2025《高考数学真题一卷和二卷》学生版_2025高考真题

精精准准备备考考，，点点面面结结合合 强强化化巩巩固固，，熟熟能能生生巧巧 2025 年高考 数学真题卷2025年普通高等学校招生全国统一考试 [新课标Ⅰ卷]1 2025年普通高等学校招生全国统一考试 [新课标Ⅱ卷]8 选择大于努力 知行成就未来绝密★启用前 22002255年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试 数数 学学 类 型：新课标Ⅰ卷 命 制：教育部教育考试院 适 用：浙江、山东、江苏、河北、福建、湖北、湖南、广东、江西、安徽、河南 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。 1 1+5i 1  i 的虚部为 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 6 2 设全集 U=x∣x<9,x∈Z +  ,集合 A={1,3,5} ,则 ∁ A 中元素个数为 ( ) U A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 3 若双曲线 C 的虚轴长为实轴长的 7 倍,则 C 的离心率为 ( ) A. 2 B. 2 C. 7 D. 2 2 4 若点 a,0  a>0  π 是函数 y=2tanx- 3  的图象的一个对称中心,则 a 的最小值为 ( ) π π π 4π A. B. C. D. 6 3 2 3 5 设 fx  是定义在 R 上且周期为 2 的偶函数,当 2≤x≤3 时, fx  3 =5-2x ,则 f- 4  = ( ) 1 1 1 1 A. - B. - C. D. 2 4 4 26 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速 对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和．其中行船风速对应的向量与船速对应的 向量大小相等，方向相反,表中给出了部分风力等级、风速大小与名称的对应关系,已知某帆船运动员在某时 刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位m/s)，则其风速 等级是 级别 名称 风速 y 2 轻风 1.6~3.3 3 风 风 速 视 2 3 微风 3.4~5.4 船速 1 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 0 1 2 3 x A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 7 若圆 x2+y+2 2  2=r2r>0  上到直线 y= 3x+2 距离为1的点有且仅有 2 个,则r的取值范围是 ( ) A. (0,1) B. (1,3) C. 3,+∞  D. 0,+∞  8 若实数 x,y,z 满足 2+log x=3+log y=5+log z ,则 x,y,z 的大小关系不可能是 ( ) 2 3 5 A. x>y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分。 9 在正三棱柱 ABC-ABC 中, D 为 BC 中点,则 ( ) 1 1 1 A. AD⊥AC B. BC⊥ 平面 AAD C. CC ⎳ 平面 AAD D. AD⎳AB 1 1 1 1 ! 1 1 3 10 设抛物线 C：y2=6x 的焦点为 F ,过 F 的直线交 C 于A、B ,过F且垂直于AB 的直线交l：x=- 于 2 E ,过 A 作l的垂线,垂足为 D ,则 ( ) A. AD=AF B. AE=AB C. AB≥6 D. AE⋅BE≥18 1 1 11 已知 △ABC 的面积为 ,若 cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC= ,则 ( ) 4 4 6 A. sinC=sin2A+sin2B B. AB= 2 C. sinA+sinB= D. AC2+BC2=3 2 3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12 若直线 y=2x+5 是曲线 y=ex+x+a 的切线,则 a= . 13 若一个等比数列的前 4 项和为 4 , 前 8 项和为 68 , 则该等比数列的公比为 . 14 一个箱子里有 5 个球,分别以 1 ~5 标号,若有放回取三次,记至少取出一次的球的个数 X , 则 EX 4  = . 四、解答题：本题共5小题，共77分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 (本小题 13 分) 调查 1000 人是否患某疾病与超声波检测结果的 2×2 到联表如下: 检测结果是否患病 正常 不正常 合计 患病 20 180 200 不患病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)若检测结果不正常者患病的概率为 p ,求 p 的估计值； (2)能否根据小概率 α=0.001 的 χ2 独立性检验认为样本数据中超声波检测结果是否患该疾病有关? nad-bc 附: χ2=  2 a+b  c+d  a+c  b+d  Pχ2≥k ，  0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.82816 (本小题 15 分) 设数列 a n 5  a a 1 满足 n+1 = n + n n+1 nn+1  . (1) 证明: na n  为等差数列; (2)设 fx  =a 1 x+a 2 x2+⋯+a m xm ,求 f2  . 17 (本小题 15 分) 如图所示的四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD,BC⎳AD,AB⊥AD . (1) 证明: 平面 PAB⊥ 平面 PAD ; (2) 若 PA=AB= 2,AD= 3+1,BC=2,P,B,C,D 在同一个球面上,设该球面的球心为 O . (i) 证明: O 在平面 ABCD 上; P (ii) 求直线 AC 与直线 PO 所成角的余弦值. A D B C18 (本小题 17 分) x2 y2 设椭圆 C： + =1a>b>0 a2 b2 6  ,记 A 为椭圆下端点, B 为右端点, AB= 10 ,且椭圆 C 的 2 2 离心率为 . 