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2014 高考数学山东【理】试题及答案
2014 高考数学山东【理】
一、选择题
1.已知
，是虚数单位，若
与
互为共轭复数，则
( )
A.
B.
C.
D.
2.设集合
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
3.函数
的定义域为 ( )
A.
B.
C.
D.
4.用反证法证明命题:“已知
为实数,则方程
至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程
没有实根 B.方程
至多有一个实根
C.方程
至多有两个实根 D.方程
恰好有两个实根
5.已知实数
满足
（
），则下列关系式恒成立的是( )
A.
B.
C.
D.
6.直线
与曲线
在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A.
B.
C.2 D.4
7.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志
愿者的舒张压数据（单位：
）的分组区间为
，
，
，
，
，将其按从左到右的顺序分别编号为第
1
2014 高考数学山东【理】试题及答案
一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20
人，第三组中没有疗效的有6 人，则第三组中有疗效的人数为( )
A.1 B.8 C.12 D.18
8.已知函数
,
,若
有两个不相等的实根,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知
满足约束条件
当目标函数
在该约束条件下取到最小
值
时，
的最小值为( )
A.5 B.4 C.
D.2
10.已知
，椭圆
的方程为
，双曲线
的方程为
，
与
的离心率之积为
，则
的渐近线方程为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11.执行右面的程序框图，若输入的
的值为1，则输出的
的值为 ；
12.在
中，已知
，当
时，
的面积为 ；
13.三棱锥
中，
，
分别为
，
的中点，记三棱锥
的
体积为
，
的体积为
，则
；
14.若
的展开式中
项的系数为
，则
的最小值为 ；
15.已知函数
.对函数
，定义
关于
的“对称函数”为
2
开
始
输入
x
是
0
n
3
4
3
0
x
x
结
束
1
x
x
否
输出
n
1
n
n
2014 高考数学山东【理】试题及答案
，
满足：对任意
，两个点
，
关于点
对称，若
是
关于
的“对称函数”，且
恒成立，则实数
的取值范围是
；
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分.
16.（本小题满分12 分）
已知向量
，
，设函数
，且
的图象过点
和点
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）将
的图象向左平移
（
）个单位后得到函数
的图象.若
的图象
上各最高点到点
的距离的最小值为1，求
的单调增区间.
17.（本小题满分12 分）
如图，在四棱柱
中，底面
是等腰梯形，
，
，
是线
段
的中点.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
垂直于平面
且
，求平面
和平面
所成的角（锐角）的余弦值.
3
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18.（本小题满分12 分）
乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域
，乙被划分为两个不相交的区域
.某次测试要求队员接到落点在甲上的
来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在
上记3 分，在
上
记1 分，其它情况记0 分.对落点在
上的来球，小明回球
的落
点在
上的概率为
，在
上的概率为
；对落点在
上
的来
球，小明回球的落点在
上的概率为
，在
上的概率为
.假设共有两次来球且落在
上各一次，小明
的两次回球互不影响.求：
（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和
的分布列与数学期望.
19.（本小题满分12 分）
已知等差数列
的公差为2，前
项和为
，且
成等比数列.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）令
，求数列
的前
项和
.
4
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20.（本小题满分13 分）
设函数
（
为常数，
是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若函数
在
内存在两个极值点，求
的取值范围.
21.（本小题满分14 分）
已知抛物线
的焦点为
，为
上异于原点的任意一点，过点
的直线交
于另一
点
，交
轴的正半轴于点
，且有
.当点
的横坐标为3 时，
为正三角形.
