2024 年高考全国甲卷真题(理科)
一、单选题
1．若z＝5＋i ，则i(＋z)等于( )
A．10i B．2i C．10 D．2
答案 A
解析 由z＝5＋i⇒＝5－i，
z＋＝10，则i(＋z)＝10i.
2．已知集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝，则∁A(A∩B)等于( )
A．{1,4,9}
B．{3,4,9}
C．{1,2,3}
D．{2,3,5}
答案 D
解析 因为A＝{1,2,3,4,5,9}，
B＝{x|∈A}，
所以B＝{1,4,9,16,25,81}，
则A∩B＝{1,4,9}，∁A(A∩B)＝{2,3,5} .
3．若实数x，y 满足约束条件则 z＝x－5y 的最小值为( )
A. B．0 C．－ D．－
答案 D
解析 实数x，y 满足
作出可行域如图所示，
由z＝x－5y 可得y＝x－z，
即z 的几何意义为y＝x－z 的纵截距的－5 倍，
则该直线纵截距取最大值时，z 有最小值，
此时直线y＝x－z 过点A，
联立
解得即A，
则zmin＝－5×1＝－.
4．记Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 B
解析 由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0，
则等差数列{an}的公差
d＝＝－，
故a1＝a5－4d＝1－4×＝.
5．已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0，－4)，点(－6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离
心率为( )
A．4 B．3 C．2 D.
答案 C
解析 设F1(0，－4)，F2(0,4)，P(－6,4)，
则|F1F2|＝2c＝8，
|PF1|＝＝10，
|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，
则e＝＝＝2.
6．设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(
)
A. B. C. D.
答案 A
解析 f′(x)＝，
则f′(0)＝
＝3，
则点(0,1)处的切线方程为y－1＝3x，
即y＝3x＋1，
令x＝0，则y＝1，
令y＝0，则x＝－，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积
S＝×1×＝.
7．函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x 在区间[－2.8,2.8]上的大致图象为( )
答案 B
解析 f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)
＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，
又函数f(x)的定义域为[－2.8,2.8]，
故该函数为偶函数，可排除A，C，
又f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1－>－>0，
故可排除D.
8．已知＝，则tan 等于( )
A．2＋1
B．2－1
C.
D．1－
答案 B
解析 因为＝，
所以＝⇒tan α＝1－，
所以tan＝＝2－1.
9．设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则( )
A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件
答案 C
解析 对A，当a⊥b 时，则a·b＝0，
所以x(x＋1)＋2x＝0，
解得x＝0 或x＝－3，
即必要性不成立，故A 错误；
对C，当x＝0 时，a＝(1,0)，b＝(0,2)，
故a·b＝0，所以a⊥b，
即充分性成立，故C 正确；
对B，当a∥b 时，2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，
即必要性不成立，故B 错误；
对D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，
所以a∥b 不成立，
即充分性不成立，故D 错误．
10．设α，β 是两个平面，m，n 是两条直线，且α∩β＝m.下列四个命题：
①若m∥n，则n∥α 或n∥β；
②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；
③若n∥α，且n∥β，则m∥n；
④若n 与α，β 所成的角相等，则m⊥n，
其中所有真命题的编号是( )
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①③④
答案 A
解析 对①，当n⊂α 时，
因为m∥n，m⊂β，n⊄β，则n∥β，
当n⊂β 时，因为m∥n，m⊂α，n⊄α，则n∥α，
当n⊄α 且n⊄β 时，
因为m∥n，m⊂α，m⊂β，
则n∥α 且n∥β，故①为真命题；
对②，若m⊥n，
则n 可以是与m 垂直的平面内的任意一条直线，n 也可能在平面α 或平面β 内，
故n 与α，β 不一定垂直，故②为假命题；
对③，过直线n 分别作两平面与α，β 分别相交于直线s 和直线t，
因为n∥α，过直线n 的平面与平面α 的交线为直线s，
则根据线面平行的性质定理知n∥s，
同理可得n∥t，则s∥t，
因为s⊄平面β，t⊂平面β，
则s∥平面β，
因为s⊂平面α，α∩β＝m，
则s∥m，又因为n∥s，
则m∥n，故③为真命题；
对④，因为α∩β＝m，
若n 与α 和β 所成的角相等，
如果n∥α，n∥β，
则m∥n，故④为假命题，
综上，只有①③为真命题．
11．在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin
C 等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为B＝，b2＝ac，
则由正弦定理得sin Asin C＝sin2B＝.
