2023 年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)
理科数学
一、选择题
1．设z＝，则等于( )
A．1－2i
B．1＋2i
C．2－i
D．2＋i
答案 B
解析 由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，
则＝1＋2i.
2．设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}等于( )
A．∁U(M∪N)
B．N∪∁UM
C．∁U(M∩N)
D．M∪∁UN
答案 A
解析 由题意可得M∪N＝{x|x<2}，
则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故A 正确；
∁UM＝{x|x≥1}，
则N∪∁UM＝{x|x>－1}，故B 错误；
M∩N＝{x|－1<x<1}，
则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1 或x≥1}，故C 错误；
∁UN＝{x|x≤－1 或x≥2}，
则M∪∁UN＝{x|x<1 或x≥2}，故D 错误．
3．如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表
面积为( )
A．24 B．26 C．28 D．30
答案 D
解析 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，
点H，I，J，K 为所在棱上靠近点B1，C1，D1，A1的三等分点，O，L，M，N 分别为C1D1，
A1B1，HK，IJ 的中点，
则三视图所对应的几何体为长方体ABCD－A1B1C1D1去掉长方体ONIC1－LMHB1之后所得的
几何体，
该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2 个边长为1 的正方形的面积，
其表面积为2×(2×2)＋4×(2×3)－2×(1×1)＝30.
4．已知f(x)＝是偶函数，则a 等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 D
解析 因为f(x)＝为偶函数，
则f(x)－f(－x)＝－
＝＝0，
又因为x≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，
即ex＝e(a－1)x，
则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.
5．设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x，y)|1≤x2＋y2≤4}内随机取一点，记该点为
A，则直线OA 的倾斜角不大于的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为区域{(x，y)|1≤x2＋y2≤4}表示以O(0,0)为圆心，外圆半径R＝2，内圆半径r＝1
的圆环，
则直线OA 的倾斜角不大于的部分如图中阴影部分(包含边界)所示，在第一象限部分对应的
圆心角∠MON＝，
结合对称性可得所求概率P＝＝.
6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相
邻对称轴，则f 等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，
所以＝－＝，不妨取ω>0，则T＝π，ω＝＝2，
当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，
则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，
则f(x)＝sin，
则f ＝sin＝.
7．甲、乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2 种，则这两人选读的课外读物中恰有1 种
相同的选法共有( )
A．30 种
B．60 种
C．120 种
D．240 种
答案 C
解析 首先确定相同的读物，共有C 种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5 种读物里，选出2 种进行排列，共有A 种，
根据分步乘法计数原理可得，共有C·A＝120(种)选法．
8．已知圆锥PO 的底面半径为，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，∠AOB＝，若
△PAB 的面积等于，则该圆锥的体积为( )
A．π B.π C．3π D．3π
答案 B
解析 在△AOB 中，∠AOB＝，OA＝OB＝.如图，取AB 的中点C，连接OC，PC，则有
OC⊥AB，PC⊥AB，
∠ABO＝，OC＝，AB＝2BC＝3，
由△PAB 的面积为，
得×3×PC＝，
解得PC＝，
于是PO＝＝＝，
所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π×()2×＝π.
9．已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C－AB－D
为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 取AB 的中点E，连接CE，DE，
因为△ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，
则有CE⊥AB，
又△ABD 是等边三角形，
则DE⊥AB，从而∠CED 为二面角C－AB－D 的平面角，
即∠CED＝150°，
显然CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面CDE，
于是AB⊥平面CDE，
又AB⊂平面ABC，
因此平面CDE⊥平面ABC，
显然平面CDE∩平面ABC＝CE，直线CD⊂平面CDE，
则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE，
从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角，
令AB＝2，则CE＝1，DE＝，
在△CDE 中，由余弦定理得
CD＝＝＝，
由正弦定理得＝，
即sin∠DCE＝＝，
显然∠DCE 是锐角，cos∠DCE＝＝＝，
所以直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为.
10．已知等差数列{an}的公差为，集合S＝{cos an|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab 等于( )
A．－1 B．－ C．0 D.
答案 B
解析 方法一 由题意得an＝a1＋(n－1)，
cos an＋3＝cos
＝cos
＝cos
＝cos
＝cos an，
所以数列{cos an}是以3 为周期的周期数列，
又cos a2＝cos
＝－cos a1－sin a1，
cos a3＝cos
＝－cos a1＋sin a1，
因为集合S 中只有两个元素，
所以有三种情况：cos a1＝cos a2≠cos a3，
cos a1＝cos a3≠cos a2，
cos a2＝cos a3≠cos a1.
