2023届高考数学三轮冲刺卷：数列的周期性
一、选择题（共20小题；）
1. 已知数列 {a } 中，a =1，a =a2−1，则 a = ()
n 1 n+1 n 2017
A. −1 B. 1 C. 2 D. 0
2. 把正整数按如图所示的规律排序，则从 2003 到 2005 的箭头方向依次为 ()
A. B.
C. D.
1
3. 数列 {a } 满足 a =2，a = (n∈N∗)，则 a = ()
n 1 n+1 1−a 2016
n
1
A. −2 B. −1 C. 2 D.
2
4. 设 u(n) 表示正整数 n 的个位数，例如 u(23)=3．若 a =u(n2)−u(n)，则数列 {a } 的前
n n
2015 项的和等于 ()
A. 0 B. 2 C. 8 D. 10
1
5. 已知数列 {a } 满足 a = (n∈N∗)，a =2，则 a 的值为 ()
n n+1 1−a 8 1
n
1
A. −1 B. 1 C. D. 2
2
6. 已知数列 {a } 中，a =1，a =5，a =a −a (n∈N∗)，则 a = ()
n 1 2 n+2 n+1 n 2016
A. 1 B. 4 C. −4 D. 5
7. 一个机器猫每秒钟前进或后退 1 步，程序设计人员让机器猫以每前进 3 步后再后退 2 步的规
律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以 1 步的距离为 1 个单位长，令
P(n) 表示第 n 秒时机器猫所在的位置的坐标，且 P(0)=0 ，那么下列结论中错误的是 ()
A. P(3)=3 B. P(5)=1
C. P(101)=21 D. P(103)<P(104)
a −√3
8. 已知数列 {a } 满足 a =0，a = n （n=1,2,3,⋅⋅⋅），则 a 等于 ()
n 1 n+1 √3a +1 100
n
A. 0 B. √3 C. −√3 D. √2
1
9. 已知数列 {a } 中，a =b，b>0，a =− ,n∈N∗ ，能使 a =b 的 n 可以等于 ()
n 1 n+1 a +1 n
n
A. 14 B. 15 C. 16 D. 1710. 已知数列 {x } 满足 x =∣x −x ∣(n≥2,n∈N)，如果 x =x =1，该数列前 2008
n n+1 n n−1 1 2
项的和是 ()
A. 670 B. 671 C. 1338 D. 1339
1 1
11. 已知数列 {a } 满足 a = +√a −a2 ，且 a = ，则该数列的前 2016 项的和等于 ()
n n+1 2 n n 1 2
A. 1509 B. 3018 C. 1512 D. 2016
12. 在数列 {a } 中，a =1，a =5，a =a −a (n∈N∗) ，则 a = ()
n 1 2 n+2 n+1 n 100
A. 1 B. −1 C. 2 D. 0
a −1
13. 数列 {a } 满足 a =2，a = n+1 ，其前 n 项的积为 T ，则 T 的值为 ()
n 1 n a +1 n 2016
n+1
1
A. −3 B. 1 C. 2 D.
3
1+a
14. 已知数列 {a } 满足 a =2，a = n ，则 a 等于 ()
n 1 n+1 1−a 15
n
1 1
A. 2 B. −3 C. − D.
2 3
1 1
15. 在数列 {a } 中，a =− ，a =1− (n>1)，则 a 的值为 ()
n 1 4 n a 2018
n−1
1 4
A. − B. C. 5 D. 以上都不对
4 5
2016 2018 ()
16. 按照规律： 那么从 到 的顺序为
A. B.
C. D.
1 1
17. 已知数列 {a } 满足 a = ，若 a = ，则 a = ()
n n+1 1−a 1 2 2015
n
1
A. B. 1 C. −1 D. 2
2
1
18. 数列 {a } 满足 a =2，a = (n∈N∗)，则 a 等于 ()
