2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 已知集合A={
4,3,1
,2
}，
}
3,2,1
{
B
，则
B
A
▲
.
2. 已知复数
2)i2
5
(
z
(i 为虚数单位),则z 的实部为
▲
.
3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是
▲
.
4. 从1,2,3,6 这4 个数中一次随机地取2 个数,则所取2 个数的乘积为6 的概率是
▲
.
5. 已知函数
x
y
cos
与
)
2
sin(
x
y
(0≤
),zxxk 它们的图象有一个横坐标
为3
的交点,则的值是
▲
.
6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在
抽测的60 株树木中,有
▲
株树木的底部周长小于100cm.
7. 在各项均为正数的等比数列
}
{
n
a
中,
,1
2
a
4
6
8
2a
a
a
,则
6
a 的值是
▲
.
8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为
1
S ，
2
S ，体积分别为
1
V ，2
V ，若它们的侧面积相等，且
4
9
2
1
S
S
，则
2
1
V
V
的值是
▲
.
9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线
0
3
2
y
x
被圆
4
)1
(
)
2
(
2
2
y
x
截得的弦长为
▲
.
10. 已知函数
,1
)
(
2
mx
x
x
f
若对于任意
]1
,
[
m
m
x
,都有
0
)
(
x
f
成立,则实数m 的取
开始
0
n
1
n
n
20
2
n
输出n
结束
（第3 题）
N
Y
组距
频率
100
80
90
110 120 130
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
底部周长/cm
（第6 题）
值范围是
▲
.
11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线
x
b
ax
y
2
(a，b 为常数) zxxk 过点
)
5
,2
(
P
，且该曲线
在点P 处的切线与直线
0
3
2
7
y
x
平行，则
b
a
的值是
▲
.
12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知
8
AB
，
5
AD
，
PD
CP
3
，
2
BP
AP
，则
AD
AB
的值是
▲
.
13. 已知
)
(x
f
是定义在R 上且周期为3 的函数, 当
)
3,0
[
x
时
,
|
2
1
2
|
)
(
2
x
x
x
f
.
若
函
数
a
x
f
y
)
(
在区间
]
4,3
[
上有10 个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是
▲
.
14. 若△ABC 的内角满足
C
B
A
sin
2
sin
2
sin
,则
C
cos
的最小值是
▲
.
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，学科网解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题满分14 分)
已知
)
,
2
(
,
5
5
sin
.
(1)求
)
4
sin(
的值；
(2)求
)
2
6
5
cos(
的值.
16.(本小题满分14 分)
如图，在三棱锥
ABC
P
中，D ，E，F 分zxxk 别为棱
AB
AC
PC
,
,
的中点.已知
AC
PA
,
,6
PA
.5
,8
DF
BC
求证: (1)直线
//
PA
平面DEF ；
(2)平面
BDE
平面ABC .
A
B
D
C
P
（第12 题）
（第16题）
P
D
C
E
F
B
A
17.(本小题满分14 分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中,
2
1, F
F
分别是椭圆
)
0
(1
2
3
2
2
b
a
b
y
a
x
的左、右焦点，
顶点B 的坐标为
)
,0
(
b ，连结
2
BF 并延长交椭圆于点A，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另
一点C，连结
C
F1
.
(1)若点C 的坐标为
)
3
1
,
3
4
(
,且
2
2
BF
,求椭圆的方程；
(2)若
,
1
AB
C
F
求椭圆离心率e 的值.
18.(本小题满分16 分)
如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划
要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.
且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正
北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),
3
4
tan
BCO
.
(1)求新桥BC 的长；
(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积
最大？
170
m
60
m
东
北
O
A
B
M
C
（第18 题）
F1
F2
O
x
y
B
C
A
(
第17
题)
19.(本小题满分16 分)
已知函数
x
x
x
f
e
e
)
(
,其中e 是自然对数的底数.
