3.11 圆锥曲线设而不求与中点弦问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：设而不求理解................................................................ 2
考点二：椭圆双曲线的中点弦与点差法............................................3
考点三：抛物线的中点弦与点差法..................................................3
考点四：点差法在圆锥曲线中的结论...............................................4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：斜率型设而不求............................................................. 4
题型二：坐标型设而不求............................................................. 6
题型三：椭圆的中点弦问题.......................................................... 8
题型四：双曲线的中点弦问题......................................................10
题型五：抛物线中点弦问题........................................................ 11
题型六：弦中点轨迹与曲线方程...................................................13
题型七：中点弦与离心率........................................................... 14
题型八：直线与曲线相交中点弦长................................................15
题型九：曲线上两点关于直线对称................................................16
题型十：弦中点存在性探究问题...................................................16
模块三：综合巩固....................................................................... 17
3.11 圆锥曲线设而不求与中点弦问题
模块一：基础知识
考点一：设而不求理解
在直线与圆锥曲线的相交问题中，特别是涉及到相交弦问题,中点弦问题、最值问题、定点与定值问
题的时候，采用“设点代入”(即“设而不求”)法可以避免求交点坐标所带来的繁琐计算，同时还与韦达定
理、中点公式、弦长公式、斜率公式等结合起来,使得对问题的处理变得简单而自然。而不求是解析几何
解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不
求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,
以参数为过渡,设而不求．
1.通常情况下如果只有一条直线，设斜率相对容易些，或者多条直线但是直线之间存在垂直，或者与坐标
轴的正半轴之间的夹角为相同的锐角等之类也可以设斜率, 需要注意的是设斜率的时候需要考虑：（1）斜
率是否存在；（2）直线与曲线必须有交点，判别式必须大于等于0
这种设斜率k 最后利用韦达定理来计算并且最终消参法，思路清晰，计算量大，特别需要仔细，但是大多
也是可以消去高次项，故不要怕大胆计算，最终一定能得到所需要的结果。
2.设直线方程的一些常用技巧：
（1）知直线纵截距b ，斜率存在常设其方程为y
kx
b
；
（2）知直线横截距
0x ，斜率存在常设其方程为y=k(x-
0x )，或x=my+x0 (斜率不为0)；
（3）知直线过点
0
0
(
,
)
x
y
，当斜率k 存在时，常设其方程为
0
0
(
)
y
k x
x
y
，当斜率k 不存
在时，则其方程为
0
x
x
；
（4）与直线y
kx
b
平行的直线可表示为y=kx+m；
（5）与直线y
kx
b
垂直的直线可表示为y= -1/kx+t.
注意：直线与曲线必须有交点，判别式必须大于等于0
3.定点与定值问题
(1) 圆锥曲线中定点问题的两种解法
①参数法：设动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定
点．
②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
(2) 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
①求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求
得．
③线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
4.设点的坐标
在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点
的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显
然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略
进行的.
5.设参数
在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参
数,这时常引入斜率、截距作为参数.