n 1 n+1 1−a 2016
n
1
A. −2 B. −1 C. 2 D.
2
19. 已知 f (x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f (x)=x3−x，则函数
y=f (x) 的图象在区间 [0,6] 上与 x 轴的交点的个数为 ()A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
20. 数列 {a } 的通项 a =n2( cos2 nπ −sin2 nπ) ，其前 n 项和为 S ，则 S 为 ()
n n 3 3 n 30
A. 470 B. 490 C. 495 D. 510
二、填空题（共5小题；）
21. 在数列 {a } 中，a =2,a +a =1(n∈N∗)，设 S 是数列 {a } 的前 n 项和，则：
n 1 n n+1 n n
S −2S +S 的值为 ．
2009 2008 2007
22. 已知数列 {a } 中，S 是其前 n 项和，若 a =1，a =2，a a a =a +a +a ，且
n n 1 2 n n+1 n+2 n n+1 n+2
a a ≠1，则 S = ．
n+1 n+2 2010
a
23. 若数列 {a } 满足 a =1，a =2，a = n−1(n≥3)，则 a 等于 ．
n 1 2 n a 17
n−2
a −√3
24. 已知数列 {a } 满足 a =0，a = n (n∈N∗)，则 a = ．
n 1 n+1 √3a +1 20
n
25. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为 1．第二位同学首次报
出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为 3
的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第 30 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为
．
三、解答题（共5小题；）
26. 设函数 f (x) 定义如下表，数列 {x }(n∈N∗) 满足 x =1，且对于任意的正整数 n，均有
n 1
x =f (x )，求 x 的值．
n+1 n 2011
x 1 2 3 4
f (x) 2 3 4 1
27. 已知在数列 {a } 中，a =3，a =21，通项 a 是关于 n 的一次函数．
n 1 10 n
（1）求 {a } 的通项公式并求 a ；
n 2011
（2）若 {b } 是由 a ，a ，a ，a ⋯ 组成的，试归纳出 {b } 的一个通项公式．
n 2 4 6 8 n
2n−9
28. 已知数列 {b } 的一个通项公式为 b = ，n∈N ，求数列 {b } 的最大项．
n n 2n + n
10 10
29. 已知实数 x∈[−6,10]，∑ x =50，i=1,2,⋯,10，当 ∑ x2 取到最大值时，有多少个 −6?
i i i
i=1 i=1
n(3n+1)
30. 用数学归纳法证明：(n+1)+(n+2)+⋯+(n+n)= (n∈N∗)．
2答案
1. A
2. B
3. D
4. D 【解析】因为 a =0，a =2，a =6，a =2，a =0，a =0，a =2，a =−4，a =−8，
1 2 3 4 5 6 7 8 9
a =0 ，数列 {a } 的前 10 项和为 0，又数列 {a } 是周期为 10 的周期数列，所以 S =10．
10 n n 2015
5. C
6. C
7. D 【解析】易知A、B正确，又机器猫每 5 秒钟实际向前进一步，故
P(101)=P(5×20+1)=21,P(103)=P(20×5+3)=23,P(104)=P(20×5+3+1)=23−1=22．
8. A
9. C
10. D
1 1
11. C 【解析】因为 a = ，a = +√a −a2 ，
1 2 n+1 2 n n
所以 a =1，
2
1
从而 a = ，a =1，⋯⋯，
3 2 4
{1
, n=2k−1(k∈N∗)
可得 a = 2 ，
n
1, n=2k(k∈N∗)
( 1)
故数列的前 2016 项的和 S =1008× 1+ =1512．
2016 2
12. B 【解析】因为在数列 {a } 中，a =1，a =5，a =a −a (n∈N∗)，
n 1 2 n+2 n+1 n
所以 a =a −a =4，同理可得 a =−1，a =−5，a =−4，a =1，a =5，⋅⋅⋅，可得 a =a ．
3 2 1 4 5 6 7 8 n+6 n
则 a =a =a =−1 .
100 16×6+4 4
a −1 1+a
13. B 【解析】由 a = n+1 得 a = n ．
n a +1 n+1 1−a
n+1 n
1 1
因为 a =2，所以 a =−3，a =− ，a = ，a =2，a =−3．
1 2 3 2 4 3 5 6
故数列 {a } 具有周期性，周期为 4，因为 a a a a =1，所以 T =T =a a a a =1．
n 1 2 3 4 2016 4 1 2 3 4
1 1
14. C 【解析】由 a =2 及递推公式，得 a =−3，a =− ，a = ，a =2，⋯．由此，{a } 是以
1 2 3 2 4 3 5 n
1
4 为周期的数列，所以 a =a =− ．
15 3 2
15. C
16. A1
a = =2 1 1 1
17. D 【解析】由已知， 2 1 ，a = =−1，a = = ，⋯⋯，依此规律数列 {a }
1− 3 1−2 4 1+1 2 n
2
周期为 3，又 2015=3×671+2，故 a =a =2．
2015 2
18. D
19. B 【解析】当 0≤x<2 时，令 f (x)=x3−x=0，得 x=0 或 x=1．根据周期函数的性质，由
f (x) 的最小正周期为 2，可知 y=f (x) 在 [0,6) 上有 6 个零点，又 f (6)=f (3×2)=f (0)=0，所
以 f (x) 在 [0,6] 上与 x 轴的交点个数为 7．
20. A
{ nπ nπ}
【解析】由于 cos2 −sin2 以 3 为周期，故
3 3
(
12+22
) (
42+52
) (
282+292
)
S = − +32 + − +62 +⋯+ − +302
30 2 2 2
10
( 5)
¿ =∑ 9k−
2
k=1
¿ =470.
