

专题4.1数列的概念（B 卷提升篇）（人教A版第二册,浙江专用）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（2019·陕西省商丹高新学校期末（文））若数列 的通项公式为 ，则
（ ）
A．27 B．21 C．15 D．13
【答案】A
【解析】
因为 ，所以 ，
故选：A.
2．（2019·黑龙江哈师大青冈实验中学开学考试）在数列 中， ， （ ，
），则
A． B． C．2 D．6
【答案】D
【解析】
， （ ， ）， ， ，则
.3.（2019·绥德中学高二月考）数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据三角函数的周期性可
，同理得 ，可知周期为4，
．
4．（2020·四川凉山·期末（文））德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 ，
如果 是偶数，就将它减半（即 ）；如果 是奇数，则将它乘3加1（即 ），不断重复这样的运算，
经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为： 为正整数，当 时，
，则数列 中必存在值为1的项．若 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
因为 ， ，
所以 ，
，，
，
，
故选：B
5．（2020·云南其他（理））数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正
整数，如果是奇数，则乘3加1．如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能
够得到1．对任意正整数 ，记按照上述规则实施第 次运算的结果为 ，则使 的 所有
可能取值的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
由题意知 ， ，
由 ，得 ， ， 或 ．
①当 时， ， ， 或 ， 或 ．
②若 ，则 ， 或 ，
当 时， ，此时， 或 ，
当 时， ，此时， 或 ，
综上，满足条件的 的值共有6个．
故选：D．
6．（2020·贵州威宁·）观察数列21， ， ，24， ， ，27， ， ，…，则该数列的
第20项等于（ ）A．230 B．20 C． D．
【答案】C
【解析】
观察数列得出规律，数列中的项中，
指数、真数、弧度数是按正整数顺序排列，
且指数、对数、余弦值以3为循环，
，
可得第20项为 .
故选：C.
7．（2020·邵东县第一中学月考）已知数列 满足： ，且数列 是
递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据题意，a＝f(n)＝ ，n∈N*，要使{a}是递增数列，必有 ，据
n n
此有： ，综上可得2<a<3.
本题选择D选项.
8．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校期中）已知数列 的通项公式为 （ ），
若 为单调递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
由已知得 ，
因为 为递增数列，所以有 ，即 恒成立，
所以 ，所以只需 ，即 ，
所以 ，
故选：A.
9．（2020·邵东县第一中学期末）已知数列 的前 项和 ，且 ， ，则数列
的最小项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【答案】A
【解析】
∵ ,
∴ ,则 ,即 ,
∴ .
易知 ,
∵ ,
当 时, ,
∴当 时, ,当 时, ,
又 ,
∴当 时, 有最小值.
故选：A
10．（2020·浙江其他）已知数列 满足 ， ， ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】C
【解析】
因为 ，所以 递增，从而 ，
当 时， ，
所以 ，排除A.
当 时，因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
从而 ，故有 .
故选：C.
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．（2020·上海市七宝中学期末）已知数列 的前 项和为 ， ， ，则
________.
【答案】
【解析】
由 得 ，
所以数列 以 为周期，
又 ， ，
所以 .
故答案为： .
12.（2020·云南昆明·高二期末（理））数列 中，已知 ， ，若 ，则数列
的前6项和为______．
【答案】32
【解析】
∵数列 中， ， ， ，
∴ ， ，
， ，， ，
解得 ，
∴数列 的前6项和为：
，
故答案为：32.
13．（2020·潜江市文昌高级中学期末）观察下列数表：
设1025是该表第m行的第n个数，则 ______.
【答案】12
【解析】
根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9、…都是连续奇数，
第一行1个数；
第二行 个数，且第一个数是 ；
第三行 个数，且第一个数是 ；
第四行 个数，且第一个数是 ；
…
第10行有 个数，且第一个数是 ，第二个数是1025，
所以1025是该表第10行的第2个数，所以 ， ，则
故答案为：12.
14．（2018·浙江温州·高一期中）已知数列 对任意的 满足 ，且 ，则_______， _______.
【答案】
【解析】
由题意，根据条件得 ，则 ，而 ，所以 ，…，
由此可知 ，从而问题可得解.
n
1
15．（2020·浙江省高一期末）设数列a 的前n项和为S ，满足 S n (1)na n   2    nN* ，则
n n
a  S 
1 _________； 3 _________.
1 1
 
