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2023届高考数学三轮冲刺卷：数列模型的实际应用问题
一、选择题（共20小题；）
1. 根据 2020 年央行商业贷款基准利率的有关规定：一年以下（含一年）年利率为 4.35%；一至
三年（含三年）利率为 4.75%，三至五年（含五年）利率也为 4.75%，五年以上利率为 4.9%；
某人向银行贷款 100 万元，按年计复利的话，五年后一次性还清，则需要还款 ()
A. 100+100×5×4.75% 万元 B. 100×(1+4.75%) 5 万元
C. 100+100×5×4.9% 万元 D. 100×(1+4.9%) 5 万元
2. 某林场计划第一年造林 10000 亩，以后每年比前一年多造林 20%，则第四年造林 ()
A. 14400 亩 B. 17280 亩 C. 20736 亩 D. 172800 亩
3. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石
窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．在龙门石窟的某处“浮雕象”共有 7 层，每一层的数量是
它下一层的 2 倍，这些“浮雕象”构成一幅优美的图案．已知该处共有 1016 个“浮雕象”，
则正中间那层的“浮雕象”的数量为 ()
A. 508 B. 256 C. 128 D. 64
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 ()
A. 1 盏 B. 3 盏 C. 5 盏 D. 9 盏
5. 古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几
何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，
问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于 30 尺，则至少需
要 ()
A. 6 天 B. 7 天 C. 8 天 D. 9 天
6. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，身上而下各节的容积成等差数列，上面
4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 ()
67 65 66 66
A. B. C. D.
66 66 67 65
7. 某厂在 2002 年底制定生产计划，要使 2012 年底的总产量在 2002 年底的基础上翻两番，则
年平均增长率为 ()
A. 1√12−1 B. 1√02−1 C. 1√1 4−1 D. 1√0 4−1
8. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，
羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文
是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5 斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的
禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他
们各应偿还多少?该问题中，1 斗为 10 升，则马主人应偿还粟 ()
25 50 50 100
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
3 3 7 79. 《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日
自倍．问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高 3 尺，莞第一天长高 1 尺，以后蒲每天长高
前一天的一半，莞每天长高前一天的 2 倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为（结果精确到
0.1，参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）()
A. 2.2 天 B. 2.4 天 C. 2.6 天 D. 2.8 天
10. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次
日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个
人走 315 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 6
天后到达目的地”则该人第一天走的路程为 ()
A. 180 里 B. 170 里 C. 160 里 D. 150 里
11. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的
发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第
二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 1√22．若第一个单音的频
率为 f，则第八个单音的频率为 ()
A. √32f B. √3 22f C. 1√2 25f D. 1√2 27f
12. 《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一
棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸 ❑①，头圈一尺三 ❑②．逐节多三
分 ❑③，逐圈少分三 ❑④．一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远?”（注释：①
第一节的高度为 0.5 尺；②第一圈的周长为 1.3 尺；③每节比其下面的一节多 0.03 尺；④
每圈周长比其下面的一圈少 0.013 尺）问：此民谣提出的问题的答案是 ()
A. 61.395 尺 B. 61.905 尺 C. 71.705 尺 D. 73.995 尺
13. "神六飞天，举国欢庆"，据科学计算，运载“神舟六号”飞船的“长征二号”系列火
箭，在点火 1 分钟通过的路程为 2km，以后每分钟通过的路程增加 2km，在达到离地面
240km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大概需要的时间是 ()
A. 10 分钟 B. 13 分钟 C. 15 分钟 D. 20 分钟
14. 某棵果树前 n 年的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前 m 年的
n
年平均产量最高，m 值为 ()
A. 5 B. 7 C. 9 D. 1115. 《 九章算术 》 中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数
列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，现自上而下取第 1，3，9 节，则
这 3 节的容积之和为 ()
13 17 19 25
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
3 6 9 12
16. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三
百八十一，请问尖头几盏灯?”则该问题的答案是 ()
A. 1 盏 B. 3 盏 C. 5 盏 D. 9 盏
17. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对
着打洞穿墙．大老鼠第一天打进 1 尺，以后每天进度是前一天的 2 倍．小老鼠第一天也打进
1 尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为 10 尺，则两鼠穿透此墙至少在第 ()
A. 3 天 B. 4 天 C. 5 天 D. 6 天
18. 某地区在六年内第 x 年的生产总值 y （单位：亿元）与 x 之间的关系如图所示，则下列四
个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是 ()
A. 第一年到第三年 B. 第二年到第四年
C. 第三年到第五年 D. 第四年到第六年
19. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推
出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数
列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是 20，接下来的两
项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N：
N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是 ()
A. 440 B. 330 C. 220 D. 110
20. 一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存 2B，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后
所占内存是原的 2 倍，若该病毒占据 64MB 内存（1MB=210B），则开机后经过 () 分钟．
A. 45 B. 44 C. 46 D. 47
二、填空题（共5小题；）21. 夏季某高山上的温度从山脚起，每升高 100 米降低 0.7❑∘C ，已知山顶处的温度是
14.8❑∘C ，山脚温度是 26❑∘C ，则该山的山顶相对于山脚处的高度是
．
22. 中国古代数学著作 《 算法统宗 》 中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，
次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个
人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天
后到达目的地，则第二天走了 里路．
23. 有一种计算机病毒可以通过电子邮件进行传播，如果第一轮被感染的计算机数是 1 台，并且以
后每一台已经被感染的计算机都感染下一轮未被感染的 3 台计算机，则至少经过
轮后，被感染的计算机总数超过 2000 台．
24. 某地区森林木材存有量为 a，且每年增长率为 25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木
1
材量为 a，设 a 为第 n 年末后该地区森林木材存量，则 a = ．
10 n n
25. 对任何正整数 k，记 f (k) 为 k 的各位数字的平方和，对 n≥2 有 f (k)=f (f (k))，则
1 n 1 n−1
f (2006)= ．
2006
三、解答题（共5小题；）
26. 某区为推动教育现代化，计划从 2012 年至 2016 年为中小学每年新购置的电脑台数均按
25% 的比率增长．其中 2014，2015 年两年新购置的电脑数之和为 1800，该区 2016 年为
中小学新购置的电脑台数为多少?
27. 某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出 12 万元，以后每年支
出增加 4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元．设 f (n) 表示前 n 年的纯利润总和．
（f (n)= 前 n 年的总收入 − 前 n 年的总支出 − 投资额）．
（1）该厂从第几年开始盈利?
（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，
以 48 万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以 16 万元出售该厂，问哪种方案更合
算?
28. 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日这一天到
银行储蓄 a 元一年定期，若年利率为 r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新
的一年定期，当孩子 18 岁上学时（18 岁的生日不再存入）将所有存款（含利息）全部取出，
请你为这对夫妇算一算，能取回的钱的总数是多少?
29. 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除．当
地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10% 建设新住房，同时也拆除面积为 b（单位：
m2）的旧住房．
（1）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（2）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧
住房面积 b 是多少?（计算时取 1.15=1.6）
30. 在定期自动转存模型下，（1）如果储户存入定期为 1 年的 P 元存款，定期年利率为 r，连存 n 年后，再取出本利和，
试求出储户 n 年后所得的本利和公式；
（2）如果存入 1 万元定期存款，存期 1 年并自动转存，年利率为 3.5%，那么 5 年后共得
本利和多少万元?答案
1. B
2. B 【解析】第一年造林 10000 亩，则第二年造林 10000⋅(1+20%)=12000（亩），第三年造
林为 12000(1+20%)=14400（亩），第四年造林 14400(1+20%)=17280（亩）．故选B．
3. D 【解析】根据题意，可知从最下层往上“浮雕象”每层的数量构成一个公比为 2 等比数列
{a }，
n
a (1−27)
设最下层的浮雕数量为 a ，则由 S = 1 =1016，解得 a =8，
1 7 1−2 1
所以正中间那层为第 4 层，其“浮雕象”的数量 a =8×23=64．
4
4. B 【解析】方法一：
设从上往下数第 n 层的灯盏数量为 a ，前 n 层的灯盏数量和为 S ，
n n
由题意知，{a } 为公比为 2 的等比数列，且 S =381，
n 7
a (1−27)
所以 S = 1 =127a =381，解得 a =3，即顶层的类为 3 盏．
7 1−2 1 1
故选B．
方法二：
设塔顶的 a 盏灯，由题意 {a } 是公比为 2 的等比数列，
1 n
a (1−27)
所以 S = 1 =381，
7 1−2
解得 a =3．
1
故选：B．
5. C
【解析】由题意知，这是一个等比数列问题，已知等比数列 {a } 的公比 9=2，
n
S =5，求 S ≥30 的最小正整数，
5 n
a (1−25)
因为 1 =5，
1−2
5
所以 a = ，
1 31
5 1−2n
所以 ⋅ ≥30，
31 1−2
2n≥187，
所以 n≥8．
故选C．
6. A 【解析】设此等差数列为 {a }，公差为 d>0，
n
由题意得：a +a +a +a =3，a +a +a =4，
1 2 3 4 7 8 9{4a +6d=3,
2
即
3a +21d=4.
1
13
{a = ,
1 22
解得
7
d= .
