2025《高考数学真题一卷和二卷》教师版_2025高考真题

精精准准备备考考，，点点面面结结合合
强强化化巩巩固固，，熟熟能能生生巧巧
2025 年高考
数学真题卷2025年普通高等学校招生全国统一考试
[新课标Ⅰ卷]1
2025年普通高等学校招生全国统一考试
[新课标Ⅱ卷]8
选择大于努力
知行成就未来绝密★启用前
22002255年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试
数数 学学
类 型：新课标Ⅰ卷
命 制：教育部教育考试院
适 用：浙江、山东、江苏、河北、福建、湖北、湖南、广东、江西、安徽、河南
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。
1 1+5i
1
 i 的虚部为 ( C )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
解：1+5i  i = i+5i2=i-5
2 设全集 U=x∣x<9,x∈Z
+
 ,集合 A={1,3,5} ,则 ∁ A 中元素个数为 ( C )
U
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
解：C A ={2,4,6,7,8}，共有 5 个元素,故选 C
U
3 若双曲线 C 的虚轴长为实轴长的 7 倍,则 C 的离心率为 ( D )
A. 2 B. 2 C. 7 D. 2 2
b2
解：∵b= 7a，∴e= 1+ = 8=2 2，故选 D
a2
4 若点 a,0  a>0 
π
是函数 y=2tanx-
3
 的图象的一个对称中心,则 a 的最小值为 ( B )
π π π 4π
A. B. C. D.
6 3 2 3
π
解：函数 y=2tanx-
3

π kπ
图像的对称中心为 + ,0
3 2
 ,k∈Z
π
又∵a>0 ,∴a的最小值为 ,故选B
3
5 设 fx  是定义在 R 上且周期为 2 的偶函数,当 2≤x≤3 时, fx 
3
=5-2x ,则 f-
4
 = ( A )
1 1 1 1
A. - B. - C. D.
2 4 4 2
解：∵f-x  =fx  ,fx+2  =fx 
3
,f-
4

3
=f
4

3
=f +2
4

11
=f
4

11 1
= 5-2× =- ,选 A
4 26 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速
对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和．其中行船风速对应的向量与船速对应的
向量大小相等，方向相反,表中给出了部分风力等级、风速大小与名称的对应关系,已知某帆船运动员在某时
刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位m/s)，则其风速
等级是
级别 名称 风速 y
2 轻风 1.6~3.3 3 风 风 速
视
2
3 微风 3.4~5.4
船速
1
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7 0 1 2 3 x
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风

解：视风风速a=0,2
2
 -3,3  =-3,-1 

,船速b=3,3  -2,0  =1,3 
  
∴真风风速n=b+a=-3,-1  +1,3  =-2,2 

,真风速大小n  =2 2≈2.828
7 若圆 x2+y+2  2=r2r>0  上到直线 y= 3x+2 距离为1的点有且仅有 2 个,则r的取值范围是 ( B )
A. (0,1) B. (1,3) C. 3,+∞  D. 0,+∞ 
解：设与直线y= 3x+2平行的直线为y= 3x+m，让两条直线之间的距离为1，则有：
m-2
=1
3+1
 m=0,或m=4
即两条平行直线为l ：y= 3x，l ：y= 3x+4
1 2
如图，设圆心为C，当圆与l 相交时，圆上只有两交点A，B到直线l的距离为1
1
当圆与l 相交时，圆上有4个点到直线l的距离为1。
2
由此可知临界为相切D，E时取到。
设圆心C到l 距离为d ，圆心C到l 距离为d ，
1 1 2 2
2 2+4
d = =1,d = =3
1 3+1 2 3+1
∴r∈1,3 
y
l 2 l l 1
x
D B
E A C
故选 B
8 若实数 x,y,z 满足 2+log x=3+log y=5+log z ,则 x,y,z 的大小关系不可能是 ( B )
2 3 5
A. x>y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x
解：2+log x=3+log y=5+log z=k,
2 3 5
则 log x=k-2,x=2k-2，log y=k-3，y=3k-3log z=k-5，z=5k-5 ,
2 3 5
当 k=8 时, y>z>x,D 正确
1 1 1
当 k=0 时, x= ,y= ,z= ,x>y>z,A 正确
4 27 55
当 k=5 时, x=23=8,y=32=9,z=1,y>x>z,C 正确
设 2+log x=3+log y=5+log z=t
2 3 5
∴x=2t-2,y=3t-3,z=5t-5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分。
9 在正三棱柱 ABC-ABC 中, D 为 BC 中点,则 ( BD )
1 1 1
A. AD⊥AC B. BC⊥ 平面 AAD C. CC ⎳ 平面 AAD D. AD⎳AB
1 1 1 1 ! 1 1
解：设D 为BC 的中点
1 1 1
①由题得AD⊥AA,若AD⊥AC,则AD⊥平面AAC,则AD⊥AC,矛盾！A错误；
1 1 1
②由题得AD⊥BC, AA ⊥BC ,则BC⊥平面AAD ,故B正确；
1 1
③由题得AD⎳AD,若 AD⎳AB ,则AD ⎳AB ,矛盾！故C不正确；
1 1 1 1 1 1 1 1
④由题得CC ⎳AA,又 CC 不在面AAD上,故CC ⎳平面AAD ,故D正确；
1 1 1 1 1 1
3
10 设抛物线 C：y2=6x 的焦点为 F ,过 F 的直线交 C 于A、B ,过F且垂直于AB 的直线交l：x=- 于
2
E ,过 A 作l的垂线,垂足为 D ,则 ( ACD )
A. AD=AF B. AE=AB C. AB≥6 D. AE⋅BE≥18
解：A：由抛物线的定义知：AD=AF，A对.
3
B:考虑特殊情况，即通径时，取A ,3
2
3

