不等式解题四招：权方和不等式、琴生不等式、糖水不等式、万能K法（解析版）_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0613数学

不等式解题四招：权方和不等式、琴生不等式、糖水不等式、万
能 K 法
知识梳理
知识点01权方和不等式
1.二维形式的权方和不等式
a2 b2 (a+b)2 a b
对于任意的a,b,x,y>0，都有 + ≥ ．当且仅当 = 时，等号成立．
x y x+y x y
2.一般形式的权方和不等式
am+1 am+1 am+1 (a +a +⋯a )m+1
若a >0，b >0，m>0，则 1 + 2 +⋯+ n ≥ 1 2 n ，当a =λb 时等号成立．
i i bm bm bm (b +b +⋯b )m i i
1 2 n 1 2 n
知识点02琴生不等式
1.凹(凸)函数的定义
x +x
设连续函数 f(x)的定义域为[a，b]，对于区间[a，b]内任意两点x ，x ，都有 f  1 2
1 2 2
 ≤
f(x )+f(x )
1 2 ，则称f(x)为[a，b]上的凹函数；
2
x +x
反之，若有f  1 2
2

f(x )+f(x )
≥ 1 2 ，则称f(x)为[a，b]上的凸函数.
2
2.琴生不等式
(1)琴生不等式：若 f(x)是区间[a，b]上的凹函数，则对任意的点x ，x ，⋯，x ∈[a，b]，有
1 2 n
x +x +⋯+x
f 1 2 n
n

1
≤ [f(x )+f(x )+⋯+f(x )](当且仅当x =x =⋯=x 时取“=”).
n 1 2 n 1 2 n
(2)加权琴生不等式：若 f(x)在[a，b]上为凹函数，则对任意x ∈[a，b]，λ >0(i=1，2，⋯，n)，
i i
n n n
λ =1,=1，有f(λx)≤λ f(x).
i i i i i
i=1 i=1 i=1
说明：以上各不等式反向，即得凸函数的琴生不等式.
知识点03 糖水不等式
1.糖水不等式定理
b+m b
若 a>b>0,m>0, 则一定有 >
a+m a
通俗的理解: 就是 a 克的不饱和糖水里含有 b 克糖, 往糖水里面加入 m 克糖,则糖水更甜;
糖水不等式的倒数形式:
a a+m
设 a>b>0,m>0, 则有: >
b b+m
2.对数型糖水不等式
(1) 设 n∈N , 且 n>1, 则有 log n<log (n+1)
+ n+1 n+2
·1·(2) 设 a>b>1,m>0, 则有 log b<log (b+m)
a a+m
(3) 上式的倒数形式：设 a>b>1,m>0, 则有 log a>log (a+m)
b b+m
知识点04 万能K法
对给定关于x,y的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于k, 然
后用y表示x或x表示y,代入原式，得到一个关于x的一元二次方程,然后利用判别式大于等于零,
得到一个不等式,解出k的范围即可,此方法称之为万能k法.
题型解析
题型01 权方和不等式的应用
技巧
(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键.
(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式.
3 1
(3)关于带根号的式子，将分子变为 次，分母为 次.
2 2
3.(24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时
a2 b2 a+b
有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时等号成
x+y x y
立.根据权方和不等式，函数fx 
3x+3 16 1
= + 0<x<
x 1-3x 3
 的最小值为 ( )
A. 39 B. 52 C. 49 D. 36
【答案】B
【分析】根据权方和不等式的定义，将函数fx  变形为：fx 
32 42
= + +3，再根据权方和不等
3x 1-3x
式求出最小值即可.
【详解】因为fx 
3x+3 16 9 16 32 42 1
= + = + +3= + +30<x<
x 1-3x 3x 1-3x 3x 1-3x 3
 ，
1
因为0<x< ，所以1-3x>0，3x>0，
3
9 16 3+4
根据权方和不等式有： + +3≥
3x 1-3x
 2
+3=52，
3x+1-3x
3 4 1
当且仅当 = 时，即x= 时等号成立.
3x 1-3x 7
所以函数fx 
3x+3 16 1
= + 0<x<
x 1-3x 3
 的最小值为52.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数详解式变形，从而利用权方和不等
式求最值.
4.(25-26高三上·广东深圳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值
a2 b2 (a+b)2 a b
时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足 + ≥ ，当且仅当 = 时，
x y x+y x y
·2·1 16 1
等号成立．则函数f(x)= + 0<x<
3x 1-3x 3
 的最小值为 ( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
【答案】B
【分析】结合所给权方和不等式计算即可得.
1
【详解】由0<x< ，则3x>0，1-3x>0，
3
1 16 12 42 1+4
故f(x)= + = + ≥
3x 1-3x 3x 1-3x
 2
=25，
3x+1-3x
1 4 1
当且仅当 = ，即x= 时，等号成立.
3x 1-3x 15
故选：B.
5.(2026·吉林白山·一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的
a2 b2 a+b
应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时，等号成立．则
x+y x y
函数fx 
3 16 1
= + 0<x<
x 1-3x 3
 的最小值为 ( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
【答案】D
【分析】根据权方和不等式，直接计算即可.
a2 b2 a+b
【详解】因为a，b，x，y，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时等号成立，
x+y x y
1
又0<x< ，即1-3x>0，于是得fx
3