考点二：椭圆双曲线的中点弦与点差法
1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数
的关系以及中点坐标公式解决；
2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐
标和斜率的关系，
具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
(
0
b
a
)上两点A 、B ，其中AB 中点为
)
(
0
0
y
x
P
，
，
则有
2
2
a
b
k
k
OP
AB
。
证明：设
)
(
1
1
y
x
A
，
、
)
(
2
2
y
x
B
，
，则有
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
b
y
a
x
，
上式减下式得
0
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
b
y
y
a
x
x
，∴
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
a
b
x
x
y
y
，
∴
2
2
0
0
2
1
2
1
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
a
b
x
y
x
x
y
y
x
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
，∴
2
2
a
b
k
k
OP
AB
。
焦点在y 轴：直线l (存在斜率)过椭圆
1
2
2
2
2
b
x
a
y
(
0
b
a
)上两点A、B ，线段AB 中点为
)
(
0
0
y
x
P
，
，则
有
2
2
b
a
k
k
OP
AB
。
3.双曲线的用点差法同理，可得
2
2
0
2
2
0
(
)
AB
AB
OP
x
b
b
k
k
k
a
y
a
考点三：抛物线的中点弦与点差法
设直线与曲线的两个交点
)
(
1
1
y
x
A
，
、
)
(
2
2
y
x
B
，
，中点坐标为
)
(
0
0
y
x
P
，
代入抛物线方程，
2
1
1
2
y
px ，
2
2
2
2
y
px ，
将两式相减，可得
1
2
1
2
1
2
2
y
y
y
y
p x
x
，
整理可得：
1
2
1
2
1
2
0
2
AB
y
y
p
p
k
x
x
y
y
y
考点四：点差法在圆锥曲线中的结论
1.椭圆：
2
2
2
0
2
0
2
2
1
1
1
AB
AB
OM
b
e
x
y
a
k
k
k
x
a
y
b
e
焦点在轴
焦点在轴
2.双曲线：
2
2
2
0
2
0
2
2
1
1
1
AB
AB
OM
b
e
x
y
a
k
k
k
x
a
y
b
e
焦点在轴
焦点在轴
3.抛物线：
0
0
0
0
AB
AB
AB
AB
p
k
y
p
k
y
x
k
x
x
k
p
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
模块二：题型分类
题型一：斜率型设而不求
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左右焦点分别为
1F ,
2
F ,其离心率为
3
2
,P 为椭圆C 上一动点,
1
2
F PF
△
面积的最大值为
3 .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过右焦点
2
F 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q,使得QA QB
为定值？若
存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.
2.已知椭圆C1:
2
2
2
2
x
y
a
b
=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1 的离心率为1
2 ,过椭
圆C1 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得弦的长度为4
2 .
（1）求椭圆C1 和抛物线C2 的方程.
（2）过点A(-4,0)的直线l 与椭圆C1 交于M,N 两点,点M 关于x 轴的对称点为E.当直线l 绕点A 旋转时,直
线EN 是否经过一定点?请判断并证明你的结论.
3.已知椭圆P 焦点分别是
1(0,
3)
F
和
2(0, 3)
F
,直线
3
y
与椭圆P 相交所得的弦长为1.
（1）求椭圆P 的标准方程；
（2）将椭圆P 绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q 上存在A,B,C 三点,且坐标原点为
ABC
的重心,
求
ABC
的面积.
4.已知双曲线C 的渐近线方程为
3
3
y
x
,且过点
(3,
2)
P
.
（1）求C 的方程；
（2）设
(1,0)
Q
,直线
(
)
x
t t
R 不经过P 点且与C 相交于A,B 两点,若直线BQ 与C 交于另一点D,求证：直
线AD 过定点.
5.如图,已知椭圆
2
2
1 :
1
4
3
x
y
C
,椭圆
2
2
2 :
1
9
4
y
x
C
,
2,0
A
、
2,0
B
. P 为椭圆
2
C 上动点且在第一象限,直
线PA 、PB 分别交椭圆
1
C 于E 、F 两点,连接EF 交x 轴于Q 点.过B 点作BH 交椭圆
1
C 于G ,且
//
BH PA.
（1）证明：
BF
BG
k
k
为定值；
（2）证明直线GF 过定点,并求出该定点；
（3）若记P 、Q 两点的横坐标分别为
P
x 、
Q
x ,证明：
P
Q
x x 为定值.
题型二：坐标型设而不求
1.已知点
0, 1
A
在椭圆C ：
2
2
2
1
3
x
y
b
上.
（1）求椭圆C 的方程和离心率；
（2）设直线l ：
1
y
k x
（其中
1
k ）与椭圆C 交于不同两点E,F,直线AE,AF 分别交直线
3
x
于点M,N.
当AMN
的面积为3 3时,求k 的值.
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为1
2 ,且过点
3
1, 2
E
．
（1）求椭圆C 的方程．
（2）若点A , B 分别是椭圆的左、右顶点,直线l 经过点B 且垂直于x 轴,点P 是椭圆上异于A , B 的任意一点,
直线AP 交l 于点M ,如图所示．设直线OM 的斜率为
1k ,直线BP 的斜率为
2k ,求证：
1k
2k 为定值．
3.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的长轴长是4,且过点
0,1
B
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：
2
y
k x
交椭圆于P,Q 两点,若点B 始终在以PQ 为直径的圆内,求实数k 的取值范围.