3
，B ,-3
2

3
，此时，E- ,0
2

此时有AB=6,EF=3,此时 EF≠AB ,∴B错.
C:∵抛物线焦点弦性质可知：AB≥2p通径  =6，C对.
3 1 3
D：设AB：x=my+ 2 ，则EF:x=- m y+ 2 ，Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2 
3
,E- ,3m 2 
3
x=my+
联立 2  y2-6my-9=0
y2=6x
y 1 +y 2 =6m,y 1 y 2 =-9,x 1 +x 2 =my 1 +y 2  +3=6m2+3 ,
当m=0时，AE=BE=3 2，AE⋅BE=18
1 1 1
当m≠0 时, EF= 9+9m2，S = AE⋅BEsin∠AEB= AB⋅EF= 6m2+6
△AEB 2 2 2
 9+9m2>9
18
∴AE⋅BE> >18,综上AE⋅BE≥18, D对.
sin∠AEB
1 1
11 已知 △ABC 的面积为 ,若 cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC= ,则 ( ABC )
4 4
6
A. sinC=sin2A+sin2B B. AB= 2 C. sinA+sinB= D. AC2+BC2=3
2
解：cos2A+cos2B+2sinC=2⇒2sinC=1-cos2A+1-cos2B⇒2sinC=2sin2A+2sin2B ,
∴ sinC=sin2A+sin2B ,故 A 正确
a b c
= = =2R,a2+b2=c⋅2R≥c2 ,若 a2+b2>c2 ,即 △ABC 为锐角三角形,
sinA sinB sinC
π π π
则 A+B> ⇒A> -B ,则 sinA> sin -B
2 2 2
 ,即 sinA>cosB ,代 λsinC=sin2A+sin2B ,
有 sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1 ,矛盾,故 a2+b2=c2 ,
即 cosA+B 
1
=cosAcosB-sinAsinB=0⇒cosAcosB=sinAsinB= ,
4
1 1 1
∵ S= absinC= ⇒ab= ,
2 4 2
ab
∴ =2R
sinAsinB

c
2=2⇒2R= 2, =2R= 2⇒c= 2 ,故 B 正确;
sinC
sinA+sinB 
A C
D
B
A C
1 1
D
B 1
1
y
D
A
E
O F x
B
1 3 6
2=sin2Asin2B+2sinAsinB=sinC+ = ⇒sinA+sinB= ,故 C 正确;
2 2 2
AC 2+BC 2=AB 2=c2=2 ,故 D 错误. 故选择: ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12 若直线 y=2x+5 是曲线 y=ex+x+a 的切线,则 a= 4 .
解：y=ex+1 令 y=ex+1=2⇒x=0
代入 y=2x+5⇒ 切点为(0,5)
再将(0,5)代入 y=ex+x+a⇒a=4
13 若一个等比数列的前 4 项和为 4 , 前 8 项和为 68 , 则该等比数列的公比为 ±2 .
解：S =a +a +a +a =4
4 1 2 3 4
S =a +a +a +a +a +a +a +a
8 1 2 3 4 5 6 7 8
=a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +q4a 1 +a 2 +a 3 +a 4
4

=1+q4  a 1 +a 2 +a 3 +a 4  =41+q4  =68
⇒1+q4=17⇒q4=16⇒q=±2
14 一个箱子里有 5 个球,分别以 1 ~5 标号,若有放回取三次,记至少取出一次的球的个数 X ,
则 EX 
61
= 25 .
解：X可取1,2,3
PX=1 
5 1
= = ，PX=2
53 25

