重要二级结论：圆锥曲线中焦点弦长统一公式推导
在有关圆锥曲线章节解题中,经常会遇到求曲线的弦长问题,特别涉及最多的是求经过
曲线焦点的弦长或弦长最值问题;那么,过圆锥曲线M 的一个焦点F 作一直线交曲线M 于
A、B两点,如何求出弦AB的长?弦长AB的最值又是多少?下面笔者将用多种方法来阐述和
解决这一类问题;在这些解题思想方法中,它们都具有通性和通法的特点,且这些方法易于理
解,掌握它们不需要拥有很强的技巧性但都具有解题示范性作用,这些处理问题的思路与方
式都是一些有用、实效的好方法;希望大家学会并掌握这些思维方法与解题技能,相信它们对
我们在今后的学习和解题中定能起到示范和引领作用;且这类焦点弦长可用公式统一表示
出来,我们完全可以把这些有关式子当作教科书上的定理、公式一样来理解和记忆,在日后的
解题应用中(特别是解选择题和填空题)非常省事、管用,能起到事半功倍之效.
一、抛物线中的焦点弦长公式推导
设抛物线M 标准方程为y2 =2px(p>0),过其交点F 作一倾斜角为α(α≠0)的直线与
抛物线交于A�,B两点.(1)求弦AB的长;(2)求弦AB长的取值范围.
p
(1) 、 解 法 1: 设 A(x ,y ) , B(x ,y ) , 焦 点 F( ,0) ; 由 抛 物 线 焦 半 径 公 式 知
1 1 2 2 2
p p p
AF = x + , BF = x + .① 当⊥/ x轴时,设为 y =k(x− )(k ≠0),代入 y2 =2px中化简
1 2 2 2 2
p2k2
得:k2x2 −(pk2 +2p)x+ =0,因F 在抛物线内部且k ≠0,显然与抛物线有两个不同交
4
2p
点,即方程的∆=4p2k2 +4p2 >0恒成立,由韦达定理得x +x = p+ ,且斜率k =tanα;则弦
1 2 k2
2p
长 AB = AF + BF = x +x + p =2p+ =
1 2 k2
1 2p p
2p(1+ )= .② 当⊥ x轴时,则为x= ,代入抛物线方程解出y =±p = y ;则弦
tan2α sin2α 2 1,2
2p
长 AB = y − y =2p,此时α=90°也满足 ① 中结论.故综合得 AB = (0<α<π).
1 2 sin2α
2p p2
法 2:(其它同法 1)由韦达定理得 x +x = p+ , x x = ;再根据弦长公式得
1 2 k2 1 2 4
2p(1+k2) 2p
AB = (1+k2)(x −x )2 = (1+k2)[(x + x )2 −4x x ] = = .
1 2 1 2 1 2 k2 sin2α
p
p x= +tcosα
法 3:因过F( ,0)且倾斜角为α的直线的参数方程为
2
(t为参数),代入
2
y =tsinα
y2 =2px 中化简得t2sin2α−2ptcosα− p2 =0,因sinα≠0 ,且 ∆=4p2 >0 ;由韦达定理得
学科网（北京）股份有限公司2pcosα − p2
t +t = ,tt = , 由 直 线 参 数 方 程 参 数 t 的 几 何 意 义 知, 弦 长
1 2 sin2α 1 2 sin2α
4p2 2p
AB = t −t = (t +t )2 −4tt = = (0<α<π).(此法不需讨论)
1 2 1 2 1 2 sin4α sin2α
法 4:以抛物线的焦点F 为极点,以F 为端点且与准线垂直向右(即向x轴正方向)的射线
为极轴建立极坐标系,设D(ρ,θ)为抛物线上任意一点的极坐标;由抛物线的定义知D到焦点
F 的距离与到其准线的距离相等,即得 DF =ρ= p+ρcosθ(其中 p为抛物线的焦点到准线
p
的距离), 解出 ρ= (θ≠2kπ,k∈Z) 为抛物线的极坐标方程. 在极坐标系中, 设
1−cosθ
p p 2p
A(ρ,α),B(ρ,α+π),则 AB =ρ+ρ = + =
1 2 1 2 1−cosα 1−cos(α+π) 1−cos2α
2p
= (0<α<π).
sin2α
2p 2p
(2)、解:由(1)知 AB = ,因倾斜角α∈(0,π),得0<sin2α≤1,则 ≥ 2p,即当
sin2α sin2α
π
α= 时, AB = 2p(通径是最短的弦);故弦长 AB 的取值范围为[2p,+∞).
