2023届高考数学三轮冲刺卷：数列的性质
一、选择题（共20小题；）
1. 已知 {a } 是等比数列，则“a <a ”是“{a } 是递增数列”的 ()
n 2 4 n
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知数列 {a } 中，a =1，a =a2−1，则 a = ()
n 1 n+1 n 2017
A. −1 B. 1 C. 2 D. 0
a 1
3. 已知数列 {a } 满足：a >0， n+1= ，则数列 {a } 是 ()
n 1 a 2 n
n
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 无法确定
1+a
4. 已知数列 {a } 满足 a =2，a = n ，则 a 等于 ()
n 1 n+1 1−a 15
n
1 1
A. 2 B. −3 C. − D.
2 3
a
5. 已知等比数列 {a } 是一个公比为 q 的递增数列，若 a =a，a = ，则该数列的首项 ()
n 5 9 81
A. a >1 B. a =0 C. a <0 D. 不能确定
1 1 1
6. 设 等 差 数 列 {a } 满 足 ： 3a =5a ，
n 7 13
cos2a −sin2a +sin2a cos2a −cos2a sin2a =−cos(a +a )，公差 d∈(−2,0)，则数列
4 4 4 7 4 7 5 6
{a } 的前 n 项和 S 的最大值为 ()
n n
A. 100π B. 54π C. 77π D. 300π
7. 一个机器猫每秒钟前进或后退 1 步，程序设计人员让机器猫以每前进 3 步后再后退 2 步的规
律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以 1 步的距离为 1 个单位长，令
P(n) 表示第 n 秒时机器猫所在的位置的坐标，且 P(0)=0 ，那么下列结论中错误的是 ()
A. P(3)=3 B. P(5)=1
C. P(101)=21 D. P(103)<P(104)
8. 在等比数列 a 中，已知 a +a +…+a =2n−1，则 a2+a2+…+a2 等于 ()
n 1 2 n 1 2 n
A. (2n−1) 2 B. 1 (2n−1) 2 C. 4n−1 D. 1 (4n−1)
3 3
9. 设等差数列 {a } 的公差为 d．若数列 {2a 1 a n} 为递减数列，则 ()
n
A. d<0 B. d>0 C. a d<0 D. a d>0
1 1
10. 设 {a } 是公差为 d 的等差数列，S 为其前 n 项和，则“d>0”是“{S } 为递增数列”的
n n n
()
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件(4) n−1 (2) n−1
11. 已知数列 {a } 的通项公式为 a = − ，则数列 {a } ()
n n 9 3 n
A. 有最大项，没有最小项 B. 有最小项，没有最大项
C. 既有最大项又有最小项 D. 既没有最大项也没有最小项
12. 在各项都为正数的数列 {a } 中，首项 a =2，且点 (a2,a2 ) 在直线 x−9 y=0 上，则数列
n 1 n n−1
{a } 的前 n 项和 S 等于 ()
n n
1−(−3) n 1+3n 3n2+n
A. 3n−1 B. C. D.
2 2 2
13. 已知 {a } 是等比数列，S 为其前 n 项和，那么“a >0”是“数列 {S } 为递增数列”的 ()
n n 2 n
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
1 1
14. 已知数列 {a } 满足 a = +√a −a2 ，且 a = ，则该数列的前 2016 项的和等于 ()
n n+1 2 n n 1 2
A. 1509 B. 3018 C. 1512 D. 2016
15. 若数列 {a } 是正项递增等比数列，T 表示其前 n 项的积，且 T =T ，则当 T 取最小值时，
n n 8 4 n
n 的值等于 ()
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
1+a
16. 在数列 {a } 中，a =−2，a = n ，则 a = ()
n 1 n+1 1−a 2021
n
1 1
A. −2 B. − C. D. 3
3 2
17. 在数列 {a } 中，a =1，a =5，a =a −a (n∈N∗) ，则 a = ()
n 1 2 n+2 n+1 n 100
A. 1 B. −1 C. 2 D. 0
a −1
18. 数列 {a } 满足 a =2，a = n+1 ，其前 n 项的积为 T ，则 T 的值为 ()