C2C1C1 12
= 5 2 3 = ，PX=3
53 25

5×4×3 12
= =
53 75
X 1 2 3
P 1 12 12
75 25 25
∴ EX 
1 12 12 61
=1× +2× +3× =
25 25 25 25
四、解答题：本题共5小题，共77分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 (本小题 13 分)
调查 1000 人是否患某疾病与超声波检测结果的 2×2 到联表如下:
检测结果是否患病 正常 不正常 合计
患病 20 180 200
不患病 780 20 800
合计 800 200 1000
(1)若检测结果不正常者患病的概率为 p ,求 p 的估计值；
(2)能否根据小概率 α=0.001 的 χ2 独立性检验认为样本数据中超声波检测结果是否患该疾病有关?
nad-bc
附: χ2=
 2
a+b  c+d  a+c  b+d 
Pχ2≥k
，
 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
180
解：(1) 超声波检查结果不正常患者有200人,患病有180人,∴ p= =0.9
1200
100020×20-180×780
(2) χ2=
 2 400-140400
=
800×200×200×800
 2 140000×140000
=
8×20×200×800 8×20×200×800
14000×14
= >10.828=χ
8×2×2×8 0,001
∴说认为样本数据中超声波检测结果是患该疾病有关.16 (本小题 15 分)
设数列 a
n
5

a a 1
满足 n+1 = n +
n n+1 nn+1 
.
(1) 证明: na
n
 为等差数列;
(2)设 fx  =a 1 x+a 2 x2+⋯+a m xm ,求 f2  .
解：1 
a a 1 1 a 1 a 1
∵ n+1 = n + - ，∴ n+1 - = n -
n n+1 n n+1 n n n+1 n+1
a -1 a -1
n+1 = n  n+1 n n+1  a n+1 -n+1  =na n -n，∴ n+1  a -na =1,1×a =3 n+1 n 1
∴ na n  以 3 为首项, 1 为公差的等差数列.∴na n =3+n-1  ×1=n+2
(2)fx  =a 1 x+a 2 x2+a 3 x3+a 4 x4+⋯+a m xm，fx  =a +2a x+3a x2+4a x3+⋯+ma xm-1 1 2 3 4 m
xfx  =ax+2a x2+3a x3+4a x4+⋯+ma xm 1 2 3 4 m
1-x  fx  =a 1 +x+x2+x3+x4+⋯+xm-1-ma m xm，1-x  fx 
x1-xm-1
=a + 1

-ma ⋅xm 1-x m
令 x=-2 .-2 
-2 1--2
=3+
 m-1  
-m+2
3
 ⋅-2  m
f-2 
-2 1--2
=1+
 m-1   m+2
-
9

⋅-2
3

7 -2
m= -
9
 m m+2
-
9

⋅-2
3
 m
7 1 m+2
= - +
9 9 3
 ⋅-2  m.
17 (本小题 15 分)
如图所示的四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD,BC⎳AD,AB⊥AD .
(1) 证明: 平面 PAB⊥ 平面 PAD ;
(2) 若 PA=AB= 2,AD= 3+1,BC=2,P,B,C,D 在同一个球面上,设该球面的球心为 O .
(i) 证明: O 在平面 ABCD 上;
(ii) 求直线 AC 与直线 PO 所成角的余弦值.
解：(1) ∵PA⊥ 面 ABCD AB⊂ 面 ABCD ∴ AB⊥PA
又 ∵AB⊥AD且 PA∩AD=A∴ AB⊥ 面 PAD
又 ∵AB⊂ 面 PAB∴面 PAB⊥ 面 PAD
取 PB 中点 M,PC 中点 N,AH=1
(2) i  ∵PA⊥ 面 ABCDBC⊂ 面 ABCD∴ BC⊥PA
BC⊥ADPA∩AD=A∴ BC⊥PB .
∴ △PBC 截面圆的圆心为 PC 中点 N∴ PA=AB= 2
又 ∵AM⊥PB,AM⊥BC,PB∩BC=B .∴ AM⊥ 面 PBC
四边形 AHNM 为平行四边形∴ HN⊥ 面 PBC ,球心在直线 NH 上
又 ∵HB=HC=HD= 3 .∴ H 即为球心 O .
法二：设 △BCD 外接圆圆心为 O ,易知 BC 中垂线为 y=1;BD中垂线
1
2
为 y= 3+1 x+1,联立解得 O 10,1,0  ,由于 PO = 3,BO = 3 ,∴ 1 1
PO =BO ,此时 O 与 O 重合,故 O 在平面 ABCD 上.
1 1 1
(ii)由 (1),(2) 知,建立如图所示坐标系 A-xyz，
A0,0,0  ,C 2,2,0  ,P0,0, 2  ,O0,1,0 