2 min
二、椭圆中的焦点弦长公式推导
x2 y2
设椭圆M 标准方程为 + =1(a>b>0),过其左焦点F(−c,0)作一倾斜角为α的直线
a2 b2
与椭圆交于A�,B两点.(I)求弦AB的长;(II)求弦AB长的取值范围.
(I)、解法 1:设A(x ,y ),B(x ,y ),这里c = a2 −b2 为椭圆的半焦距,令椭圆的焦点到对
1 1 2 2
a2 b2 c
应准线(即左焦点到左准线或右焦点到右准线)的距离为 p = −c = ,离心率e= ;由椭
c c a
圆焦半径公式知 AF =a+ex , BF =a+ex .⑴当 ⊥/ x 轴时, 设 为 y =k(x+c) ,代入
1 2
x2 y2
+ =1化简得:(b2 +a2k2)x2 +2a2ck2x+a2c2k2 −a2b2 =0,因F 在椭圆内部,显然与椭圆
a2 b2
−2a2ck2
有两个不同交点,即方程的∆>0恒成立,由韦达定理得x +x = ,且斜率k =tanα;则
1 2 b2 +a2k2
弦长 AB = AF + BF =2a+e(x +x )
1 2
学科网（北京）股份有限公司c −2a2ck2 2ab2(1+k2) 2ab2 /cos2α 2ab2
=2a+ ⋅ = = = =
a b2 +a2k2 b2 +a2k2 b2 +a2 tan2α b2cos2α+a2sin2α
2ab2 2b2 /a 2ep
= = .⑵当⊥ x轴时,则为 x=−c,代入椭圆方程解出
a2 −c2cos2α 1−e2cos2α 1−e2cos2α
b2 b2
y =± = y ;则弦长 AB = y − y =2 =2ep,此时α=90°也满足⑴中结论.故综合⑴⑵得
a 1,2 1 2 a
2ep c b2
弦长 AB = (其中e= , p= ,倾角α∈[0,π)).
1−e2cos2α a c
−2a2ck2 a2c2k2 −a2b2
法 2(其它同法 1)据韦达定理得 x +x = , x ⋅x = ;由弦长公式
1 2 b2 +a2k2 1 2 b2 +a2k2
2ab2(1+k2)
AB = (1+k2)(x −x )2 = (1+k2)[(x + x )2 −4x x ] = .
1 2 1 2 1 2 b2 +a2k2
x=−c+tcosα
法 3:因过F(−c,0)且倾斜角为α的直线的参数方程为
(t为参数),代入
y =tsinα
椭圆方程中化简得(b2cos2α+a2sin2α)t2 −2b2ctcosα−b4 =0,化简其∆=4a2b4 >0总成立,
2cb2cosα −b4
并得 t +t = , t ⋅t = ;由参数方程 t 的几何意义得
1 2 b2cos2α+a2sin2α 1 2 b2cos2α+a2sin2α
2ab2
AB = t −t = (t +t )2 −4tt = .
1 2 1 2 1 2 b2cos2α+a2sin2α
法 4:以椭圆的左焦点F 为极点,以F 为端点且与左准线垂直向右(即向x轴正方向)的射
线为极轴建立极坐标系,设D(ρ,θ)为椭圆上任意一点的极坐标,令 p为椭圆的左焦点到左准
线的距离;由椭圆定义知 D 到左焦点 F 的距离与到其左准线的距离d 之比等于离心率
DF ρ ep
e(0<e<1),即 = =e,解出ρ= 为椭圆的极坐标方程.在极坐标系中,
d p+ρcosθ 1−ecosθ
设 A(ρ,α),B(ρ,α+π) , 则 弦 长
1 2
ep ep 2ep
AB =ρ+ρ = + = (0≤α<π).
