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重难点突破05 求曲线的轨迹方程
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一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含 的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为 的
方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检
验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点 和满足焦点标志的定点连起来判断．
熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为 的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等
等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨
迹方程．
三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知
曲线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，
即可得到动点 的轨迹方程．
四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出
交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通
常选变角、变斜率等为参数．
五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点 的运动主要是由于某个参数 的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点
的坐标，即 ，再消参.
六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得 ， ， ， 等关系式，由于弦 的中点 的坐标满足 ， 且直线 的斜率为 ，由此可求得弦
中点的轨迹方程．
题型一：直接法
例1．（2023·甘肃平凉·高三统考期中）动点 与定点 的连线的斜率之积为 ，则点 的轨
迹方程是 .
例2．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆 ： ，过动点 作圆 的切
线 （ 为切点），使得 ，则动点 的轨迹方程为 .
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线 和 ，有一动圆与 及
都相交，并且 、 被截在圆内的两条弦长分别是26和24，则动圆圆心的轨迹方程是 ．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系中有两点 ，且曲线 上的任意
一点P都满足 ．则曲线 的轨迹方程为 .
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上的动点 到点 和 的距离之比为 ，则点
的轨迹方程为 .
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作
PQ⊥l，垂足为Q，且 · =0．则动点P的轨迹方程为 ；
题型二：定义法
例4．（2023·全国·高三专题练习）若 ， ，点P到F，F 的距离之和为10，则点P的轨迹方
1 2
程是
例5．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知圆 与圆 内切，且圆 与直线 相切，则
圆 的圆心的轨迹方程为 ．例6．（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆 ，圆 ，动圆 与
圆 外切并与圆 内切，则圆心 的轨迹方程为
变式4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知 的周长是18， ， 是
轴上关于原点对称的两点，若 ，动点 满足 .则动点 的轨迹方程为
；
变式5．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点 ，且与圆 外切，则动圆
P圆心 的轨迹方程为 .
变式6．（2023·全国·高三专题练习） 中，A为动点， ， 且满足 ，
则A点的轨迹方程为 ．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）一个动圆与圆 外切，与圆 内切，
则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
变式8．（2023·全国·高三对口高考）已知 ，B是圆 （F为圆心）上一动点.线
段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知定点 ，圆 ，过R点的直线 交
圆于M，N两点过R点作直线 交SM于Q点，求Q点的轨迹方程；
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，直线 ，过 上的点 作圆 的两
条切线，切点分别为 ，则弦 中点 的轨迹方程为 .
变式11．（2023·吉林白山·高三抚松县第一中学校考阶段练习）设O为坐标原点， ，点A是直线
上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程
为 ．变式12．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知圆 ，直线 过点 且与圆 交
于点B，C，线段 的中点为D，过 的中点E且平行于 的直线交 于点P．
(1)求动点P的轨迹方程；
题型三：相关点法
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆 上的任意一点，O为原点，M满足
，则点M的轨迹方程为 ．
例8．（2023·福建泉州·高三校考开学考试） 是圆 上的动点，点 ，则线段 的中
点 的轨迹方程是 .
例9．（2023·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知定点 和曲线 上
的动点 ，则线段 的中点 的轨迹方程为 ．
变式13．（2023·全国·高考真题）设P为双曲线 上一动点，O为坐标原点，M为线段 的中点，
则点M的轨迹方程为 ．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， ，顶点A在抛物线 上运动，
则 的重心G的轨迹方程为 ．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）设过点 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B
两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若 ，且 ，则点P的轨迹方程是
．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，
， ，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数 ，使得 ，则顶点C的轨迹方程为 ．
题型四：交轨法
例10．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）已知直线 ， ，当任意的实数
m变化时，直线 与 的交点的轨迹方程是 ．
例11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，直线
与抛物线 交于 两点，过点 作抛物线 的切线 ，若 交于点 ，则点 的
轨迹方程为 .
例12．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知A，B分别为椭圆 的左､右顶点，点
M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 .