AC= 2,2,0 

，PO=0,1,- 2 
P
A
D
B C
z
P
A D
y
x
B C
 
  AC⋅PO 2 2 2
cos‹AC,PO›=   = = = .
ACPO 6⋅ 3 3 2 3
2
∴ AC 与 PO 的夹角余弦值为 .
318 (本小题 17 分)
x2 y2
设椭圆 C： + =1a>b>0
a2 b2
6
 ,记 A 为椭圆下端点, B 为右端点, AB= 10 ,且椭圆 C 的
2 2
离心率为 .
3
(1) 求椭圆的标准方程:
(2) 设点Pm,n  . R 是射线 AP 上一点.
(i) 若P不在 y 轴上, AR⋅AP=3 ,用 m,n 表示点R的坐标;
(ii)设O为坐标原点, Q 是C上的动点,直线 OR 的斜率是直线 OP 的斜率的 3 倍,求 PQ 的最大值.
解：1 
a2=b2+c2
c 2 2 
= .AB=a2+b2=10， c 2 2
a 3 =
a 3
x2
∴ a=3,b=1,c=2 2 .∴ C 的方程: +y2=1 .
9
(2) i  由题可知直线 AP 斜率存在,设其为 k ,则直线 AP 的方向向量为(1, k),

故可设 AP=λ 11,k 

,AR=λ 21,k  ,
 
∵点 R 在射线 AP 上,故 λ 1 λ 2 >0 ,∴AP⋅AR=λ 1 λ 21+k2  =3,

AP=m,n+1 

,AR=x ,y +1
R R
 ,
m=λ 1 n+1=λk
1
x =λ R 2
y +1=λ k R 2 λ 1 λ 21+k2 
λ =m 1
n+1
k=
⇒ m
3 λ = =3 2 λ 11+k2 
    
 
 
      
3
x =λ =
R 2 λ 11+k2 
3
=
m+1 m 1+
m
  2 


3m
=
m2+n+1 
3m
=
2 m2+n+1  2
n+1 3m
y =kλ = ×
R 2 m m2+n+1 
3n+1
-1=
2

m2+n+1 
-1
2
3m
∴ R 的坐标为
m2+n+1 
3n+1
,
2

m2+n+1 
 -1
2
 .
 
法二：AP⋅AR=3，令 AR=tAP,t>0 .
 
AP⋅AR=tAP⋅AP=3，∴ t m2+n+1  2  
3
=3，∴ t=
m2+n+1 
，设 Rx,y
2

 
,AR=tAP
x,y+1 
3
=
m2+n+1 
m,n+1
2

3m
，∴ x=
m2+n+1 
3n+1
,y=
2

m2+n+1 
-1
2
3m
∴R
m2+n+1 
3n+1
,
2

m2+n+1 
 -1
2

3n+1
(ii)k =
OR

m2+n+1 
-1
2
3m
m2+n+1 
3n+1
=
2
 -m2-n+1  2 n
,k =
3m OP m
3n 3n+1
∴ =
m
 -m2-n+1  2
9n=3n+3-m2-n2-2n-1m2+n2+8n-2=0
3m
m2+n+4  2=18  P 在以(0, - 4)为圆心, 3 2 半径的圆上.
PQ =P到圆心(0, - 4)的距离d + 半径r
max
设Q3cosθ,sinθ  ,θ∈0,2π  ,
∴d= 3cosθ  2+sinθ+4  2= 9cos2θ+sin2θ+8sinθ+16= -8sin2θ+8sinθ+25
令 t=sinθ ∴ t∈-1,1 
y
B x
A
R P
8 1
，y=-8t2+8t+25，当t 0 = 16 = 2 时,PM max = 27+3 2=3 3+3 2.19 (本小题 17 分)
设函数 fx
7
 =5cosx-cos5x .
(1) 求 fx 
π
在  0,
 4
 的最大值:
(2) 给定 θ∈0,π  ,a 为给定实数,证明: 存在 y∈a-θ,a+θ  ,使得 cosy≤cosθ ;
(3) 若存在 φ ,使得对任意 x ,都有 5cosx-cos5x+φ  ≤b ,求 b 的最小值.
解：(1)fx  =5sin5x-sinx  =5 sin3x+2x  -sin3x-2x    =10cos3x⋅sin2x,
令 fx 
π
=0 ,∵ x∈ 0,
 4

π
,解得 x=0 或 .
6
π
结合单调性可知,当 x∈0,
6
 时, fx  >0,fx 
π π
单调递增; 当 x∈ ,
6 4
 时, fx  <0 ,
fx  单调递减. 故 fx 
π
=f
max 6
 =3 3 .
(2) 证明: 不妨设 a∈[0,2π) ,令 gy  =cosy-cosθ ,则ga  =cosa-cosθ .
只需证明: gy  ≤0 .
而 ga-θ 
θ θ
=-2sin sin -a
2 2