4.设双曲线
2
2
2
2
:
1( ,
0)
x
y
C
a b
a
b
的右顶点为A ,虚轴长为
2 ,两准线间的距离为2 6
3
.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设动直线l 与双曲线C 交于
,
P Q 两点,已知AP
AQ
,设点A 到动直线l 的距离为d ,求d 的最大值.
题型三：椭圆的中点弦问题
1.已知直线l 交椭圆
2
2
:
1
9
4
y
x
C
于
,
A B 两点，若点
1,2
M
为
,
A B 两点的中点，则直线l 的斜率为（
）
A．2
9
B．
2
9
C．9
8
D．
9
8
2.若椭圆
2
2
1
4
2
x
y
的弦AB 的中点为( 1, 1)
，则弦AB 的长为（
）
A．
30
3
B．2 6
3
C．10
3
D．
15
3
3.已知椭圆
2
2
:
1
5
3
x
y
M
，过点
1,
P
m ，斜率为3
5 的直线l 与M 交于
,
A B 两点，且P 为AB 的中点，则m
（
）
A．1
B．1
C．
1
2
D．
1
2
4.设椭圆的方程为
2
2
1
2
4
x
y
，斜率为k 的直线l 不经过原点O，且与椭圆相交于A，B 两点，M 为线段AB
的中点，下列结论正确的是（
）
A．直线l 与OM 一定垂直
B．若直线l 方程为
2
2
y
x
，则
8
5
3
AB
.
C．若直线l 方程为
1
y
x
，则点M 坐标为
1 2
,
3 3
D．若点M 坐标为
1,1 ，则直线l 方程为2
3
0
x
y
5.若直线2
0
x
y
m
与椭圆
2
2
1
5
2
x
y
交于
,
A B 两点，且AM
MB
，则点M 的坐标可能是（
）
A．1
1
,
2
10
B．(5, 1)
C．1 1
,
2 10
D．(5,1)
6.如图，已知斜率为－2 的直线经过椭圆C：
2
2
1
5
4
x
y
的左焦点
1F ，与椭圆相交于A，B 两点，求：
(1)线段AB 的中点M 的坐标；
(2) AB 的值．
7.已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的一个焦点F 与抛物线
2
4
y
x
的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦
长为3 .
（1）求该椭圆C 的方程；
（2）若过点
1
(1, )
2
M
的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点M 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程.
8.已知椭圆C 的焦点分别为F1
2 2,0
，F2
2 2,0 ，长轴长为6，设直线
2
y
x
交椭圆C 于A，B 两
点.
(1)求线段AB 的中点坐标；
(2)求△OAB 的面积.
9.在直角坐标系xOy 中已知
5,0 ,
5,0
A
B
，P 是平面内一动点，且直线PA 和直线PB 的斜率之积为
1
5
．记
点P 的运动轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于M，N 两点．且线段MN 的中点为
5
1
,
3
3
Q
，求|
|
MN ．
10.已知椭圆C 的两个焦点分别为
1
2
0,
3 ,
0, 3
F
F
，且椭圆C 过点
3 ,1
2
P
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
1 ,1
2
Q
作直线l 交椭圆于
,
M N 两点，Q 是弦MN 的中点，求直线l 的方程及弦MN 的长度.
题型四：双曲线的中点弦问题
1.直线l 与双曲线
2
2
1
9
y
x
交于A，B 两点，线段AB 的中点为点
1, 4
M
，则直线l 的斜率为（
）
A．
4
9
B．4
9
C．
9
4
D．9
4
2.直线l 与双曲线
2
2
1
4
y
x
交于A B
、两点，线段AB 的中点为
(3,2)
M
，则直线l 的斜率为(
)
A．3
B．6
C．8
D．12
3.已知A，B 为双曲线C：
2
2
1
4
y
x
上的两点，且A，B 关于直线l ：
1
1
3
y
x
对称，则线段AB 中点的
坐标为
.