3 (1) 求椭圆的标准方程: (2) 设点Pm,n  . R 是射线 AP 上一点. (i) 若P不在 y 轴上, AR⋅AP=3 ,用 m,n 表示点R的坐标; (ii)设O为坐标原点, Q 是C上的动点,直线 OR 的斜率是直线 OP 的斜率的 3 倍,求 PQ 的最大值.19 (本小题 17 分) 设函数 fx 7  =5cosx-cos5x . (1) 求 fx  π 在  0,  4  的最大值: (2) 给定 θ∈0,π  ,a 为给定实数,证明: 存在 y∈a-θ,a+θ  ,使得 cosy≤cosθ ; (3) 若存在 φ ,使得对任意 x ,都有 5cosx-cos5x+φ  ≤b ,求 b 的最小值.绝密★启用前 22002255年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试 数数 学学 类 型：新课标Ⅱ卷 命 制：教育部教育考试院 适 用：重庆、黑龙江、吉林、辽宁、山西、海南、广西、四川、内蒙古、云南、贵州、 甘肃、新疆、西藏、新疆、青海、宁夏 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。 1 样本数据2，8，14，16，20的平均数为 ( ) A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 1 2 已知z=1+i,则 = ( ) z-1 A. -i B. i C. -1 D. 1 3 已知集合 A={-4，0，1，2，8}，B=x∣x3=x 8  ,则 A∩B= ( ) A. {0，1，2} B. {1，2，8} C. {2，8} D. {0，1} x-4 4 不等式 ≥2 的解集是 ( ) x-1 A. {x∣-2≤x≤1} B. {x∣x≤-2} C. {x∣-2≤x<1} D. {x∣x>1} 5 在 △ABC 中，BC=2，AC=1+ 3，AB= 6，则 A= ( ) A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°6 设抛物线 C：y2=2pxP>0 9  的焦点为F,点A在 C 上,过 A 作 C 准线的垂线,垂足为B. 若直线 BF的方 程为 y=-2x+2 ,则 AF= ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7 记S 为等差数列 a n n  的前 n 项和，若 S =6，S =-5 ,则 S = ( ) 3 5 6 A. -20 B. -15 C. -10 D. -5 α 5 π 8 已知 0<α<π,cos = ,则 sinα- 2 5 4  = ( ) 2 2 3 2 7 2 A. B. C. D. 10 5 10 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分。 9 记 S 为等比数列 a n n  的前 n 项和, q 为 a n  的公比, q>0 . 若 S =7.a =1 ,则 ( ) 3 3 1 1 A. q= B. a = C. S =8 D. a +S =8 2 5 9 5 n n 10 已知 fx  是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时, fx  =x2-3  ex+2 ,则 ( ) A. f0  =0 B. 当 x<0 时, fx  =-x2-3  e-x-2 C. fx  ≥2 ,当且仅当 x≥ 3 D. x=-1 是 fx  的极大值点x2 y2 11 双曲线 C: - =1a>0,b>0 a2 b2 10  的左、右焦点分别是 F，F ,左、右顶点分别为 A ,A ,以FF 为直径的 1 2 1 2 1 2 5π 圆与曲线C 的一条渐近线交于M,N 两点,且∠NAM= ,则 ( ) 1 6 π A. ∠A 1 MA 2 = 6 B. MA 1=2MA 2 C. C 的离心率为 13 D. 当a= 2时,四边形NAMA 的面积为8 3 1 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。  12 已知平面向量a=x,1   ,b=x-1,2x     ,若a⊥a-b   ,则a= . 13 若 x=2 是函数fx  =x-1  x-2  x-a  的极值点,则 f0  = . 14 一个底面半径为4cm ,高为9cm 的封闭圆柱形容器 (容器壁厚度忽略不计) 内有两个半径相等的铁球, 则 铁球半径的最大值为 cm . 四、解答题：本题共5小题，共77分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 (13 分) 已知函数 fx  =cos2x+φ  0≤φ<π  ,f0  1 = . 2 (1) 求 φ ； ( 2 )设函数 gx  =fx  π +fx- 6  ,求 gx  的值域和单调区间.16 (15 分) x2 y2 已知椭圆 C: + =1a>b>0 a2 b2 11  2 的离心率为 ,长轴长为 4, 2 (1) 求 C 的方程; (2) 过点(0, - 2)的直线 l 与 C 交于 A、B 两点, O 为坐标原点. 若 △OAB 的面积为 2 ,求 AB . 17 (15分) 如图,四边形 ABCD 中, AB⎳CD,∠DAB=90° , F 为CD 中点, E 在 AB 上, EF⎳AD , AB=3AD，CD= 2AD ,将四边形 EFDA 沿 EF 翻折至四边形 EFDA ,使得面 EFDA 与面 EFCB 所成的二面角为 60° . (1)证明: AB⎳ 平面 CDF . D (2) 求面BCD 与面EFDA 所成二面角的正弦值. A D F C A E B18 (17 分) 已知函数 fx 12  =ln1+x  1 1 -x+ x2-kx3 ,其中 0