专题16圆锥曲线中的范围与最值问题、探索性问题（解析版）_02高考数学_通用版（老高考）复习资料_2023年复习资料_二轮复习

专题 16 圆锥曲线中的范围与最值问题 一、核心先导 二、考点再现 x2 y2  1(ab0) 【考点1】、若椭圆方程为a2 b2 ，半焦距为 ，焦点 ，设 过 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于A、B两点，则有：① ；② x2 y2  1(ab0) 若椭圆方程为a2 b2 ，半焦距为 ，焦点 ，设 过 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于A、B两点，则有 ：① ；② 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为 （a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： x2 y2  1(ab0) AB  2ae(x x ) 【考点2】、过椭圆a2 b2 左焦点的焦点弦为AB ,则 1 2 ；过右焦 AB  2ae(x x ) 点的弦 1 2 .【考点3】、抛物线 与直线 相交于 且该直线与 轴交于点 ，则有 . 【考点4】、设 为过抛物线 焦点的弦， ，直线 的倾斜 角为 ，则 ①. ②. ③. [来源:学§科§网] ④. ； ⑤. ； ⑥. ； 三、解法解密 方法1. 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函 数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围； [来源:学*科*网Z*X*X*K] ②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围； ③利用基本不等式求出取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定取值范围 方法2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 四、考点解密题型（一）利用题设条件，结合几何特征与性质求范围 例 1、（1）.已知 ， 为双曲线 ， 的左、右焦点，过 的直线 与圆 相切于点 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设 ， ，由过 的直线 与圆 相切，可得圆心到直线 的距离 ， 过 向直线 作垂线，垂足为 ，在直角三角形 中，可得 ， ， ， ， 即 有 ， 由 OM 为 三 角 形 的 中 线 ， 可 得 ，即 ，即有 ，再根 据 得到双曲线的离心率为 .故选D． （2）.（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知椭圆 的离心率为 为 的一个焦点， 为 上一动点，则 的最大值为（ ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由题知椭圆 的焦点在 轴上且 ，进而得 ， . 【详解】解：设椭圆 的半焦距为 ，故焦点在 轴上． ，离心率为 ， ，解得 ． ∴根据椭圆的性质可知 ． 故选：D 【变式训练1-1】、（2021·陕西·咸阳市实验中学高二阶段练习）已知椭圆C： 的下焦点为 ， 点 在椭圆C上，点N在圆E： 上，则 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B【分析】根据椭圆的定义把问题转化为求 的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边求解即 可. 【详解】圆E： ，则圆心E(0，2）为椭圆C的上焦点， 已知椭圆C： ，则 ， ， ， 由椭圆的定义可知， ，则 ， 所以 ， 当M，N，E三点共线时， |取最大值1， 所以 的最小值为6-1=5． 故选︰B 【变式训练 1-2】、过双曲线 的右支上一点 ,分别向圆 ： 和圆 ： 作切线,切点分别为 , ,则 的最小值为（ ） A．10 B．13 C．16 D．19 【答案】B |PM| 2 −|PN| 2 =(|PC | 2 −4)−(|PC | 2 −1) 【解析】由题可知, 1 2 ,因此 | PM |2 | PN |2| PC |2 | PC |2 3 1 2 . 故选B． 题型（二）利用根的判别式或韦达定理或参数建立不等关系求范围 例2、已知抛物线 : 与圆 : ，直线 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点，且 ， 位于 轴的上方，则 _________． 【答案】 【解析】圆 的方程化为 ，直线 过抛物线焦点 ， 结合抛物线定义，可得 ，由 ，得 ，所以 ，即 . 【变式训练2-1】、（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）过椭圆 的右 焦点F且与长轴垂直的弦的长为 ，过点 且斜率为 的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是 AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（ ）A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】将 代入椭圆C的方程并结合已知可得 ，由点差法结合已知可得 ，由此 求出 ，则C上的点M到焦点F的距离的最大值为 即可求解 【详解】将 代入椭圆C的方程得 ， 所以 ①， 设 ， ，则 ， ， 两式相减得 ， 又 ， ， ， 所以 ②， 解①②得 ， ， 所以 ， 所以C上的点M到焦点F的距离的最大值为 . 故选：D. 题型（三）求解函数值域得范围 例3、（2022·四川·树德中学高二期中）已知 是椭圆 和双曲线 的交点， ， 是 ， 的公共焦点， ， 分别为 ， 的离心率，若 ，则 的取值范围为______．【答案】 【分析】根据椭圆与双曲线的定义把 用 来表示，然后在 中用余弦定理求出 的关 系，然后再用函数求解. 【详解】设 因为点 在椭圆上，所以 ① 又因为点 在双曲线上，所以 ② 则① ②得 ；① ② 在 中由余弦定理得： 即 即 ，即 即 所以 ， 令 ，则 所以 . 