(1)证明:
)
(x
f
是R 上的偶函数；
(2)若关于x 的不等式
)
(x
mf
≤
1
e
m
x
在
)
,0
( 上恒成立，学科网求实数m 的取值范
围；
(3)已知正数a 满足：存在
)
,1[
0
x
，使得
)
3
(
)
(
0
3
0
0
x
x
a
x
f
成立.试比较
1
e
a
与
1
e
a
的大小，并证明你的结论.
20.(本小题满分16 分)
设数列
}
{
n
a
的前n 项和为
n
S .若对任意正整数n ，学科网总存在正整数m ，使得
m
n
a
S
，
则称
}
{
n
a
是“H 数列”.
(1)若数列
}
{
n
a
的前n 项和
n
n
S
2
(
n
N ),证明:
}
{
n
a
是“H 数列”;
(2)设
}
{
n
a
是等差数列,其首项
1
1
a
,公差
0
d
.若
}
{
n
a
是“H 数列”,求d 的值；
(3)证明：对任意的等差数列
}
{
n
a
，总存在两个“H 数列”
}
{ n
b
和
}
{ n
c
，使得
n
n
n
c
b
a
(
n
N )成立.
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24 四小
题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选
讲】
21．（10 分）（2014•江苏）如图，AB 是圆O 的直径，C，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，证明：
∠OCB= D
∠．
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10 分）（2014•江苏）已知矩阵A=
，B=
，向量
=
，x，y 为实数，若
A
=B
，求x+y 的值．
【选修4-3：极坐标及参数方程】
23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
（t 为参
数），直线l 与抛物线y2=4x 相交于A，B 两点，求线段AB 的长．
【选修4-4：不等式选讲】
24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．
(二）必做题（本部分包括25、26 两题，每题10 分，共计20 分）
25．（10 分）（2014•江苏）盒中共有9 个球，其中有4 个红球，3 个黄球和2 个绿球，这些球除
颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2 个球，求取出的2 个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量
X 表示x1，x2，x3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E（X）．
26．（10 分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=
（x＞0），设fn（x）为fn
1
﹣（x）的导数，n∈N*．
（1）求2f1（
）+
f2（
）的值；
（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn
1
﹣（
）+
fn（
）|=
都成立．
2014 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分）
1．（5 分）（2014•江苏）已知集合A={
2
﹣，﹣1，3，4}，B={
1
﹣，2，3}，则A∩B=
{
1
﹣
，
3}
．
考点：交集及其运算．菁优网版权所有
专题：集合．
分析：根据集合的基本运算即可得到结论．
解答：解：∵A={
2
﹣，﹣1，3，4}，B={
1
﹣，2，3}，
A∩B={
1
∴
﹣，3}，
故答案为：{
1
﹣，3}
点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5 分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i 为虚数单位），则z 的实部为
21
．
考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
专题：数系的扩充和复数．
分析：根据复数的有关概念，即可得到结论．
解答：解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25
4+20i=21+20i
﹣
，
故z 的实部为21，
故答案为：21
点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．
3．（5 分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n 的值是
5
．
考点：程序框图．菁优网版权所有
专题：算法和程序框图．
分析：算法的功能是求满足2n＞20 的最小的正整数n 的值，代入正整数n 验证可得答案．
解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20 的最小的正整数n 的值，
2
∵4=16＜20，25=32＞20，
∴输出n=5．
故答案为：5．
点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关
键．
4．（5 分）（2014•江苏）从1，2，3，6 这4 个数中一次随机抽取2 个数，则所取2 个数的乘积为
6 的概率是 ．
考点：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
专题：概率与统计．
分析：首先列举并求出“从1，2，3，6 这4 个数中一次随机抽取2 个数”的基本事件的个数
再从中找到满足“所取2 个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．
解答：解：从1，2，3，6 这4 个数中一次随机抽取2 个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），
（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6 个，
所取2 个数的乘积为6 的基本事件有（1，6），（2，3）共2 个，
故所求概率P=
．
故答案为：．
点评：本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．
5．
（5 分）
（2014•江苏）已知函数y=cosx 与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标
为
的交点，则φ 的值是
．
考点：三角方程；函数的零点．菁优网版权所有
