不等式解题四招：权方和不等式、琴生不等式、糖水不等式、万能K法（学生版）_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0613数学

不等式解题四招：权方和不等式、琴生不等式、糖水不等式、万
能 K 法
知识梳理
知识点01权方和不等式
1.二维形式的权方和不等式
a2 b2 (a+b)2 a b
对于任意的a,b,x,y>0，都有 + ≥ ．当且仅当 = 时，等号成立．
x y x+y x y
2.一般形式的权方和不等式
am+1 am+1 am+1 (a +a +⋯a )m+1
若a >0，b >0，m>0，则 1 + 2 +⋯+ n ≥ 1 2 n ，当a =λb 时等号成立．
i i bm bm bm (b +b +⋯b )m i i
1 2 n 1 2 n
知识点02琴生不等式
1.凹(凸)函数的定义
x +x
设连续函数 f(x)的定义域为[a，b]，对于区间[a，b]内任意两点x ，x ，都有 f  1 2
1 2 2
 ≤
f(x )+f(x )
1 2 ，则称f(x)为[a，b]上的凹函数；
2
x +x
反之，若有f  1 2
2

f(x )+f(x )
≥ 1 2 ，则称f(x)为[a，b]上的凸函数.
2
2.琴生不等式
(1)琴生不等式：若 f(x)是区间[a，b]上的凹函数，则对任意的点x ，x ，⋯，x ∈[a，b]，有
1 2 n
x +x +⋯+x
f 1 2 n
n

1
≤ [f(x )+f(x )+⋯+f(x )](当且仅当x =x =⋯=x 时取“=”).
n 1 2 n 1 2 n
(2)加权琴生不等式：若 f(x)在[a，b]上为凹函数，则对任意x ∈[a，b]，λ >0(i=1，2，⋯，n)，
i i
n n n
λ =1,=1，有f(λx)≤λ f(x).
i i i i i
i=1 i=1 i=1
说明：以上各不等式反向，即得凸函数的琴生不等式.
知识点03 糖水不等式
1.糖水不等式定理
b+m b
若 a>b>0,m>0, 则一定有 >
a+m a
通俗的理解: 就是 a 克的不饱和糖水里含有 b 克糖, 往糖水里面加入 m 克糖,则糖水更甜;
糖水不等式的倒数形式:
a a+m
设 a>b>0,m>0, 则有: >
b b+m
2.对数型糖水不等式
(1) 设 n∈N , 且 n>1, 则有 log n<log (n+1)
+ n+1 n+2
·1·(2) 设 a>b>1,m>0, 则有 log b<log (b+m)
a a+m
(3) 上式的倒数形式：设 a>b>1,m>0, 则有 log a>log (a+m)
b b+m
知识点04 万能K法
对给定关于x,y的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于k, 然
后用y表示x或x表示y,代入原式，得到一个关于x的一元二次方程,然后利用判别式大于等于零,
得到一个不等式,解出k的范围即可,此方法称之为万能k法.
题型解析
题型01 权方和不等式的应用
技巧
(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键.
(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式.
3 1
(3)关于带根号的式子，将分子变为 次，分母为 次.
2 2
3.(24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时
a2 b2 a+b
有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时等号成
x+y x y
立.根据权方和不等式，函数fx 
3x+3 16 1
= + 0<x<
x 1-3x 3
 的最小值为 ( )
A. 39 B. 52 C. 49 D. 36
4.(25-26高三上·广东深圳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值
a2 b2 (a+b)2 a b
时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足 + ≥ ，当且仅当 = 时，
x y x+y x y
1 16 1
等号成立．则函数f(x)= + 0<x<
3x 1-3x 3
 的最小值为 ( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
5.(2026·吉林白山·一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的
a2 b2 a+b
应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时，等号成立．则
x+y x y
函数fx 
3 16 1
= + 0<x<
x 1-3x 3
 的最小值为 ( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
6.(24-25高一下·四川宜宾·期末)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有
a2 b2 a+b
很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时等号成
x+y x y
·2·2 9 1
立．根据权方和不等式，函数f(x)= + 0<x<
x 1-2x 2
 的最小值为 ( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
题型02 琴生不等式的应用
技巧
琴生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利
用琴生不等式证明或求最值.
7.半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是 .
x x x
8.设x ，x ，⋯，x >0，且x +x +⋯+x =1，则W= 1 + 2 +⋯+ 2027 的最小值为
1 2 2027 1 2 2027 1-x 1-x 1-x
1 2 2027
.
9.(25-26高一上·四川泸州·期中)某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数y=x3和y=
x，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了
解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数 f(x)的定义域为[a,b]，若对于[a,b]内任意两数
x +x
x ，x ，都有 f  1 2
1 2 2