故答案： . 【变式训练3-1】、（2022·浙江·杭州四中高二期中）设P是椭圆 上的任一点，EF为圆 的任一条直径，则 的最大值为__________． 【答案】 【分析】设点 ，则 且 ，计算得出 ，利用二次函数的基 本性质可求得 的最大值. 【详解】圆 的圆心为 ，半径长为 ， 设点 ，则 且 ， ， ， 所以， 所以，当 时， 取得最大值，即 . 故答案为： . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函 数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 例4、平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、右焦点分别是 、 ．以 为圆心以3为半径的圆与以 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 上． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设椭圆 ： ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 ．( i )求 的值；（ii）求△ 面积的最大值． 【解析】（Ⅰ）由题意知 ，则 ，又 ， ， 可得 ，所以椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）由（I）知椭圆 的方程为 ． （i）设 ，由题意知 ， 因为 ，又 ，即 ， 所以 ，即 ． （ii）设 ，将 代入椭圆 的方程， 可得 ， 由 ，可得 ，则有 ， 所以 ． 因为直线 与 轴交点的坐标为 ， 所以 的面积 令 ，将 代入椭圆 的方程， 可得 ， 由 ，可得 ， 由①②可知 ，因此 ， 故 ， 当且仅当 时，即 时取得最大值 ， 由（i）知， 面积为 ， 所以 面积的最大值为 ． 【变式训练4-1】、（2022·四川省成都市第八中学校模拟预测）已知椭圆 的左、 右焦点分别为 ，点 在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程； (2)如图， 四边形 是矩形， 与椭圆 相切于点 与椭圆 相切于点 与椭圆 相 切 于点 与椭圆 相切于点 ， 求矩形 面积的取值范围.【答案】(1) (2) 【分析】（1） 利用已知关系建立方程组，联立即可求解； （2） 当直线 的斜率不存在或为 时， 求出矩形 的面积，当直线 的斜率存在且不为 时， 设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求出 ，同理求出 ， 进而表示出矩形 的面积，利用函数思想求解即可. 【详解】（1）由已知可得： 可求出 代入 ， 解得 所以椭圆的方程为 ； （2）当直线 的斜率不存在或为 时， 矩形 的面积为 ， 当直线 的斜率存在且不为 时， 设直线 的方程为 ， 联立方程 消去 整理可得： ， 所以 ， 解得 ， 所以 ， 同理可得 ， 所以矩形 的面积 ， 令 ， 所以 ， 又 ， 所以 ，则 ， 当 ， 即 时， 取得最大值为 ； 所以 ， 所以 ， 综上， 矩形 的面积的取值范围为 . 题型（四）利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围 例5、【2018全国卷Ⅲ】已知斜率为 的直线 与椭圆 ： 交于 ， 两点，线段 的中点 为 ． (1)证明： ； (2)设 为 的右焦点， 为C上一点，且 ．证明： ， ， 成等差 数列，并求该数列的公差． 【解析】(1)设 ， ，则 ， ． 两式相减，并由 得 ． 由题设知 ， ， 于是 ．① 由题设得 ，故 ． (2)由题意得 ，设 ，则 ． 由(1)及题设得 ， ． 又点 在 上，所以 ，从而 ， ． 于是 ． 同理 ．所以 ． 故 ，即 ， ， 成等差数列． 设该数列的公差为 ，则 ．② 将 代入①得 ． 所以 的方程为 ，代入 的方程，并整理得 ． 故 ， ，代入②解得 ． 所以该数列的公差为 或 ． 【变式训练5-1】、（2021·陕西·安康市教学研究室三模）已知椭圆 长轴的顶点与 双曲线 实轴的顶点相同，且 的右焦点 到 的渐近线的距离为 ． (1)求 与 的方程； (2)若直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的 倍，且 经过点 ， 与 交于 、 两点，与 交 于 、 两点，求 ． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据已知条件求出 的值，求出双曲线 的渐近线方程，可得出关于 的等式，结合 可 求得 的值，由此可得出椭圆 和双曲线 的标准方程； （2）求出直线 的方程，将直线 的方程分别与椭圆 、双曲线 的方程联立，结合弦长公式可求得 的值. （1） 解：由题意可得 ，则 ． 因为 的渐近线方程为 ，即 ，椭圆 的右焦点为 ，由题意可得 ， ，解得 ， 故椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ． （2） 解：设直线 的倾斜角为 ， 所以，直线 的斜率为 ， 所以直线 的方程为 ， 联立 得 ，则 ， 设 、 ，则 ， ， 所以 , 联立 可得 ， ， 设点 、 ，则 ， ， 所以， ，故 ． 【变式训练5-2】、（2021·广东·一模）已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆C右焦点 并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积 为 ． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为 ，求点P到直线l 距离的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据待定系数法，根据离心率和面积即可列出方程求解 ， . （1） 由题意可得 ，∴由题意可得 且 ，解得 ， ， ∴椭圆的方程为： ． （2） 解法1：由（1）可得 ， 当直线 没有斜率时，设方程为： ，则 ，此时 ，化简得： 又 ，解得 或 （舍 去），此时P到直线l的距离为 设直线l有斜率时，设 ， ，设其方程为： ，联立可得 且整理可得： ， ，且 ， ， ，整理可得： ， 整理可得 ，整理可得 ， 即 ， 或 ， 若 ，则直线方程为： ，直线恒过 ，与P点重合， 若 ，则直线方程为： ，∴直线恒过定点 ，∴P到直线l的距离的最大值为 的值为 ， 由于 ∴点P到直线l距离的最大值 ． 