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：由于函数y=cosx 与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为
的交点，可得
= ．根据φ 的范围和正弦函数的单调性即可得出．
解答：解：∵函数y=cosx 与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为
的交点，
∴
= ．
0≤φ
∵
＜π，∴
，
∴
+φ=
，
解得φ=
．
故答案为：
．
点评：本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题．
6．
（5 分）
（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周
长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60
株树木中，有
24
株树木的底部周长小于100cm．
考点：频率分布直方图．菁优网版权所有
专题：概率与统计．
分析：根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm 的频率，再根据
频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm 的频数．
解答：解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm 的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，
∴底部周长小于100cm 的频数为60×0.4=24（株）．
故答案为：24．
点评：本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×
组距=
．
7．
（5 分）
（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是
4
．
考点：等比数列的通项公式．菁优网版权所有
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等比数列的通项公式即可得出．
解答：解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0．
a
∵8=a6+2a4，
∴
，
化为q4
q
﹣2
2=0
﹣
，解得q2=2．
a
∴6=
=
=1×22=4．
故答案为：4．
点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
8．（5 分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们
的侧面积相等，且
= ，则
的值是 ．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有
专题：立体几何．
分析：设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．
解答：解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；
∵
= ，
∴
，它们的侧面积相等，
∴
，
∴
=
=
= ．
故答案为：．
点评：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．
9．
（5 分）
（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y
3=0
﹣
被圆（x
2
﹣）2+（y+1）2=4 截
得的弦长为
．
考点：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
专题：直线与圆．
分析：求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C 到直
线直线l 的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y
3=0
﹣
被圆截得的弦长．
解答：解：圆（x
2
﹣）2+（y+1）2=4 的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，
∵点C 到直线直线x+2y
3=0
﹣
的距离d=
=
，
∴根据垂径定理，得直线x+2y
3=0
﹣
被圆（x
2
﹣）2+（y+1）2=4 截得的弦长为2
=2
=
故答案为：
．
点评：本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆
的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
10．（5 分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx
1
﹣，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0 成
立，则实数m 的取值范围是 （﹣
，
0 ）
．
考点：二次函数的性质．菁优网版权所有
专题：函数的性质及应用．
分析：
由条件利用二次函数的性质可得
，由此
求得m 的范围．
解答：解：∵二次函数f（x）=x2+mx
1
﹣的图象开口向上，
对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0 成立，∴
，
即
，解得﹣
＜m＜0，
故答案为：（﹣
，0）．
点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．
11．（5 分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y=ax2+ （a，b 为常数）过点P（2，
﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0 平行，则a+b 的值是 ﹣
3
．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
专题：导数的概念及应用．
分析：由曲线y=ax2+ （a，b 为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线
7x+2y+3=0 平行，可得y|x=2=
5
﹣，且y′|x=2=
，解方程可得答案．
解答：解：∵直线7x+2y+3=0 的斜率k=
，
曲线y=ax2+ （a，b 为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线
7x+2y+3=0 平行，
y′=2ax
∴
﹣
，
∴
，
解得：
，
故a+b=
3