60
13 7 67
所以 a =a +4d= +4× = ．故选：A．
5 1 22 66 66
7. D 【解析】设 2002 年底的总产量为 a，年平均增长率为 x，则 4a=a(1+x) 10，
所以 (1+x) 10=4，
所以 x=1√0 4−1．
8. D 【解析】因为 5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为 a ，a ，a ，
1 2 3
由题意可知其构成了公比为 2 的等比数列，且 S =50，
3
a (23−1) 50
则 1 =50，解得 a = ，
2−1 1 7
100
所以马主人要偿还的量为 a =2a = ．
2 1 7
1
9. C 【解析】设蒲的长度组成等比数列 {a }，其 a =3，公比为 ，其前 n 项和为 A ，则
n 1 2 n
( 1 )
3 1−
2n
( 1 )
A = =6 1− ．
n 1 2n
1−
2
2n−1
莞的长度组成等比数列 {b }，其 b =1，公比为 2，其前 n 项和为 B ．则 B = =2n−1，
n 1 n n 2−1
由题意可得，6 ( 1− 1 ) =2n−1，
2n
6
整理得，2n+ =7，解得 2n=6 或 2n=1（舍去）．
2n
lg6 lg3
所以 n=log 6= =1+ ≈2.6．
2 lg2 lg2
所以蒲、莞长度相等大约需要 2.6 天．
10. C
【解析】根据题意，设此人每天所走的路程为数列 {a }，其首项为 a ，即此人第一天走的路程为 a ，
n 1 1
1
又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则 {a } 是以为 a 首项， 为公比的等比数列，
n 1 2( 1 )
a 1−
1 26
又由 S =315，即有 =315，
6
1
1−
2
解得：a =160．
1
11. D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 1√22．若第
一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为：(1√22) 7 ⋅f =1√2 27f．
12. A 【解析】因为每竹节间的长相差 0.03 尺，设从地面往上，每节竹长为：a ，a ，a ，⋯，
1 2 3
a ，
30
所以 {a } 是以 a =0.5 为首项，以 dʹ=0.03 为公差的等差数列，
n 1
由题意知竹节圈长，后一圈比前一圈细，1 分 3 厘米即 0.013 尺，
设从地面往上，每节节圈长为 b ，b ，b ，⋯，b ，
1 2 3 30
由 {b } 是以 b =1.3 为首项，d=−0.013 为公差的等差数列，
n 1
所以一蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是：
( 30+29 ) [ 30+29 ]
S = 30+0.5+ ×0.03 + 30×1.3+ ×(−0.013) =61.395（尺）．
30 2 2
故答案选：A．
13. C
S
14. C 【解析】方法一：因为随着 n 的增大，S 在增大，要使 n 取得最大值，只要让随着 n 的
n n
S −S S −S
增大 S −S 的值超过 n+1 1（平均变化）的加入即可，S −S 的值不超过 n+1 1（平均
n+1 n n n+1 n n
变化）的舍去，由图象可知，6，7，8，9 这几年的改变量较大，所以应该加入，到第 10，11 年的
时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C．
S S S S S −0 S −0
方法二：假设 m 是 n 取的最大值，所以只要 m> m+1 即可，也就是 m > m+1 ，即
m n m m+1 m−0 (m+1)−0
可以看作点 Q (m,S ) 与 O(0,0) 连线的斜率大于点 Q (m+1,S ) 与 O(0,0) 连线的斜率，
m m m+1 m+1
所以观察可知到第 Q (9,S ) 与 O(0,0) 连线的斜率开始大于点 Q (10,S ) 与 O(0,0) 连线的斜
9 9 10 10
率．故答案为C．
15. B
16. B
17. B 【解析】由题意：大老鼠与小老鼠每天走的路程为等比数列，
则有：大鼠：q=2，前 n 天共走了 S =2n−1 尺，
n
1 1
小鼠：q= ，前 n 天共走了 S ʹ=2− 尺，
2 n 2n−1
若墙厚度 10 尺 ⇒S +S ʹ=10 尺，
n n
1 1
2n−1+2− =10，即 2n− =9，
2n−1 2n−11
n=3 时 23− <9，未穿透，
23−1
1
n=4 时 24− >16，穿透，
24−1
至少第 4 天．
18. A 【解析】设年平均增长率为 P，a 为第 n 年的生产总值，因为 a (1+P) 2=a ，所以
n n n+2
√a a a a a a
P= (n+2)−1 ，由图象比较 3 ， 4 ， 5 ， 6 的大小可知， 3 的值最大
a a a a a a
n 1 2 3 4 1