21. 3
22. 4020
【解析】由题可知，a =1，a =2，a =3，a =1，a =2，a =3⋯．∴ 周期为 3，
1 2 3 4 5 6
S =670×6=4020．
2010
1
23.
2
1
【解析】我们分别列举出前几项，发现 {a } 的是周期数列，周期为 6，所以 a =a = ．
n 17 5 2
24. −√3
25. 7
【解析】所报的数依次为 1,1,2,3,5,8,13,21,34⋯，他们被 3 除的余数分别为 1,1,2,0,2,2,1,0,1⋯，
这个余数组成的数列每 4 个数出现一个 0，即原数可以被 3 整除，然后算下前 30 个数有几个可以
被 3 整除即可．
26. 因为 x =1，
1
所以 x =f (x )=f (1)=2，
2 1
x =f (x )=f (2)=3，
3 2
x =f (x )=f (3)=4，
4 3
x =f (x )=f (4)=1，
5 4x =f (x )=f (1)=2，
6 5
⋯
不难看出数列 {x } 是以 4 为周期的周期数列，
n
所以 x =x =3．
2011 3
27. （1） 设 a =kn+b(k≠0)，
n
{ k+b=3,
由题意，得
10k+b=21.
{k=2,
解得 所以 a =2n+1(n∈N∗)．
b=1. n
所以 a =4023．
2011
（2） 因为 a ，a ，a ，a ，⋯，即为 5，9，13，17，⋯，
2 4 6 8
所以 b =4n+1(n∈N∗)．
n
2n−7 2n−9 −2n+11
28. 易得 b −b = − = ，且 n∈N ，
n+1 n 2n+1 2n 2n+1 +
所以当 n=1,2,3,4,5 时，b −b >0，即 b <b <b <b <b <b ；
n+1 n 1 2 3 4 5 6
当 n=6,7,8,⋯ 时，b −b <0，即 b >b >b >⋯，
n+1 n 6 7 8
2×6−9 3
所以数列 {b } 的最大项为 b = = ．
n 6 26 64
10 10 10 10 10
29. 设 a =x +6，则 a∈[0,16]，且 ∑a =110，∑a2=∑ x2+12∑ x +360=∑ x2+960．
i i i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
10
于是原问题转化为当 ∑a2 取最大值时，有几个 a =0．
i i
i=1
当 a 中有不少于两个数，且同时不等于 0，不等于 16 时，设为 p，q．
i
（i）p+q≥16 时，则
162+(p+q−16) 2−(p2+q2)
2×162−32p−32q+2pq¿=¿2×162+2(q−16)p−32q¿>¿2×162+2(q−16)×16−32q(看作一个关于p的一次函数,q−16<0,单调递减)¿=¿0.¿
¿
10
即 162+(p+q−16) 2>p2+q2．故不改变其他数字，用 16 代替 p，p+q−16 代替 q，∑a2 增大；
i
i=1
10
（ii）p+q<16 时，则 02+(p+q) 2−(p2+q2)=2pq>0，故用 0 代替 p，p+q 代替 q，∑a2 增
i
i=1
大．
10
综上所述，当 ∑a2 取最大值时，至多只有一个 a ≠0，且 a ≠16．
i i i
i=1
而 110=16×6+14，故 a 中应取 6 个 16，1 个 14，3 个 0．即有 3 个 −6．
i
1×(3×1+1)
30. （1）当 n=1 时，左边=1+1=2，右边= =2，左边=右边，
2
所以 n=1 时等式成立．k(3k+1)
（2）假设 n=k(k∈N∗,k≥1) 时等式成立，即 (k+1)+(k+2)+⋯+(k+k)= ，
2
那么，当 n=k+1 时，
(k+2)+(k+3)+⋯+(k+k)+(k+1+k)+(k+1+k+1) k(3k+1) 3k2+7k+4 (k+1)(3k+4) (k+1)[3(k+1)+1]
(k+2)+(k+3)+⋯+(k+k)+(k+k+1)+(k+k+2)¿=¿[(k+1)+(k+2)+(k+3)+⋯+(k+k)]+(k+k+1)+(k+k+2)−(k+1)¿=¿ +3k+2¿=¿ ¿=¿ ¿=¿ ,¿
¿ 2 2 2 2
等式也成立．
n(3n+1)
由（1）（2）可知对任意的 n∈N∗，(n+1)+(n+2)+⋯+(n+n)= ．
2