下面逐一讨论：
①当cos a1＝cos a2≠cos a3时，
有cos a1＝－cos a1－sin a1，
得tan a1＝－，
所以ab＝cos a1
＝－cos2a1＋sin a1cos a1
＝
＝
＝＝－.
②当cos a1＝cos a3≠cos a2时，
有cos a1＝－cos a1＋sin a1，
得tan a1＝，
所以ab＝cos a1
＝－cos2a1－sin a1cos a1
＝
＝
＝＝－.
③当cos a2＝cos a3≠cos a1时，
有－cos a1－sin a1＝－cos a1＋sin a1，
得sin a1＝0，
所以ab＝cos a1
＝－cos2a1
＝－(1－sin2a1)＝－.
综上，ab＝－.
方法二 取a1＝－，
则cos a1＝，
cos a2＝cos＝，
cos a3＝cos＝－1，
所以S＝，ab＝－.
11．设A，B 为双曲线x2－＝1 上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是( )
A．(1,1) B．(－1,2) C．(1,3) D．(－1，－4)
答案 D
解析 设O 为坐标原点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB 的中点M，
可得kAB＝，
kOM＝＝，
因为A，B 在双曲线上，
则
两式相减得(x－x)－＝0，
所以kAB·kOM＝＝9.
对于A，可得kOM＝1，kAB＝9，则AB：y＝9x－8，
联立方程
消去y 得72x2－144x＋73＝0，
此时Δ＝(－144)2－4×72×73＝－288<0，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；
对于B，可得kOM＝－2，kAB＝－，
则AB：y＝－x－，
联立方程
消去y 得45x2＋90x＋61＝0，
此时Δ＝902－4×45×61＝－2 880<0，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；
对于C，可得kOM＝3，kAB＝3，则AB：y＝3x，
由双曲线方程可得a＝1，b＝3，
则AB：y＝3x 为双曲线的渐近线，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；
对于D，kOM＝4，kAB＝，
则AB：y＝x－，
联立方程
消去y 得63x2＋126x－193＝0，
此时Δ＝1262＋4×63×193>0，
故直线AB 与双曲线有两个交点，故D 正确．
12．已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A，直线PB 与⊙O 交于B，C 两点，D 为
BC 的中点，若|PO|＝，则PA·PD的最大值为( )
A. B. C．1＋ D．2＋
答案 A
解析 如图所示，|OA|＝1，|OP|＝，
则由题意可知，∠APO＝45°，
|PA|＝1，
当点A，D 位于直线PO 的两侧时，
设∠OPC＝α，0≤α<，
则PA·PD＝|PA||PD|cos
＝1×cos αcos
＝cos α
＝cos2α－sin αcos α
＝－sin 2α
＝－sin，
由0≤α<，
得－≤2α－<，
∴当2α－＝－时，PA·PD有最大值1.
当点A，D 位于直线PO 同侧时，
设∠OPC＝α，0≤α<，
则PA·PD＝|PA||PD|cos
＝1×cos αcos
＝cos α
＝cos2α＋sin αcos α
＝＋sin 2α
＝＋sin，
由0≤α<，
得≤2α＋<，
∴当2α＋＝时，PA·PD有最大值.
综上可得，PA·PD的最大值为.
二、填空题
13．已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px 上，则A 到C 的准线的距离为________．
答案
解析 由题意可得，()2＝2p×1，
则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，
准线方程为x＝－，点A 到C 的准线的距离为1－＝.
14．若x，y 满足约束条件则z＝2x－y 的最大值为________．
答案 8
解析 作出可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，
z＝2x－y，移项得y＝2x－z，
由解得
设A(5,2)，显然当直线y＝2x－z 经过点A 时，
截距－z 最小，则z 最大，代入得z＝8.
15．已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.
答案 －2
解析 设{an}的公比为q(q≠0)，
则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，
显然an≠0，
则a4＝q2，即a1q3＝q2，
则a1q＝1，
因为a9a10＝－8，
则a1q8·a1q9＝－8，
则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，
则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2.