﹣，
故答案为：﹣3
点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣
5，且y′|x=2=
，是解答的关键．
12．（5 分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=5，
=3
，
•
=2，则
•
的值是
22
．
考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
专题：平面向量及应用．
分析：由
=3
，可得
=
+
，
=
﹣
，进而由AB=8，AD=5，
=3
，
•
=2，构造方程，进而可得答案．
解答：解：∵
=3
，
∴
=
+
，
=
﹣
，
又∵AB=8，AD=5，
∴
•
=（
+
）•（
﹣
）=|
|2﹣
•
﹣
|
|2=25﹣
•
12=2
﹣
，
故
•
=22，
故答案为：22．
点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得
到
=
+
，
=
﹣
，是解答的关键．
13．（5 分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R 上且周期为3 的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2
2x+
﹣
|，若函数y=f（x）﹣a 在区间[
3
﹣，4]上有10 个零点（互不相同），则实数a 的取值范围
是 （
0 ，
） ．
考点：根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有
专题：函数的性质及应用．
分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a 的图象，利用数形结合判断a 的范围即
可．
解答：解：f（x）是定义在R 上且周期为3 的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2
2x+
﹣
|，若函数y=f
（x）﹣a 在区间[
3
﹣，4]上有10 个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与
y=a 的图象如图：由图象可知
．
故答案为：（0，）．
点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．
14．（5 分）（2014•江苏）若△ABC 的内角满足sinA+
sinB=2sinC，则cosC 的最小值是
．
考点：余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有
专题：三角函数的图像与性质；解三角形．
分析：根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．
解答：解：由正弦定理得a+
b=2c，得c= （a+
b），
由余弦定理得cosC=
=
=
=
≥
=
，
当且仅当
时，取等号，
故
≤cosC＜1，故cosC 的最小值是
．
故答案为：
．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．
二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分）
15．（14 分）（2014•江苏）已知α∈（
，π），sinα=
．
（1）求sin（
+α）的值；
（2）求cos（
﹣2α）的值．
考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（
+α）的值；
（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（
﹣2α）的值．
解答：解：α∈（
，π），sinα=
．∴cosα=﹣
=
（1）sin（
+α）=sin
cosα+cos
sinα=
=﹣
；
sin
∴
（
+α）的值为：﹣
．
（2）∵α∈（
，π），sinα=
．∴cos2α=1
2sin
﹣
2α= ，sin2α=2sinαcosα=﹣
cos
∴
（
﹣2α）=cos
cos2α+sin
sin2α=
=﹣
．
cos（
﹣2α）的值为：﹣
．
点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
16．（14 分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P
ABC
﹣
中，D，E，F 分别为棱PC，AC，AB 的中点，
已知PA AC
⊥
，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有
专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．
分析：（1）由D、E 为PC、AC 的中点，得出DE PA
∥
，从而得出PA∥平面DEF；
（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE EF
⊥
，且DE AC
⊥
即
可．
解答：证明：（1）∵D、E 为PC、AC 的中点，∴DE PA
∥
，
又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
PA
∴
∥平面DEF；
（2）∵D、E 为PC、AC 的中点，∴DE= PA=3；
又∵E、F 为AC、AB 的中点，∴EF= BC=4；
DE
∴
2+EF2=DF2，
DEF=90°
∴∠
，
DE EF
∴
⊥
；
DE PA
∵
∥
，PA AC
⊥
，∴DE AC
⊥
；
AC∩EF=E
∵
，∴DE⊥平面ABC；
DE
∵
⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的
垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．
17．（14 分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F1，F2分别为椭圆
+
=1（a＞b
＞0）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A 作x 轴的
垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．
（1）若点C 的坐标为（，），且BF2=
，求椭圆的方程；
（2）若F1C AB
⊥
，求椭圆离心率e 的值．
考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．菁优网版权所有
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b 的值．
