2023 年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)
理科数学
一、选择题
1．设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等
于( )
A．{x|x＝3k，k∈Z}
B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z}
D．∅
答案 A
解析 方法一 M＝{…，－2,1,4,7,10，…}，N＝{…，－1,2,5,8,11，…}，
所以M∪N＝{…，－2，－1,1,2,4,5,7,8,10,11，…}，
所以∁U(M∪N)＝{…，－3,0,3,6,9，…}，其元素都是3 的倍数，
即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．
方法二 集合M∪N 表示被3 除余1 或2 的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3 整除
的整数集．
2．设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a 等于( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
答案 C
解析 因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a
＝2a＋(1－a2)i＝2，
所以
解得a＝1.
3．执行下边的程序框图，则输出的B 等于( )
A．21 B．34 C．55 D．89
答案 B
解析 当k＝1 时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A＝1＋2＝3，B＝3＋2＝5，k＝1
＋1＝2；
当k＝2 时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A＝3＋5＝8，B＝8＋5＝13，k＝2＋1＝
3；
当k＝3 时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A＝8＋13＝21，B＝21＋13＝34，k＝3
＋1＝4；
当k＝4 时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B＝34.
4．已知向量a，b，c 满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉等于(
)
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 因为a＋b＋c＝0，
所以a＋b＝－c，
即a2＋b2＋2a·b＝c2，
即1＋1＋2a·b＝2，
所以a·b＝0.
方法一 又a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b，
b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b，
∴(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，
且|a－c|＝|2a＋b|＝＝＝，
|b－c|＝|a＋2b|＝＝＝，
∴cos〈a－c，b－c〉＝＝.
方法二 如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB 是等腰直角三角形，
AB 边上的高OD＝，AD＝，
所以CD＝CO＋OD＝＋＝，
tan∠ACD＝＝，cos∠ACD＝，
cos〈a－c，b－c〉＝cos∠ACB＝cos 2∠ACD＝2cos2∠ACD－1＝2×2－1＝.
方法三 如图，令向量a，b 的起点均为O，终点分别为A，B，
以OA，OB的方向分别为x，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，
则a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝－a－b＝(－1，－1)，
∴a－c＝(2,1)，b－c＝(1,2)，
则cos〈a－c，b－c〉＝＝＝.
5．设等比数列{an}的各项均为正数，前n 项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4等于( )
A. B. C．15 D．40
答案 C
解析 方法一 若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4 中，
有5＝5×3－4，不成立，
所以q≠1.
由＝5×－4，
化简得q4－5q2＋4＝0，
所以q2＝1(舍)或q2＝4，
由于此数列各项均为正数，
所以q＝2，所以S4＝＝15.
方法二 由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，
即q3＋q4＝4q＋4q2，
即q3＋q2－4q－4＝0，
即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.
由题知q>0，所以q＝2.
所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.
6．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或
爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰
的概率为( )
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
答案 A
解析 方法一 如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比
例，A 表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B 表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所
占比例，C 表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，
则0.6＋0.5－B＝0.7，
所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.
所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为＝＝0.8.
方法二 令事件A，B 分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C 表示该学生爱好
滑雪的条件下也爱好滑冰，
则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，
所以P(C)＝P(A|B)＝＝＝0.8.
7．设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B
解析 甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，
等价于sin α＝±cos β，
所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，
所以甲不是乙的充分条件；
由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，
平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，
即sin2α＋sin2β＝1，
所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C 的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1 交
于A，B 两点，则|AB|等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题知e＝，
则＝＝1＋＝5，
解得＝2，
所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x，
即2x－y＝0，
则圆心(2,3)到渐近线的距离
d＝＝，
所以弦长|AB|＝2＝2＝.