由余弦定理可得，
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝ac，
即a2＋c2＝ac，
根据正弦定理得
sin2A＋sin2C＝sin Asin C＝，
所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝，
因为A，C 为三角形内角，则sin A＋sin C>0，
则sin A＋sin C＝.
12．已知b 是a，c 的等差中项，直线ax＋by＋c＝0 与圆x2＋y2＋4y－1＝0 交于A，B 两点，
则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．2
答案 C
解析 因为b 是a，c 的等差中项，
所以2b＝a＋c，c＝2b－a，
代入直线方程ax＋by＋c＝0 得ax＋by＋2b－a＝0，
即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，
令得
故直线恒过(1，－2)，设P(1，－2)，
圆化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，
设圆心为C，画出直线与圆的图形，如图，
由图可知，当PC⊥AB 时，|AB|最小，
又|PC|＝1，|AC|＝，
此时|AB|＝2|AP|＝2
＝2＝4.
二、填空题
13.10的展开式中，各项系数的最大值是________．
答案 5
解析 二项展开式的通项为
Tk＋1＝C10－kxk，
0≤k≤10 且k∈Z，
设展开式中第k＋1 项系数最大，
则⇒
即≤k≤，
又k∈Z，故k＝8，
所以展开式中系数最大的项是第9 项，
且该项系数为C2＝5.
14．已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台母线长分别为2(r2－
r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________．
答案
解析 由题可得两个圆台的高分别为
h 甲＝＝(r2－r1)，
h 乙＝＝2(r2－r1)，
所以＝
＝＝＝.
15．已知a>1，且－＝－，则a＝________.
答案 64
解析 由题知a>1，则log2a>0，－
＝－log2a＝－，
整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
则log2a＝－1(舍去)或log2a＝6，
所以log2a＝6＝log226，
故a＝26＝64.
16．有6 个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中无放回地随机抽取3 次，每次取1 个
球．记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n
差的绝对值不大于的概率是________．
答案
解析 从6 个标有不同数字的球中无放回地抽取3 次，
共有A＝120(种)，
设前两个球上的数字分别为a，b，
第三个球上的数字为c，
则|m－n|＝≤，
故|2c－(a＋b)|≤3，
故－3≤2c－(a＋b)≤3，
故a＋b－3≤2c≤a＋b＋3,
若c＝1，则a＋b≤5，
则(a，b)为(2,3)，(3,2)，共有2 种；
若c＝2，则1≤a＋b≤7，
则(a，b)为(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，
(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,3)，共有10 种；
若c＝3，则3≤a＋b≤9，
则(a，b)为(1,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,4)，(2,5)，(2,6)，(4,5)，
(2,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，
(4,2)，(5,2)，(6,2)，(5,4)，
共有16 种；
若c＝4，则5≤a＋b≤11，同理有16 种；
若c＝5，则7≤a＋b≤13，同理有10 种；
若c＝6，则9≤a＋b≤15，同理有2 种，
当m 与n 的差的绝对值不大于时，不同的抽取方法总数为2×(2＋10＋16)＝56，
故所求概率为＝.