【答案】 4 16 ；
【解析】
1
S (1)na   nN*
（1）  n n 2n
1 1
a a  a 
当n1时， 1 1 2，解得 1 4.
n2
（2）当 时
1 1
a S S (1)na  (1)n1a 
n n n1 n 2n n1 2n1 ，
1 1 1
a a  a  2a  a
令n3可得， 3 3 8 2 4，即 3 8 2，
1 1
a a  a 
令n4可得， 4 4 16 3 8,1 1
a  a 
解得： 3 16 ， 2 4
1 1 1 1
S a a a    
则 3 1 2 3 4 4 16 16 .
a  a 11 na n1a 1
16．（2020·安徽省六安一中高三其他（文））已知在数列 n 中， 6 且 n n1 ，设
1
b 
n a
n
a
n1
，nN*，则a
n
________，数列 b
n
 前n项和T
n
________．
n
【答案】2n1 2n1
【解析】
a a 1 1 1
 n  n1   
na n1a 1， n1 n nn1 n1 n
n n1
a 1 a 1
 n1   n  n2
n n n1 n1
 a 1  a 1 a 1
 n   n   6  2n2
n1 n1为常数列，n1 n1 5 5
a 2n1n 2 a 1
n1
n ， ， 1 适合上式．
a 2n1 nN*
∴ n ， ，
1 1 1 1 1 
b    
 
n a a (2n1)(2n1) 22n1 2n1，
n n1
1 1 11 1 1 1 1  1 1  n
T  1       1 
∴ n 2   3   2  3 5    2  2n1 2n1   2   2n1   2n1．
n
故答案为：2n1；2n1．
17．（2020·湖南开福·周南中学二模（理））已知数列{ }对任意的n∈N*，都有 ∈N*，且 =①当 =8时， _______
②若存在m∈N*，当n>m且 为奇数时， 恒为常数P，则P=_______
【答案】
【解析】
，则
故从第二项开始形成周期为 的数列，故
当 为奇数时， 为偶数，故
若 为奇数，则 ，故 ，不满足；
若 为偶数，则 ，直到为奇数，即
故 ，当 时满足条件，此时 ，即
故答案为：① ；②
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
n
a n1
10
 nN*
18．（2017·山东省单县第五中学高二月考（文））数列a 的通项 n  11   ，试问该
n
a 
数列 n 有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.
1010
a a 
【答案】最大项为 9 10 119
【解析】a a
n n1

设 a 是该数列的最大项，则  a a
n n n1
 10 n 10 n1

n1
 
n2
 
 11 11
∴
n n1
 10 10
n1 n
    
 11 11
9n10
解得
nN*
∵ ，
n9或n10
∴ ，
1010
a a 
∴最大项为 9 10 119
点睛：求数列最大项或最小项的方法
a a a a

n1 n(n2)

n1 n(n2)
（1）可以利用不等式组 a a 找到数列的最大项；利用不等式 a a 找到数列的
 
n n1 n n1
最小项．
（2）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项．
a a a
1  2  n n2 n
19．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（文））数列 {a } 满足： 2 3 n1 ，nN*.
n
{a }
（1）求 n 的通项公式；
1
9
b 
S 
（2）设 n a ，数列{b }的前n项和为S ，求满足 n 20 的最小正整数n.
n n n
a 2nn1
【答案】（1） n ；（2）10.
【解析】
a a a
1  2  n n2 n
（1）∵ 2 3 n1 ．
n=1时，可得a＝4，
1a a a
1  2  n1 n12 n1
n≥2时， 2 3 n ．
a a a
1  2  n n2 n
与 2 3 n1 ．
a
n
两式相减可得n1＝（2n﹣1）+1=2n，
a 2nn1 a 2nn1
∴ n ．n=1时，也满足，∴ n .
1 1 11 1 
b   
（2） n a 2nn1=2  n n1  
n
1 1 1 1 1 1  1 1  9
  1        1  S 
∴S
n
2 2 2 3 n n1 2 n1，又 n 20，可得n>9，
可得最小正整数n为10．
a  a a a a a a  a a 1,nN*
20．（2020·上海市七宝中学期中）数列 n 满足 n n1 n2 n n1 n2 n n1 ，且
 