16．设a∈(0,1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x 在(0，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是
________．
答案
解析 由函数的解析式可得f′(x)＝axln a＋(1＋a)xln(1＋a)≥0 在区间(0，＋∞)上恒成立，
则(1＋a)xln(1＋a)≥－axln a，
即x≥－在区间(0，＋∞)上恒成立，
而y＝x在区间(0，＋∞)上单调递增，
故0＝1≥－，
而1＋a∈(1,2)，故ln(1＋a)>0，
故即
故≤a<1，
结合题意可得实数a 的取值范围是.
三、解答题
17．某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10 次配对试验，每次
配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺
处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记
为xi，yi(i＝1,2，…，10)．试验结果如下：
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2.
(1)求，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著
提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩
率有显著提高，否则不认为有显著提高)．
解 (1)由题意得zi＝xi－yi 的值分别为9,6,8，－8,15,11,19,18,20,12，
则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－
11)2＋(12－11)2]
＝61.
(2)由(1)知，＝11,2＝2＝，
故有≥2，
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
18．在△ABC 中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1)求sin∠ABC；
(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC 的面积．
解 (1)由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC
＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7，
则BC＝，
由正弦定理可得
sin∠ABC＝＝＝.
(2)由三角形面积公式可得
＝＝4，
则S△ACD＝S△ABC
＝×＝.
19.如图，三棱锥P－ABC 中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC 的中点
分别为D，E，O，AD＝DO，点F 在AC 上，BF⊥AO.
(1)证明：EF∥平面ADO；
(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；
(3)求二面角D－AO－C 的正弦值．
(1)证明 设AF＝tAC，
则BF＝BA＋AF＝(1－t)BA＋tBC，
AO＝－BA＋BC，
因为BF⊥AO，
所以BF·AO＝[(1－t)BA＋tBC]·
＝(t－1)BA2＋tBC2＝4(t－1)＋4t＝0，
解得t＝，
则F 为AC 的中点．
又D，E，O 分别为PB，PA，BC 的中点，
于是EF∥PC，DO∥PC，
所以EF∥DO，
又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，
所以EF∥平面ADO.
(2)证明 由(1)可知EF∥DO，
由题意可得AO＝＝，DO＝PC＝，
所以AD＝DO＝，
因此DO2＋AO2＝AD2＝，
则DO⊥AO，所以EF⊥AO，
又AO⊥BF，BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF，
则有AO⊥平面BEF，
又AO⊂平面ADO，
所以平面ADO⊥平面BEF.
(3)解 方法一 如图，过点O 作OH∥BF 交AC 于点H，
设AD∩BE＝G，连接DH，GF，
由AO⊥BF，得OH⊥AO，且FH＝AH，
又由(2)知，OD⊥AO，
则∠DOH 为二面角D－AO－C 的平面角，
因为D，E 分别为PB，PA 的中点，
因此G 为△PAB 的重心，
即有DG＝AD，GE＝BE，
又FH＝AH，
即有DH＝GF，
cos∠ABD＝＝，
解得PA＝，
同理得BE＝，
因为AC＝＝2，
所以BF＝AC＝，
于是BE2＋EF2＝BF2＝3，
即有BE⊥EF，
则GF2＝2＋2＝，
从而GF＝，DH＝×＝，
在△DOH 中，OH＝BF＝，OD＝，DH＝，
于是cos∠DOH＝＝＝－，
sin∠DOH＝＝，
所以二面角D－AO－C 的正弦值为.
方法二 如图，以B 为坐标原点，BA，BC 所在直线分别为x，y 轴，建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(2,0,0)，O(0，，0)，AO＝(－2，，0)．
因为PB＝PC，BC＝2，
所以设P(x，，z)，z>0，
则BE＝BA＋AE＝BA＋AP
＝(2,0,0)＋(x－2，，z)
＝，
由(2)得AO⊥BE，
所以AO·BE＝(－2，，0)·＝0，
所以x＝－1，
又PB＝，BP＝(x，，z)，
所以x2＋2＋z2＝6，
所以z＝，
则P(－1，，)．
由D 为PB 的中点，得D，
则AD＝.
设平面DAO 的法向量为n1＝(a，b，c)，
则即
得b＝a，c＝a，
取a＝1，则n1＝(1，，)．
易知平面CAO 的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
设二面角D－AO－C 的大小为θ，
则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，
所以sin θ＝＝，
故二面角D－AO－C 的正弦值为.