b =a +⋯+a =2n−1
19. A 【解析】设该数列为 {a
n
}，设 n (n−1)n
+1
n(n+1) (n∈N
+
)，则
2 2
n(n+1)
n 2
，
∑b = ∑ a
i i
i=1 i=1
由题意可设数列 {a } 的前 N 项和为 S ，数列 {b } 的前 n 项和为 T ，则
n N n n
T =21−1+22−1+⋯+2n−1=2n+1−n−2．
n
n(n+1)
可知当 N 为 时 (n∈N )，数列 {a } 的前 N 项和为数列 {b } 的前 n 项和，即为
2 + n n
2n+1−n−2．
容易得到 N>100 时，n≥14，
29×30
A 项，由 =435，440=435+5，可知 S =T +b =230−29−2+25−1=230，故 A 项符
2 440 29 5
合题意．
25×26
B 项，仿上可知 =325，可知 S =T +b =226−25−2+25−1=226+4，显然不为 2 的整
2 330 25 5
数幂，故 B 项不符合题意．
20×21
C 项，仿上可知 =210，可知 S =T +b =221−20−2+210−1=221+210−23，显然不为
2 220 20 10
2 的整数幂，故 C 项不符合题意．
14×15
D 项，仿上可知 =105，可知 S =T +b =215−14−2+25−1=215+15，显然不为 2 的
2 110 14 5
整数幂，故 D 项不符合题意．
方法二：由题意可知：20 ，20,21 ，20,21,22 ，⋯，20,21,22,⋯,2n−1
，
¿ ¿ ¿ ¿
根据等比数列前 n 项和公式，求得每项和分别为：21−1，22−1，23−1，⋯，2n−1，
每项含有的项数为：1，2，3，⋯，n，
(1+n)n
总共的项数为 N=1+2+3+⋯+n= ，
2
所有项数的和为S =21−1+22−1+23−1+⋯+2n−1
n
2(1−2n)
¿ = −n
1−2
¿ ¿
由题意可知：2n+1 为 2 的整数幂．只需将 −2−n 消去即可，
(1+1)×1
则① 1+2+(−2−n)=0，解得：n=1，总共有 +2=3，不满足 N>100，
2
(1+5)×5
② 1+2+4+(−2−n)=0，解得：n=5，总共有 +3=18，不满足 N>100，
2
(1+13)×13
③ 1+2+4+8+(−2−n)=0，解得：n=13，总共有 +4=95，不满足 N>100，
2
(1+29)×29
④ 1+2+4+8+16+(−2−n)=0，解得：n=29，总共有 +5=440，满足 N>100．
2
所以该款软件的激活码为 440．
20. A
【解析】因为开机时占据内存 2B，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的 2 倍，所
以 3 分钟后占据内存 22B，两个 3 分钟后占据内存 23B，三个 3 分钟后占据内存 24B，故 n 个
3 分钟后，所占内存是原的 2n+1 倍，则应有 2n+1=64×210=216，所以 n=15，15×3=45．
21. 1600 米
22. 96
1
【解析】由题意，知每天所走路程形成以 a 为首项，公比为 的等比数列，则
1 2
[ (1) 6]
a 1−
1 2
=378，解得 a =192，则 a =96，即第二天走了 96 里路．
1 2
1
1−
2
23. 7
【解析】假设第 n 轮被感染的计算机为 a 台，则第 n+1 轮被感染的计算机数为
n
a =3a +a =4a 台，而 a =1，所以 a =4n−1 ，令它大于 2000 即可求出结果．
n+1 n n n 1 n
3(5) n 2
24. a+ a
5 4 5
【解析】由题意可知(5) n [ (5) n−1 (5) n−2 ] 1
a = a − + +⋯+1 × a
n 4 4 4 10
(5) n [ (5) n ] 1
= a −4 −1 × a
4 4 10
3(5) n 2
= a+ a.
5 4 5
25. 145
【解析】根据题意，得
f (2006)=22+02+02+62=40,
1
f (2006)=f (40)=42+02=16,
2
f (2006)=f (16)=12+62=37,
3
f (2006)=f (37)=32+72=58,
4
f (2006)=f (58)=52+82=89,
5
f (2006)=f (89)=82+92=145,
6
f (2006)=f (145)=12+42+52=42,
7
f (2006)=f (42)=42+22=20,
8
f (2006)=f (20)=22+02=4,
9
f (2006)=f (4)=42=16,
10
⋯⋯
于是从 f (2006) 开始它是一个周期为 8 的周期数列，从而
2
f (2006)=f (2006)=f (2006)=145.
2006 250×8+6 6
26. 1250 台．
27. （1） 由题意知
[ n(n−1) ]
f (n)=50n− 12n+ ×4 −72=−2n2+40n−72.
2
由 f (n)>0，即 −2n2+40n−72>0，解得 2
