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14 小题＋1 大题(解几)——节选自郑州市模拟
一、单选题(每小题5 分，共40 分)
1.已知全集U＝{x|－1<x<5}，集合A 满足∁UA＝{x|0≤x<3}，则( )
A.0∈A
B.1∉A
C.2∈A
D.3∉A
答案 B
解析 因为U ＝{x| －1<x<5} ，∁UA ＝{x|0≤x<3} ，所以A ＝{x| －1<x<0 或
3≤x<5}，所以B 正确.
2.数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，8.9，9.1 的第75 百分位数为( )
A.8.5
B.8.6
C.8.7
D.8.8
答案 D
解析 因为8×0.75＝6，
所以第75 百分位数为＝8.8，故选D.
3.已知数列{an}为等比数列，且a1＝1，a9＝16.设等差数列{bn}的前n 项和为Sn，
若b5＝a5，则S9＝( )
A.－36 或36
B.－36
C.36
D.18
答案 C
解析 因为{an}是等比数列，设公比为q，
所以a＝a1a9＝16，
因为a1>0，所以a5＝a1q4>0，所以a5＝4，即b5＝4.
因为数列{bn}是等差数列，所以S9＝9b5＝36，故选C.
4.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余除法有较深的研究.设a，b，
m(m>0)为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为
a≡b(mod m).若a＝C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod 10)，则b 的值可以是(
)
A.2 018
B.2 020
C.2 022
D.2 024
答案 B
解析 因为a＝C·2＋C·22＋…＋C·220＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220－1＝(1＋2)20－
1＝320－1，
所以a＝320－1＝(32)10－1＝910－1＝(10－1)10－1＝C1010－C109＋C108－…－C10
＋C－1＝C1010－C109＋C108－…－C10，
所以a 能被10 整除，从选项可以看出，只有2 020 能被10 整除，即b 的值可以
为2 020，故选B.
5.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y
＝Asin ωt，但我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，
称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x(x∈R)，则下列
说法正确的是( )
A.f(x)的一个周期为π
B.f(x)的最大值为
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在区间[0，π]上有2 个零点
答案 D
解析 因为f(x)＝sin x＋sin 2x，
所以f(x＋π)＝sin(x＋π)＋sin[2(x＋π)]＝－sin x＋sin 2x≠f(x)，所以A 错误；
若函数f(x)的最大值为，则sin x，sin 2x 同时取最大值，即sin x＝1 且sin 2x＝
1，
又sin 2x＝2sin xcos x，所以若sin x＝1，
则cos x＝0，sin 2x＝0，即sin x＝1 与sin 2x＝1 不可能同时成立，所以B 错误；
因为f(x)＋f(π－x)＝sin x＋sin 2x＋sin(π－x)＋·sin[2(π－x)]＝2sin x≠0，所以函
数f(x)的图象不关于点对称，所以C 错误；
令f(x)＝sin x＋sin 2x＝sin x＋sin xcos x＝sin x·(1＋cos x)＝0，得sin x＝0 或1
＋cos x＝0，
又因为x∈[0，π]，所以x＝0 或x＝π，
所以函数f(x)在区间[0，π]上有2 个零点，所以D 正确.
6.在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5，0.6 和
0.7，且三人的测试结果相互独立.测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没
有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设事件A＝“甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级”，事件B
＝“乙达到优秀等级”，所以P(A)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.7)＋(1－0.5)×0.6×(1
－0.7)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.7＝0.29，P(AB)＝(1－0.5)×0.6×(1－0.7)＝0.09，
所以P(B|A)＝＝＝，故选C.
7.在平面直角坐标系xOy 中，设A(2，4)，B(－2，－4)，动点P 满足PO·PA＝－
1，则tan ∠PBO 的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设P(x，y)，则PO＝(－x，－y)，PA＝(2－x，4－y)，由PO·PA＝－1，得
－x(2－x)－y(4－y)＝－1，即x2＋y2－2x－4y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝4，所
以点P 的轨迹是以C(1，2)为圆心，半径r＝2 的圆.
因为点B(－2，－4)，所以kOB＝kOC＝2，
所以O，B，C 三点共线，且点O 在B，C 之间，
则∠PBO＝∠PBC，所以当直线PB 与圆C 相切时，∠PBC 最大，即tan ∠PBC 取
最大值，
|BC|＝＝3，当PB 与圆C 相切时，|PB|＝＝＝，
所以(tan ∠PBC)max＝＝＝，故选C.