4.已知双曲线C：
2
2
1
9
y
x
，若双曲线C 的一条弦的中点为
1, 4
，则这条弦所在直线的斜率为（
）
A．
9
4
B．1
C．1
D．9
4
5.已知
,
A B 为双曲线
2
2
1
9
y
x
上两点，且线段AB 的中点坐标为
1, 4
，则直线AB 的斜率为（
）
A．3
2
B．9
4
C．
9
4
D．
3
2
6.已知
,
A B 为双曲线
2
2
1
9
y
x
上两点，且线段AB 的中点坐标为
1, 4
，则直线AB 的斜率为
.
7.经过点
2,2
M
作直线l 交双曲线
2
2
1
4
y
x
于
,
A B 两点，且M 为AB 中点．
(1)求直线l 的方程．
(2)求线段AB 的长．
8.过
(9,4)
P
双曲线
2
2
9
16
144
y
x
的弦AB ，且P 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程.
9.已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
( 6,0)
F
，且C 的一条渐近线经过点
( 2,1)
D
.
(1)求C 的标准方程；
(2)是否存在过点
(2,1)
P
的直线l 与C 交于不同的A，B 两点，且线段AB 的中点为P.若存在，求出直线l 的
方程；若不存在，请说明理由.
10.双曲线C 的焦点与椭圆
2
2
1
3
x
y
的焦点相同，双曲线C 的一条准线方程为
2
2
x
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若双曲线C 的一弦中点为
3,2 ，求此弦所在的直线方程.
11.双曲线的焦点
1
2
,
F F 的坐标分别为
5,0
和
5,0 ，离心率为
5
4
e
，求：
(1)双曲线的方程及其渐近线方程；
(2)已知直线l 与该双曲线交于交于
,
A B 两点，且
,
A B 中点
5,1
P
，求直线AB 的弦长．
题型五：抛物线中点弦问题
1.已知直线l 交抛物线
2
:
28
C x
y
于
,
M N 两点，且MN 的中点为
2, 11
，则直线l 的斜率为（
）
A．
1
14
B．11
14
C．1
7
D．
1
7
2.抛物线C ：
2
6
y
x
与直线l 交于A ，B 两点，且AB 的中点为
, 2
m
，则l 的斜率为
.
3.已知抛物线
2
4
y
x
与过焦点的一条直线相交于A，B 两点，若弦AB 的中点M 的横坐标为3
2 ，则弦AB 的
长|
|
AB
4.若抛物线
2y
x
上两点
1
1
,
A x y ，
2
2
,
B x
y
关于直线y
x
b
对称，且
1
2
1
y y ，则AB 中点坐标为（
）
A．
3
1
2
2
，
B．3
1
2
2
，
C．3 1
2 2
，
D．
3 1
2 2
，
5.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为= 1
x ，直线l 与抛物线C 交于
,
M N 两点，若线段MN 的中点为
1,1 ，则直线l 的方程为
．
6.已知抛物线顶点在原点，焦点为
1,0
F
，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点横坐标
为2，则线段AB 的长为
7.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ，点
0
6
A
y
,
在抛物线C 上，且
10
AF
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知直线l 交抛物线C 于
,
M N 两点，且点
4,2 为线段MN 的中点，求直线l 的方程．
8.已知F 是抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点，
0
4,
M
y
是抛物线C 上一点，且|
| 4
MF
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l 与抛物线C 交于
,
A B 两点，且线段AB 的中点坐标为(8,12) ，求直线l 的斜率.
9.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为
0
,
, 9
F A x
是抛物线C 上的点，且
15
AF
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知直线l 交抛物线C 于
,
M N 两点，且MN 的中点为
6, 4
，求直线l 的方程．
题型六：弦中点轨迹与曲线方程
1.已知椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，其右焦点为F（4，0），过点F 的直线交椭圆与A，B 两点．若AB
的中点坐标为(1, 1)
，则椭圆的方程为（
）
A．
2
2
1
45
36
x
y
B．
2
2
1
12
4
x
y
C．
2
2
1
24
8
x
y
D．
2
2
1
18
9
x
y
2.若抛物线C：
2
2
y
px
存在以点
3,3 为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为
.