9．现有5 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5 人
中安排2 人参加公益活动，则恰有1 人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A．120 种 B．60 种 C．30 种 D．20 种
答案 B
解析 先从5 人中选择1 人两天均参加公益活动，有C 种方式；再从余下的4 人中选2 人分
别安排到星期六、星期日，有A 种安排方式．所以不同的安排方式共有C·A＝60(种)．
10．函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与
直线y＝x－的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 因为y＝cos 向左平移个单位所得函数为y＝cos＝cos＝－sin 2x，
所以f(x)＝－sin 2x，
而y＝x－显然过与(1,0)两点，
作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示，
考虑2x＝－，2x＝，2x＝，
即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系，
当x＝－时，f ＝－sin＝－1，
y＝×－＝－<－1；
当x＝时，f ＝－sin ＝1，
y＝×－＝<1；
当x＝时，f ＝－sin ＝1，
y＝×－＝>1.
所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3.
11．已知四棱锥P－ABCD 的底面是边长为4 的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则
△PBC 的面积为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 方法一 连接AC，BD 交于点O，则O 为AC，BD 的中点，连接PO，如图，
因为底面ABCD 为正方形，AB＝4，
所以AC＝BD＝4，
则DO＝CO＝2，
又PC＝PD＝3，PO＝PO，
所以△PDO≌△PCO，则∠PDO＝∠PCO，
又PC＝PD＝3，AC＝BD＝4，
所以△PDB≌△PCA，则PA＝PB，
在△PAC 中，PC＝3，AC＝4，∠PCA＝45°，
则由余弦定理可得
PA2＝AC2＋PC2－2AC·PC·cos∠PCA
＝32＋9－2×4×3×＝17，
故PA＝，则PB＝，
故在△PBC 中，PC＝3，PB＝，BC＝4，
所以cos∠PCB＝
＝＝，
又0<∠PCB<π，
所以sin∠PCB＝＝，
所以△PBC 的面积为S＝PC·BC·sin∠PCB＝×3×4×＝4.
方法二 连接AC，BD 交于点O，则O 为AC，BD 的中点，连接PO，如图，
因为底面ABCD 为正方形，AB＝4，
所以AC＝BD＝4，
在△PAC 中，PC＝3，∠PCA＝45°，
则由余弦定理可得
PA2＝AC2＋PC2－2AC·PC·cos∠PCA
＝32＋9－2×4×3×＝17，
故PA＝，
所以cos∠APC＝
＝＝－，
则PA·PC＝|PA||PC|cos∠APC＝×3×＝－3，
不妨记PB＝m，∠BPD＝θ，
因为PO＝(PA＋PC)＝(PB＋PD)，
所以(PA＋PC)2＝(PB＋PD)2，
即PA2＋PC2＋2PA·PC＝PB2＋PD2＋2PB·PD，
则17＋9＋2×(－3)＝m2＋9＋2×3×mcos θ，
整理得m2＋6mcos θ－11＝0，①
又在△PBD 中，BD2＝PB2＋PD2－2PB·PD·cos∠BPD，
即32＝m2＋9－6mcos θ，
则m2－6mcos θ－23＝0，②
①②两式相加得2m2－34＝0，解得m＝，
故PB＝，
故在△PBC 中，PC＝3，PB＝，BC＝4，
所以cos∠PCB＝
＝＝，
又0<∠PCB<π，
所以sin∠PCB＝＝，
所以△PBC 的面积为S＝PC·BC·sin∠PCB＝×3×4×＝4.
12．设O 为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1 的两个焦点，点P 在C 上，cos∠F1PF2＝，
则|OP|等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 方法一 设∠F1PF2＝2θ，0<θ<，
所以
＝b2tan＝b2tan θ，
由cos∠F1PF2＝cos 2θ＝
＝＝，
解得tan θ＝，
由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，
所以
＝×|F1F2|×|yP|
＝×2×|yP|＝6×，
解得y＝3.
代入椭圆方程得x＝9×＝，
因此|OP|＝＝＝.
方法二 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，①
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12，②
联立①②，解得|PF1||PF2|＝，|PF1|2＋|PF2|2＝21，
而PO＝(PF1＋PF2)，
所以|OP|＝|PO|＝|PF1＋PF2|
＝
＝＝.
方法三 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，①
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12，②
联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，
由中线定理可知，2|OP|2＋|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
解得|OP|＝.