（2）求出C 的坐标，利用F1C AB
⊥
建立斜率之间的关系，解方程即可求出e 的值．
解答：解：（1）∵C 的坐标为（，），
∴
，即
，
∵
，
a
∴2=（
）2=2，即b2=1，
则椭圆的方程为
+y2=1．
（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），
B
∵（0，b），
∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程
+
=1（a＞b＞0）得（
）x2﹣
=0，
解得x=0，或x=
，
A
∵（
，
），且A，C 关于x 轴对称，
C
∴（
，﹣
），
则
=﹣
=
，
F
∵
1C AB
⊥
，
∴
×（
）=
1
﹣，
由b2=a2
c
﹣2得
，
即e=
．
点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜
率之间的关系，运算量较大．
18．（16 分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形
保护区，规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC
相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A 位于点
O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），tan BCO=
∠
．
（1）求新桥BC 的长；
（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
专题：直线与圆．
分析：（1）在四边形AOCB 中，过B 作BE OC
⊥
于E，过A 作AF BE
⊥
于F，设出AF，然后通
过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；
（2）设BC 与⊙M 切于Q，延长QM、CO 交于P，设OM=xm，把PC、PQ 用含有x 的代
数式表示，再结合古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m 列式求得x
的范围，得到x 取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．
解答：解：（1）如图，
过B 作BE OC
⊥
于E，过A 作AF BE
⊥
于F，
ABC=90°
∵∠
，∠BEC=90°，
ABF= BCE
∴∠
∠
，
∴
．
设AF=4x（m），则BF=3x（m）．
AOE= AFE= OEF=90°
∵∠
∠
∠
，
OE=AF=4x
∴
（m），EF=AO=60（m），
BE=
∴
（3x+60）m．
∵
，
CE=
∴
（m）．
∴
（m）．
∴
，
解得：x=20．
BE=120m
∴
，CE=90m，
则BC=150m；
（2）如图，
设BC 与⊙M 切于Q，延长QM、CO 交于P，
POM= PQC=90°
∵∠
∠
，
PMO= BCO
∴∠
∠
．
设OM=xm，则OP=
m，PM=
m．
PC=
∴
m，PQ=
m．
设⊙M 半径为R，
R=MQ=
∴
m=
m．
A
∵、O 到⊙M 上任一点距离不少于80m，
则R
AM≥80
﹣
，R
OM≥80
﹣
，
136
∴
﹣
﹣（60
x
﹣）≥80，136﹣
x≥80
﹣
．
解得：10≤x≤35．
∴当且仅当x=10 时R 取到最大值．
OM=10m
∴
时，保护区面积最大．
点评：本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中
档题．
19．（16 分）（2014•江苏）已知函数f（x）=ex+e
x
﹣，其中e 是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R 上的偶函数；
（2）若关于x 的不等式mf（x）≤e
x
﹣+m
1
﹣在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）已知正数a 满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x0
3+3x0）成立，试比较ea
1
﹣与ae
1
﹣的
大小，并证明你的结论．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有
专题：导数的综合应用．
分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R 上的偶函数；
（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e
x
﹣+m
1
﹣在（0，+∞）上恒成立，进行转化求
最值问题即可求实数m 的取值范围；
（3）构u 造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得
到结论．
解答：解：（1）∵f（x）=ex+e
x
﹣，
f
∴（﹣x）=e
x
﹣+ex=f（x），即函数：f（x）是R 上的偶函数；
（2）若关于x 的不等式mf（x）≤e
x
﹣+m
1
﹣在（0，+∞）上恒成立，
即m（ex+e
x
﹣
1
﹣）≤e
x
﹣
1
﹣，
x
∵＞0，
e
∴x+e
x
﹣
1
﹣＞0，
即m≤
在（0，+∞）上恒成立，
设t=ex，（t＞1），则m≤
在（1，+∞）上恒成立，
∵
=﹣
=﹣
，当且仅当t=2
时等号成立，
m
∴
．
（3）令g（x）=ex+e
x
﹣
a
﹣（﹣x3+3x），
则g′（x）=ex
e
﹣
x
﹣+3a（x2
1
﹣），
当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，
故此时g（x）的最小值g（1）=e+
2a
﹣
，
由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x0
3+3x0）成立，
故e+
2a
﹣
＜0，
即a＞（e+ ），
令h（x）=x﹣（e
1
﹣）lnx
1
﹣，
则h′（x）=1﹣
，
由h′（x）=1﹣
=0，解得x=e
1
﹣，
当0＜x＜e
1
﹣时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＞e
1
﹣时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，
h
∴（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e
1
﹣），
注意到h（1）=h（e）=0，
∴当x∈（1，e
1
﹣）⊆（0，e
1
﹣）时，h（e
1
﹣）≤h（x）＜h（1）=0，
当x∈（e
1