32 42 3+4
= + ≥
3x 1-3x
 2
3x+1-3x 
=49，
1 4 1
当且仅当 = ，即x= 时取“=”，
x 1-3x 7
所以函数的fx 
3 16 1
= + 0<x<
x 1-3x 3
 最小值为49．
故选：D
6.(24-25高一下·四川宜宾·期末)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有
a2 b2 a+b
很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时等号成
x+y x y
2 9 1
立．根据权方和不等式，函数f(x)= + 0<x<
x 1-2x 2
 的最小值为 ( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
【答案】B
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
a2 b2 a+b
【详解】因a，b，x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时等号成立，
x+y x y
1
又0<x< ，即1-2x>0，
2
·3·22 32 (2+3)2 2 3 1
于是得f(x)= + ≥ =25，当且仅当 = ，即x= 时取“=”，
2x 1-2x 2x+(1-2x) 2x 1-2x 5
2 9 1
所以函数f(x)= + 0<x<
x 1-2x 2
 的最小值为25.
故选：B
题型02 琴生不等式的应用
技巧
琴生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利
用琴生不等式证明或求最值.
7.半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是 .
3 3
【答案】 R2
4
【详解】设圆O的内接三角形为ΔABC．
显然当ΔABC是锐角或直角三角形时，面积可以取得最大值
(因为若ΔABC是钝角三角形，可将钝角(不妨设为A)所对边以圆心为对称中心作中心对称成为
B′C′．因此，S >S )．
ΔAB′C′ ΔABC
设∠AOB=2α,∠BOC=2β,∠COA=2γ，α+β+γ=π.
1
则S = R2(sin2α+sin2β+sin2γ) ．
ΔABC 2
π
由讨论知可设0<α,β,γ≤ ，而y=sinx在(0,π] 上是凸函数.
2
sin2α+sin2β+sin2γ 2(α+β+γ) 3
则由琴生不等式知 ≤sin = .
3 3 2
1 3-3 3
所以S ≤ R2×3× R2 ，
ΔABC 2 4
当且仅当 ΔABC 是正三角形时，等号成立
x x x
8.设x ，x ，⋯，x >0，且x +x +⋯+x =1，则W= 1 + 2 +⋯+ 2027 的最小值为
1 2 2027 1 2 2027 1-x 1-x 1-x
1 2 2027
.
【答案】
x x
【详解】构造函数f(x)= ，易证函数f(x)= 在 (0,1) 上为凹函数．
1-x 1-x
x +x +⋯+x 由琴生不等式，得f 1 2 2027
2027
 ≤ fx 1  +fx 2  +⋯+fx 2027 
2027
1 x x x 即  1 + 2 +⋯+ 2027
2027 1-x 1-x 1-x
1 2 2027

1
2027 ≥ ．
1
1-
2027
x x x 2027 2027
所以W= 1 + 2 +⋯+ 2027 ≥ = ，当且仅当 x =x =⋯=x 时，W
1-x 1-x 1-x 2027-1 2026 1 2 2027
1 2 2027
2027
的最小值为 ．
2026
9.(25-26高一上·四川泸州·期中)某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数y=x3和y=
·4·x，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了
解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数 f(x)的定义域为[a,b]，若对于[a,b]内任意两数
x +x
x ，x ，都有 f  1 2
1 2 2

f(x )+f(x ) x +x
≤ 1 2 ，则称 f(x) 为 [a,b] 上的凹函数；若 f  1 2
2 2
 ≥
f(x )+f(x )
1 2 ，则称f(x)为[a,b]上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解
2
到了琴生不等式(Jensen不等式)：若f(x)是区间[a,b]上的凹函数，则对任意的x ,x ,⋯,x ∈[a,
1 2 n
x +x +⋯+x
b]，有不等式f 1 2 n
n

f(x )+f(x )+⋯+f(x )
≤ 1 2 n 恒成立(当且仅当x =x =⋅⋅⋅=x 时，等
n 1 2 n
号成立)．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造
函数．
(1)设函数g(x)=x3，且当x∈(0,2]时，不等式0<g(mx2+x)≤8恒成立，求实数m的取值范围；
3
(2)试判断f(x)= 在(0,1)上的凹凸性，并说明理由；
3-2x
x x x
(3)设x ,x ,⋯,x >0，n≥2，且x +x +⋅⋅⋅+x =1，求W= 1 + 2 +⋅⋅⋅+ n 的最小
1 2 n 1 2 n 3-2x 3-2x 3-2x
1 2 n
值．
1
【答案】(1)- ,0
2
 ；
(2)f(x)在(0,1)上为凹函数，理由见详解；
n
(3)
3n-2
1 2-x
【分析】(1)利用单调性化简不等式为- <m≤ ，再用恒成立并结合最值求解.
x x2
(2)判断函数的凹凸性，再利用凹函数的定义推理证明.
x
(3)结合(2)判断h(x)= 为凹函数，再利用琴生不等式求W的最值.
3-2x
【详解】(1)函数g(x)=x3在(0,2]上单调递增，
不等式0<g(mx2+x)≤8⇔g(0)<g(mx2+x)≤g(2)⇔0<mx2+x≤2，
1 2-x
依题意，对任意x∈(0,2]，0<mx2+x≤2恒成立，即对任意x∈(0,2]，- <m≤ 恒成立，
x x2
1 1 1
而当x∈(0,2]时，- ≤- ，则m>- ；
x 2 2
1 1 2-x 1 1
当x∈(0,2]，即 ≥ 时， =2 -
x 2 x2 x 4