3.斜率为2 的平行直线截双曲线
2
2
1
x
y
所得弦的中点的轨迹方程是
．
4.过抛物线
2
8
y
x
的焦点作直线交抛物线于P 、Q 两点，则线段PQ 的中点的轨迹方程为（
）
A．
4
1
y
x
B．
2
1
4
x
y
C．
2
1
2
x
y
D．
2
4
2
y
x
5.过椭圆
2
2
1
9
4
x
y
内一点R（1，0）作动弦MN，则弦MN 中点P 的轨迹是（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
6.求过定点
0,1 的直线被双曲线
2
2
1
4
y
x
截得的弦AB 的中点的轨迹方程.
7.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
的右焦点为
4,0
F
，过点F 的直线交椭圆E 于
,
A B 两点，若AB 的中点
坐标为
1, 1
M
，则椭圆E 的方程为（
）
A．
2
2
1
18
2
x
y
B．
2
2
1
20
4
x
y
C．
2
2
1
24
8
x
y
D．
2
2
1
25
9
x
y
8.已知双曲线E ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点为
5,0
F
，过点F 的直线交双曲线E 于A、B 两点.若AB
的中点坐标为
6, 2
，则E 的方程为（
）
A．
2
2
1
5
20
x
y
B．
2
2
1
16
9
x
y
C．
2
2
1
9
16
x
y
D．
2
2
1
15
10
x
y
题型七：中点弦与离心率
【基础知识】
1.对于椭圆：离心率的推导e =
c
a =
c2
a2 =
a2−b2
a2
=
a2
a2 −
b2
a2 =
1 −
b2
a2
2.对于双曲线：离心率的推导e =
c
a =
c2
a2 =
a2+b2
a2
=
a2
a2 +
b2
a2 =
1 +
b2
a2
3.对于椭圆
)
0
(1
2
2
2
2
＞
＞b
a
b
y
a
x
，中点弦公式：
2
2
a
b
k
k
AB
OP
4.对于椭圆
)
0
(1
2
2
2
2
＞
＞b
a
b
x
a
y
，中点弦公式：
2
2
b
a
k
k
AB
OP
5.对于双曲线
1
-
2
2
2
2
b
y
a
x
，中点弦公式：
2
2
a
b
k
k
AB
OP
6.对于双曲线
1
-
2
2
2
2
b
x
a
y
，中点弦公式：
2
2
b
a
k
k
AB
OP
7.有心二次曲线通式：ɑx2+βy2=1，
-
AB
OP
k
k
8.有心二次曲线的第三定义：弦过中心有对称AB 两点，P 为曲线上任意一点，
1
e2
PB
PA
k
k
【基础练习】
1.过点
2,1
M
作斜率为1
的直线与椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
相交于
,
A B 两点，若M 为线段AB 的中点，则C 的
离心率为（
）
A．1
3
B．
2
3
C．
1
2
D．
2
2
2.过双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
y
x
C
a
b
a
b
内一点
1,1
M
且斜率为
1
2 的直线交双曲线于
,
A B 两点，弦AB 恰好被
M 平分，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
6
2
B．
5
2
C．
3
D．5
3.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点和上顶点分别为点
,0
F c
b
c
和点A，直线:
2
4
0
l
x
y
交
椭圆于P，Q 两点，若F 恰好为
APQ
△
的重心，则椭圆的离心率为（
）
A．
3
3
B．2 3
3
C．
6
3
D．
2
2
4.已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F ，如图，过点F 作倾斜角为60的直线与椭圆E 交于A ，
B 两点，M 为线段AB 的中点，若5 FM
OF
（O为坐标原点），则椭圆E 的离心率为（
）
A．
3
3
B．
6
3
C．2 2
3
D．2 7
7
题型八：直线与曲线相交中点弦长
1.设经过点
3,0
F
的直线与抛物线
2
12
y
x
相交于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为9，则AB （
）
A．18
B．24
C．30
D．36
2.已知点A，B 在双曲线
2
2
3
x
y
上，线段AB 的中点为
1,2
M
，则AB （
）
A．2 5
B．4 5
C．2 10
D．4 10
3.若椭圆
2
2
1
4
2
x
y
的弦AB 的中点为( 1, 1)
，则弦AB 的长为（
）
A．
30
3
B．2 6
3
C．
10
3
D．
15
3
4.已知椭圆E 的中心在原点，焦点为
1
2
( 2 3,0),
(2 3,0)
F
F
，且离心率
3
2
e
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
(2,
1)
P
的直线l 与椭圆E 相交于A，B 两点且P 为AB 的中点求弦长AB .