﹣，e）⊆（e
1
﹣，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，
h
∴（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．
a
①∈（（e+ ），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a
1
﹣＜（e
1
﹣）lna，从而ea
1
﹣＜ae
1
﹣，
②当a=e 时，ae
1
﹣=ea
1
﹣，
③当a∈（e，+∞）⊆（e
1
﹣，+∞）时，当a＞e
1
﹣时，h（a）＞h（e）=0，即a
1
﹣＞（e
1
﹣）lna，
从而ea
1
﹣＞ae
1
﹣．
点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的
关键，综合性较强，运算量较大．
20．（16 分）（2014•江苏）设数列{an}的前n 项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数
m，使得Sn=am，则称{an}是“H 数列”．
（1）若数列{an}的前n 项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H 数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H 数列”，求d 的值；
（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H 数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）
成立．
考点：数列的应用；等差数列的性质．菁优网版权所有
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用“当n≥2 时，an=Sn
S
﹣
n
1
﹣，当n=1 时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意
义即可得出．
（2）利用等差数列的前n 项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2 和根据d
＜0 即可得出；
（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n
1
﹣）a1=（2
n
﹣）a1，cn=（n
1
﹣）（a1+d），可证
明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前n 项和公式及其通项公式、“H”的意义
即可得出．
解答：解：（1）当n≥2 时，an=Sn
S
﹣
n
1
﹣=2n
2
﹣n
1
﹣=2n
1
﹣，
当n=1 时，a1=S1=2．
当n=1 时，S1=a1．
当n≥2 时，Sn=an+1．
∴数列{an}是“H”数列．
（2）Sn=
=
，
对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即
，
取n=2 时，得1+d=（m
1
﹣）d，解得
，
d
∵＜0，∴m＜2，
又m∈N*，∴m=1，∴d=
1
﹣．
（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n
1
﹣）a1=（2
n
﹣）a1，
对∀n∈N*，bn+1
b
﹣n=
a
﹣1，
cn=（n
1
﹣）（a1+d），
对∀n∈N*，cn+1
c
﹣n=a1+d，
则bn+cn=a1+（n
1
﹣）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列．
数列{bn}的前n 项和Tn=
，
令Tn=（2
m
﹣）a1，则
．
当n=1 时，m=1；当n=2 时，m=1．
当n≥3 时，由于n 与n
3
﹣的奇偶性不同，即n（n
3
﹣）为非负偶数，m∈N*．
因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H 数列．
数列{cn}的前n 项和Rn=
，
令cm=（m
1
﹣）（a1+d）=Rn，则m=
．
∵对∀n∈N*，n（n
3
﹣）为非负偶数，∴m∈N*．
因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H 数列．
因此命题得证．
点评：本题考查了利用“当n≥2 时，an=Sn
S
﹣
n
1
﹣，当n=1 时，a1=S1”求an、等差数列的前n 项
和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能
力和计算能力、构造法，属于难题．
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24 四小
题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选
讲】
21．（10 分）（2014•江苏）如图，AB 是圆O 的直径，C，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，证明：
∠OCB= D
∠．
考点：弦切角．菁优网版权所有
专题：直线与圆．
分析：利用OC=OB，可得∠OCB= B
∠，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．
解答：证明：∵OC=OB，
OCB= B
∴∠
∠，
B= D
∵∠
∠，
OCB= D
∴∠
∠．
点评：本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10 分）（2014•江苏）已知矩阵A=
，B=
，向量
=
，x，y 为实数，若
A
=B
，求x+y 的值．
考点：矩阵与向量乘法的意义．菁优网版权所有
专题：矩阵和变换．
分析：利用矩阵的乘法，结合A
=B
，可得方程组，即可求x，y 的值，从而求得x+y 的值．
解答：
解：∵矩阵A=
，B=
，向量
=
，A
=B
，
∴
，
x=
∴
﹣，y=4，
x+y=
∴
点评：本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题．
【选修4-3：极坐标及参数方程】
23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
（t 为参
数），直线l 与抛物线y2=4x 相交于A，B 两点，求线段AB 的长．
考点：直线的参数方程．菁优网版权所有
专题：计算题；坐标系和参数方程．
分析：直线l 的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x 联立，求出A，B 的坐标，即可求线段
AB 的长．
解答：
解：直线l 的参数方程为
