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第 33 讲 数列的概念与等差数列
【基础知识全通关】
一：数列的概念
按照一定顺序排列着的一列数称为数列.
数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在
第 位的数称为这个数列的第 项.其中数列的第1项也叫作首项。
【微点拨】
⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那
么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
二：数列的表示
(1)列举法：如-2，-5，-8，…
(2)图象法：由点 组成的图象；是离散的点集。
(3)解析式法：类似于函数的解析法，数列的解析法就是给出了数列的通项公式a=f(n)，
n∈N*。
(4)递推：利用数列的第n项与它前面若干项的关系及初始值确定。如 a=a +a (n≥3)，
n n-1 n-2
且a=1，a=1.
1 2
【微点拨】
①并不是每个数列都能写出它的数列通项公式；数列的通项如果存在，也不一定唯一。
②数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。
③利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。
三：数列的分类
（1）按项数：有限数列和无限数列
（2）按单调性：常数列、摆动数列、单调数列(递增数列、递减数列)
四：数列的通项公式与前 项和公式
{a } a
如果数列 n 的第 项 n与 之间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公
式就叫做这个数列的通项公式.
任意数列 的前n项和 ，于是 ，所以有：
【微点拨】
由前n项和 求数列通项时，要分三步进行：
（1）求 ；
（2）求出当n≥2时的 ；
（3）如果令n≥2时得出的 中的n=1时有 成立，则最后的通项公式可以统一写成
一个形式，否则就只能写成分段的形式。
五、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.
【微点拨】
a a a
(1)｛ n｝为等差数列⇔ (n∈N※)⇔ n－ n−1=d (n¿ 2, n∈N※)（ d为常
数）
(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。 任意实数a，b
a+b
.
2
的等差中项存在且唯一，为
a
(3)证数列{ n}是等差数列的方法：
① (n≥2) （ d为常数）；
a
② 为 n−1和 的等差中项。
六、通项公式
(归纳法和迭加法)
【微点拨】a a a a
①｛ n｝为等差数列⇔ n为n的一次函数或 n为常数⇔ n=kn+b (n∈ )
a
②式中 n、 、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。
a a
③公式特征：等差数列{ n}中 n=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k
为公差d。
a a
④几何意义：点(n， n)共线； n=kn+b中，
a
当k=d>0时，{ n}为递增数列；
a
当k=d<0时，{ n}为递减数列；
a
当k=d=0时，{ n}为常数列。
七、通项公式的性质：
（1）等差中项： 、 、 成等差数列，则 ；
（2）通项公式的推广：
（3）若 ，则 ；
特别，若 ，则
（4）等差数列 中，
若 .
【考点研习一点通】
考点一：依据数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式
例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:
3 8 15
2 3 4
(1) 0, , , ,…；−3 5 −7
4 9 16
(2) 1, , , ,…；
(3) 9, 99,999, 9999,…；
(4) 6, 1, 6,1,….
【变式1-1】求下列数列的一个通项公式:
(1)1,-1,1,-1,…；
(2)3,5,9,17,33,…；
3 3 25
2 2 2
(3) ,2, ,8, ,…；
1 3 3
3 2 2
(4)1,0,- ,0, ,0,- ,0,….
考点二：数列的递推关系式
例2已知各项都为正数的数列 满足 ， .
（I）求 ；
（II）求 的通项公式.【变式2-1】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式：
（1） ；
（2）对一切n∈N﹡，a＞0且
n
考点三：由数列的前n项和求数列的通项公式
例3．数列{a}的前n项和S=n2-n+1,求{a}的通项公式.
n n n
【变式3-1】已知数列 的前 项和 ，求通项 .
【变式3-2】已知数列 的前 项积 ，求通项考点四：数列的单调性
例4.已知数列 , ,判断数列 的单调性，并给以证明.
1 1 1
+
【变式4-1】已知S=1+ 2 3 +…+ n ,(n∈N*)，设f(n)=S －S ,试确定实数m的取值范
n 2n+1 n+1
11
20
围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式:f(n)＞［log(m－1)］2－ ［log m］2
m (m－1)
恒成立.考点五：等差数列的概念、公式、项的性质
例5. （1）－20是不是等差数列0， ，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不
是，说明理由.
（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理
由.
考点六：等差数列的判断与证明
例6．设 为数列 的前n项和，且 .求证：数列 为等差数列．
1
(a +2) 2
【变式6-1】已知数列{a}，a∈N*，S =8 n ，求证：{a}是等差数列；
n n n n1
2
【变式6-2】设{a}是等差数列,证明以b= (n∈N*)为通项公式的数列{b}
n n n
是等差数列.
【考点易错】
1.根据数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式.
（1） ；
（2）8，98，998，9998，…;
（3） ;
（4）1，6，12，20，…；
（5）
2.在数列 中， ， ，数列 的前 项和 （ ， 为常数）.
（1）求实数 ， 的值；（2）求数列 的通项公式.
3.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，
．
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式．
4.已知数列{a}中，a=1，a=n(a −a)(n∈ ).求数列{a}的通项公式.
n 1 n n+1 n n
5.在数列 中， ， .（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
{a }
6.已知数列 ，其通项公式为 ，判断数列 n 的单调性．
7.已知正项数列 的前 项和为 ，且 对任意 恒成立.
（1）证明： ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若 ，数列 是递增数列，求 的取值范围.【巩固提升】
1.等差数列{a }前n项和为S ，且 ﹣ =3，则数列{a }的公差为（ ）
n n n
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图，点列{A}，{B}分别在某锐角的两边上， ，
n n
，（ ）.若
A． 是等差数列 B． 是等差数列 C． 是等差数列 D． 是等差
数列
3.已知等差数列{a}满足：aa=-12，a+a=-4，则通项公式a=________.
n 3 7 4 6 n
4.已知等差数列 中， ， ，且 ，则 __________.
5.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23 ，33 ，43
，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为 ．
6. ． 已 知 数 列 是 等 差 数 列 ， 若 ,且 ,则 _________。
7．数列{ }是等差数列， ，则 _________
a
1
+a
2
+...+a
n =
7n+2
,
a
5
{a },{b },b +b +...+b n+3 b
8．两个等差数列 n n 1 2 n 则 5 =___________.
9.成等差数列的四个数的和为 ，第二数与第三数之积为 ，求这四个数。
{a } a =0.3,a =3.1, a +a +a +a +a
10.在等差数列 n 中, 5 12 求 18 19 20 21 22的值。
(a−1)+(a2 −2)+...+(an −n),(a≠0)
11.求和：
12. 已知等差数列{a }满足a +a =10，a ﹣a =2
n 1 2 4 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设等比数列{b }满足b =a ，b =a ，问：b 与数列{a }的第几项相等？
n 2 3 3 7 6 n
13.等差数列{ }中， .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ） 设 ，求数列 的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