θ
=2sina-
2

θ
sin ,
2
ga+θ 
θ
=-2sina+
2

θ
sin ,
2
(i) 若 a-θ<θ<a+θ ,则 a<2θ .
令 y=θ∈a-θ,a+θ  ,则 cosy≥cosθ ;
(ii) 若 θ≤a-θ,a≥2θ ,令 y=a-θ ,则 y∈0,π  且 y∈a-θ,a+θ  ,cosy≥cosθ .
由周期性, ∀a∈ 2kπ,2k+1   π  k∈Z  ,上述结论都成立.
综上,存在 y∈a-θ,a+θ  ,使得 cosy≤cosθ .
(3) 令 hx  =5cosx-cos5x+φ  ,hx  =-5sinx+5sin5x+φ  ,
由于 hx  周期为 2π ,不妨设 x∈-π,π  ,φ∈-π,π  ,
因为 hx  连续且处处可导,所以 hx  最大值在极值点处取到,
令 hx  =0,sin5x+φ  =sinx ,所以 5x+φ=x+2kπ 或 5x+φ=π-x+2k π , 1 2
φ kπ π φ k π
所以 x=- 4 + 2 1 或 x= 6 - 6 + 3 2 k 1 ,k 2 ∈Z  ,
φ kπ
当 x=- + 1 时, hx
4 2

φ k
=5cosx-cosx=4cosx=4cos- + 1 π
4 2
 ,
π φ k π
当 x= - + 2 ,hx 6 6 3  =5cosx-cosπ-x+2k 2 π 
π φ k
=6cosx=6cos - + 2 π 6 6 3  ,
所以 hx 
φ k
=max 4cos- + 1 π max 4 2 
π φ k
,6cos - + 2 π 6 6 3     ,
φ k
显然 4cos- + 1 π
4 2
 ≤4 ,记 qφ 
π φ k
=6cos - + 2 π
6 6 3
 ,
取值情况最多有 6 种,相当于 px 
π φ π φ
=6cosx 图象上以 A - ,p -
6 6 6 6
  
π
为起点,横坐标以 为跨
3
度,往后总共取 6 个点,由 px  图象可知, φ=0 时, qφ  取最小值 3 3,3 3>4 ,
所以 b≥5cosx-cos5x+φ  ,所以 b≥qφ  =3 3 ,
min
此时 hx 
π
≤3 3 恒成立,且 x=± 时取等号,所以 b 的最小值为 3 3 .
6绝密★启用前
22002255年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试
数数 学学
类 型：新课标Ⅱ卷
命 制：教育部教育考试院
适 用：重庆、黑龙江、吉林、辽宁、山西、海南、广西、四川、内蒙古、云南、贵州、
甘肃、新疆、西藏、新疆、青海、宁夏
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。
1 样本数据2，8，14，16，20的平均数为 ( C )
A. 8 B. 9 C. 12 D. 18
 2+8+14+16+20
解：x= =12
5
1
2 已知z=1+i,则 = ( A )
z-1
A. -i B. i C. -1 D. 1
1 1 1
解： = = =-i
z-1 1+i-1 i
3 已知集合 A={-4，0，1，2，8}，B=x∣x3=x
8
 ,则 A∩B= ( D )
A. {0，1，2} B. {1，2，8} C. {2，8} D. {0，1}
解：∵ A={-4,0,1,2,8},B=x∣x3=x  ={-1,0,1} ,∴ A∩B={0,1}
x-4
4 不等式 ≥2 的解集是 ( C )
x-1
A. {x∣-2≤x≤1} B. {x∣x≤-2} C. {x∣-2≤x<1} D. {x∣x>1}
x-4
解：法一：设不等式 ≥2的解集为D ,则1∉D,-1.5∈D.
x-1
x-4 x-4 -x-2
法二 ≥2⇔ -2≥0⇔ ≥0⇔-x+2
x-1 x-1 x-1
 x-1  ≥0 且 x-1≠0⇔-2≤x<1.
5 在 △ABC 中，BC=2，AC=1+ 3，AB= 6，则 A= ( A )
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
π π
解：法一：∵ BC<AC,BC<AB ，三边相等时，A= ,∴ A< ，结合选项可知A正确
3 3
AC2+AB2-BC2 1+ 3
法二：cosA= =
2AC⋅AB
 2+ 6  2-22
2×1+ 3 
2 3+3
=
× 6

2 2 3+3 
2
= ,A∈0,π
2

π
,故 A= .
46 设抛物线 C：y2=2pxP>0
9
 的焦点为F,点A在 C 上,过 A 作 C 准线的垂线,垂足为B. 若直线 BF的方
程为 y=-2x+2 ,则 AF= ( C )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解：由题可得F1,0 
p
，故 =1 p=2  C：y2=4x
2
∴B-1,4  ，而抛物线 C 的方程为 y2=4x
∴A4,4  AF=5
7 记S 为等差数列 a
n n
 的前 n 项和，若 S =6，S =-5 ,则 S = ( B )
3 5 6
A. -20 B. -15 C. -10 D. -5
解：S 为等差数列a n n 
S
的前n项和,故 n  n  为等差数列,该等差数列的公差为d
S S 3 S S 3
5 - 3 =2d  d =-  6 = 5 +d =-1-  S =-15.
5 3 1 1 2 6 5 1 2 6
α 5 π
8 已知 0<α<π,cos = ,则 sinα-
2 5 4
 = ( D )
2 2 3 2 7 2
A. B. C. D.
10 5 10 10
解：∵ α∈0,π 
α 5 α 3 4
，cos = ,∴ cosα=2cos2 -1=- ，sinα=
2 5 2 5 5
π
sinα-
4