8.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C 的离心
率为e，点P 为双曲线C 右支上一点，满足e·sin ∠PF1F2＝1，且S△F1PF2＝
4a2，则双曲线C 的渐近线方程为( )
A.2x±y＝0
B.x±2y＝0
C.3x±y＝0
D.x±3y＝0
答案 A
解析 因为e·sin∠PF1F2＝1，且e＝，
所以sin ∠PF1F2＝.
因为S△F1PF2＝|PF1|·|F1F2|·sin ∠PF1F2＝|PF1|·2c·＝4a2，
所以|PF1|＝4a.
因为点P 为双曲线C 右支上一点，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝
2a.
因为S△F1PF2＝|PF1|×|PF2|×sin ∠F1PF2＝×4a×2a×sin ∠F1PF2＝4a2，
所以sin ∠F1PF2＝1，
又因为0<∠F1PF2<π，
所以∠F1PF2＝，所以PF1⊥PF2.
因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，即c2＝5a2，
所以a2＋b2＝5a2，即b2＝4a2，
又a>0，b>0，所以＝2，所以渐近线方程为y＝±x＝±2x，故选A.
二、多选题(每小题6 分，共18 分)
9.在复平面内，复数z1＝－i 对应的点为A，复数z2＝z1－1 对应的点为B，下列说
法正确的是( )
A.|z1|＝|z2|＝1
B.z1·z2＝|z1|2
C.向量AB对应的复数是1
D.|AB|＝|z1－z2|
答案 AD
解析 因为z1＝－i，
则其对应的点为A，
z2＝z1－1＝－－i，
则复数z2对应的点为B.
对于A，|z1|＝＝1，|z2|＝＝1，A 正确；
对于B，z1z2＝＝－＝－－＝－1，B 错误；
对于C，向量AB＝(－1，0)，则向量AB对应的复数为－1，C 错误；
对于D，|AB|＝1，z1－z2＝1，所以|AB|＝|z1－z2|，D 正确.
10.如图，在矩形ABB1A1中，AA1＝1，AB＝4，点C，D，E 与点C1，D1，E1分别
是线段AB 与A1B1的四等分点.若把矩形ABB1A1卷成以AA1为母线的圆柱的侧面，
使线段AA1与BB1重合，则以下说法正确的是( )
A.直线AC1与DE1异面
B.AE∥平面A1CD
C.直线DE1与平面AED1垂直
D.点C1到平面DD1E1的距离为
答案 ABD
解析 矩形ABB1A1卷成的圆柱如图所示.
图1
对于A，由图1 可知，AD 与C1E1是异面直线，所以点A，D，C1，E1不共面，
所以直线AC1与DE1异面，A 正确；
图2
对于B，如图2 所示，由题意可知，AD 与CE 均为底面圆的直径，即AD 与CE
相交且互相平分，所以四边形AEDC 为平行四边形，所以AE∥CD，因为CD⊂
平面A1CD，AE⊄平面A1CD，所以AE∥平面A1CD，B 正确；
图3
对于C，如图3，以底面圆心O 为原点，OC，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴建
立空间直角坐标系O－xyz.设圆柱底面半径为r，所以2πr＝4，所以r＝，
则A，D1，D，E1，则DE1＝，AD1＝，因为DE1·AD1＝－＋1≠0，所以DE1与
AD1不垂直，所以DE1与平面AED1不可能垂直，C 错误；
图4
对于D，如图4 所示，连接C1D1，E1D1，C1E1.因为C1E1 是底面圆的直径，则
C1D1⊥D1E1.又因为DD1⊥平面C1D1E1，C1D1⊂平面C1D1E1，所以DD1⊥C1D1，又
D1E1∩DD1＝D1，所以C1D1⊥平面DD1E1，C1D1的长即为点C1到平面DD1E1的距
离.因为底面半径r＝，且C1D1⊥D1E1，所以C1D1＝＝，D 正确.