题型九：曲线上两点关于直线对称
1.已知抛物线
2
2
x
y
上两点A，B 关于点
2,
M
t 对称，则直线AB 的斜率为
.
2.已知
R
m
，在拋物线
2
4
y
x
上存在两个不同的点关于直线y
x
m
对称，则m 的取值范围是
.
3.已知椭圆C：
2
2
2
2
1(
6)
6
y
x
b
b
上存在两点M，N 关于直线
1
0
x
y
对称，且线段MN 中点的纵坐标为
4
3
，则
2
b 的值是（
）
A．3
2
B．2
3
C．1
2
D．2
4.已知椭圆
2
2
1
4
3
x
y
，若椭圆上存在两点A 、B 关于直线
4
y
x
m
对称，则m 的取值范围是（
）
A．
2 13 2 13
,
13
13
B．
13
13
,
13
13
C．
2 ,1
2
D．
2
0, 2
题型十：弦中点存在性探究问题
1.双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的渐近线方程为y
x
，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求C 的方程；
(2)是否存在直线l ，经过点
1,4
M
且与双曲线C 于A，B 两点，M 为线段AB 的中点，若存在，求l 的方
程；若不存在，说明理由.
2.已知圆
2
2
: (
3)
4
M
x
y
，圆
2
2
:(
3)
100
N
x
y
，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨
迹为曲线C
(1)求C 的方程；
(2)是否存在过点
3
1, 2
Q
的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的一个顶点为
(0, 1)
A
，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和2 3 ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在实数m，使直线:l y
x
m
与椭圆有两个不同的交点M、N，并使|
| |
|
AM
AN
，若存在，求出
m 的值；若不存在，请说明理由．
4.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率
3
e
，焦距为2 3 .
（1）求该双曲线方程.
（2）是否定存在过点
1,1
P
的直线l 与该双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点若存在，请求
出直线l 的方程，若不存在，说明理由.
模块三：综合巩固
1.已知椭圆
2
2
1
16
9
x
y
以及椭圆内一点
(2,1)
P
，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（
）
A．32
9
B．8
9
C．
9
32
D．
9
8
2.已知双曲线
2
2
:
1
4
y
C x
，过点
1,3
A
且被A 平分的弦MN 所在的直线斜率为（
）
A．4
3
B．3
4
C．
4
3
D．
3
4
3.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的准线为=
2
y
，点,
P Q 在抛物线C 上，且线段PQ 的中点为
2,4
，则直
线PQ 的方程为（
）
A．
2
6
0
x
y
B．
3
10
0
x
y
C．2
0
x
y
D．2
3
8
0
x
y
4.已知点F 为抛物线
2
:
8
C y
x
的焦点，过F 的直线l 与C 交于A、B 两点．若AB 中点的纵坐标为2，则
|
|
AB (
)
A．6
B．7
C．9
D．10
5.直线
2
3
0
l
x
y
：
经过椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左焦点F ，且与椭圆交于
,
A B 两点，若M 为线
段AB 中点，MF
OM
，则椭圆的离心率为（
）
A．
2
2
B．1
2
C．
3
2
D．
3
1
2
6.设直线
3
0
0
x
y
m
m
与双曲线
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
分别交于A B
、两点，若线段AB 的中点横坐标是
4
5 m ，则该双曲线的离心率是（）
A．
5
2
B．
7
2
C．2
D．
2
7.（多选）设椭圆的方程为
2
2
1
2
4
x
y
，斜率为k 的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B 两点，M
为线段AB 的中点，下列结论不正确的是（
）
A．直线AB 与OM 垂直
B．若点M 坐标为(1,1) ，则直线方程为2
3
0
x
y
C．若直线方程为
1
y
x
，则点M 坐标为1 4
,
3 3
D．若直线方程为
2
2
y
x
，则
4
|
|
2
3
AB
8．（多选）已知抛物线
2
1
:
4
E x
y
上存在两个不同的点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
关于直线
6
x
ky
对称，直线AB
与x 轴交于点
0,0
M x
，则下列说法正确的是（
）
A．抛物线E 的焦点坐标为
1,0
B．
1
2
8
x
x
C．
2
1
4
k
D．
0
4,4
x
9.已知过点
1,1
P
的直线l 与双曲线C ：
2
2
2
2
1
1,
0
x
y
a
b
a
b
交于A、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，
则双曲线C 的离心率取值范围是
.