（Ⅰ）求
的方程；
（Ⅱ）若直线
，且
和
有且只有一个公共点
，
（ⅰ）证明直线
过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）
的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
参考答案
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学参考答案
一．1、D 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、C 8、B 9、B 10、A
二．11、 12、
13、
14、
15、
三．16、解：（Ⅰ）已知
，
的图像过点
，
5
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解得
（Ⅱ）
，
设
的对称轴为
，
解得
，解得
的单调赠区间
17、解：（Ⅰ）证明：因为四边形
是等腰梯形，
且
所以
,又由
是
中点，
因此
且
．
连接
在四棱柱
中，
因为
,
可得
所以四边形
为平行四边形
因此
又
,
,
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平
面
过
向
做垂线交
于
，连接
,
6
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由
,可得
,故
为二面角
的平面角
在
中，
所以
在
中，
,
所以平面
和平面
所成的角（锐角）的余弦值为
．
18、解：（Ⅰ）设恰有一次的落点在乙上为事件
（Ⅱ）
的可能取值为
，
的分布列为
0
1
2
3
4
6
P
其数学期望为
19、解：（Ⅰ）
成等比数列
解得
（Ⅱ）
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当
为偶数时，
当
为奇数时，
20、解：（Ⅰ）
当
时，
令
，则
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．
（Ⅱ）令
则
当
时，
恒成立，
上单调递增，不符合题意．
当
时
令
，
8
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综上：
的取值范围为
．
21、解：（Ⅰ）当
的横坐标为时，过
作
轴于
，
为等边三角形
又
，
，
（Ⅱ）（ⅰ）设
，
又
与
相切，设切点
,
，
，
即
恒过点
直线
过定点
．
（ⅱ）
，
9
B
D
F
G
A
O
y
x
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即
点
到
的距离
，当且仅当
时，“
”成立．
选择填空解析
2014 年全国统一高考（山东）理科真题及详解
一．选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，选择符合
题目要求的选项。
1.已知
是虚数单位，若
与
互为共轭复数，则
（A）
(B)
(C)
(D)
答案：D
解析：
与
互为共轭复数，
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2.设集合
则
(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)
答案：C
解析：
3.函数
的定义域为
(A)
(B)
(C)
(D)
答案：C
解析：
或
或
。
4. 用反证法证明命题“设
则方程
至少有一个实根”时要做的假设是
(A)方程
没有实根 (B)方程
至多有一个实根
(C)方程
至多有两个实根 (D)方程
恰好有两个实根
5.已知实数
满足
，则下列关系式恒成立的是
(A)
(B)
(C)
(D)
答案：D
解析：
，排除A,B，对于C ，
是周期函数，排除C。
6.直线
与曲线
在第一象限内围成的封闭图形的面积为
（A）
（B）
（C）2（D）4
答案：D
解析：
，
第一象限
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2014 高考数学山东【理】试题及答案
7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
）的分组
区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五
组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20 人，第三组中没有疗效的有6
人，则第三组中有疗效的人数为
0
舒张压/kPa
频率 / 组距
0.36
0.24
0.16
0.08
17
16
15
14
13
12
（A） （B） （C）
（D）
答案：C
解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4
8.已知函数
,
.若方程
有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：B
解析：画出
的图象最低点是
，
过原点和
时斜率最小为
，斜率最大时
的
斜率与
的斜率一致。
9.已知
满足的约束条件
当目标函数
在该约束条件下取得最
小值
时，
的最小值为
（A）（B）（C）
（D）
答案：B
解析：
求得交点为
，则
，即圆心
到直线
的距离
12
2014 高考数学山东【理】试题及答案
的平方
。
10.已知
,椭圆
的方程为
，双曲线
的方程为
，
与
的离心率之积
为
，则
的渐近线方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：A
解析：
二．填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分，答案须填在题中横线上。
11.执行下面的程序框图，若输入的
的值为1，
则输出的
的值为
。
答案：3
解析：根据判断条件
，得
，
输入
第一次判断后循环，
第二次判断后循环，
第三次判断后循环，
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第四次判断不满足条件，退出循环，输出
12.在
中，已知
，当
时，
的面积为
。
答案：
解析：由条件可知
，
当
，
13.三棱锥
中，
分别为
的中点，记三棱锥
的体积为
，
的体积
为
，则
。
答案：
解析：分别过
向平面做高
，由
为
的中点得
，
由
为
的中点得
，所以
14.若
的展开式中
项的系数为20，则
的最小值为
。
答案：2
解析：将
展开，得到
，令
.
由
，得
，所以
.
15.已知函数
，对函数
，定义
关于
的“对称函数”为函数
，
满足：对任意
，两个点
关于点
对称，若
是
关于
的“对称函数”，且
恒成立，则实数
的取值范
围是
。
答案：
解析：根据图像分析得，当
与
在第二象限相切时，
，由
恒成立得
.
14
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