，化为普通方程为x+y=3，
与抛物线y2=4x 联立，可得x2
10x+9=0
﹣
，
∴交点A（1，2），B（9，﹣6），
|AB|=
∴
=8
．
点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属
于基础题．
【选修4-4：不等式选讲】
24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．
考点：不等式的证明．菁优网版权所有
专题：证明题；不等式的解法及应用．
分析：由均值不等式可得1+x+y2≥3
，1+x2+y≥
，两式相乘可得结论．
解答：证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3
，1+x2+y≥
分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1 时等号成立，
∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．
点评：本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．
(二）必做题（本部分包括25、26 两题，每题10 分，共计20 分）
25．（10 分）（2014•江苏）盒中共有9 个球，其中有4 个红球，3 个黄球和2 个绿球，这些球除
颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2 个球，求取出的2 个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量
X 表示x1，x2，x3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E（X）．
考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
专题：概率与统计．
分析：（1）先求出取2 个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算
即可；
（2）先判断X 的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期
望公式计算即可．
解答：解（1）一次取2 个球共有
=36 种可能，2 个球颜色相同共有
=10 种可能
情况
∴取出的2 个球颜色相同的概率P=
．
（2）X 的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=
，P（X=3）=
于是P（X=2）=1
P
﹣（X=3）﹣P（X=4）=
，
X 的概率分布列为
X 2 3 4
P
故X 数学期望E（X）=
．
点评：本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础
题．
26．（10 分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=
（x＞0），设fn（x）为fn
1
﹣（x）的导数，n∈N*．
（1）求2f1（
）+
f2（
）的值；
（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn
1
﹣（
）+
fn（
）|=
都成立．
考点：三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．菁优网版权所有
专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．
分析：（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）
=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=
sinx
﹣
，把x=
代入
式子求值；
（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx 和2f1（x）+xf2（x）=
sinx
﹣
，利用相同的方法再对所得
的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等
式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及
题意进行证明，最后再把x=
代入所给的式子求解验证．
解答：解：（1）∵f0（x）=
，∴xf0（x）=sinx，
则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，
f
∵n（x）为fn
1
﹣（x）的导数，n∈N*，
f
∴0（x）+xf1（x）=cosx，
两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=
sinx
﹣
，
将x=
代入上式得，2f1（
）+
f2（
）=
1
﹣，
（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+
），
恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=
sinx=sin
﹣
（x+π），
再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=
cosx=sin
﹣
（x+
），
同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），
猜想得，nfn
1
﹣（x）+xfn（x）=sin（x+
）对任意n∈N*恒成立，
下面用数学归纳法进行证明等式成立：
①当n=1 时，
成立，则上式成立；
②假设n=k（k＞1 且k∈N*）时等式成立，即
，
[kf
∵
k
1
﹣（x）+xfk（x）]′=kfk
1
﹣′（x）+fk（x）+xfk′（x）
=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）
又
=
=
=
，
∴那么n=k+1（k＞1 且k∈N*）时．等式
也成立，
由①②得，nfn
1
﹣（x）+xfn（x）=sin（x+
）对任意n∈N*恒成立，
令x=
代入上式得，nfn
1
﹣（
）+
fn（
）=sin（
+
）=±cos
=±
，
所以，对任意n∈N*，等式|nfn
1
﹣（
）+
fn（
）|=
都成立．
点评：本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明
命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度
很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．