f(x )+f(x ) x +x
≤ 1 2 ，则称 f(x) 为 [a,b] 上的凹函数；若 f  1 2
2 2
 ≥
f(x )+f(x )
1 2 ，则称f(x)为[a,b]上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解
2
到了琴生不等式(Jensen不等式)：若f(x)是区间[a,b]上的凹函数，则对任意的x ,x ,⋯,x ∈[a,
1 2 n
x +x +⋯+x
b]，有不等式f 1 2 n
n

f(x )+f(x )+⋯+f(x )
≤ 1 2 n 恒成立(当且仅当x =x =⋅⋅⋅=x 时，等
n 1 2 n
号成立)．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造
函数．
(1)设函数g(x)=x3，且当x∈(0,2]时，不等式0<g(mx2+x)≤8恒成立，求实数m的取值范围；
3
(2)试判断f(x)= 在(0,1)上的凹凸性，并说明理由；
3-2x
x x x
(3)设x ,x ,⋯,x >0，n≥2，且x +x +⋅⋅⋅+x =1，求W= 1 + 2 +⋅⋅⋅+ n 的最小
1 2 n 1 2 n 3-2x 3-2x 3-2x
1 2 n
值．
·3·题型03 糖水不等式定理的应用
技巧
熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值
结构.通过添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函
数单调性判断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套
用错误.
10.(多选)已知实数a,b,c满足0<a<b<c，则下列说法正确的是 ( )
1 1 b b+c
A. > B. >
c-a b-a a a+c
1
C.
ac-a 
1
>
bc-a 
D. ab+c2>ac+bc
11.设a=log 2,b=log 4,c=log 40,则a,b,c的大小关系为( )
5 6 135
A. c<b<a B. a<b<c C. b<a<c D. a<c<b
12.(多选题)在a克的糖水中含有b克的糖(a>b>0)，再添加少许的糖m克(m>0)，全部溶解后糖水
b b+m b+m b+n
更甜了，由此得糖水不等式 < .若 =x, =y(n>0)，则( )
a a+m a+m a+n
A.若m>n，则x>y B.若m≤n，则x≤y
b+m a+n b+m a+n
C. <1< D.当m>n时， >
a+m b+n a+m b+n
13.(多选题) 生活经验告诉我们：a克糖水中含有b克糖(a>0,b>0，且a>b)，若再添加m克糖(m>
b b+m
0)后，糖水会更甜.于是得出一个不等式： < ，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”
a a+m
判断下列命题一定正确的是( )
b b+m
A.若a>b>0,m<0，则 <
a a+m
B.log 2<log 10
3 15
a b c
C.若a,b,c为△ABC三条边长，则 + >
1+a 1+b 1+c
a b c
D.若a,b,c为△ABC三条边长，则1< + + <2
b+c c+a a+b
14.已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，往糖水中加入m克糖(m>0)，(假设全部溶解)糖水更甜了.
这就是著名的“糖水不等式”
·4·(1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
20252026 20252023
(2)利用(1)的结论比较M= ，N= 的大小.
20272028 20272025
题型04 对数糖水不等式的应用
技巧
在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数
型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.
15.(2022·全国·统考高考真题)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则 ( )
A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a
16.(2026·重庆·模拟预测)设a=log 2025，b=log 2024，c=log 0.2025，则 ( )
2026 2025 0.2026
A. c<a<b B. b<c<a C. b<a<c D. a<b<c
17.(2026·四川乐山·三模)若a=log 2,b=log 3,c=e-2，则a,b,c的大小关系是 ( )
3 4
A. b<c<a B. a<c<b C. c<b<a D. c<a<b
18.(2026·河南郑州·一模)已知a=log 3,b=log 5,c=log 7，则a,b,c的大小关系是 ( )
2 4 6
A. c>a>b B. a>c>b C. b>c>a D. a>b>c
·5·题型05 万能K法的应用
技巧
设所求最值式为k，联立条件等式整理成一元二次方程.
利用方程有实根，由判别式 Δ≥0建立不等式求解k范围.
适用题型：齐次式最值、二元变量范围、分式型最值、圆锥曲线定值最值.
技巧：优先消元凑二次式，区分正负变量，规避分母为零.