解法2：公共点 ，左移1个单位，下移 个单位， ， ， ， ，等式两边同时除以 ， ， ， ， ， 过 ，右移1个单位，上移 个单位，过 ，∴P到直线l的距离的最大值为 的值为 ， 由于 ∴点P到直线l距离的最大值 ． 【点睛】五、分层训练 A组 基础巩固 1．（2022·四川雅安·二模）已知双曲线 的一条渐近线为直线 ， 的右顶点坐标为 ．若点 是双曲线 右支上的动点，点 的坐标为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线的标准方程，双曲线的右准线方程，右焦点坐标，确定 在双曲线的外部，利用圆锥 曲线的统一定义把 转化为 到右焦点 的距离，然后易得最小值． 【详解】设双曲线方程为 ，则 ，所以 ， 双曲线方程为 ， 得 ， ，因此 在双曲线外部（不含焦点的部分）， 又 ，所以 ， ，即双曲线的右准线是 ，记双曲线的右焦点为 ，则 ， ，所以当 是线段 与双曲线的交点时， 取得最小值，最小值不 ， 所以 的最小值是 ． 故选：C． 2．（2021·江苏·高二专题练习）已知 是椭圆 上的一点， 是坐标原点， 是椭圆的左焦点且 ， ，则点 到该椭圆左准线的距离为（ ） A．6 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据已知条件先判断出 点位置，然后根据椭圆的定义求解出 的长度，最后根据 的长度比 上 到准线的距离等于离心率求解出结果. 【详解】设椭圆的右焦点为 ， 到椭圆左准线的距离为 ，连接 , 因为 ，所以 ，所以 为 的中点，又因为 为 的中点，所以 ， 又因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是掌握椭圆的第一、第二定义，通过第一定义可求解出 的长度， 通过第二定义可直接求解出 到左准线的距离，避免复杂计算. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，过 且斜率为 的 直线交 于 、 两点，若 ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线 的右准线为 ，过 、 分别作 于 ， 于 ， 于 ，根据直线 的斜率为 ，得到 ，再利用双曲线的第二定义得到 ， 又 ，结合 求解. 【详解】设双曲线 的右准线为 ， 过 、 分别作 于 ， 于 ， 于 ， 如图所示：因为直线 的斜率为 ， 所以直线 的倾斜角为 ， ∴ ， ， 由双曲线的第二定义得： ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解 的能力，属于中档题. 4．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线交 于 两点， 为弦 的中点， 为 上一点，则 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求 解作答. 【详解】抛物线 ，焦点 ，准线 ，直线AB的方程为 ， 由 消去y并整理得： ，设 ， ，则 ， 弦 中点Q的横坐标 ，过点 作准线l的垂线，垂足为点 ，如图，令 交抛物线于点 ，在抛物线上任取点 ，过 作 于点 ，连接 ， 即有 ， ， 当且仅当点 与P重合时取等号， 所以 的最小值为 . 故选：A. 5．（2022·四川省平昌中学高二阶段练习）知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， 的面积为 ，点P是椭圆上任意一点（非顶点），Q是 的内心，直线 交 于 M，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得 的关系式，然后利用等面积法列方程，化简求得 ，进而求得 . 【详解】 的面积为 ，即 ， ， ， 过 作 轴，垂足为 ，过 作 轴，垂足为 ， 设 内切圆半径为 ，依题意可知 ， ，， 所以 . 故选：A 6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，点P满足 ，动点M，N满足 ， ，则 的最小值是（ ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据题意先求出点P的轨迹方程，再根据 知求 的最小值即求 的最 小值． 【详解】解：由题意知不妨设点P的轨迹为以 为焦点的双曲线的左支， 设双曲线的标准方程为 ， 则 ， ， ∴ 点P的轨迹方程是 ， ， ∴ 为M、N的中点， ， ， ， ∴ 的最小值为3，当点P在双曲线的左顶点时取等号．故选：A． 7．（2022·四川·石室中学模拟预测）已知抛物线 上有两动点 ， ，线段 的中点 到 轴距 离的是2，则线段 长度的最大值为______. 【答案】5 【分析】根据椭圆定义及三角形三边关系得 ，再结合梯形中位线性质即可 得到最值. 【详解】设抛物线 的焦点为 ,点 在抛物线的准线 上的投影为 ,点 在直线 上的投影为 ,线段 的中点为 ,点 到 轴的距离为2,则 , 当且仅当 ,即 、 、 三点共线时等号成立， 所以 的最大值为5. 故答案为：5. 8．（2022·山东·枣庄市第三中学高二期中）已知椭圆 是椭圆 上的点， 是椭圆 的左右焦点，若 恒成立，则椭圆 的离心率 的取值范围是 __________. 【答案】 【分析】设出 点坐标，将 转化为离心率的形式，从而求得离心率的取值范围. 【详解】设 ，则 ， 由于 恒成立， 即 ， ，， 由于 ，所以 ， 所以 ，两边除以 得 ， 即 ，解得 . 所以椭圆 的离心率 的取值范围是 . 故答案为： 9．（2022·福建·高二期中）弓琴，是弓琴弹拨弦鸣乐器（如下左图）.历史悠久，形制原始，.