九五高中协作体 届高考最后一卷 数学试题
2026
注意事项
:
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
1.
回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动 用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
2. , , ,
考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。
3. ,
一、单选题本题共 小题 每小题 分 共 分 每小题只有一个选项符合要求
: 8 , 5 , 40 ,
设复数 满足 则
𝑧𝑧
1. 𝑧𝑧 𝑧𝑧+2 = i , 𝑧𝑧 =
A. −1−i B. −1+i C. 1−i D. 1+i
已知 则
𝜋𝜋
2. tan�𝛼𝛼+4�=2 , tan𝛼𝛼 =
1 1
A. 3 B. −3 C. 3 D. -3
已知集合 若 则
3. 𝐴𝐴 ={1,𝑎𝑎},𝐵𝐵 ={2,𝑎𝑎−1,6−𝑎𝑎} , 𝐴𝐴∩𝐵𝐵 =𝐴𝐴 , 𝑎𝑎 =
已
A.
知
0
一 组数据
B
的
. 1
平 均 数为 方差为
C
则
. 2 D. 3
4. 𝑎𝑎,𝑏𝑏,1,3,5 3, 2, 𝑎𝑎𝑏𝑏 =
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
已知圆台上、下底面半径分别为 和 ，其母线与底面所成角的正弦值为 ，则该圆台的体积为
√2
5. 1 3 2
52 26
A. 3 𝜋𝜋 B. 52𝜋𝜋 C. 3 𝜋𝜋 D. 26𝜋𝜋
已知三次函数 则 是 是 的极大值点”的
2
6. 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑎𝑎(𝑥𝑥−𝑎𝑎) (𝑥𝑥−𝑏𝑏) , “ 𝑏𝑏 >𝑎𝑎 >0 ” “ 𝑥𝑥 =𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
从
A.
， ， ， ， 中 任
B.
取 个数，则这三 个 数
C.
恰好可以构 成 等差数列
D.
的 情况有
7. 1 2 3 ... 20 3
种 种 种 种
A. 45 B. 60 C. 75 D. 90
学科网（北京）股份有限公司已知 分别为椭圆 的左、右焦点过 的直线与 交于 两点线段
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
8. 的中 𝐹𝐹1点,𝐹𝐹2 在 轴上且 𝐶𝐶:𝑎𝑎 2 +𝑏𝑏 2 =1若(𝑎𝑎>𝑏𝑏 >0)则 的标准方程, 为 𝐹𝐹2 𝐶𝐶 𝑃𝑃,𝑄𝑄 ,
𝐹𝐹1𝑄𝑄 𝑀𝑀 𝑦𝑦 , 𝑃𝑃𝑀𝑀 ⊥𝐹𝐹1𝑄𝑄 , |𝑃𝑃𝑄𝑄| = 4 , 𝐶𝐶
2 2 2 2 2 2 2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦
A. 6 + 3 = 1 B. 6 + 2 = 1 C. 9 + 6 = 1 D. 9 + 3 = 1
二、多选题 本题共 小题 每小题 分 共 分。在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求。全
部选对的得 分 部分选对的得部分分 有选错的得 分。
: 3 , 6 , 18 ,
6 , , 0
已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 为 的渐近线
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
9. 𝐹𝐹1上(−一2,点0),且𝐹𝐹2 (2,0) 则 𝐶𝐶:𝑎𝑎 2 −𝑏𝑏 2 =1(𝑎𝑎>0,𝑏𝑏 >0) 𝑃𝑃 𝐶𝐶
𝑦𝑦 = √3𝑥𝑥 , 𝑃𝑃𝐹𝐹1 ⊥𝑃𝑃𝐹𝐹2 ,
的方程为 的离心率为
2
2 𝑦𝑦
A. 𝐶𝐶 𝑥𝑥 − 3 = 1 B. 𝐶𝐶 2
点 到直线 的距离为 的面积为
C. 𝐹𝐹1 𝑦𝑦 =√3𝑥𝑥 3 D. △𝑃𝑃𝐹𝐹1𝐹𝐹2 2√3
在矩形 中 将 沿 折起使点 到达点 的位置得到三棱锥
若 则
10. 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 , 𝐴𝐴𝐵𝐵 =√2,𝐴𝐴𝐴𝐴 =1 , △𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐶𝐶 , 𝐴𝐴 𝑃𝑃 , 𝑃𝑃− 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 .
𝐴𝐴𝑃𝑃 ⊥𝐵𝐵𝐶𝐶 ,
三棱锥 外接球的表面积为
3
A. 𝐵𝐵𝑃𝑃 =1 B. 𝑃𝑃−𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 4𝜋𝜋
直线 与直线 所成的角为 平面 与平面 的夹角为
∘ ∘
C. 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐶𝐶𝑃𝑃 60 D. 𝐴𝐴𝐶𝐶𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 45
盒子中有 个球其中 个黑球 个白球 其中一个白球记为甲 每次从
∗
中随机抽取一个球不放回记累计取出 个黑球时取出的球的总数为随机变量 则
11. 𝑚𝑚+𝑛𝑛 , 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ( ), 𝑚𝑚 ≥2,𝑛𝑛 ≥2,𝑚𝑚,𝑛𝑛 ∈𝑁𝑁 .