1 2 1−ecosα 1−ecos(α+π) 1−e2cos2α
2ep
(II)、由(I)知 AB = ,而倾斜角α∈[0,π) ,则 0≤cos2α≤1 .当α=0 时,有
1−e2cos2α
学科网（北京）股份有限公司2ep π 2b2
AB = =2a(长轴是最长的弦);当α= 时,有 AB =2ep= (通径是最短的弦).故
max 1−e2 2 min a
2b2
综合得 ≤ AB ≤2a为所求弦长的取值范围.
a
三、双曲线中的焦点弦长公式推导
x2 y2
设双曲线M 标准方程为 − =1(a,b>0),过其右焦点F(c,0)作一倾斜角为α的直线
a2 b2
与双曲线交于A�,B两点.(I)求弦AB的长;(II)求弦AB长的取值范围.
x2 y2 b
分析:因双曲线 − =1(a,b>0) 的两条渐近线方程为 y =± x,设直线的斜率为
a2 b2 a
π π b b
k = tanα ( ��0≤α<π,�α≠ ;若α= 时, k 无意义).① 当 k = ,则α=arctan 或
2 2 a a
b
α=π−arctan 时,此时与渐近线平行,即与双曲线只有一个交点而无法得到弦 AB;②当
a
b b b
k > ,则α∈(arctan ,π−arctan )时,此时与双曲线的右支交于 A�,B两点,得内弦 AB;③
a a a
b b b
当 k < ,则α∈[0,arctan )(π−arctan ,π)时,此时与双曲线的左、右两支分别交于A�,B
a a a
两点,得外弦AB.下面分情况讨论:
b b
(一)先考虑当A、B两点均在双曲线右支上时,则α∈(arctan ,π−arctan ).
a a
(I)、解法 1:设A(x ,y ),B(x ,y ),这里c= a2 +b2 为双曲线半焦距,令双曲线的焦点到
1 1 2 2
a2 b2 c
对应准线(左焦点到左准线或右焦点到右准线)距离为 p =c− = ,离心率e= ;由双曲线
c c a
x2 y2
焦半径公式 AF =ex −a, BF =ex −a.⑴当⊥/ x轴时,设为 y =k(x−c),代入 − =1化
1 2 a2 b2
简得:(b2 −a2k2)x2 +2a2ck2x−a2c2k2 −a2b2 =0,因b2 −a2k2 ≠0,显然与双曲线有两个不同
−2a2ck2
交点,即方程的 ∆>0恒成立,由韦达定理得 x +x = ,且斜率 k =tanα;则弦长
1 2 b2 −a2k2
AB = AF + BF =e(x +x )−2a
1 2
c −2a2ck2 2ab2(1+k2) 2ab2 /cos2α 2ab2
= ⋅ −2a= = = =
a b2 −a2k2 a2k2 −b2 a2 tan2α−b2 a2sin2α−b2cos2α
学科网（北京）股份有限公司2ab2 2b2 /a 2ep
= = .⑵当⊥ x轴时,则为 x = c,代入双曲线方程解
a2 −c2cos2α 1−e2cos2α 1−e2cos2α
b2 b2
出 y =± = y ;则弦长 AB = y − y =2 =2ep,此时α=90°也满足⑴中结论.故综合⑴⑵
a 1,2 1 2 a
2ep c b2
得弦长 AB = (其中e= , p= ,α条件如上).
1−e2cos2α a c
−2a2ck2 a2c2k2 +a2b2
法 2( 其 它 同 法 1) 因 x +x = , x ⋅x = ; 由 弦 长 公 式
1 2 b2 −a2k2 1 2 a2k2 −b2
2ab2(1+k2) b
AB = (1+k2)(x −x )2 = (1+k2)[(x + x )2 −4x x ] = (k > ).
1 2 1 2 1 2 a2k2 −b2 a
x=c+tcosα
法 3:因过F(c,0)且倾斜角为α的直线的参数方程为
(t为参数),代入双
y =tsinα
曲线方程中化简得(b2cos2α−a2sin2α)t2 +2b2ctcosα+b4 =0,化简其∆=4a2b4 >0总成立,
−2cb2cosα b4
并 得 t +t = , t ⋅t = ; 由 t 的 几 何 意 义 得
1 2 b2cos2α−a2sin2α 1 2 b2cos2α−a2sin2α
2ab2 b
AB = t −t = (t +t )2 −4tt = (k > ).
