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专题03 正余弦定理及其应用
1、【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的
“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在 上， ．“会圆
术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时，
（ ）
A． B． C． D．
2、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在 中，已知 ， ， ，则
（ ）
A．1 B． C． D．3
3、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为
， ， ，则 ________．4、（2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，面积为 ， ， ，则 ________．
5、【2021年乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的
高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为
“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”则海岛
的高 （ ）
A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
6、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则
tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
7、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则
cosB=（ ）
A． B． C． D．
8、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知 ．（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
9、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
10、【2022年全国甲卷】已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最
小值时， ________．
11、【2021年乙卷文科】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ，
，则 ________．
12、【2020年新课标1卷理科】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，
AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.13、【2022年全国乙卷】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
14、【2022年全国乙卷】记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
15、【2022年新高考1卷】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
16、【2022年新高考2卷】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三
个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
题组一、 运用正、余弦定理解决边角及面积问题
1-1、【2022·广东省梅江市梅州中学10月月考】在 中， ，BC=1，AC=5，则AB=
A. B. C. D.
1-2、（2022·江苏如东·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的
正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得
杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ）
A．20m B．10m C． m D． m1-3、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
，且满足 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
1-4、【2022·广东省珠海市第二中学10月月考】在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
若 ，则 的形状是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
1-5、（2022·江苏海安·高三期末）在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝
－ ，CD＝ ．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求四边形ABCD的面积．
1-6、（2022·江苏如皋·高三期末）已知在△ABC中，D为边BC上一点，CD=10，2AC=3AD= AB，
cos∠CAD= .（1）求AD的长；
（2）求sinB.
1-7、（2022·江苏无锡·高三期末） 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ， ，
________.
请在① ；② 这两个条件中任选一个，补充在上面
的横线上并加以解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
（1）求角 ；
（2）求 面积.
题组二、 运用余弦定理研究范围问题
2-1、（2022·湖北襄阳·高三期末）在 中， ， ，则角 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2-2、【2022·广东省深圳市外国语学校第一次月考10月】
在 中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则角B的最大值为
（ ）
A. B. C. D.
2-3、（2022·江苏宿迁·高三期末）在① ；② ；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在
中，内角 的对边分别为 ，且__________.
（1）求角 ；
（2）若 是锐角三角形，且 ，求 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2-4、（2022·广东潮州·高三期末）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求 面积的最大值．
2-5、（2022·广东·铁一中学高三期末）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若______.
（1）求角 ；
（2）若 ，求 周长的最小值，并求出此时 的面积.2-6、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在 中，角 的对边分别是 ， 的面
积为 .
（1）若 ， ， ，求边 ；
（2）若 是锐角三角形且角 ，求 的取值范围.
2-7、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量
夹角的余弦角为
（1）求角B的大小；
（2）求 的取值范围.
题组三、正余弦定理与其它知识点的结合
3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在 中， ， 为 的重心，若 ，
则 外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
3-2、（2022·山东师范大学附中高三模拟）在平面直角坐标系 中，已知 ABC顶点 和 ，
△顶点B在椭圆 上，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
3-3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）（多选题）在 中，内角 ， ， 所对的边分别
为 ， ， ，若 ， ， 依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． ， ， 依次成等差数列
B． ， ， 依次成等差数列
C． ， ， 依次成等差数列
D． ， ， 依次成等差数列
3-4、（2022·湖南郴州·高三期末）在 中，若边 对应的角分别为 ，且
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的长度．
3-5、（2022·山东济南·高三期末）在 .中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
， .
（1）求角 ；
（2）若点 在边 上，且 ，求 面积的最大值.3
cosC
1、（2021·山东泰安市·高三三模）在 ABC中，AC 3，BC 2， 4，则tan A（ ）
5 7 5 7
A． 6 B． 6 C． 3 D． 3
2、【2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测】在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、
，则“ ”是“ 是以 、 为底角的等腰三角形”的（ ）
.
A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】(多选题)
在 中，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 定为等腰三角形或直角三角形
C. 在等边 中，边长为2，则
D. 若三角形的三边的比是 ，则此三角形的最大角为钝角
4、（2022·广东东莞·高三期末） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.5、（2022·广东罗湖·高三期末）设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若边 上的高为 ，求 ．
6、（2022·广东清远·高三期末）在平面四边形 中， ．
（1）求 ；
（2）求 的面积．
7、（2022·广东汕尾·高三期末） 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角B
（2）当b=3时，求 的面积的最大值．
8、（2022·湖南常德·高三期末）设a，b，c分别是 的内角A，B，C的对边，．
（1）求角A的大小；
（2）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且 ，求 面积的最小值．
②设点D为BC边上的中点，且 ，求 面积的最大值．
9、（2022·河北深州市中学高三期末） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知向量
， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 的周长.