2 1
- ≥0，则m≤0，
8
1
所以实数m的取值范围是- ,0
2
 .
3
(2)函数f(x)= 在(0,1)上为凹函数.
3-2x
证明如下：
∀x ,x ∈(0,1)，3-2x >0,3-2x >0,3-x -x >0，
1 2 1 2 1 2
f(x )+f(x ) x +x 则 1 2 -f 1 2
2 2

1 1
 +  3-2x 3-2x 1 =3 1 2 -
  2 3-(x +x )
1 2

·5· 6-2(x +x ) 2
=3 1 2 -

2(3-2x )(3-2x ) 6-2(x +x )
1 2 1 2
 (3-x -x )2-(3-2x )(3-2x )
=3⋅ 1 2 1 2
(3-2x )(3-2x )(3-x -x )
1 2 1 2
= 3x 1 -x 2  2
3-2x 1  3-2x 2  3-x 1 -x 2 
≥0，
3
所以f(x)= 在(0,1)上为凹函数.
3-2x
x 1 3
(3)令h(x)= =  -1
3-2x 2 3-2x

3
，由(2)知f(x)= 在(0,1)上为凹函数，
3-2x
1
因此h(x)= [f(x)-1]在(0,1)上为凹函数，
2
x +x +⋯+x 1
由x +x +⋯+x =1，得 1 2 n = ，
1 2 n n n
x +x +⋯+x
由琴生不等式得h 1 2 n
n