4 2 3
= × --
5 2 5

2 7 2
× =
2 10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分。
9 记 S 为等比数列 a
n n
 的前 n 项和, q 为 a
n
 的公比, q>0 . 若 S =7.a =1 ,则 ( AD )
3 3
1 1
A. q= B. a = C. S =8 D. a +S =8
2 5 9 5 n n
a a 1 1 1 1 1
解：S =a +a +a = 3 + 3 +a = + +1=7⇒ + -6=0⇒ +3
3 1 2 3 q2 q 3 q2 q q2 q q

1
 -2
q
 =0
1 1
又 q>0 ,则 =2q=
q 2
a 1 故a = 3 =4，a =4×
1 q2 n 2
 n-1 1 =
2
 n-3 1 ，S =8-
n 2
 n-3 ,
1 1
a =a q2= , S =8-
5 3 4 5 2

2 1
≠8,a +S =
n n 2

n-3 1
+8-
2

n-3
=8,综上 AD 正确.
10 已知 fx  是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时, fx  =x2-3  ex+2 ,则 ( ABD )
A. f0  =0 B. 当 x<0 时, fx  =-x2-3  e-x-2
C. fx  ≥2 ,当且仅当 x≥ 3 D. x=-1 是 fx  的极大值点
解：∵函数 fx  是定义在R上的奇函数,∴f0  =0，A正确
当x<0时, fx  =-f-x  =-x2-3  e-x-2，B正确;
当x>0时，fx  ≥2x2-3  ex≥0，设h(x)=x2-3  ex，h(x)=x2+2x-3  ex=x-3  x+1 
y A
B
F x
ex
h(x)实图
y
h(x)分布 h(x)单调  极  值  h(  1)  =  -  2e 
 h(0)=-3
-3 1 0 1 h(x)=0⇒x= 3 - 3 3 x
由图可知：C错误,D正确;x2 y2
11 双曲线 C: - =1a>0,b>0 a2 b2
10
 的左、右焦点分别是 F，F ,左、右顶点分别为 A ,A ,以FF 为直径的 1 2 1 2 1 2
5π
圆与曲线C 的一条渐近线交于M,N 两点,且∠NAM= ,则 ( ACD )
1 6
π
A. ∠A 1 MA 2 = 6 B. MA 1=2MA 2
C. C 的离心率为 13 D. 当a= 2时,四边形NAMA 的面积为8 3
1 2
5π π
解：由曲线对称性可知：NAMA 为平行四边形,∠NAM= ,∴∠AMA = ,A正确;
1 2 1 6 1 2 6
a π
在△MOA
2
中,OM=c,OA 2=a,由渐近线可得：cos∠MOA
2
=
c
,∴∠MA
2
O=
2
结合A选项可知：MA 1=2A
1
A 2=4a,∴MA 2=b=2 3a，B错误；
c2=a2+b2=13a2，e2=13，C正确；
当a= 2时,S =2ab=4 3a2=8 3，D正确.
NA1MA2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12 已知平面向量a=x,1 

,b=x-1,2x 
  
,若a⊥a-b 

,则a= 2 .
 
解：a-b=1,1-2x 
  
,a⊥a-b 
  
⇔a⋅a-b 

=0⇔x+1-2x=0⇒x=1,故a= 2
13 若 x=2 是函数fx  =x-1  x-2  x-a  的极值点,则 f0  = -4 .
解：∵ x=2 是函数 fx  =x-1  x-2  x-a  的极值点,∴ a=2 ,故 f0  =-4
14 一个底面半径为4cm ,高为9cm 的封闭圆柱形容器 (容器壁厚度忽略不计) 内有两个半径相等的铁球, 则
5
铁球半径的最大值为 2 cm .
解：作出轴截面如图：当两圆相切时半径最大。
两圆的公切点为圆矩形的中心，设铁球半径为r，r∈0,4  ,
9
在Rt△ABO 中，AO =4-r，AB= -r
1 1 2
则有：4-r 
9
2+ -r
2

2 5 29
=r2 ,解得: r= 或r= 舍
2 2
四、解答题：本题共5小题，共77分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 (13 分)
已知函数 fx  =cos2x+φ  0≤φ<π  ,f0 
1
= .
2
(1) 求 φ ；
( 2 )设函数 gx  =fx 
π
+fx-
6
 ,求 gx  的值域和单调区间.
解：(1) f0 
1 π
=cosφ= ,由 0≤φ<π ,故 φ= ;
2 3
(2) 由1  可知：fx 
π
=cos2x+
3
 ，∴gx  =fx 
π
+fx-
6