n 1 n a +1 n 2016
n+1
1
A. −3 B. 1 C. 2 D.
3
1 1
19. 在数列 {a } 中，a =− ，a =1− (n>1)，则 a 的值为 ()
n 1 4 n a 2018
n−1
1 4
A. − B. C. 5 D. 以上都不对
4 5
20. 已知数列 {a } 的通项公式为 a =−2n2+29n+3，则数列 {a } 中的最大项是 ()
n n n
1
A. 107 B. 108 C. 108 D. 109
8
二、填空题（共5小题；）21. 在数列 {a } 中，a =2,a +a =1(n∈N∗)，设 S 是数列 {a } 的前 n 项和，则：
n 1 n n+1 n n
S −2S +S 的值为 ．
2009 2008 2007
22. 设数列 {a } 的前 n 项和为 S ，且 ∀n∈N∗，a >a ，S ≥S ．请写出一个满足条件的
n n n+1 n n 6
数列 {a } 的通项公式 a = ．
n n
S
23. 已知等差数列 {a } 的前 n 项和为 S ，且 a =6，a +a =27，设 T = n ，若对于一切
n n 2 3 6 n 3⋅2n−1
正整数 n，总有 T ≤t 成立，则实数 t 的取值范围是 ．
n
24. 如图，过抛物线 y2=2px(p>0) 焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点，C
为抛物线准线与 x 轴的交点，且 ∠CFA=135∘，则 tan∠ACB= ．
25. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为 1．第二位同学首次报
出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为 3
的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第 30 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为
．
三、解答题（共5小题；）
26. 已知数列 {a } 为等差数列，a =14，a =7a ．
n 6 13 3
（1）求数列 {a } 的通项公式和前 n 项和公式；
n
（2）若 a ，a ，a 依次成等比数列，求 m 的值．
m m+5 m+25
27. 判断下列函数是否存在零点．若存在，求出零点．
（1）f (x)=−x2+2x+15；
（2）f (x)=x4−1．
2n−9
28. 若数列 a = (n∈N∗)，求数列 {a } 的最大项．
n 2n n
29. 已知数列 {a } 与 {b } 满足 a −a =2(b −b )，n∈N∗．
n n n+1 n n+1 n
（1）若 b =3n+5，且 a =1，求数列 {a } 的通项公式；
n 1 n
（2）设 {a } 的第 n 项是最大项，即 a ≥a (n∈N∗)，求证：数列 {b } 的第 n 项是最
n 0 n n n 0
0
大项．10 10
30. 已知实数 x∈[−6,10]，∑ x =50，i=1,2,⋯,10，当 ∑ x2 取到最大值时，有多少个 −6?
i i i
i=1 i=1答案
1. B 【解析】假设等比数列 {a } 的首项 a =−2，公比 q=−2，则 a =4，a =16，
n 1 2 4
a <a ， 但数列 {a } 不是递增数列，
2 4 n
若数列 {a } 是递增数列，由定义可知，a <a ，
n 2 4
故“a <a ”是“{a } 是递增数列”的必要不充分条件．
2 4 n
2. A
a 1
3. B 【解析】因为 a >0， n+1= ，所以 a >0，a <a ，所以 {a } 是递减数列．
1 a 2 n n+1 n n
n
1 1
4. C 【解析】由 a =2 及递推公式，得 a =−3，a =− ，a = ，a =2，⋯．由此，{a } 是以
1 2 3 2 4 3 5 n
1
4 为周期的数列，所以 a =a =− ．
15 3 2
5. C
6. C 【解析】因为 3a =5a ，
7 13
所以 3(a +6d)=5(a +12d)，化为：a =−21d．
1 1 1
因为
cos2a −cos2a sin2a +sin2a cos2a −sin2a
4 4 7 4 7 4cos2a cos2a −sin2a sin2a ¿=¿(cosa cosa −sina sina )(cosa sina +sina sina )¿=¿cos(a +a )cos(a −a )¿=¿−cos(a +a ).¿
¿ 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 5 6
所以 cos(a −a )=−1，
4 7
π+2kπ
所以 a −a =−3d=π+2kπ，d=−
4 7 3
因为公差 d∈(−2,0)，
π
所以 d=− ，a =7π．
3 1
( π)
由 a =7π+(n−1) − ≥0，得 n≤22．
n 3
22×21 ( π)
所以 S 或 S 最大，最大值为 S =22×7π+ × − =77π．
22 21 22 2 3
7. D 【解析】易知A、B正确，又机器猫每 5 秒钟实际向前进一步，故
P(101)=P(5×20+1)=21,P(103)=P(20×5+3)=23,P(104)=P(20×5+3+1)=23−1=22．
8. D 【解析】设等比数列 a 的前 n 项和为 S ，则 S =2n−1．易知等比数列 a 的公比 q=2，
n n n n
1
首项 a =1，所以 a =2n−1 ，于是 a2=4n−1 ，所以 a2+a2+…+a2=1+4+42+…+4n−1= (4n−1)．
1 n n 1 2 n 3
