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2012 浙江省高考数学（理科）试卷word 版(含答案)
2012 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理科）
选择题部分（共50 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个
项是符合题目要求的。
1．设集合
，集合
，则
A．
B．
C．
D．
2．已知是虚数单位，则
A．
B．
C．
D．
3．设
，则“
”是“直线
：
与直线
：
平行”
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．把函数
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），然后向
左平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到的图像是
5．设
，
是两个非零向量
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则存在实数
，使得
D．若存在实数
，使得
，则
1
6．若从1，2，3，…，9 这9 个整数中同时取4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种
7．设
是公差为
（
）的无穷等差数列
的前
项和，则下列命题错误的是
A．若
，则数列
有最大项
B．若数列
有最大项，则
C．若数列
是递增数列，则对任意
，均有
D．若对任意
，均有
，则数列
是递增数列
8．如图，
，
分别是双曲线
：
的
左、右两焦点，
是虚轴的端点，直线
与
的两条渐近
线分别交于
，
两点，线段
的垂直平分线与
轴交于点
．若
，则
的离心率是
A．
B．
C．
D．
9．设
，
A．若
，则
B．
若，则
C．若
，则
D．若
，则
10．已知矩形
，
，
．将
沿矩形的对角线
所在的直线进行
翻折，在翻折过程中，
A．存在某个位置，使得直线
与直线
垂直
B．存在某个位置，使得直线
与直线
垂直
C．存在某个位置，使得直线
与直线
垂直
D．对任意位置，三对直线“
与
”，“
与
”，“
与
”均不垂直
2
非选择题部分（共100 分）
二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共28 分。
11．已知某三棱锥的三视图（单位：
）如图所示，则该三棱锥
的体积等于
．
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．
13．设公比为
的等比数列
的前
项和为
．
若
，
，则
．
14．若将函数
表示为
，
其中
，
，
，…，
为实数，则
．
15．在
中，
是
的中点，
，
，
则
．
16．定义：曲线
上的点到直线的距离的最小值称为曲线
到直线
的距离．已知曲线
：
到直线：
的距离等于曲线
：
到直线：
的距离，则实数
．
17．设
，若
时均有
，
则
．
三、解答题：本大题共5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14 分）在
中，内角
，，的对边分别为
，，．已知
，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，求
的面积．
19．（本题满分14 分）已知箱中装有4 个白球和5 个黑球，且规定：取出一个白球得2 分，取
出一个黑球得1 分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3 个球，记随机变量
为取出此3 球所得分数之和．
（Ⅰ）求
的分布列；
（Ⅱ）求
的数学期望
．
3
20．（本题满分15 分）如图，在四棱锥
中，底面是
边长为
的菱形，
，且
平面
，
，
，
分别为
，
的中点．
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）过点
作
，垂足为点
，求二面角
的平面角的余弦值．
21．（本题满分15 分）如图，椭圆
：
的
离心率为
，其左焦点到点
的距离为
，不过原点
的
直线与
相交于
，
两点，且线段
被直线
平分．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）求
面积取最大值时直线的方程．
22．（本题满分14 分）已知
，
，函数
．
（Ⅰ）证明：当
时，
（i）函数
的最大值为
；
（ii）
；
（Ⅱ）若
对
恒成立，求
的取值范围．
数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5 分，满分50 分。
1．B 2．D 3．A 4．A 5．C
6．D 7．C 8．B 9．A 10．B
二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题4 分，满分28 分。
11．1 12．
13．
14．10
15．-16 16．
17．
三、解答题：本题共小题，满分72 分。
18．本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分14 分。
4
（Ⅰ）因为
，
，得
又
所以
（Ⅱ）由
，得
，
，
于是
．
由
及正弦定理
，得
．
设
的面积为
，则
．
19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽
象概括、运算求解能力和应用意识。满分14 分。
（Ⅰ）由题意得
取3，4，5，6，且
，
，
，
．
所以
的分布列为
3
4
5
6
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
5
．
20．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时
考查空间想像能力和运算求解能力。满分15 分。
（Ⅰ）因为
，
分别是
，
的中点，所以
是
的中位线，所以
又因为
平面
，所以
平面
．
（Ⅱ）方法一：
连结
交
于
，以
为原点，
，
所在直线为
，轴，建立空间直
角坐标系
，如图所示
在菱形
中，
，得
，
．
又因为
平面
，所以
．
在直角
中，
，
，
，得
，
．
由此知各点坐标如下，
，
，
，
，
，
，
，
．
设
为平面
的法向量．
由
，
知
取
，得
6
设
为平面
的法向量．
由
，
知
取
，得
于是
．
所以二面角
的平面角的余弦值为
．
方法二：
在菱形
中，
，得
，
，
有因为
平面
，所以
，
，
，
所以
．
所以
．
而
，
分别是
，
的中点，所以
，且
．
取线段
的中点
，连结
，
，则
，
，
所以
为二面角
的平面角．
由
，
，故
在
中，
，
，得
7
．
在直角
中，
，得
，
，
，
在
中，
，得
．
在等腰
中，
，
，得
．
在
中，
，
，
，得
．
所以二面角
的平面角的余弦值为
．
21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析
几何的基本思想方法和综合解体能力。满分15 分。
（Ⅰ）设椭圆左焦点为
，则由题意得
，
得
所以椭圆方程为
．
（Ⅱ）设
，
，线段
的中点为
．
当直线
与
轴垂直时，直线
的方程为
，与不过原点的条件不符，舍去．故
8
可设直线
的方程为
，
由
消去
，整理得
， （1）
则
，
所以
线段的中点
，
因为
在直线
上，所以
，
得
（舍去）或
，
此时方程（1）为
，则
，
所以
，
设点
到直线
距离为
，则
，
设
的面积为
，则
，
其中
，
9
令
，
，
所以当且仅当
，
取到最大值，
故当且仅当
，
取到最大值．
综上，所求直线方程为
．
22．本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论
证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14 分。
（Ⅰ）（i）
当
时，有
，此时
在
上单调递增
所以当
时，
（ii）由于
，故
当
时，
当
时，
设
，则
，
于是
0
1
-
0
+
1
减
极小值
增
1
所以，
，
所以
当
时，
10
故
（Ⅱ）由（i）知，当
，
，所以
若
，则由（ii）知
所以
对任意
恒成立的充要条件是
，
即
，或
（1）
在直角坐标系
中，（1）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其
中不包括线段
，
作一组平行直线
，得
．
所以的取值范围是
．
11