h(x )+h(x )+⋯+h(x )
≤ 1 2 n ，
n
1
即 n ≤ 1  x 1 + x 2 +⋯+ x n
1 n 3-2x 3-2x 3-2x
3-2× 1 2 n
n
 ，
x x x n 1
因此W= 1 + 2 +⋯+ n ≥ ，当且仅当x =x =⋯=x = 时，取等号，
3-2x 3-2x 3-2x 3n-2 1 2 n n
1 2 n
n
所以W的最小值为 .
3n-2
题型03 糖水不等式定理的应用
技巧
熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值
结构.通过添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函
数单调性判断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套
用错误.
10.(多选)已知实数a,b,c满足0<a<b<c，则下列说法正确的是 ( )
1 1 b b+c
A. > B. >
c-a b-a a a+c
1
C.
ac-a 
1
>
bc-a 
D. ab+c2>ac+bc
【答案】BCD
b b+c
【详解】法一： > ⇔ba+c
a a+c
 >ab+c  ⇔bc>ac⇔b>a，故B正确；
1 1
因为0<a<b<c，所以有c-a>b-a>0, < ，故A错误；
c-a b-a
1
ac-a 
1
>
bc-a 
1 1
⇔ > ⇔b>a，故C正确；
a b
ab+c2>ac+bc⇔cc-b  -ac-b  >0⇔c-a  c-b  >0，故D正确．
b b+c
法二：由糖水不等式的倒数形式，b>a>0,c>0, 则有 > ,故B正确；
a a+c
以下同解法一.
·6·11.设a=log 2,b=log 4,c=log 40,则a,b,c的大小关系为( )
5 6 135
A. c<b<a B. a<b<c C. b<a<c D. a<c<b
【答案】D
lg2
【详解】由题意可知,a=log 2= ,
3 lg3
lg4 2lg2 lg2+lg2
b=log 4= = = ,
6 lg6 lg3+lg2 lg3+lg2
m m+k
利用糖水不等式 < (n>m>0,k>0)可知a<b;
n n+k
1 1
lg40 lg5+lg8 3lg2+lg5 lg2+ lg5 lg2+lg53
3
又c=log 40= = = = = ,
135 lg135 lg5+lg27 3lg3+lg5 lg3+ 1 lg5 lg3+lg53 1
3
1
又因为5<8,lg53 <lg2,
1
lg2 lg2+lg53 lg2+lg2
同理根据糖水不等式, < < ,即a<c<b,故选：D.
lg3 1 lg3+lg2
lg3+lg53
12.(多选题)在a克的糖水中含有b克的糖(a>b>0)，再添加少许的糖m克(m>0)，全部溶解后糖水
b b+m b+m b+n
更甜了，由此得糖水不等式 < .若 =x, =y(n>0)，则( )
a a+m a+m a+n
A.若m>n，则x>y B.若m≤n，则x≤y
b+m a+n b+m a+n
C. <1< D.当m>n时， >
a+m b+n a+m b+n
【答案】ABC
b+m b b+m b+n
【详解】由a>b>0,m>0,则 > .若 =x, =y(n>0).
a+m a a+m a+n
b+m b+n (b+m)(a+n)-(b+n)(a+m) (m-n)(a-b)
若m>n,则x-y= - = = >0，故x
a+m a+n (a+m)(a+n) (a+m)(a+n)
>y.
b+m b+n (m-n)(a-b)
若m≤n,则x-y= - = ≤0，故x≤y.
a+m a+n (a+m)(a+n)
b+m a+n
由题设, 结合不等式性质显然有 <1< .故选: ABC.
a+m b+n
13.(多选题) 生活经验告诉我们：a克糖水中含有b克糖(a>0,b>0，且a>b)，若再添加m克糖(m>
b b+m
0)后，糖水会更甜.于是得出一个不等式： < ，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”
a a+m
判断下列命题一定正确的是( )
b b+m
A.若a>b>0,m<0，则 <
a a+m
B.log 2<log 10
3 15
a b c
C.若a,b,c为△ABC三条边长，则 + >
1+a 1+b 1+c
a b c
D.若a,b,c为△ABC三条边长，则1< + + <2
b+c c+a a+b
·7·【答案】BCD
b b+m
【详解】A. 由糖水不等式得：a>b>0,m<0 时, > , 故 A 错误.
a a+m
lg2 lg2+lg5 lg10
B. log 2= < = =log 10, 故 B 正确.
3 lg3 lg3+lg5 lg15 15
a b a b a+b c
C. + > + = > , 故 C 正确.
1+a 1+b 1+a+b 1+a+b 1+a+b 1+c
a b c a b c
D. + + > + + =1,
b+c a+c a+b a+b+c a+b+c a+b+c
a b c 2a 2b 2c
+ + < + + =2, 故 D 正确.故选: BCD.
b+c a+c a+b a+b+c a+b+c a+b+c
14.已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，往糖水中加入m克糖(m>0)，(假设全部溶解)糖水更甜了.
这就是著名的“糖水不等式”
(1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
20252026 20252023
(2)利用(1)的结论比较M= ，N= 的大小.
20272028 20272025
【答案】
a a+m
(i) < (m>0,b>a>0)，证明见详解；(ii)M>N
b b+m
【详解】1  因为-3<a<4，2<b<5，
所以-6<2a<8，6<3b<15，-5<-b<-2，
所以-8<a-b<2，0<2a+3b<23，
故a-b的范围为-8,2  ，2a+3b的范围为0,23  ；
a a+m
(2)(i) < (m>0,b>a>0)，
b b+m
a a+m ab+am-ab-bm
证明： - =
b b+m bb+m 
a-b
=
 m
bb+m 
，
因为b>a>0，m>0，所以a-b<0，b+m>0，
a a+m a a+m
所以 - <0，即 < ；
b b+m b b+m
20252026 20252023+3 20252023
(ii)M= = ，N=
20272028 20272025+3 20272025
所以由(i)中的结论可得M>N，
即M>N.
题型04 对数糖水不等式的应用
·8·技巧
在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数
型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.
15.(2022·全国·统考高考真题)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则 ( )
A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a
【答案】A
【详解】解法一(对数型糖水不等式)
因为 9m=10, 所以 m=log 10. 在上述推论中取 a=9,b=10, 可得 m=log 10> log 11=lg11,
9 9 10
且 m=log 10<log 9.
9 8
所以 a=10m-11>10lg11-11=0,b= 8m-9<8log 9 9-9=0, 即 a>0>b, 选 A.
解法二(普通型糖水不等式)
lg10
由已知条件 9m = 10, 可得 m = log 10. 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 m = >
9 lg9
10 100
lg10+lg lg
9 9 100
= =lg >lg11, 即 m >lg11.
10 lg10 9
lg9+lg
9
所以 a>10lg11-11=0, 即 a>0.
8 80
lg10 lg10+lg lg
9 9
 又 m= < = =
lg9 8 lg8
lg9+lg
9
80
log <log 9, 即 m<log 9, 所以 b<8log 8 9- 9=0, 即 b<0.
8 9 8 8
综上, a>0>b, 选 A.
16.(2026·重庆·模拟预测)设a=log 2025，b=log 2024，c=log 0.2025，则 ( )
2026 2025 0.2026
A. c<a<b B. b<c<a C. b<a<c D. a<b<c
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到c最大，再利用作差法，结合基本不等式得到b<a，从而得解.
【详解】由对数性质知c=log 0.2025>log 0.2026=1，
0.2026 0.2026
0=log 1<log 2025<log 2026=1，
2026 2026 2026
0=log 1<log 2024<log 2024=1，
2025 2025 2025
所以c>1，0<a<1，0<b<1；
由糖水不等式知：log n-1
n
 <log nn>2
n+1
 ，
所以a=log 2025>log 2024=b,所以c<a<b.
2026 2025
17.(2026·四川乐山·三模)若a=log 2,b=log 3,c=e-2，则a,b,c的大小关系是 ( )
3 4
A. b<c<a B. a<c<b C. c<b<a D. c<a<b
【答案】D
1 1 1
【详解】解法一：a=log 2>log 3= ,b=log 3>log 4= ,c=e-2< ，
3 3 2 4 4 2 2
所以则a>c,b>c，
·9·1
a = log 3 2 = lg2∙lg4 ≤  2 (lg2+lg4)
b log 3 lg23
4