它脱胎于古 代的猎弓，也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对 善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.古代传说将“琴”的创始归于伏羲，也正由于他是以渔猎为生 的部落氏族首领.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”. 常用于民歌或舞蹈 伴奏.流行于台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔， 其正视图即为一椭圆面，它有多条弦， 拨动琴弦，发音柔弱，音色比较动听，现有某专业乐器研究人员 对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.如下右图，是一弓琴琴腔下部分的正视图.若按对称建 立如图所示坐标系， 恰为左焦点， 均匀对称分布在上半个椭圆弧上( 在 上 的投影把线段 八等分)， 为琴弦，记 ，数列 前n项和为 ，椭圆方 程为 ，且 ，则 的最小值为_____ 【答案】 【分析】设 （ ），由焦半径公式有 ，由对称性得 ， 由题意有 成等差数列，从而可求得 ，这样求得 后再由基本不等式得最小值．【详解】设 ，得 ， 为等差数列， = ， 由题意 的横坐标把 八等分,所以 , ， 又 ，所以 ，故 ， 当且仅当 时取等号. 故答案为： ． 【点睛】本题是新文化试题，解题关键是理解题意，从诸多信息中提取有用的数学信息，然后应用数学知 识解题．题中椭圆、焦点，提示我们求 需用椭圆的焦半径公式，再结合对称性，易求得其和 ，从而 表示出 ，第二步才联想到需要利用基本不等式中“1”的代换求最小值． 10．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆 ，椭圆上的点到两焦点的距离和为 ，点 在椭圆 上. (1)求椭圆 的标准方程； (2)过点 作直线 交椭圆于 两点，点 为点 关于 轴的对称点，求 面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆上的点到两焦点的距离和为2a，可得a的值，再由点在椭圆上，代入方程可求得b 的值； （2）设直线方程，联立直线与椭圆方程消去y，可得 ， ， 关于k的代数式，由 ，转化成求关于k的函数的最值，通过换元法求得. 【详解】（1）∵椭圆上的点到两焦点的距离和为 ，∴ ，∴ ， ∵点 在椭圆 上. ∴ ，∴ ，∴ ，∴椭圆 的标准方程为 ； （2）由题意显然直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ， 由 ，消去 得 ， 设 ， ∴ ，解得 ， ， ， ∴ ， 令 ， ∴ ， 所以当 时，△ABE面积最大，最大值为 . 11．（2022·云南大理·模拟预测）已知 为椭圆C的左、右焦点，点 为其上一点，且 ． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点 的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于坐标原点O的对称点R，试问 PQR的面积是否 存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． △ 【答案】(1) (2)存在，最大值为3 【分析】（1）根据条件结合椭圆的定义可得 ，然后将点 坐标代入椭圆方程可得答案. (2)由题意设设直线 与椭圆方程联立，得出韦达定理， ，将韦达定理代入，从而求出 其最值即可得出答案. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为 由题意 ，可得 ，即即椭圆的标准方程为 ， 则 解之得： 所以椭圆的标准方程为 ． （2）如图所示，设直线 ， 则 消去x整理得 ， 设 的面积为S， 又 ， 则 ， 令 ，则 ， 又设 ，则 ， ∴ 在 上为增函数， ，∴ ， 所以，存在当 时，即直线l的方程为 的面积有最大值，其最大值为3B组 能力提升 12．（2020·山西·太原五中模拟预测）已知圆 : ，一动圆与直线 相切且与圆 外切． (1)求动圆圆心 的轨迹 的方程； (2)若经过定点 的直线 与曲线 交于 两点， 是 的中点，过 作 轴的平行线与曲线 相 交于点 ，试问是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 或 【分析】（1）设元，利用圆与圆的位置关系找等量关系，列方程，化简即可； （2）设 ， ：得 ，联立方程消去 ，由韦达定理 ，根据 题意设 ，由 得 化简解决即可. 【详解】（1）设动圆圆心 ，由题可知动圆圆心不能在 轴左侧，故 ， 因为动圆与直线 相切且与圆 ： 外切， 所以 ， ， 化简得 ， 所以动圆圆心 的轨迹 的方程为 . （2）设 ， 由题意，设直线 的方程为 ， 联立 ，消去 得 ， ，① ， ，② 因为 是 的中点，过 作 轴的平行线与曲线 相交于点 ， 假设存在 ，使得 ， 所以 ，③ 因为 在抛物线上，即 所以 ，④， ， ， 所以 所以将①②③④代入化简可得 ， 所以 ， 所以存在直线 ： ，使得 ， 所以存在直线 的方程为 或 13．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 ，过点 作椭圆的两条切线，且两切线垂直. (1)求 ； (2)已知点 ，若存在过点 的直线与椭圆交于 ，且以 为直径的圆过点 （ 不与 重合），求直线 斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设切线方程，联立直线与椭圆，利用相切，得判别式为0，再利用切线垂直，即可得 的值； （2）设直线 的方程，由以 为直径的圆过点 ，得 ，利用“联消判韦”得直线 过 定点 ，再由 在直线 上，即可得直线 斜率的取值范围. （1） 解：由题可知，切线斜率存在，则设切线 ， 联立得 ，即 ， 相切得： ，即 ，所以 由两切线垂直得： （2） 解：由（1）得，椭圆方程为 由题可知，直线 的斜率存在，设 ，联立得设 ，由韦达定理得： 由题意 为直径的圆过点 ， ① 又 代入①式得： 或 （舍去），所以 过定点 ， ， ， 即直线 斜率范围 14．