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 中垂直于长轴的动弦， 是
椭圆长轴的两个端点，则直线 和 的交点 的轨迹方程为 ．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）直线 在 轴上的截距为 且交抛物线 于 、
两点，点 为抛物线的顶点，过点 、 分别作抛物线对称轴的平行线与直线 交于 、 两点．
分别过点 、 作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： ，焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，
分别作抛物线C在A，B处的切线，且两切线交于点P，则点P的轨迹方程为： ．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ， ， ，动圆 与直线 切于点 ，分
别过点 且与圆 相切的两条直线相交于点 ，则点 的轨迹方程为 .
变式21．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根杆分别绕着定点A和B（AB＝2a）在平面内转动，
并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是 .变式22．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过
三点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过右焦点 的直线 （斜率不为0）与椭圆 交于 两点，求直线 与直线 的交点的轨迹方
程.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的离心率为 ，且经过
，经过定点 斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
变式24．（2023·山西阳泉·高三统考期末）已知过点 的直线交抛物线 于 两点， 为
坐标原点．
(1)证明： ；
(2)设 为抛物线的焦点，直线 与直线 交于点 ，直线 交抛物线与 两点（ 在 轴的
同侧），求直线 与直线 交点的轨迹方程．变式25．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）直线l在x轴上的截距为 且交
抛物线 于A，B两点，点O为抛物线的顶点，过点A，B分别作抛物线对称轴的平行线与直
线 交于C，D两点．
(1)当 时，求 的大小；
(2)试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由；
(3)分别过点A，B作抛物线的切线，求两条切线的交点的轨迹方程．
变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 过点 ，直线 与抛
物线C交于A，B两点.
(1)若 ，求直线l的方程；
(2)过点 作直线 和 ，其中 交C于M，N两点， 交C于P，Q两点，M，P位于x轴的同侧，Q，N
位于x轴的同侧，求直线MP与直线QN交点的轨迹方程.
变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的内接等边三角形 的面积为
（其中 为坐标原点）．
（1）试求抛物线 的方程；
（2）已知点 两点在抛物线 上， 是以点 为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线 恒过定点；
②过点 作直线 的垂线交 于点 ，试求点 的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
题型五：参数法
例13．（2023·全国·高三专题练习）方程 (t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程
是 (结果化为普通方程)例14．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，当 时，线段 的
中点轨迹方程为 ．
例15．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知O为坐标原点，
，A是 上的动点，连接OA，线段OA交 于点B，过A作x轴的垂
线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程为 ．
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知在 中，AB＝8，以AB的中点为原点O，AB所在直线为x
轴，建立平面直角坐标系，设 ， ，若
，则点P的轨迹方程为 ．
题型六：点差法
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ．
(1)过椭圆的左焦点 引椭圆的割线，求截得的弦的中点 的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点 的轨迹方程；
(3)求过点 且被 平分的弦所在直线的方程．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，求斜率为 的平行弦中点的轨迹方程.