A0,0,
a 1，a 2.规定的 a  通项公式只能用Asinxc   2  的形式表示.
1 2 n
a
（1）求 3的值；
a 
k 
（2）证明3为数列 n 的一个周期，并用正整数 表示 ；
a 
（3）求 n 的通项公式.
2k 2 3 2 
  kN* a  sin  n  2
【答案】（1）a 3（2）证明见解析； 3 .（3） n 3  3 3 
3
【解析】
（1）当a＝1，a＝2，aaa＝a+a+a，解得a＝3；
1 2 1 2 3 1 2 3 3
（2）当n＝2时，6a＝2+3+a，解得a＝1，
4 4 4
当n＝3时，3a＝1+3+a，解得a＝2，
5 5 5
…，可得a ＝a，当a＝1，a＝2，a＝3；
n+3 n 1 2 3
故3为数列{a}的一个周期，
n
2k 2k

 kN*
则  ＝3，k N*，则 3 ；
∈
2
（3）由（2）可得a＝Asin（ n+ ）+c，
n 3
φ
2 
则1＝Asin（ + ）+c，2＝﹣Asin（ + ）+c，3＝Asin +c，
3 3
φ φ φ
3 1
即1＝A• cos ﹣A• sin +c，
2 2
φ φ ①
3 1
2＝﹣A• cos ﹣A• sin +c，
2 2
φ φ ②
由 + ，可得3＝﹣Asin +2c，
∴①c＝2②，Asin ＝1， φ
φ 3
﹣ ，可得﹣1＝A• cos ，
① ② φ
3
则tan ＝﹣ ，
φ

∵| |＜ 2 ，
φ

∴ ＝﹣ ，
3
φ
2 3
∴A＝﹣ 3 ，
2 3 2 
a  sin n 2
 
故 n 3  3 3  ．
{a } a 2 (n1)(a a )2(a n1)
21．（2020·湖北宜昌·其他（文））数列 n 中， 1 ， n1 n n .
a a
（1）求 2， 3的值；1
{ }
（2）已知数列{a }的通项公式是a n1，a n2 1，a n2 n中的一个，设数列 a 的前n项
n n n n n
T
n 360
和为S ，{a a }的前n项和为T ，若S ，求n的取值范围．
n n1 n n n
a 6 a 12 n17 n
【答案】（1） 2 ， 3 （2） ，且 是正整数
【解析】
n1a a 2a n1
（1）∵ n1 n n ，
n3
a  a 2
∴ n1 n1 n
13
a  a 26
∴ 2 11 1
23
a  a 212
3 21 2
a  a n1 a n2 1 a n2 n a 6 a 
（2）由数列 n 的通项公式是 n ， n ， n 中的一个，和 2 得数列 n 的
a n2 nnn1
通项公式是 n
1 1 1 1
  
由a nn1可得a nn1 n n1
n n
1 1 1  1 1 1 1 1  1
    1      1
       
∴a a a  2 2 3 n n1 n1
1 2 n
1
S 1
∴ n n1
a a a a  a a a a a nn1
∵ 2 1 3 2  n1 n n1 1， n
a a a a  a a n2 3n
∴ 2 1 3 2  n1 n
T n2 3n
即 nT
n 360
由S ，得n2 4n3570，解得n17或n21
n
n
∵ 是正整数，
n n17 n
∴所求 的取值范围为 ，且 是正整数
1
a 1
22．（2020·上海市七宝中学期末）已知数列 a  满足a t， n1 a ，数列 a  可以是无穷数列，
n 1 n n
3 5 1 1
t  
也可以是有穷数列，如取t 1时，可得无穷数列：1，2，2 ，3，...；取 2 时，可得有穷数列： 2 ，
1，0.
a 0 t
（1）若 5 ，求 的值；
1a 2 n2 nN* t
（2）若 n 对任意 ， 恒成立.求实数 的取值范围；
1
b 
 nN*
（3）设数列 b  满足b 1， n1 b 1 ，求证：t取数列 b  中的任何一个数，都可以得
n 1 n n
a 
到一个有穷数列 n .
3
t 
【答案】（1） 5；（2）t 1；（3）证明见解析.
【解析】
1 1
a 1 a 
（1）由 n1 a 得 n a 1，
n n1
1 2 1 3
a   t a  
1 1 1 2 1 3 1 2 5
∴a   1，a    ，  1 ，  1 ；
4 01 3 11 2 2 3
1 1 3 1
 1 a 1 2
（2）若1a 2
 n2,nN*
，则2 a ，2 n1 a ，
n n n
1a 2 1a 2
即 n1 ，故只要 2 即可，t1 t1
a  1 2
因为 a t ，所以 2 t ，∴ t ，解得t 1；
1
1 1
b  b 1
（3）由 n1 b 1得 n b ，
n n1
1
设a t b ，
 kN*
，则
a
2
1
b
b
k1
1 k k
1 1 1
a 3 1 b b k2 ， a k 1 b b 1 1 ， a k1 1 1 0 ，
k1 2
a 
k1
故 n 有 项，为有穷数列.
b  a 
t
即 取数列 n 中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列 n .