（2022·广东·开平市忠源纪念中学模拟预测）在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 与椭圆 有相同的焦点 ， ，且右焦点 到上顶点的距离为 ． (1)求椭圆 的方程； (2)若过椭圆 左焦点 ，且斜率为 的直线 与椭圆交于 ， 两点，求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 根据题意可得 ， ，所以 ，即可求得椭圆 的方程； 设 ， ，过 且斜率为 的直线 方程为： ，直线与椭圆方程联立，消 得 的一元二次方程 ，结合韦达定理，即可求 的面积． （1） 椭圆 的焦点为 ， ， 半焦距 ， 椭圆的右焦点 到上顶点的距离为 ， ，椭圆 的方程为 ． （2） 设 ， ， 过 且斜率为 的直线 方程为： ， 代入椭圆 的方程 ，化简可得 ， ， 则 ， . 15．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知椭圆 ，和一条过定点 且不与 轴重合的 直线 相交于 两点，线段 的中点为点 ， (1)求点 的轨迹方程； (2)射线 交椭圆于点 ， 为直线 上一点，且 为 的等比中项，过点 作圆 的两条切线，切点为 ，求 面积的最小值 . 【答案】(1) . (2) . 【分析】（1）由题意可设直线l： .设线段 的中点为点 ，利用“设而不求法”得到点E 的参数方程 （m为参数），消去m得： ，即为所求； （2）以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．由题意求出F点的轨迹的极坐标方程为 或 ，化为直角坐标方程为 或 . 连接DM、DN，连接MN交DF于K，则 .设 .利用表示出 ， ，得到 .记 ，利用导数判断出 在 上单调 递减.进而求出 面积的最小值为 .【详解】（1）由题意，可设直线l： .不妨设 ，则 ， 消去x可得： ，其中 ， ， . 设线段 的中点为点 ，所以 ， . 即 （m为参数）. 消去m得： . 所以点 的轨迹方程为： . （2）以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系． 由点 的轨迹方程为： 化为极坐标方程为 ，即 . 椭圆 化为极坐标方程为 ，即 . 可设射线 的极坐标方程为： . 因为射线 交椭圆于点 ， 为直线 上一点，所以 ， . 因为 为 的等比中项，所以 ，即 ，解得： . 所以F点的轨迹的极坐标方程为 或 ，化为直角坐标方程为 或 . 如图示：连接DM、DN，则 . 连接MN交DF于K，则 .设 .若点F在直线 上时，由对称性可知，当F位于F 时， 最大，此时由 ， ， 1 可得： . 若点F在直线 上时，由对称性可知，当F位于F 时， 最大，此时由 ， ， 2 可得： ，所以 . 在直角三角形DNF中，由 ，可得： . 在直角三角形KNF中， ， . 所以 . 记 ，则 . 因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减. 要求 面积的最小值，只需 最大. 若点F在直线 上时， F位于F 时， 最大.此时 . 1 若点F在直线 上时， F位于F 时， 最大，有 .此时 . 2 综上所述： 面积的最小值为 . 16．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模）已知抛物线C： ，圆O： . (1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，求 ； (2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求 的最小值及相应p的值. 【答案】(1) (2)最小值为 ， 【分析】（1）由 得出抛物线方程，并与圆方程联立，求出 ，最后由抛物线定义得出 ； （2）由导数的几何意义得出切线l的方程，由点 到切线 的距离等于 结合勾股定理得出 ，再由基本不等式得出 的最小值及相应p的值. （1）由题意，得 ，从而C： . 解方程组 ，整理得， ，解得 所以 . （2） 设 ，由 得 ，故切线l的方程为 ， 注意到 ，故整理得 由 且 ，即点 到切线 的距离等于 得 所以 ， 整理，得 且 ， 所以 ， 当且仅当 时等号成立. 所以 的最小值为 ，此时 . 17．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知椭圆 的离心率为 ， 上的点P与 外的点 距离的最小值为2． (1)求椭圆 的方程； (2)若直线l与椭圆 交于点A，B，当直线l被圆 截得的弦长为2b时，求 面积的取值 范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由距离的最小值求得 ，然后由离心率得 ，结合 求得 得椭圆方程； （2）设出直线方程为 ，按 和 分类讨论先求得 的关系，然后代入椭圆方程应用韦达定理求得 ，表示出 求得其范围． (1) 由题意 ， ，又 ，所以 ， 所以椭圆 的方程为 ； (2) 易知直线 不过原点，设 方程为 ， 原点到直线 距离为 ， ， 所以 ， ， ，原点 到直线 距离为1， 若 ，则 ， 方程为 ， 此时 ， ， ， 时， 由 ，及 得 ， 设 ， ，则 ， ， ， ， 令 ，由 得 ， ， 令 ，则 ， 时， ， 单调递增， 所以 ， ， 综上， ． 18．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且 ，动点P满足 ，设点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)直线 ： 与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），倾斜角为 的直线 经过点G，与曲线C交于E，F两点．若 的值与点G的位置无关，求 的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设 ， ， ，依题意可得 ，再根据 ， 即可得到方程组，消去 、 ，即可得到动点的轨迹方程； （2）首先求出 、 的坐标，设 ，其中 ，即可表示出 、 ，可判断直线 的斜 率存在，设为 、 、 ，联立直线与曲线方程，消元、列出韦达定理，利 用弦长公式表示出 ，即可得到 ，由式子与 无关，即可求出 ，从而得解； (1) 解：设 ， ，则 ． 