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知：椭圆 ，求：
（1）以 为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．变式29．（2023·全国·高三专题练习）斜率为2的平行直线截双曲线 所得弦的中点的轨迹方程是
．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，一组平行直线的斜率是 ，当它们与椭圆相
交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 ．
变式31．（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆 交于A，B两点，已知直线 的斜率为1，则
弦AB中点的轨迹方程是 ．
变式32．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 ，则该椭圆所有斜率为 的弦的中点的轨迹方程为
．
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
例19．（2023·北京·高三强基计划）在正方体 中，动点M在底面 内运动且满足
，则动点M在底面 内的轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线一支的一部分 D．前三个答案都不对
例20．（2023·全国·高三对口高考）如图，定点A和B都在平面 内，定点 ，C是 内异于
A和B的动点，且 ．那么，动点C在平面 内的轨迹是（ ）
A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点
例21．（2023·云南保山·统考二模）已知正方体 ，Q为上底面A B C D 所在平面内的动点，
1 1 1 1
当直线 与 的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆变式33．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱 中， ，
， 为 中点， 为正四棱柱表面上一点，且 ，则点 的轨迹的长为（ ）
A． B． C． D．
变式34．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知空间中两条直线 、 异面且垂直，平面 且
，若点 到 、 距离相等，则点 在平面 内的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
变式35．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体 中，点 满足 ， ，
分别为棱 ， 的中点，点 在正方体 的表面上运动，满足 面 ，则点
的轨迹所构成的周长为（ ）
A． B． C． D．
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
例22．（2023·辽宁朝阳·统考二模）已知 ，则复数 在复平面内所对应点 的轨
迹方程为 ．
例23．（2023·全国·高三专题练习）设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则 在
复平面内的轨迹方程为 ．
例24．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知复数 为虚数单位 为纯虚数，则在复平
面内， 对应的点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．一条线段 C．两条直线 D．不含端点的4条射线
变式36．（2023·全国·高三专题练习）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足 ，则动点Z
的轨迹为（ ）
A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，则 的轨迹为（ ）
A．线段 B．直线C．椭圆 D．椭圆的一部分
变式38．（2023·全国·高三专题练习）若复数 满足 ，则复数 对应的点的轨迹围成图形的面积
等于（ ）
A． B． C． D．
变式39．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）满足条件 的复数z在复平面上
对应点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
变式40．（2023·辽宁抚顺·高三校联考期末）若复数 满足 .则复数 在复平面内的点的轨迹为
（ ）
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满
足 ， ，则 的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
例26．（2023·全国·高三对口高考）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足
， ，则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
例27．（2023·全国·高三专题练习）在 中，设 ，那么动点 的轨迹必
通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
变式41．（2023·江苏·高三统考期末） 中， 为 边上的高且 ，动点 满足
，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
变式42．（2023·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内， 是两个定点， 是动点，若，则点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
变式43．（2023·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）在 中， ， ， ，角A
是锐角，O为 的外心．若 ，其中 ，则点P的轨迹所对应图形的面积是
（ ）
A． B． C． D．
变式44．（2023·全国·高三专题练习）正三角形OAB的边长为1，动点C满足 ，且
，则点C的轨迹是（ ）
A．线段 B．直线 C．射线 D．圆
变式45．（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面上的一定点， 是平面上不共线的三个点，动
点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的
（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，点 在C上．
过C的右焦点F的直线交C于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点P满足 ，求动点P的轨迹方程．
例29．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点 的直线交双曲线
于 两点，曲线 的左右顶点分别为 ，虚轴长与实轴长的比值为 ．(1)求曲线 的方程；
(2)如图，点 关于原点 的对称点为点 ，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，
求 的轨迹方程．
例30．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆方程为 ，过点 的直线l交椭圆于点A，B，O是
坐标原点，点P满足 ，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程；
变式46．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 过点 ，且椭圆上任意一点
到右焦点的距离的最大值为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C交不同于点A的P、Q两点，以线段PQ为直径的圆经过A，过点A作线段PQ的垂线，
垂足为H，求点H的轨迹方程.
变式47．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 与直线 ．
(1)若直线 与双曲线C相交于A，B两点，点 是线段AB的中点，求直线 的方程；
(2)若直线l与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于 ，两点．当点M运动时，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
变式48．（2023·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆 上运动，以线段AB为直
径的圆过坐标原点O，过O作 ，M为垂足．求点M的轨迹方程.
变式49．（2023·浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末）已知椭圆C的离心率为 ，其焦点是双曲线
的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线l： 与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴于 ，
两点，当点M运动时，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
变式50．（2023·广东·高三阶段练习）已知椭圆 的离心率是 ，其左、右顶点分
别是 、 ，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 、 是椭圆 上异于 、 的不同两点，设点 是以 为直径的圆 和以 为直径的圆
的另一个交点，记线段 的中点为 ，若 ，求动点 的轨迹方程．
变式51．（2023·全国·高三专题练习）已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆 上，且点A是椭
圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为 ，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