9. C 【解析】因为数列 {2a 1 a n} 为递减数列，
a a =a [a +(n−1)d]=a dn+a (a −d)，
1 n 1 1 1 1 1所以 a d<0．
1
10. D
11. C
12. A 【解析】由点 (a2,a2 ) 在直线 x−9 y=0 上，得 a2−9a2 =0，即
n n−1 n n−1
(a +3a )(a −3a )=0，
n n−1 n n−1
a
又数列 {a } 各项均为正数，且 a =2，所以 a +3a >0，所以 a −3a =0，即 n =3，
n 1 n n−1 n n−1 a
n−1
所以数列 {a } 是首项 a =2，公比 q=3 的等比数列，其前 n 项和
n 1
a (1−qn) 2×(3n−1)
S = 1 = =3n−1．
n 1−q 3−1
13. B 【解析】若 a >0，可取数列 {a } 为 0，1，2，−3，−4，⋯，则可得数列 {S } 为 0，1，
2 n n
3，0，−4，⋯，显然数列 {S } 不是递增数列，即“a >0”不是“数列 {S } 为递增数列”的充分
n 2 n
条件；若数列 {S } 为递增数列，则有 S >S ，所以 S >S ，得 S −S >0，所以 a >0，则“
n n+1 n 2 1 2 1 2
a >0”是“数列 {S } 为递增数列”的必要条件．故“a >0”是“数列 {S } 为递增数列”的必要不
2 n 2 n
充分条件．
1 1
14. C 【解析】因为 a = ，a = +√a −a2 ，
1 2 n+1 2 n n
所以 a =1，
2
1
从而 a = ，a =1，⋯⋯，
3 2 4
{1
, n=2k−1(k∈N∗)
可得 a = 2 ，
n
1, n=2k(k∈N∗)
( 1)
故数列的前 2016 项的和 S =1008× 1+ =1512．
2016 2
15. B
【解析】由 T =T ，
8 4
得 a a a a a a a a =a a a a ，
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4
所以 a a a a =1．
5 6 7 8
故 a a =a a =1．
5 8 6 7
因为数列 {a } 是正项递增数列，
n
所以 a <a <1<a <a ，因此当 n=6 时，T 取得最小值．
5 6 7 8 n
1+a
16. A 【解析】数列 {a } 中，a =−2，a = n ，
n 1 n+1 1−a
n
1+a 1
当 n=1 时，a = 1 =− ，
2 1−a 3
11+a 1
当 n=2 时，a = 2 = ，
3 1−a 2
2
1+a
当 n=3 时，a = 3 =3，
4 1−a
3
1+a
当 n=4 时，a = 4 =−2，
5 1−a
4
故数列的周期为 4，
所以 a =a =a =−2．
2021 505×4×1 1
17. B 【解析】因为在数列 {a } 中，a =1，a =5，a =a −a (n∈N∗)，
n 1 2 n+2 n+1 n
所以 a =a −a =4，同理可得 a =−1，a =−5，a =−4，a =1，a =5，⋅⋅⋅，可得 a =a ．
3 2 1 4 5 6 7 8 n+6 n
则 a =a =a =−1 .
100 16×6+4 4
a −1 1+a
18. B 【解析】由 a = n+1 得 a = n ．
n a +1 n+1 1−a
n+1 n
1 1
因为 a =2，所以 a =−3，a =− ，a = ，a =2，a =−3．
1 2 3 2 4 3 5 6
故数列 {a } 具有周期性，周期为 4，因为 a a a a =1，所以 T =T =a a a a =1．
n 1 2 3 4 2016 4 1 2 3 4
19. C
20. B
【解析】a =−2n2+29n+3=−2 ( n− 29) 2 + 865 ，又 n∈N∗，所以当 n=7 时，a 取得最大值，
n 4 8 n
为 a =108．
7
21. 3
22. n−6(n∈N∗) （答案不唯一）
【解析】∀n∈N∗，a >a ，则数列 {a } 是递增的，
n+1 n n
∀n∈N∗，S ≥S ，即 S 最小，
n 6 6
只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，
所以，满足条件的数列 {a } 的一个通项公式 a =n−6(n∈N∗)（答案不唯一）．
n n
[3 )
23. ,+∞
2
【解析】设等差数列 {a } 的公差为 d，
n
{ a +d=6,
1
由题意得
2a +7d=27,
1
解得 a =3，d=3．
1
所以 a =3+3(n−1)=3n，
nn(3+3n) 3n(n+1)
所以 S = = ，
n 2 2
S n(n+1)
所以 T = n = ，
n 3⋅2n−1 2n
(n+1)(n+2) n(n+1) (n+1)(2−n)
所以 T −T = − = ，
n+1 n 2n+1 2n 2n+1
3
所以当 n≥3 时，T >T ，且 T =1<T =T = ，
n n+1 1 2 3 2
3
所以 T 的最大值为 ．
n 2
[3 )
若对于一切正整数 n，总有 T ≤t 成立，则实数 t 的取值范围是 ,+∞ ．
n 2
24. 2√2
25. 7
【解析】所报的数依次为 1,1,2,3,5,8,13,21,34⋯，他们被 3 除的余数分别为 1,1,2,0,2,2,1,0,1⋯，
这个余数组成的数列每 4 个数出现一个 0，即原数可以被 3 整除，然后算下前 30 个数有几个可以
被 3 整除即可．
26. （1） 设数列 {a } 的公差为 d，
n
因为 a =14，a =7a ，
6 13 3
{ a +5d=14,
1
所以
a +12d=7(a +2d),
1 1
{a =−1,
解得 1
d=3.