设 ，则 ， ． 由题意得 ，解得 ， 所以 ，化简得 ， 即曲线C的方程为 ． (2) 证明：由 ，解得 或 ，（不妨设点A在第一象限），所以 ， ． 设点 ，其中 ，则 ， ，所以 ． 若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，此时 ， ，故 不为定值． 若直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ． 将直线 的方程代入曲线C的方程化简、整理，得 ． 设 ， ，则 ， ， 所以 ， 故 ． 因为 的值与m的值无关，所以 ，解得 ， 所以 ，所以G是EF的中点，即 ． 所以 ．C组 真题实战练 19．（2021·全国·高考真题（理））设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都 满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，再 构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设 ，由 ，因为 ， ，所以 ， 因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得 ，即 ； 当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该 不等式不成立． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论 函数的单调性从而确定最值． 20．（2017·全国·高考真题（理））已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1， l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【详解】设 ，直线 的方程为 ，联立方程 ， 得 ，∴ ，同理直线 与抛物线的交点满足 ，由抛物线定义可知 ，当且仅当 （或 ）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另 外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问 题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线 的倾斜角为 ，则 ，则 ，所以 . 21．（2008·江西·高考真题（文））已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内 部，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 ．因为 所以点M的轨迹为以原点为圆 心，半径为 的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选C． 【点睛】求离心率的值或范围就是找 的值或关系．由 想到点M的轨迹为以原点为圆心， 半径为 的圆．再由点M在椭圆的内部，可得 ，因为 ．所以由 得 ， 由 关系求离心率的范围． 22．（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C： 长轴的两个端点，若C上存在点M满足 ∠AMB=120°，则m的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当 时，焦点在 轴上，要使C上存在点M满足 ，则 ， 即 ，得 ；当 时，焦点在 轴上，要使C上存在点M满足 ，则 ，即 ，得 ，故 的取值范围为 ，选A． 点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定 的关系，求解时充分借助题设条件 转化为 ，这是简化本题求 解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论． 23．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双 曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是 _________． 【答案】 【分析】联立直线 和渐近线 方程，可求出点 ，再根据 可求得点 ，最后根据 点 在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ， 联立 ，得 ，由 ，得 而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 . 故答案为： ． 24．（2009·重庆·高考真题（文））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为__________． 【答案】【详解】试题分析：在△PF F 中，由正弦定理得： ，则由已知得： ， 1 2 即：a|PF|=|cPF | 1 2 设点（x，y）由焦点半径公式， 0 0 得：|PF |=a+ex ，|PF |=a-ex 则a（a+ex）=c（a-ex ） 1 0 2 0, 0 0 解得：x= ，由椭圆的几何性质知：x＞-a则 >-a 0 0 整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜- -1或e＞ -1，又e∈（0，1）， 故椭圆的离心率：e∈( -1，1)，故答案为( -1，1)． 考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点， 多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围． 点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到 离心率的范围． 25．（2021·全国·高考真题（文））已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原 点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________． 