三、解答题
17．某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随
机抽取150 件进行检验，数据如下：
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
(1)填写如下列联表：
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、
乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n 件产品的优级品
率．如果>p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150 件产品的数据，
能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247)
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解 (1)根据题意可得列联表：
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30
可得K2＝＝＝4.687 5，
因为3.841<4.687 5<6.635，
所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲、
乙两车间产品的优级品率存在差异．
(2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64，
用频率估计概率可得＝0.64，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，
则p＋1.65＝0.5＋1.65×
≈0.5＋1.65×≈0.567，
可知>p＋1.65，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了．
18．记Sn为数列{an}的前n 项和，已知4Sn＝3an＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n 项和Tn.
解 (1)当n＝1 时，
4S1＝4a1＝3a1＋4，解得a1＝4.
当n≥2 时，4Sn－1＝3an－1＋4，
所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1，
即an＝－3an－1，
而a1＝4≠0，故an≠0，
故＝－3(n≥2)，
所以数列{an}是以4 为首项，
－3 为公比的等比数列，
所以an＝4·(－3)n－1.
(2)bn＝(－1)n－1·n·4·(－3)n－1＝4n·3n－1，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝4·30＋8·31＋12·32＋…＋4n·3n－1，
故3Tn＝4·31＋8·32＋12·33＋…＋4n·3n，
所以－2Tn＝4·30＋4·31＋4·32＋…＋4·3n－1－4n·3n
＝4·－4n·3n
＝2(3n－1)－4n·3n
＝(2－4n)·3n－2，
所以Tn＝(2n－1)·3n＋1.
19.如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为
等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝，FB＝2，M 为AD 的中点．
(1)证明：BM∥平面CDE；
(2)求二面角F－BM－E 的正弦值．
(1)证明 因为BC∥AD，BC＝2，
AD＝4，M 为AD 的中点，
所以BC∥MD，BC＝MD，
所以四边形BCDM 为平行四边形，
所以BM∥CD，
又因为BM⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，
所以BM∥平面CDE.
(2)解 如图所示，作BO⊥AD 交AD 于O，连接OF，
因为四边形ABCD 为等腰梯形，BC∥AD，AD＝4,
AB＝BC＝2，所以CD＝2，
结合(1)可知四边形BCDM 为平行四边形，
可得BM＝CD＝2，又AM＝2，
所以△ABM 为等边三角形，
O 为AM 的中点，所以OB＝，
又因为四边形ADEF 为等腰梯形，
M 为AD 的中点，EF＝2，
所以EF＝MD，EF∥MD，
所以四边形EFMD 为平行四边形，
FM＝ED＝AF＝，
所以△AFM 为等腰三角形，
△ABM 与△AFM 底边上中点O 重合，
则OF⊥AM，OF＝＝3，
因为OB2＋OF2＝FB2，
所以OB⊥OF，
所以OB，OD，OF 两两垂直，
以O 为坐标原点，OB方向为x 轴正方向，OD方向为y 轴正方向，OF方向为z 轴正方向，建
立空间直角坐标系，
则F(0,0,3)，B(，0,0)，M(0,1,0)，E(0,2,3)，
BM＝(－，1,0)，BF＝(－，0,3)，
BE＝(－，2,3)，
设平面BFM 的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
平面EMB 的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则即
令x1＝，得y1＝3，z1＝1，
即m＝(，3,1)，
则
即
令x2＝，得y2＝3，z2＝－1，
即n＝(，3，－1)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝，
则sin〈m，n〉＝，
故二面角F－BM－E 的正弦值为.
20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M 在C 上，且MF⊥x 轴．
(1)求C 的方程；
(2)过点P(4,0)的直线与C 交于A，B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点
Q，证明：AQ⊥y 轴．
(1)解 设F(c，0)，则c2＝a2－b2，
由题意知c＝1 且＝，
故＝，
故a＝2(负值舍去)，故b＝，
故椭圆方程为＋＝1.
(2)证明 直线AB 的斜率必定存在，
设AB：y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
可得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
故Δ＝1 024k4－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，
故－<k<，
又x1＋x2＝，
x1x2＝，
而N，
故直线BN：y＝，
因为点Q 是直线BN 与MF 的交点，
设其纵坐标为yQ，
则yQ＝＝，
所以y1－yQ＝y1＋
＝
＝
＝k·
＝k·
＝k·＝0，
故y1＝yQ，即AQ⊥y 轴．
21．已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x.