1 2 1 2 1 2 a2sin2α−b2cos2α a
法 4:以双曲线的右焦点F 为极点,以F 为端点且与右准线垂直向右(即向x轴正方向)的
射线为极轴建立极坐标系,设D(ρ,θ)为双曲线上任意一点的极坐标,令 p为双曲线的右焦点
到右准线的距离;由定义知 D 到右焦点 F 的距离与到右准线的距离d 之比等于离心率
DF ρ ep
e(e>1),即 = =e,解出ρ= 为双曲线的极坐标方程.在极坐标系中,
d p+ρcosθ 1−ecosθ
设 A(ρ,α),B(ρ,α+π) , 则 弦 长
1 2
ep ep 2ep b
AB =ρ+ρ = + = (其中tanα> ).
1 2 1−ecosα 1−ecos(α+π) 1−e2cos2α a
2ep b b b
(II) 、 由( I) 知 AB = , 因 tanα> , 即 α∈(arctan ,π−arctan ) , 可 得
1−e2cos2α a a a
a2 2ep π 2b2
0≤cos2α< ,则 ≥2ep;且当α= 时,有 AB =2ep= (通径是最短的内
c2 1−e2cos2α 2 min a
学科网（北京）股份有限公司2b2
弦).故综合得此时弦长AB的取值范围为[ ,+∞).
a
(二)再考虑当A、B两点分别在双曲线的左、右支上时,即此时所得弦AB称为双曲线的
b b
外弦;则α∈[0,arctan )(π−arctan ,π).
a a
(I)、解法 1:设A(x ,y ),B(x ,y ),因A在左支上,B在右支上,则x <0,x >0;由双曲线焦
1 1 2 2 1 2
b x2 y2
半径公式 AF =a−ex , BF =ex −a.因 k < ,则⊥/ x轴,设为y =k(x−c),代入 − =1
1 2 a a2 b2
化简得:(b2 −a2k2)x2 +2a2ck2x−a2c2k2 −a2b2 =0,因b2 −a2k2 ≠0,显然与双曲线有两个不
−2a2ck2
同交点,即方程的∆>0恒成立,由韦达定理得 x +x = ,且斜率k =tanα;则弦长
1 2 b2 −a2k2
AB = AF − BF =2a−e(x +x )=
1 2
c −2a2ck2 2ab2(1+k2) 2ep b b
2a− ⋅ = = (α∈[0,arctan )(π−arctan ,π)).
a b2 −a2k2 b2 −a2k2 e2cos2α−1 a a
−2a2ck2 a2c2k2 +a2b2
法 2( 其 它 同 法 1) 因 x +x = , x ⋅x = ; 由 弦 长 公 式
1 2 b2 −a2k2 1 2 a2k2 −b2
2ab2(1+k2) b
AB = (1+k2)(x −x )2 = (1+k2)[(x + x )2 −4x x ] = (k < ).
1 2 1 2 1 2 b2 −a2k2 a
x=c+tcosα
法 3:因过F(c,0)且倾斜角为α的直线的参数方程为
(t为参数),代入双
y =tsinα
曲线方程中化简得(b2cos2α−a2sin2α)t2 +2b2ctcosα+b4 =0,化简其∆=4a2b4 >0总成立,
−2cb2cosα b4
并 得 t +t = , t ⋅t = ; 由 t 的 几 何 意 义 得
1 2 b2cos2α−a2sin2α 1 2 b2cos2α−a2sin2α
2ab2 b
AB = t −t = (t +t )2 −4tt = (k < ).
1 2 1 2 1 2 b2cos2α−a2sin2α a
法 4:以双曲线的右焦点F 为极点,以F 为端点且与右准线垂直向右(即向x轴正方向)的
射线为极轴建立极坐标系,设D(ρ,θ)为双曲线上任意一点的极坐标,令 p为双曲线的右焦点
到右准线的距离;由定义知 D 到右焦点 F 的距离与到右准线的距离d 之比等于离心率
学科网（北京）股份有限公司DF ρ ep
e(e>1),即 = =e,解出ρ= 为双曲线的极坐标方程(可ρ<0).在极坐
d p+ρcosθ 1−ecosθ
标 系 中 , 设 A(ρ,α),B(ρ,α+π)(ρρ <0) , 则 弦 长
1 2 1 2
−ep −ep 2ep b
AB =−(ρ+ρ)= + = (tanα< ).