2
lg28 lg29 4lg23 = < = =1，
lg23 4lg23 4lg23 4lg23
所以a<b，所以c<a<b.
1
由对数型糖水不等式得：log 2<log 2+1,即a<b，a=log 2>log 3= ,b=log 3>log 4
3 3+1 3 3 2 4 4
1 1
= ,c=e-2< ，
2 2
所以则a>c,b>c，所以c<a<b.
18.(2026·河南郑州·一模)已知a=log 3,b=log 5,c=log 7，则a,b,c的大小关系是 ( )
2 4 6
A. c>a>b B. a>c>b C. b>c>a D. a>b>c
【答案】D
lg3 lg5 lg7
【详解】a=log 3= ，b=log 5= ，c=log 7= ，
2 lg2 4 lg4 6 lg6
令fx 
lnx+1
=

，x≥2
lnx
 ，
fx 
lnx - lnx+1 x+1
=
 x
lnx 
xlnx-x+1
-
2
 lnx+1 
xx+1 
，
ln2x
因为x≥2，所以xx+1  ln2x>0，
令g(x)=xlnx，x≥2，g(x)=lnx+1>0在 2,+∞  上恒成立，gx  在 2,+∞  上单调递增，
故xlnx-(x+1)ln(x+1)<0，所以fx 
xlnx-x+1
=
 lnx+1 
xx+1 
<0在 2,+∞
ln2x
 上恒成立，
故fx 
lnx+1
=

在 2,+∞
lnx
 上单调递减，
ln3 ln5 ln7
所以 > > ，即a>b>c，
ln2 ln4 ln6
故选：D.
秒解：由对数糖水不等式得log 3>log (3+2)>log (3+4)，即a>b>c
2 2+2 2+4
题型05 万能K法的应用
技巧
设所求最值式为k，联立条件等式整理成一元二次方程.
利用方程有实根，由判别式 Δ≥0建立不等式求解k范围.
适用题型：齐次式最值、二元变量范围、分式型最值、圆锥曲线定值最值.
技巧：优先消元凑二次式，区分正负变量，规避分母为零.
局限：仅适用于可化为一元二次方程题型，复杂多元慎用，常搭配换元简化计算.
xy 1
19.若存在正实数y,使得 = ,则实数x的最大值为 ( )
y-x 5x+4y
1 2
A. B. C. 1 D. 2
5 5
【答案】A
·10·xy 1
【详解】∵ = , ∴4xy2+(5x2-1)y+x=0,
y-x 5x+4y
1 5x2-1
∴y ⋅y = >0, y +y =- >0,
1 2 4 1 2 4x
5x2-1<0 5x2-1>0
 
∴ 或  ，
x>0 x<0
5 5
解得：0<x< 或x<- .①
5 5
Δ=(5x2-1)2-16x2≥0⟹5x2-1≥4x或5x2-1≤-4x，
1
解得-1≤x≤ .②
5
1
由①②可得：x≤
5
1 1
综上：x的最大值是 .故答案为 .
5 5
20.已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 .
【答案】3 2+1
【详解】方法1:令x-y=k,则x=k+y,代入原式化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0,
因为存在实数y,则Δ≥0,即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,
化简得：k2-2k-17≤0,解得：1-3 2≤k≤1+3 2,
故x-y的最大值是3 2+1,故选：C.
方法2:x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(x-2)2+(y-1)2=9,
令x=3cosθ+2,y=3sinθ+1,其中θ∈[0,2π],
π
则x-y=3cosθ-3sinθ+1=3 2cosθ+
4
 +1,∵θ∈[0,2π],
π π 9π
所以θ+ ∈  ,
4  4 4

π 7π
,则θ+ =2π,即θ= 时,x-y取得最大值3 2+1.
4 4
21.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 ( )
2 3
A. 1 B. C. 3 D. 2
3
【答案】B
【详解】方法1(万能k法): 令x+y=k, 则 x=k-y, 代入得：(k-y)2+y2+(k-y)y=1,
整理可得：k2-2ky+y2+y2+ky-y2=1,即 y2-ky+k2-1=0. Δ=k2-4(k2-1)≥0,得：k2≤
4
,
3
2 3 2 3
故- ≤k≤ .
3 3
方法2: ∵x2+y2+xy=1, ∴(x+y)2=1+xy.
x+y
∵xy≤
2