因为 a =a +(n−1)d，
n 1
所以所求通项公式为 a =3n−4，
n
1
因为 S =na + n(n−1)d，
n 1 2
3 5
所以所求前 n 项和公式为 S = n2− n．
n 2 2
（2） 因为 a ，a ，a 依次成等比数列，
m m+5 m+25
所以 a2 =a ⋅a ，
m+5 m m+25
所以 (3m+11) 2=(3m−4)(3m+71)，
解得 m=3．
27. （1） 由于 f (x)=−x2+2x+15=−(x+3)(x−5)，
因此方程 f (x)=0 的两根分别为 −3，5，
故函数 f (x)=−x2+2x+15 存在零点，且零点是 −3，5．（2） 由于 f (x)=x4−1=(x2+1)(x+1)(x−1)，
令 f (x)=0，得 x=1 或 x=−1．
故函数 f (x)=x4−1 存在零点，且零点是 −1，1．
11−2n
28. a −a = ，
n+1 n 2n+1
当 1≤n≤5 时，a −a >0，即 a <a <⋯<a ，
n+1 n 1 2 5
当 n≥6 时，a −a <0，即 a >a >a >⋯，
n+1 n 6 7 8
又因为 a <a ，
5 6
3
所以数列 {a } 的最大项为 a = ．
n 6 64
29. （1） 因为 a −a =2(b −b )，
n+1 n n+1 n
b =3n+5，
n
所以 a −a =2(b −b )=2(3n+8−3n−5)=6，
n+1 n n+1 n
所以 {a } 是等差数列，首项为 a =1，公差为 6，即 a =6n−5．
n 1 n
（2） 由 a −a =2(b −b )，
n+1 n n+1 n
得 a −2b =a −2b ，
n+1 n+1 n n
所以 {a −2b } 为常数列，
n n
a −2b =a −2b ，
n n 1 1
即 a =2b +a −2b ，
n n 1 1
因为 a ≥a ，n∈N∗，
n n
0
所以 2b +a −2b ≥2b +a −2b ，
n 1 1 n 1 1
0
即 b ≥b ，
n n
0
所以 {b } 的第 n 项是最大项．
n 0
10 10 10 10 10
30. 设 a =x +6，则 a∈[0,16]，且 ∑a =110，∑a2=∑ x2+12∑ x +360=∑ x2+960．
i i i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
10
于是原问题转化为当 ∑a2 取最大值时，有几个 a =0．
i i
i=1
当 a 中有不少于两个数，且同时不等于 0，不等于 16 时，设为 p，q．
i
（i）p+q≥16 时，则
162+(p+q−16) 2−(p2+q2)
2×162−32p−32q+2pq¿=¿2×162+2(q−16)p−32q¿>¿2×162+2(q−16)×16−32q(看作一个关于p的一次函数,q−16<0,单调递减)¿=¿0.¿
¿
10
即 162+(p+q−16) 2>p2+q2．故不改变其他数字，用 16 代替 p，p+q−16 代替 q，∑a2 增大；
i
i=1
10
（ii）p+q<16 时，则 02+(p+q) 2−(p2+q2)=2pq>0，故用 0 代替 p，p+q 代替 q，∑a2 增
i
i=1
大．10
综上所述，当 ∑a2 取最大值时，至多只有一个 a ≠0，且 a ≠16．
i i i
i=1
而 110=16×6+14，故 a 中应取 6 个 16，1 个 14，3 个 0．即有 3 个 −6．
i