1 2 1−ecosα 1−ecos(α+π) e2cos2α−1 a
2ep b b b
(II)、由(I)知 AB = ,因 tanα< ,α∈[0,arctan )(π−arctan ,π) ;可得
e2cos2α−1 a a a
a2 2ep 2ep
<cos2α≤1,则 ≥2a;且当α=0时,有 AB = =2a(实轴是最短的外弦).
c2 e2cos2α−1 min e2 −1
故综合得此时弦长 AB 的取值范围为[2a,+∞).[法 2、因双曲线的左顶点 A(−a,0),右顶点
1
A (a,0) ; 而 A(x ,y )、B(x ,y ) 分 别 在 双 曲 线 的 左 右 支 上 , 则 x ≤−a,x ≥a ; 于 是
2 1 1 2 2 1 2
x −x = x −x ≥2a(当且仅当x =−a,x =a时取等号), y − y ≥0(当 AB//x轴或在x轴上
2 1 2 1 1 2 2 1
时取等号);故 AB = (x −x )2 +(y − y )2
2 1 2 1
≥ (x −x )2 = x −x ≥2a(当A与A 重合,且B与A 重合时取等号).法3、过双曲线的左顶点
2 1 2 1 1 2
A(−a,0)作直线m ⊥ x轴与双曲线相切于A ,则双曲线左支上的点仅 A 点在直线m 上,其它
1 1 1 1 1
点均在m 的左侧;同理过右顶点 A (a,0)作直线m ⊥ x轴与双曲线相切于 A ,则双曲线右支
1 2 2 2
上的点仅 A 点在直线m 上,其它点均在m 的右侧;故直线与双曲线左、右两支分别交于
2 2 2
A�,B两点时,弦长 AB ≥ A A = 2a.]
1 2
2ep b b
,α∈(arctan ,π−arctan )
1−e2cos2α a a
2ep b b
(I)综合(一)、(二)知:弦长 AB = ,α∈[0,arctan )(π−arctan ,π).
e2cos2α−1 a a
b b
不存在(没有弦),α=arctan 或π−arctan
a a
2b2 2b2 2b2
(II)若 ≤2a,即a≥b时,弦长 AB的取值范围为[ ,+∞);若 >2a,即a<b时,弦长 AB
a a a
的取值范围为[2a,+∞).
概括总结:通过上面对所有情况的全面分析,并利用了多种方法求解与证明,我们已经得
到下面有关圆锥曲线的一个统一的性质定理,对我们今后的学习和解题能起到一定的示范
性作用与程序化、公式化的正确导向，这是圆锥曲线中又一个完美的二级结论.
学科网（北京）股份有限公司圆锥曲线中过焦点的弦的统一弦长公式如下(一个秒杀题的重要二级结论)：
焦点弦中统一弦长公式性质定理:设圆锥曲线(椭圆、抛物线和双曲线)的方程是焦点在
2ep
x轴上的标准形式,且过圆锥曲线焦点的弦为AB.(1)则其弦长统一公式 AB = ;其
1−e2cos2α
c c
中e为离心率,椭圆中e = ∈(0,1),抛物线中e =1,双曲线中e = ∈(1,+∞);若曲线为抛物线P
a a
b2
表示焦点到其准线的距离,若曲线为椭圆或双曲线 p= 表示焦点到其对应准线的距离;α
c
表示弦 AB所在直线的倾斜角,椭圆中α∈[0,π),抛物线中α∈(0,π),双曲线中 AB表示交同
b b
一支的弦且α∈(arctan ,π−arctan );此时圆锥曲线的通径长2ep = AB 为最短弦长,椭圆中
a a
2b
AB ∈[ ,2a],抛物线中 AB ∈[2p,+∞).(2)若弦AB是表示交双曲线左右支各一点所得的弦,
a
2ep b b
则其弦长公式 AB = (α∈[0,arctan )(π−arctan ,π)),此时双曲线的实轴长
e2 cos2α−1 a a
2b2
A A = 2a = AB 为最短弦长.(3)仅对双曲线而言,若 ≤2a,即a≥b时,弦长 AB的取值范
1 2 a
2b2 2b2
围为[ ,+∞);若 >2a,即a<b时,弦长AB的取值范围为[2a,+∞).
a a
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