2 x+y
, ∴(x+y)2-1≤
2

2 2 3 2 3
.解得：- ≤x+y≤ .
3 3
2 3 2 3
故可知x+y的最大值是 .故答案为 .
3 3
1 1
22.实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则 + = .
S S
max min
·11·8
【答案】 .
5
【详解】方法1: 令t=x+ x2+y2,则t-x= x2+y2.
∴t2-2tx+x2=x2+y2, ∴t2-2tx=y2. ∴2x+y=2,∴y=2-2x.
又∵x>0,y>0,∴0<x<1.
关于x的方程在(0,1)上有解.∴4x2+(2t-8)x+4-t2=0.
2t-8 8
∴4-t2>0,4+(2t-8)+4-t2>0,0<- <1,Δ≥0,∴t≥ .
2 5
8
∴x+ x2+y2的最小值为 .∴4x2-5xy+4y2=5. 5xy=4x2+4y2-5.
5
5
又∵2xy≤x2+y2,∴5xy=4x2+4y2-5≤ (x2+y2).
2
5 10 10
设S=x2+y2. 4S-5≤ S,∴S≤ .即S = .
2 3 max 3
5 5
∴x2+y2≥-2xy,∴5xy=4x2+4y2-5≥-8xy-5,∴xy≤- ,∴-xy≥ .
13 13
10 10 1 1 3 13 8 8
∴S=x2+y2≥-2xy≥ . ∴S = . ∴ + = + = .故答案为： .
13 min 13 S S 10 10 5 5
max min
方法2:令x2+y2=k,5(x2+y2)=k(4x2-5xy+4y2). 整理得：(5-4k)x2+(5ky)x+(5-4k)y2=0,
Δ=25k2y2-4(5-4k)2y2≥0. 即25k2-4(5-4k)2≥0.
10 10 10 10 1 1 3 13 8
解得： ≤k≤ . S = ,S = . ∴ + = + = .
13 3 min 13 max 3 S S 10 10 5
max min
23.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是 .
6
【答案】 .
3
【详解】方法 1:令a=k时,k+b+c=0,k2+(-c-k)2+c2=1,k2+c2+2kc+k2+c2=1,2c2+2kc
+2k2-1=0.
6 6
∵c为实数, ∴Δ≥0,即8-12k2≥0,解得：- ≤k≤ .
3 3
(b+c)2
方法2:b+c=-a,b2+c2=1-a2，因为b2+c2≥ ,
2
(-a)2
6 6 6 6
所以 1-a2≥ , 解得：- ≤a≤ , 所以a的最大值为 , 故答案为： .
2 3 3 3 3
巩固提升
24.已知a=log 2，b=log 3，c=log 4，则 ( )
3 4 5
A. a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. a>c>b
【答案】C
ln3 ln2 ln23-ln2ln4 ln23- ln2+ 2 ln4
【详解】解法一：b-a=log 3-log 2= - = >
4 3 ln4 ln3 ln3ln4
 2
=
ln3ln4
ln2 9-ln2 8
>0
ln3ln4
ln4 ln3 ln24-ln3ln5 ln24- ln3+ 2 ln5
c-b=log 4-log 3= - = >
5 4 ln5 ln4 ln5ln4
 2 ln2 16-ln2 15
= >0
ln5ln4 ln5ln4
·12·所以c>b>a.
解法二：由糖水不等式可得log 2<log (2+1)<log (2+2)，即a<b<c。
3 3+1 3+2
π
25.已知a=log 2，b=log 3，c=sin ，比较a，b，c的大小为 ( )
3 4 6
A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. b>a>c
【答案】D
π 1
【详解】c=sin = ，因函数y=log x，y=log x在0,+∞
6 2 3 4
 上单调递增，
1 1
则a=log 2>log 3= ，b=log 3>log 2= .
3 3 2 4 4 2
ln2 ln3 ln2⋅ln4-ln3
a-b= - =
ln3 ln4
 2
，因ln2，ln4>0，则
ln3⋅ln4
1
ln2+ln4>2 ln2⋅ln4⇒ln2⋅ln4< ln8
4

1
2< ln9
4
 2=ln3  2.
故a<b，
(另：也可用对数糖水不等式直接得到a<b)
综上有b>a>c.
26.已知a=log 2,b=log 4,c=log 6,则( )
3 4 9
A. c>a>b B. c>b>a C. a>b>c D. a>c>b
【答案】B
m m+k lg2 lg2+lg2 lg4 lg4+lg1.5
【详解】据糖水不等式 < (n>m>0,k>0),所以 < = < =
n n+k lg3 lg3+lg2 lg6 lg6+lg1.5
lg6
,
lg9
所以log 2<log 4<log 6,即c>b>a.故选: B.
3 6 9
27.(25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最
a2 b2 a+b
值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时等
x+y x y
号成立.根据权方和不等式，函数fx 
3x+3 16 1
= + 0<x<
x 1-3x 3
 的最小值为 ( )
A. 39 B. 52 C. 49 D. 36
【答案】B
【分析】根据权方和不等式的定义，将函数fx  变形为：fx 
32 42
= + +3，再根据权方和不等
3x 1-3x
式求出最小值即可.
【详解】因为fx 
3x+3 16 9 16 32 42 1
= + = + +3= + +30<x<
x 1-3x 3x 1-3x 3x 1-3x 3
 ，
1
因为0<x< ，所以1-3x>0，3x>0，
3
9 16 3+4
根据权方和不等式有： + +3≥
3x 1-3x
 2
+3=52，
3x+1-3x
·13·3 4 1
当且仅当 = 时，即x= 时等号成立.
3x 1-3x 7
所以函数fx 
3x+3 16 1
= + 0<x<
x 1-3x 3
 的最小值为52.
故选：B
28.在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值是 ( )
3 3 3 3
A. B. 3 C. D.
2 2 2
【答案】D
【详解】因为y=sinx在区间(0,π)上是凸函数，根据琴生不等式可得，
sinA+sinB+sinC A+B+C π 3
≤sin =sin = ,
3 3 3 2
3 3 π
得sinA+sinB+sinC≤ ，当且仅当A=B=C= 时等号成立，
2 3
3 3
即sinA+sinB+sinC的最大值是 ．
2
2α+2β+2γ 1 α+β+γ 3
则cos ≥ ，即sin ≤ ，
3 3 3 3
π
另一方面，sin2α=cos(β+γ)⋅cos(β-γ)>cos2(β+γ)=sin2 -β-γ
2
 ,
π π
由α,β+γ均为锐角，则α> β-γ，从而α+β+γ> ．
2 2
π α+β+γ π
又α→0+,β→0+,γ→ , 有 →
2 3 6
1 α+β+γ 3
综上， <sin ≤ ．
2 3 3
29.(多选)在a克的糖水中含有b克的糖(a>b>0)，再添加少许的糖m克(m>0)，全部溶解后糖水更
b b+m b+m b+n
甜了，由此得糖水不等式 < .若 =x, =y(n>0)，则( )
a a+m a+m a+n
A.若m>n，则x>y B.若m≤n，则x≤y
b+m a+n b+m a+n
C. <1< D.当m>n时， >
a+m b+n a+m b+n
【答案】ABC
b+m b b+m b+n
【详解】由a>b>0,m>0,则 > .若 =x, =y(n>0).
a+m a a+m a+n
b+m b+n (b+m)(a+n)-(b+n)(a+m) (m-n)(a-b)
若m>n,则x-y= - = = >0，故x
a+m a+n (a+m)(a+n) (a+m)(a+n)
>y.
b+m b+n (m-n)(a-b)
若m≤n,则x-y= - = ≤0，故x≤y.
a+m a+n (a+m)(a+n)
b+m a+n
由题设, 结合不等式性质显然有 <1< .故选: ABC.
a+m b+n
x2 y2 z2
30.(2026高三·全国·专题练习)已知正实数x、y、z的和为1，则 + + 的最小值为
x+y y+z z+x
．
·14·1
【答案】 /0.5
2
【分析】利用不等式构造定值求解即可.
【详解】解法一：(柯西不等式)∵x，y，z>0，x+y+z=1，
x2 y2 z2
∴8 + +
x+y y+z z+x