【答案】 【分析】根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求出 ，四边形 面积等于 ，即可求解. 【详解】因为 为 上关于坐标原点对称的两点， 且 ，所以四边形 为矩形， 设 ，则 ， 所以 ， ，即四边形 面积等于 . 故答案为： . 26．（2021·全国·高考真题（理））已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为 ． （1）求 ； （2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值． 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值； （2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式结合 二次函数的基本性质可求得 面积的最大值. 【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值 由题意知， ，设圆M上的点 ，则 ． 所以 ． 从而有 ． 因为 ，所以当 时， ． 又 ，解之得 ，因此 ． [方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值 抛物线 的焦点为 ， ， 所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ； （2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法 抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ， 设点 、 、 ， 直线 的方程为 ，即 ，即 ， 同理可知，直线 的方程为 ， 由于点 为这两条直线的公共点，则 ， 所以，点A、 的坐标满足方程 ， 所以，直线 的方程为 ， 联立 ，可得 ， 由韦达定理可得 ， ， 所以， ，点 到直线 的距离为 ， 所以， ， ， 由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 . [方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值 同方法一得到 ． 过P作y轴的平行线交 于Q，则 ． ． P点在圆M上，则 ． 故当 时 的面积最大，最大值为 ． [方法三]：直接设直线AB方程法 设切点A，B的坐标分别为 ， ． 设 ，联立 和抛物线C的方程得 整理得 ． 判别式 ，即 ，且 ． 抛物线C的方程为 ，即 ，有 ． 则 ，整理得 ，同理可得 ． 联立方程 可得点P的坐标为 ，即 ． 将点P的坐标代入圆M的方程，得 ，整理得 ．由弦长公式得 ． 点P到直线 的距离为 ． 所以 ， 其中 ，即 ． 当 时， ． 【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得 关于圆M上的点 的坐标的表达式，进一 步转化为关于 的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得 的值；方法二，利用圆的性质， 与圆 上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点 、 、 ，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线 的坐标满足方程 ，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得 ， ，利用弦长公式求得 的长，进而得到面积关于 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于 的二次函数最值问 题；方法二，同方法一得到 ， ，过P作y轴的平行线交 于Q，则 ． 由 求得面积关于 坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方 法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线 ，联立直线 和抛物线方程，利用韦达 定理判别式得到 ，且 ．利用点 在圆 上，求得 的关系，然后利用导数 求得两切线方程，解方程组求得P的坐标 ，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值； 27．（2021·北京·高考真题）已知椭圆 一个顶 点 ，以椭圆 的四个顶点为 顶点的四边形面积为 ． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交 y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求 ，从而可求椭圆的标准方程. （2）设 ，求出直线 的方程后可得 的横坐标，从而可得 ，联立直线 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 ，从而可求 的范围，注意判别式的要求. 【详解】（1）因为椭圆过 ，故 ， 因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ， 故椭圆的标准方程为： . （2） 设 ， 因为直线 的斜率存在，故 ， 故直线 ，令 ，则 ，同理 . 直线 ，由 可得 ， 故 ，解得 或 . 又 ，故 ，所以 又 故 即 ， 综上， 或 . 28．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 ， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P， Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）求出 的值后可求抛物线的方程. （2）方法一：设 ， ， ，联立直线 的方程和抛物线的方程后可得 ，求出直线 的方程，联立各直线方程可求出 ，根据题设条件可得 ，从而可求 的范围. 