10.已知抛物线
2
4
y
x
的弦AB 斜率为1，则弦AB 中点M 的轨迹方程
.
11.双曲线E：
2
2
1
4
12
x
y
，过
4,
0
P
t
t
作直线l 交双曲线于A，B 两点，若不存在直线l 使得P 是线段AB
的中点，则t 的取值范围是
.
12.过椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
内一点
1
1, 2
M
引一条弦，使该弦被点M 平分.
(1)求该弦所在的直线方程；
(2)求该弦的弦长.
13．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率
3
e
，双曲线C 上任意一点到其右焦点的最小距离为
3 1
．
（1）求双曲线C 的方程．
（2）过点
1,1
P
是否存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于R ，T 两点，且点P 是线段RT 的中点？若直线l
存在，请求直线l 的方程：若不存在，说明理由．
14.中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4 ,请从下面3 个条件中选择1 个补全条件,并完成后面问
题：
①该曲线经过点
2,3
A
；
②该曲线的渐近线与圆
2
2
8
4
0
x
x
y
相切；
③点P 在该双曲线上,
1F 、
2
F 为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为3
2 时,恰好
1
2
PF
PF
.
(1)求双曲线E 的标准方程；
(2)过定点
1,1
Q
能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于
1
Q 、
2
Q 两点,且Q 是弦
1
2
Q Q 的中点？若存在,求出l 的方
程；若不存在,说明理由.
15.已知点
(0,1)
F
为抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的焦点,如图,过点F 的直线交抛物线于
,
A B 两点（点A 在y 轴右侧）,
点C 在抛物线上,直线AC 交y 轴的正半轴于点D 且|
| |
|
AF
DF
,设直线l 与抛物线相切于点B ,直线l 与y 轴
相交于点E ．
（1）设点
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x
y
；
①求证：
1
2
4
x x ；
②求证：直线AC 与l 平行；
（2）求使
AEB
△
面积取最小值时点A 的坐标．
16.已知圆O ：
2
2
2
x
y
,椭圆C ：
2
2
2
2
1
2
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2
2
, P 是C 上的一点, A 是圆O 上的
一点, PA 的最大值为
6
2
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点M 是C 上异于P 的一点, PM 与圆O 相切于点N ,证明：
2
PO
PM
PN
.
17.已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
3
2
e
,且过点
0,1
P
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点
5
0,
3
Q
且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点A , B ,记PA , PB 的斜率分别为
1k ､
2k .
①求
1
2
k k
的值；
②设点
,0
M m
,若点M 到直线PA , PB 的距离相等,求m 的值.
18．抛物线C 的顶点为坐标原点O,焦点在x 轴上,直线l：x＝1 交C 于P,Q 两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),
且⊙M 与l 相切.
（1）求抛物线C,⊙M 的方程；
（2）设A1,A2,A3 是C 上的三个点,直线A1A2,A1A3 均与⊙M 相切.判断直线A2A3 与⊙M 的位置关系,并说明理
由.
19.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
经过
2,0 ,
1,1 ,
1, 1 ,
1,2
A
B
C
D
四个点中的三个.
（1）求E 的方程.
（2）若
,
M N 为E 上不同的两点,O 为坐标原点,且
BM
BN
BM
BN
与OA
垂直,试问E 上是否存在点G （异于点
A ）,使得
/ /
MN
AG
？若存在,求点G 的坐标；若不存在,说明理由.
20．已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
,
0
b
）的实轴长为8,离心率
5
4
e
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)直线l 与双曲线C 相交于P ,Q 两点,弦PQ 的中点坐标为
8,3
A
,求直线l 的方程.