, , 𝑚𝑚 , 𝑋𝑋 ,
第 次取出的球是黑球的概率为
𝑚𝑚
A. 2 𝑚𝑚+𝑛𝑛
最后一个黑球恰好在第 次被取到的概率为
𝑚𝑚
B. 𝑚𝑚+1 𝑚𝑚+𝑛𝑛
白球甲在最后一个黑球之后被取出的概率为
1
C. 𝑚𝑚+1
𝑚𝑚𝑚𝑚
D. 𝐸𝐸(𝑋𝑋)=𝑚𝑚+1+𝑚𝑚
三、填空题本题共 小题 每小题 分 共 分
: 3 , 5 , 15
若函数 为偶函数，则 的最小值为
12. 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=sin(𝑥𝑥+𝜑𝜑)+cos(𝑥𝑥+𝜑𝜑) |𝜑𝜑| _____.
在 中， ， ，则 的值为
13. △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐵𝐵 =𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 =6 𝐴𝐴𝐵𝐵⋅𝐵𝐵𝐶𝐶 _____.
已知集合 中的最大元素为 且 对任意的
1 则 4 集 . 合 中所 𝐴𝐴 有 = 元{𝑎𝑎 素1, 的 𝑎𝑎2和 ,𝑎𝑎 为3,⋯,𝑎𝑎2026} 2, 0∈𝐴𝐴 , 1≤i<𝑗𝑗 ≤2026,�𝑎𝑎𝑖𝑖−𝑎𝑎𝑗𝑗�∈𝐴𝐴 ,
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𝐴𝐴 _____.四、解答题本题共 小题共 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
: 5 , 77 ,
本小题满分 分 设 角 的对边分别为 已知
15.
求
(
；
13 ) △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝐴,𝐵𝐵,𝐶𝐶 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 , 𝑎𝑎 =cos𝐴𝐴,𝑏𝑏 =sin𝐵𝐵 .
(1)
求
𝐴𝐴
面积的最大值
(2) △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 .
本小题满分 分 已知函数
1
16. ( 15 ) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=4𝑥𝑥−𝑎𝑎ln𝑥𝑥−𝑥𝑥 .
讨论 的单调性
(1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ;
若 恰有两个不同的极值点 ，证明
𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)+𝑓𝑓(𝑥𝑥2)
(2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 : 𝑓𝑓� 2 �< 2 .
本小题满分 分 已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为 上一点，当
2
轴时，
17. ( 15 ) 𝐸𝐸:𝑦𝑦 =2𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑝𝑝>0) 𝐹𝐹 𝐴𝐴(2𝑝𝑝,0) 𝑃𝑃 𝐸𝐸
𝑃𝑃𝐴𝐴 ⊥𝑥𝑥 |𝑃𝑃𝐹𝐹| = 5 .
求 的方程
(1)
当
𝐸𝐸
在 上
:
运动时，直线 被以 为直径的圆所截得的弦长为定值，求 的值
( 2 )
本 小
𝑃𝑃
题 满
𝐸𝐸
分 分 如图，
𝑥𝑥 =
是
𝑚𝑚
的
𝑃𝑃𝐴𝐴
直 径， 与 所在平面垂直，
𝑚𝑚 .
是 上
的点，点 为线段 的中点点 在 上的射影为
18. ( 17 ) 𝐴𝐴𝐵𝐵 ⊙𝑂𝑂 𝑃𝑃𝐴𝐴 ⊙𝑂𝑂 𝑃𝑃𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐵𝐵 =2,𝐶𝐶 ⊙𝑂𝑂
求证
𝑀𝑀
；
𝑃𝑃𝐵𝐵 , 𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑁𝑁 .
(1)
点
:
在
𝐴𝐴𝑁𝑁 ⊥𝑀𝑀
上
𝑁𝑁
运 动
(2)
证 明
𝐶𝐶
点
⊙
的
𝑂𝑂
轨迹是圆
.
(i)
当三
:
棱锥
𝑁𝑁
体
:
积 最大时求二面角 的大小
(ii) 𝑃𝑃−𝐴𝐴𝑀𝑀𝑁𝑁 , 𝐴𝐴−𝑃𝑃𝐵𝐵−𝐶𝐶 .
本小题满分 分 标号为 的 位同学围着圆桌入座进行传球游戏 将他们分成
19.三 ( 组其中第 17组 包) 含 𝐴𝐴1,𝐴𝐴2,⋯,𝐴𝐴12 12 四位, 同学 在每次传球中拿球的. 同学分别以 𝐵𝐵的1,𝐵𝐵概2 ,
1
率𝐵𝐵3将 球传, 递给邻 𝐵𝐵座1 二人中的 𝐴𝐴1一,𝐴𝐴位𝑖𝑖+3已,𝐴𝐴知𝑖𝑖+6球,𝐴𝐴最𝑖𝑖+初9 (在i = 1,手2,3中) 当其将球. 传出后视为第一, 次传球结束 对于 2
. 𝐴𝐴1 , , .
学科网（北京）股份有限公司设 为第 次传球后球在 手中的概率 为第 次传球后球在
∗ 𝑖𝑖 𝑗𝑗
𝑛𝑛组∈某𝑁𝑁一,位i∈同{学1,2手,3上,⋯的,1概2}率,𝑗𝑗 ∈{1,2,3} , 𝑝𝑝𝑛𝑛 𝑛𝑛 , 𝐴𝐴𝑖𝑖 ; 𝑞𝑞𝑛𝑛 𝑛𝑛 , 𝐵𝐵𝑗𝑗
.
求 与 的值；
1 1
(1) 𝑝𝑝2 𝑞𝑞3
求 与 ；
1 4
(2) 𝑞𝑞𝑛𝑛 𝑝𝑝201
证明
200
1 1 1 1
(3) : 𝑝𝑝200 > 6+3⋅�2� .
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