11.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，f(1)＝1，f(2x＋1)
为偶函数，则( )
A.f(0)＝0
B.f(x)为偶函数
C.f(2＋x)＝－f(2－x)
D.∑f(k)＝0
答案 ACD
解析 令x＝y＝0，得f2(0)＝f2(0)－f2(0)＝0，所以f(0)＝0，所以A 正确；
令x＝0，得f(y)f(－y)＝f2(0)－f2(y)，
因为f(0)＝0，所以f(y)·f(－y)＝－f2(y)，即f(y)[f(y)＋f(－y)]＝0，
因为f(y)不恒为0，所以f(y)＋f(－y)＝0，
即f(x)＋f(－x)＝0，所以函数f(x)是奇函数，所以B 错误；
因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称.因为函数f(2x＋1)是偶
函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于直
线x＝1 对称，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)成立，
所以C 正确，且函数f(x)是以4 为周期的周期函数；
因为f(0)＝0，f(1)＝1，并且函数f(x)的图象关于直线x＝1 对称，所以f(2)＝0，
又因为函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(3)＝－f(1)＝－1，因为函数f(x)
是以4 为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)＝0，即f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋0＋
(－1)＋0＝0，再由周期性得，∑f(k)＝0，所以D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.抛物线x2＝y 的准线方程为y＝1，则实数a 的值为________.
答案 －
解析 因为抛物线方程为x2＝y，
所以其准线方程为y＝－，即－＝1，
所以a＝－.
13.在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝4，c·cos
B＋a＝0，则c＝________.点D 在线段AB 上，且∠CDA＝，则CD＝________.
答案
解析 由c·cos B＋a＝0，得c·＋a＝0，化简得3a2＋c2－b2＝0.
又因为a＝，b＝4，
所以c＝，cos A＝＝＝，
因为A∈(0，π)，所以sin A＝＝.
因为点D 在线段AB 上，且∠CDA＝，
所以sin ∠CDA＝.
在三角形ACD 中，由正弦定理得，＝，即＝，则CD＝.
14.已知不等式ex－＋1－2ax≥b 对任意的实数x 恒成立，则的最大值为________.
答案 2－2ln 2
解析 不等式ex－＋1－2ax≥b 对任意实数x 恒成立，即ex－＋1≥2ax＋b 对任意实数
x 恒成立.
函数f(x)＝ex－＋1的大致图象如图所示，而y＝2ax＋b 是一条直线，若ex－＋1≥2ax
＋b 对任意实数x 恒成立，则函数f(x)＝ex－＋1的图象恒在直线y＝2ax＋b 的上方，
所以直线y＝2ax＋b 的斜率大于0，即a>0.
设直线y＝2ax＋b 与x 轴的交点为A，所以当点A 越往左运动时，－越小，即越
大，
所以当直线y＝2ax＋b 与函数f(x)＝ex－＋1的图象相切时，取最大值.
当直线y＝2ax＋b 与函数f(x)＝ex－＋1的图象相切时，设切点为(t，et－＋1)，f′(x)＝ex
－＋1，所以2a＝f′(t)＝et－＋1.
又因为2at＋b＝et－＋1，所以2a＝2at＋b，即2＝2t＋，所以＝－2t＋2.
因为2a＝et－＋1，所以t－＋1＝ln(2a)，所以t＝＋ln(2a)－1，令g(a)＝＋ln(2a)－
1，
a>0，所以g′(a)＝－＋＝.
因为g′(1)＝0，所以当0<a<1 时，g′(a)<0；当a>1 时，g′(a)>0，所以函数g(a)在
(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，当a＝1 时，g(a)取最小值，且最小
值为ln 2，即t 的最小值为ln 2.因为＝－2t＋2 是关于t 的单调递减函数，所以当
t 取最小值ln 2 时，取最大值，且最大值为2－2ln 2.
四、解答题(本题共13 分；考查方向：解几)
15.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，1)，且焦距为2.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过点S(1，0)作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD 的中点分别为M，
N.
①证明：直线MN 必过定点；
②若直线AB，CD 的斜率均存在，求△MNS 面积的最大值.
(1)解 依题意有b＝1，c＝，
∴a2＝b2＋c2＝4，
∴椭圆E 的标准方程为＋y2＝1.
(2)①证明 设lAB：x＝my＋1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则lCD：x＝－y＋1(m≠0)，
联立得
故(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝16m2＋48>0，y1＋y2＝，
∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝，
故M，
由－代替m，得N.
当＝，即m2＝1 时，lMN：x＝，过点K.
当≠，即m2≠1 时，kMN＝，
lMN：y＋＝(m2≠1，m≠0)，
令y＝0，得x＝＋＝＝，
∴直线MN 恒过点K.
当m＝0 时，经验证直线MN 过点K.
综上，直线MN 恒过点K.
②解 S△MNS＝S△MKS＋S△NKS＝·|KS|·|yN－yM|＝××＝·＝·，
令t＝，则t∈[2，＋∞)，S△MNS＝·＝·＝·，
∵S△MNS＝·在[2，＋∞)上单调递减，∴S△MNS≤.