20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2,0)在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)过点(－2,3)的直线交C 于P，Q 两点，直线AP，AQ 与y 轴的交点分别为M，N，证明：
线段MN 的中点为定点．
(1)解 由题意可得解得
所以椭圆C 的方程为＋＝1.
(2)证明 由题意可知，直线PQ 的斜率存在，如图，
设B(－2,3)，直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立方程
消去y 得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，
则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，
解得k<0，
可得x1＋x2＝－，
x1x2＝，
因为A(－2,0)，
则直线AP：y＝(x＋2)，
令x＝0，解得y＝，
即M，
同理可得N，
则＝＋
＝
＝
＝
＝＝3，
所以线段MN 的中点是定点(0,3)．
21．已知函数f(x)＝ln(1＋x)．
(1)当a＝－1 时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b 对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，
说明理由；
(3)若f(x)在(0，＋∞)上存在极值，求a 的取值范围．
解 (1)当a＝－1 时，f(x)＝ln(x＋1)，
则f′(x)＝－ln(x＋1)＋，
据此可得f(1)＝0，f′(1)＝－ln 2，
所以函数在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)，
即(ln 2)x＋y－ln 2＝0.
(2)由函数的解析式可得f ＝(x＋a)ln，
令u(x)＝(x＋a)ln，
函数u(x)的定义域满足＋1＝>0，
即函数的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
定义域关于直线x＝－对称，由题意可得b＝－，
由对称性可知u＝u，
取m＝可得u(1)＝u(－2)，
即(a＋1)ln 2＝(a－2)ln＝(2－a)ln 2，
则a＋1＝2－a，解得a＝，
经检验，a＝，b＝－满足题意，
故存在a＝，b＝－满足题意．
(3)由题意知f′(x)＝－ln(x＋1)＋
＝－.
令h(x)＝ln(x＋1)－，
则h(0)＝0，
h′(x)＝－，
当a≥时，h′(x)<0 在(0，＋∞)上恒成立，
故h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以h(x)<h(0)＝0，即f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)不存在极值；
当a≤0 时，h′(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，
故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)>h(0)＝0，即f′(x)<0，
所以f(x)在(0，＋∞)不存在极值；
当0<a<时，h′(x)在上大于0，
故h(x)在上单调递增，
且h>h(0)＝0，
所以f′<0.
又f′(x)＝－
＝－
>－
＝，
令g(x)＝ax－ln(x＋1)，
则当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
故必存在x0∈(0，＋∞)，使得g(x0)>0，
所以f′(x0)>0，
由零点存在定理知符合题意．
综上，a 的取值范围为.
四、选做题
【选修4－4】(10 分)
22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1
的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C2：.
(1)写出C1的直角坐标方程；
(2)若直线y＝x＋m 既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求m 的取值范围．
解 (1)因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ，
可得x2＋y2＝2y，
整理得x2＋(y－1)2＝1，表示以(0,1)为圆心，1 为半径的圆，
又因为x＝ρcos θ＝2sin θcos θ＝sin 2θ，y＝ρsin θ＝2sin2θ＝1－cos 2θ，
且≤θ≤，
则≤2θ≤π，
则x＝sin 2θ∈[0,1]，y＝1－cos 2θ∈[1,2]，
故C1：x2＋(y－1)2＝1，x∈[0,1]，y∈[1,2]．
(2)因为C2：，
整理得x2＋y2＝4，表示圆心为O(0,0)，半径为2，且位于第二象限的圆弧，
曲线C1，C2在平面直角坐标系中的图象如图所示，若直线y＝x＋m 过点(1,1)，
则1＝1＋m，解得m＝0；
若直线y＝x＋m，即x－y＋m＝0 与C2相切，
则解得m＝2，
故直线y＝x＋m 与C1，C2均没有公共点时，
m>2 或m<0，
即实数m 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
【选修4－5】(10 分)
23．已知f(x)＝2|x|＋|x－2|.
(1)求不等式f(x)≤6－x 的解集；
(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组所确定的平面区域的面积．
解 (1)依题意，f(x)＝
不等式f(x)≤6－x 化为
或
或
解无解；
解得0≤x≤2；
解得－2≤x<0，
因此－2≤x≤2，
所以原不等式的解集为[－2,2]．
(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(包含边界)所示，
由
解得A(－2,8)，
由 解得C(2,4)，
又B(0,2)，D(0,6)，
所以△ABC 的面积
S△ABC＝|BD|×|xC－xA|
＝×|6－2|×|2－(－2)|＝8.