π
= 3cos2x+
6

π
=- 3sin(2x- )
3
故gx  的值域为 - 3, 3  ,
π π 5π
令 2kπ≤2x+ ≤π+2kπ ,解得 - +kπ≤x≤ +kπ ,
6 12 12
即 gx 
π 5π
的单调递减区间为  - +kπ, +kπ
 12 12
 ,k∈Z
同理可得 gx 
5π 11π
的单调递增区间为   +kπ, +kπ
12 12

y
M
F 1 A 1 A 2 F 2 x
N
A
O
1
B
O
2
,k∈Z16 (15 分)
x2 y2
已知椭圆 C: + =1a>b>0
a2 b2
11

2
的离心率为 ,长轴长为 4,
2
(1) 求 C 的方程;
(2) 过点(0, - 2)的直线 l 与 C 交于 A、B 两点, O 为坐标原点. 若 △OAB 的面积为 2 ,求 AB .
x2 y2
解：(1) a=2, b= 2,c= 2,椭圆方程为: + =1 ；
4 2
(2)设l：y=kx-2 ,点P0,-2  ,点Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ,
x2 y2
 + =1
联立  4 2 2k2+1
y=kx-2
 x2-8kx+4=0
8k 4
Δ=32k2-16， x +x = xx = >0 (两根同号)
1 2 2k2+1 1 2 2k2+1
2 2
由 Δ>0 ,可得 k> 或 k<- ,
2 2
1 1 Δ
S
△OAB
=S
△OPB
-S
△OPA
=
2
×2x 2-
2
×2x 1=x
2
-x 1=
2k2+1
= 2,
3 5
解得k2=
2
,AB= k2+1x
2
-x 1=
2
× 2= 5.
17 (15分)
如图,四边形 ABCD 中, AB⎳CD,∠DAB=90° , F 为CD 中点, E 在 AB 上, EF⎳AD , AB=3AD，CD=
2AD ,将四边形 EFDA 沿 EF 翻折至四边形 EFDA ,使得面 EFDA 与面 EFCB 所成的二面角为 60° .
(1)证明: AB⎳ 平面 CDF .
(2) 求面BCD 与面EFDA 所成二面角的正弦值.
解：(1)由EB⎳FC,AE⎳DF ,可得平面 AEB⎳ 平面 DFC ,
又由 AB⊂ 平面 AEB
故 AB⎳ 平面 DFC ;
(2)由 EF⊥AE 且 EF⊥EB ,
可知 AEB 即为二面角的平面角,为60°
不妨设AD=1在平面 AEB 内,由点A作 EB 垂线,垂足为O,
1 3
可证 AO⊥底面 EBCF，EO= ，OB= ，如图建系,
2 2

FE=1,0,0 

1 3
,EA=0, ,
2 2
 ,

设平面 EFDA 的法向量为 n 1 =x 1 ,y 1 ,z 1 
x =0
 1 
则有  1 3 ,取 y 1 =- 3，n 1 =0,- 3,1
y + z =0 2 1 2 1
 ;

CB=1,1,0 

3 3
, DB=1, ,-
2 2
 ,

设平面 BCD 的法向量为 n 2 =x 2 ,y 2 ,z 2 
x +y =0
 2 2 
则有  3 3 ,取 y 2 = 3 ,则 n 2 =- 3, 3,1
x + y - z =0
1 2 1 2 1

y
B
O x
A
P
D
A
D
F C
A E B
D
z
A
D
F C
A E O B y
x
 
n ⋅n 7 42
即平面 BCD 与平面 EFDA 成角 θ ,则有 cosθ=  1 2 = ,故 sinθ= .
n 1×n 2 7 718 (17 分)
已知函数 fx
12
 =ln1+x 
1 1
-x+ x2-kx3 ,其中 0<k< .
2 3
( 1 )证明: fx  在区间 0,+∞  存在唯一的极值点和唯一的零点；
( 2 )设 x 1 ,x 2 分别为 fx  在区间 0,+∞  的极值点和零点.
(i) 设函数 gt  =fx 1 +t  -fx 1 -t  ,证明: gt  在区间 0,x 1  单调递减;
(ii) 比较 2x 与 x 的大小,并证明你的结论.
1 2
解：( 1 )证明:∵ fx  =ln1+x 
1 1
-x+ x2-kx3,k∈0,
2 3
 ,
∴ fx 
1
= -1+x-3kx2
1+x
1-1-x+x+x2-3kx2-3kx3
=
1+x
-3kx2 1
= x+1-
1+x 3k
 ,
当 x>0 时,令 fx 
1
=0 ,解得 x= -1>0 ,
3k
1
∴当 0<x< -1 时, fx
3k
 >0, fx  单调递增;
1
当 x> -1 时, fx
3k
 <0,fx  单调递减,
1
∴ x= -1 是 fx
3k
 在 0,+∞  上唯一的极值点,是极大值点.
1
又∵ f -1
3k
 >f0 
1
=0, f
2k