4x2 4y2 4z2
= + +
x+y y+z z+x
 x+y  +y+z  +z+x   
 2x 2y 2z
≥ × x+y+ × y+z+ × z+x

 x+y y+z z+x
 2
=4，
x2 y2 z2 1 1
则 + + ≥ ．当且仅当x=y=z= 时取等号．
x+y y+z z+x 2 3
4x2 4y2 4z2
解法二：(均值不等式) +x+y≥4x， +y+z≥4y， +z+x≥4z，
x+y y+z z+x
4x2 4y2 4z2 x2 y2 z2 1
所以 + + ≥2x+2y+2z=2⇒ + + ≥ ．
x+y y+z z+x x+y y+z z+x 2
1
当且仅当x=y=z= 时取等号．
3
x2 y2 z2 x+y+z
解法三：(权方和不等式) + + ≥
x+y y+z z+x
 2 1
= ．
x+y+y+z+z+x 2
1
当且仅当x=y=z= 时取等号．
3
31.(25-26高一上·江苏无锡·期中)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有
a2 b2 a+b
很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时，等号
x+y x y
成立，则函数fx 
3 16 1
= + 0<x<
x 1-3x 3
 的最小值为 ．
【答案】49
【分析】根据题中给的不等式可求得结果.
a2 b2 a+b
【详解】因为正数a，b，x，y，满足 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时，等号成立，
x+y x y
所以fx 
3 16 9 16 32 42 3+4
= + = + = + ≥
x 1-3x 3x 1-3x 3x 1-3x
 2
=49，
3x+1-3x
3 4 1
当且仅当 = 即x= 时，等号成立，此时fx
3x 1-3x 7
 的最小值为49，
32.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设
a2 b2 a+b
a，b，x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时，等号成立．根据权方和不等式，函数
x+y x y
fx 
3 1 2
= + 0<x<
x 2-3x 3
 的最小值为 ．
【答案】8
【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.
a2 b2 a+b
【详解】因为a，b，x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时，等号成立，
x+y x y
2
又0<x< ，即2-3x>0，
3
·15·所以fx 
3 1 32 12 3+1
= + = + ≥
x 2-3x 3x 2-3x
 2
3x+2-3x 
=8，
3 1 1
当且仅当 = ，即x= 时，等号成立，
3x 2-3x 2
所以fx 
3 1 2
= + 0<x<
x 2-3x 3
 的最小值为8.
故答案为：8.
33.若正实数m,n满足m+2n=3mn,则m+n的最小值为 .
2 2
【答案】1+ .
3
【详解】方法1: ∵正实数 m,n 满足 m+2n=3mn,
1 2 1 1 2
∴ + =3,∴m+n=  +
n m 3 n m