【详解】（1）因为 ，故 ，故抛物线的方程为： . （2）[方法一]：通式通法 设 ， ， ， 所以直线 ，由题设可得 且 . 由 可得 ，故 ， 因为 ，故 ，故 .又 ，由 可得 ， 同理 ， 由 可得 ， 所以 ， 整理得到 ， 故 ， 令 ，则 且 ， 故 ， 故 即 ， 解得 或 或 . 故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或 . [方法二]：利用焦点弦性质 设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程 为 ，由题设可得 且 ．由 得 ，所以 ． 因为 ， ， ． 由 得 ． 同理 ． 由 得 ． 因为 ， 所以 即 ． 故 ． 令 ，则 ． 所以 ，解得 或 或 ． 故直线 在x轴上的截距的范围为 ． [方法三]【最优解】： 设 ， 由 三点共线得 ，即 ． 所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为． 设直线 的方程为 ， 则 ． 所以 ． 故 （其中 ）． 所以 ． 因此直线 在x轴上的截距为 ． 【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标. 方法一：主要是用 坐标表示直线 ，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关 系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法二：利用焦点弦的性质求得直线 的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将 所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法三：利用点 在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点 横坐标的关系，这样有 助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范 围. 29．（2020·海南·高考真题）已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM 的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 【答案】（1） ；（2）18. 【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程； (2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定 点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值. 【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为： ，即 . 当y=0时，解得 ，所以a=4，椭圆 过点M(2，3)，可得 ， 解得b2=12. 所以C的方程： . (2)设与直线AM平行的直线方程为： ， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最 大值. 联立直线方程 与椭圆方程 ， 可得： ， 化简可得： ， 所以 ，即m2=64，解得m=±8， 与AM距离比较远的直线方程： ， 直线AM方程为： ， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得： ， 由两点之间距离公式可得 . 所以△AMN的面积的最大值： . 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 30．（2019·全国·高考真题（理））已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为 − .记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C 于点G. （i）证明： 是直角三角形； （ii）求 面积的最大值. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为− ，可以得到等式， 化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件； （2）（i）设出直线 的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点 的坐标，求出直 线 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出 的坐标，再求出直线 的斜率，计算 的值，就可以证明出 是直角三角形； （ii）由（i）可知 三点坐标， 是直角三角形，求出 的长，利用面积公式求出 的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，由题意可知： ，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在 轴上，不包括左右两 顶点的椭圆，其方程为 ； （2）（i）设直线 的方程为 ,由题意可知 ,直线 的方程与椭圆方程 联立,即 或 ,点P在第一象限，所以 ，因此点 的坐标为 直线 的斜率为 ，可得直线 方程： ，与椭圆方程联立， ， 消去 得， （*），设点 ，显然 点的横坐标 和 是方 程（*）的解所以有 ，代入直线 方程中，得 ，所以点 的坐标为 ， 直线 的斜率为; , 因为 所以 ，因此 是直角三角形； （ii）由（i）可知： ， 的坐标为 ， ， , ,因为 ，所以当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，因此当 时，函数 有最大值，最大值为 . 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面 积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.