1
=ln1+
2k

1
- <0 ,
2k
1 1
∴ ∃x ∈ -1, 2 3k 2k  , fx 2  =0 ,
即 x 2 是 fx  在 0,+∞  上唯一的零点;
(2)解:(i)∵ gt  =fx 1 +t  -fx 1 -t  ,
∴ gt  =fx 1 +t  +fx 1 -t 
= -3kx 1 +t  2 1+x +t x 1 +t-x 1
1
 + -3kx 1 -t  2 1+x -t x 1 -t-x 1
1

=3kt x 1 -t  2 + x 1 +t
1+x +t
1
 2  
  1+x -t
1

= 6kt2t2-x2 1 -2x 1 
1+x 1 
,
2-t2
∵ t∈0,x 1  ,∴ t2-x2 1 -2x 1 <0,1+x 1  2-t2>0 ,
∴ gt  = 6kt2t2-x2 1 -2x 1 
1+x 1 
<0 ,
2-t2
即 gt  在 t∈0,x 1  上单调递减;
(ii) 由 (i) 得, gt  在 t∈0,x 1  上单调递减,
∴ gx 1  <g0  ,
即 f2x 1  -f0  <fx 1  -fx 1  =0,f2x 1  <0 ,
∵ x 2 是 fx  的零点,∴ fx 2  =0 ,
∴ f2x 1  <fx 2  ,
又∵ x 2 >x 1 ,2x 1 >x 1 ,且 fx  在 x 1 ,+∞  上单调递减,
∴ 2x >x .
1 219 (17 分)
1
甲、乙两人进行兵兵球练习,每个球胜者得 1 分、负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 p <p<1
2
13
 ,乙胜的
概率为 q,p+q=1 ,且各球的胜负相互独立,对正整数 k≥2 ,记 p 为打完 k 个球后甲比乙至少多得 2 分的
k
概率, q 为打完 k 个的球后乙比甲至少多得 2 分的概率.
k
(1) 求 p ,p (用 p 示)
3 4
p -p
(2) 若 4 3 =4 ,求 p ;
q -q
4 3
(3) 证明: 对任意正整数 m,p -q <p -q <p -q .
2m+1 2m+1 2m 2m 2m+2 2m+2
解：(1)3 球后甲比乙至少多两分,只能是甲 3 分乙 0 分,因此 p =p3 ；
3
4 球后甲比乙至少多两分,可能是甲 4 分乙 0 分,或者甲 3 分乙 1 分,
因此 p 4 =C 4 3p3q+p4=4p3q+p4=4p31-p  +p4=4p3-3p4 .
(2)根据对称性,以及(1)的结果,可得 q =q3,q =4q3-3q4 .
3 4
p -p 4p3-3p4-p3 3p31-p
因此 4 3 = =
q -q 4q3-3q4-q3 4 3

3q31-q 
p3q p2
= = =4
q3p q2
p 2 1
因此 =2 ,又 p+q=1 ,故 p= ,q= .
q 3 3
2
答案为 p=
3
(3)记 a mx  表示 m 球甲得 x 分的概率
p 2m+1 =p 2m -q⋅a 2mm+1 
q 2m+1 =q 2m -p⋅a 2mm-1 
故 p 2m+1 -p 2m =-q⋅a 2mm+1 
q 2m+1 -q 2m =-p⋅a 2mm-1 
故要证: p -p <q -q
2m+1 2m 2m+1 2m
只需证: p⋅a 2mm-1  <q⋅a 2mm+1 
即只需证: p⋅pm-1⋅qm+1⋅Cm-1<q⋅pm+1⋅qm-1⋅Cm+1
2m 2m
即只需证: pmqm+1<qmpm+1
1
即 q<p . 由条件 q=1-p< <p ,故结论成立.
2
由
p 2m+2 =p 2m+1 +p⋅a 2m+1m+1  =p 2m +p⋅a 2m+1m+1  -qa 2mm+1 
q 2m+2 =q 2m+1 +q⋅a 2m+1m  =q 2m +q⋅a 2m+1m  -pa 2mm-1 
现在考虑右边的不等式
p -q <p -q
2m 2m 2m+2 2m+2
只需证:
p⋅a 2m+1m+1  -qa 2mm+1  >qa 2m+1m  -p⋅a 2mm-1 
只需证: pm+2qmCm+1 -pm+1qmCm+1>qm+2pmCm+1 -qm+1pmCm+1
2m+1 2m 2m+1 2m
只需证: p2Cm+1 -pCm+1>q2Cm+1 -qCm+1
2m+1 2m 2m+1 2m
只需证: p-q  p+q  C 2 m m + + 1 1 >p-q  Cm+1 2m
只需证:
Cm+1 >Cm+1
2m+1 2m
∵ Cm+1 =Cm+1+Cm ,且 Cm >0 ,故上面不等式成立. 证毕
2m+1 2m 2m 2m