1 m 2n
(m+n)=  +1+2+
3 n m

1 m 2n
≥ 3+2 ⋅
3 n m
 =1
2 2
+ ，
3
m 2n 2 2
当且仅当 = ,即m= 2n时取等号,则m+n的最小值为1+ .
n m 3
方法2: 令m+n=k>0,则m=k-n带入原式k-n+2n=3(k-n)n,
整理得k+n=3kn-3n2,从而3n2+(1-3k)n+k=0, Δ=(1-3k)2-4⋅3k≥0,
2 2 2 2 2 2
解得：k≥1+ 或k≤1- (舍),故答案为：1+ .
3 3 3
4x-y
34.已知正实数x,y满足 =4xy,那么y的最大值为 .
4x+3y
1
【答案】 .
3
4x-y
【详解】正实数x,y满足 =4xy，化为16yx2+(12y2-4)x+y=0，关于x的一元二次方程有
4x+3y
12y2-4
- >0 1 1 1
正实数根，∴ 16y ，又y>0，解得y≤ .那么y的最大值为 .故答案为 .
3 3 3
Δ=(12y2-4)2-64y2≥0
2 4
35.已知实数x,y满足x+ +3y+ =10,则xy的取值范围是 .
x y
8
【答案】1≤xy≤
3
m 2 4 m 2y 4
【详解】设xy=m,则x= . ∵x+ +3y+ =10, ∴ + +3y+ =10,整理得：(2+
y x y y m y
3m)y2-10my+m2+4m=0.
∵x,y是正实数, ∴Δ≥0,即100m2-4(2+3m)(m2+4m)≥0,
8 8
整理得：m(3m-8)(m-1)≤0, 解得：1≤m≤ 或m≤0 (舍去).故答案为：1≤xy≤ .
3 3
α+β+γ
36.设 α,β,γ 分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则 sin 的取值范围为
3
1 3 【答案】 ,
2 3

·16·【详解】在长方体中有sin2α+sin2β+sin2γ=1，
注意到sin2α=1-sin2β-sin2γ=cos2β-sin2γ
1 1
= (1+cos2β)- (1-cos2γ)=cos(β+γ)⋅cos(β-γ)>0,
2 2
因为β，γ均为锐角，所以cos(β-γ)>0 ．
π
从而cos(β+γ)>0，即0<β+γ< ．
2
π π
同理0<α+β< ,0<γ+α< ，
2 2
π
又y=cosx 在 0,
2
 上为凸函数，由琴生不等式有
(α+β)+(β+γ)+(γ+α)
3cos ≥cos(α+β)+cos(β+γ)+cos(γ+α)
3
≥cos(α+β)⋅cos(α-β)+cos(β+γ)⋅cos(β-γ)+cos(γ+α)⋅cos(γ-α)=sin2α+sin2β+sin2γ=
1,
2α+2β+2γ 1 α+β+γ 3
则cos ≥ ，即sin ≤ ．
3 3 3 3
π
另一方面，sin2α=cos(β+γ)⋅cos(β-γ)>cos2(β+γ)=sin2 -β-γ
2
 ,
π π
由 α,β+γ 均为锐角，则α> β-γ ．从而α+β+γ> ．
2 2
π α+β+γ π
又α→0+,β→0+,γ→ , 有 →
2 3 6
1 α+β+γ 3
综上， <sin ≤ ．
2 3 3
37.(24-25高一上·河北·期中)若a >0，b >0i=1,2,⋯,n
i i

am+1 am+1
，m>0，则不等式 1 + 2 +⋯
bm bm
1 2
+ am n +1 ≥ a 1 +a 2 +⋯+a n
bm n
 m+1
b 1 +b 2 +⋯+b n 
a a a ，当且仅当 1 = 2 =⋯= n 时，等号成立.这个不等式叫做权方和
m b b b 1 2 n
不等式，m称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数
学中一个重要的不等式.
(1)若a >0,b >0i=1,2
i i
 ，证明二维形式的权方和不等式： a2 1 + a2 2 ≥ a 1 +a 2
b b
1 2
 2 .
b +b
1 2
(2)已知x >0i=1,2,⋯,5 i  ，x +2x +3x +4x +5x =30，求x2+2x2+3x2+4x2+5x2的最小值. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
x+2y
已知正数x，y满足x2+y2-3x+2=0，求
 2
的最大值.
3x-2
x+2y
解：由权方和不等式得
 2 x+2y
=
3x-2
 2 x2
≤
x2+y2 x2 
2y
+
1
 2
y2 
=5，
1
x+2y
所以
 2
的最大值是5.
3x-2
【答案】(1)证明见详解；
(2)60；
(3)解法不正确，理由见详解.
·17·a2 a2
【详解】(1)证明： 1 + 2 b b
1 2
 b 1 +b 2 
a2b a2b a2b a2b
=a2+a2+ 1 2 + 2 1 ≥a2+a2+2 1 2 ∙ 2 1 1 2 b b 1 2 b b
1 2 1 2
=a 1 +a 2 
a a
2，当且仅当 1 = 2 时，等号成立. b b
1 2
因为b >0,b >0，所以 a2 1 + a2 2 ≥ a 1 +a 2
1 2 b b
1 2
 2 .
b +b
1 2
(2)x2+2x2+3x2+4x2+5x2= x2 1 + 2x 2
1 2 3 4 5 1
 2 + 3x 3
2
 2 4x + 4
3
 2 + 5x 5
4
 2
5
≥ x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4 +5x 5  2 302 = =60，
1+2+3+4+5 15
当且仅当x =x =x =x =x 时，等号成立.
1 2 3 4 5
所以x2+2x2+3x2+4x2+5x2的最小值为60..
1 2 3 4 5
(3)这种解法不正确.
x 2y
原因如下：这种解法当且仅当 = ，即y=2x时等号成立.
x2 y2
x2+y2-3x+2=0
由

，消去y得5x2-3x+2=0，因为Δ<0，所以本方程无实数解，
y=2x
x+2y
所以y≠2x，
 2
的最大值不是5.
3x-2
·18·