局限：仅适用于可化为一元二次方程题型，复杂多元慎用，常搭配换元简化计算.
xy 1
19.若存在正实数y,使得 = ,则实数x的最大值为 ( )
y-x 5x+4y
1 2
A. B. C. 1 D. 2
5 5
20.已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 .
21.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 ( )
2 3
A. 1 B. C. 3 D. 2
3
1 1
22.实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则 + = .
S S
max min
23.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是 .
巩固提升
24.已知a=log 2，b=log 3，c=log 4，则 ( )
3 4 5
A. a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. a>c>b
π
25.已知a=log 2，b=log 3，c=sin ，比较a，b，c的大小为 ( )
3 4 6
A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. b>a>c
26.已知a=log 2,b=log 4,c=log 6,则( )
3 4 9
A. c>a>b B. c>b>a C. a>b>c D. a>c>b
27.(25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最
a2 b2 a+b
值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时等
x+y x y
号成立.根据权方和不等式，函数fx 
3x+3 16 1
= + 0<x<
x 1-3x 3
 的最小值为 ( )
A. 39 B. 52 C. 49 D. 36
28.在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值是 ( )
·6·3 3 3 3
A. B. 3 C. D.
2 2 2
29.(多选)在a克的糖水中含有b克的糖(a>b>0)，再添加少许的糖m克(m>0)，全部溶解后糖水更
b b+m b+m b+n
甜了，由此得糖水不等式 < .若 =x, =y(n>0)，则( )
a a+m a+m a+n
A.若m>n，则x>y B.若m≤n，则x≤y
b+m a+n b+m a+n
C. <1< D.当m>n时， >
a+m b+n a+m b+n
x2 y2 z2
30.(2026高三·全国·专题练习)已知正实数x、y、z的和为1，则 + + 的最小值为
x+y y+z z+x
．
31.(25-26高一上·江苏无锡·期中)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有
a2 b2 a+b
很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时，等号
x+y x y
成立，则函数fx 
3 16 1
= + 0<x<
x 1-3x 3
 的最小值为 ．
32.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设
a2 b2 a+b
a，b，x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时，等号成立．根据权方和不等式，函数
x+y x y
fx 
3 1 2
= + 0<x<
x 2-3x 3
 的最小值为 ．
33.若正实数m,n满足m+2n=3mn,则m+n的最小值为 .
4x-y
34.已知正实数x,y满足 =4xy,那么y的最大值为 .
4x+3y
2 4
35.已知实数x,y满足x+ +3y+ =10,则xy的取值范围是 .
x y
α+β+γ
36.设 α,β,γ 分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则 sin 的取值范围为
3
37.(24-25高一上·河北·期中)若a >0，b >0i=1,2,⋯,n
i i

am+1 am+1
，m>0，则不等式 1 + 2 +⋯
bm bm
1 2
+ am n +1 ≥ a 1 +a 2 +⋯+a n
bm n
 m+1
b 1 +b 2 +⋯+b n 
a a a ，当且仅当 1 = 2 =⋯= n 时，等号成立.这个不等式叫做权方和
m b b b 1 2 n
不等式，m称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数
学中一个重要的不等式.
(1)若a >0,b >0i=1,2
i i
 ，证明二维形式的权方和不等式： a2 1 + a2 2 ≥ a 1 +a 2
b b
1 2
 2 .
b +b
1 2
·7·(2)已知x >0i=1,2,⋯,5 i  ，x +2x +3x +4x +5x =30，求x2+2x2+3x2+4x2+5x2的最小值. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
x+2y
已知正数x，y满足x2+y2-3x+2=0，求
 2
的最大值.
3x-2
·8·