(1)当a＝－2 时，求f(x)的极值；
(2)当x≥0 时，f(x)≥0 恒成立，求a 的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
当a＝－2 时，
f(x)＝(1＋2x)ln(1＋x)－x，
故f′(x)＝2ln(1＋x)＋－1
＝2ln(1＋x)－＋1，
因为y＝2ln(1＋x)，y＝－＋1 在(－1，＋∞)上单调递增，
故f′(x)在(－1，＋∞)上为增函数，
而f′(0)＝0，
故当－1<x<0 时，f′(x)<0，
当x>0 时，f′(x)>0，
故f(x)在x＝0 处取极小值且极小值为f(0)＝0，无极大值．
(2)当x＝0 时，f(x)＝0 恒成立，
现讨论x>0 的情况，
f′(x)＝－aln(1＋x)＋－1
＝－aln(1＋x)－，x>0，
设s(x)＝－aln(1＋x)－，x>0，
则s′(x)＝－
＝－＝－，
当a≤－时，s′(x)>0，
故s(x)在(0，＋∞)上单调递增，
s(x)>s(0)＝0，即f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故当x>0 时，f(x)>f(0)＝0，符合题意；
当－<a<0 时，
当0<x<－时，s′(x)<0，
故s(x)在上单调递减，
s(x)<s(0)，
即在上f′(x)<0，
f(x)单调递减，
f(x)<f(0)＝0，不符合题意，舍去；
当a≥0 时，此时s′(x)<0 在(0，＋∞)上恒成立，
同理可得在(0，＋∞)上，
f(x)<f(0)＝0 恒成立，不符合题意，舍去，
综上，a≤－.
22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C 的极坐标方程为ρ＝ρcos θ＋1.
(1)写出C 的直角坐标方程；
(2)设直线l：(t 为参数)，若C 与l 相交于A，B 两点，且|AB|＝2，求a 的值．
解 (1)由ρ＝ρcos θ＋1，
将代入ρ＝ρcos θ＋1，
故可得＝x＋1，
两边平方后可得C 的直角坐标方程为y2＝2x＋1.
(2)对于直线l 的参数方程消去参数t，
得直线的普通方程为y＝x＋a.
方法一 直线l 的斜率为1，
故倾斜角为，
故直线的参数方程可设为
s 为参数，s∈R.
将其代入y2＝2x＋1 中，
得s2＋2(a－1)s＋2(a2－1)＝0，
设A，B 两点对应的参数分别为s1，s2，
则s1＋s2＝－2(a－1)，
s1s2＝2(a2－1)，
且Δ＝8(a－1)2－8(a2－1)＝16－16a>0，
故a<1，
∴|AB|＝|s1－s2|＝
＝＝2，
解得a＝.
方法二 联立
得x2＋(2a－2)x＋a2－1＝0，
Δ＝(2a－2)2－4(a2－1)＝－8a＋8>0，
解得a<1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝2－2a，x1x2＝a2－1，
则|AB|＝·
＝· ＝2，
解得a＝.
23．已知实数a，b 满足a＋b≥3.
(1)证明：2a2＋2b2>a＋b；
(2)证明：|a－2b2|＋|b－2a2|≥6.
证明 (1)因为2a2＋2b2－(a＋b)2
＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b 时等号成立，
则2a2＋2b2≥(a＋b)2，
因为a＋b≥3，
所以2a2＋2b2≥(a＋b)2>a＋b.
(2)|a－2b2|＋|b－2a2|≥|a－2b2＋b－2a2|
＝|2a2＋2b2－(a＋b)|
＝2a2＋2b2－(a＋b)≥(a＋b)2－(a＋b)
＝(a＋b)(a＋b－1)≥3×2＝6.