二、填空题
13．若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝________.
答案 2
解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin
＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，
且函数为偶函数，
∴a－2＝0，解得a＝2.
经验证，当a＝2 时满足题意．
14．设x，y 满足约束条件则z＝3x＋2y 的最大值为________．
答案 15
解析 作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)所示，
由可得即A(3,3)，
由图可知，当目标函数y＝－x＋过点A 时，有最大值，即z 取最大值，
所以zmax＝3×3＋2×3＝15.
15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别为AB，C1D1的中点．以EF 为直径的球的球
面与该正方体的棱共有________个公共点．
答案 12
解析 如图，线段EF 过正方体的中心，所以以EF 为直径的球的球心即正方体的中心，球
的半径为，而正方体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF 为直径的球与每一条棱均相
切，所以共有12 个公共点．
16．在△ABC 中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC 的角平分线交BC 于D，则AD＝
________.
答案 2
解析 如图所示，记AB＝c＝2，AC＝b，BC＝a＝.
方法一 在△ABC 中，由余弦定理可得，
a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，
即6＝b2＋22－2×b×2×cos 60°，
解得b＝1＋(负值舍去)，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，
×2×(1＋)×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×(1＋)×AD×sin 30°，
解得AD＝2.
方法二 在△ABC 中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，
即6＝b2＋22－2×b×2×cos 60°，
解得b＝1＋(负值舍去)，
由正弦定理可得＝＝，
解得sin B＝，sin C＝，
因为1＋>>2，
所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，
又∠BAD＝30°，
所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2.
三、解答题
(一)必考题
17．记Sn为数列{an}的前n 项和，已知a2＝1,2Sn＝nan.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n 项和Tn.
解 (1)因为2Sn＝nan，
当n＝1 时，2a1＝a1，即a1＝0；
当n＝3 时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2，
当n≥2 时，2Sn－1＝(n－1)an－1，
所以2Sn－2Sn－1＝nan－(n－1)an－1＝2an，
化简得(n－2)an＝(n－1)an－1，
则当n≥3 时，＝＝…＝＝1，
即an＝n－1，
当n＝1,2,3 时都满足上式，
所以an＝n－1，n∈N*.
(2)令bn＝＝，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋，①
Tn＝＋＋…＋＋，②
由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，
即Tn＝2－.
18.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1 中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1 到平面
BCC1B1的距离为1.
(1)证明：A1C＝AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
(1)证明 如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，
∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴A1C⊥BC，
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵A1C，AC⊂平面ACC1A，且A1C∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵A1D⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥A1D，
又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，
∴A1D⊥平面BCC1B1，
∴A1D＝1.
由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，
又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，
∴D 为CC1的中点，
又A1D⊥CC1，
∴A1C＝A1C1，
又在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝A1C1，
∴A1C＝AC.
(2)解 如图，连接A1B，
由(1)易证A1B＝A1B1，
故取BB1的中点F，连接A1F，
∵AA1与BB1的距离为2，
∴A1F＝2，
又AA1＝2 且A1C＝AC，
∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝.
建立空间直角坐标系C－xyz 如图所示，
则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0，，0)，B1(－，，)，C1(－，0，)，
∴CB＝(0，，0)，CC1＝(－，0，)，AB1＝(－2，，)，
设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝0，z＝1，
∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1,0,1)．
设AB1与平面BCC1B1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，AB1〉|＝＝.
∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40 只小白鼠，随机地将其中20 只分配
到试验组，另外20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小
白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．
(1)设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；
(2)试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(ⅰ)求40 只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数
据的个数，完成如下列联表：
<m
≥m
对照组
试验组
(ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境
中体重的增加量有差异？
附：K2＝，
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
k0
2.706
3.841
6.635
解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝C××＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
(2)(ⅰ)根据试验数据可以知道40 只小白鼠体重增加量的中位数m＝＝23.4.
列联表如下：
<m
≥m
对照组
6
14
试验组
14
6
(ⅱ)根据(ⅰ)中结果可得K2＝＝6.4>3.841，
所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
20．已知直线x－2y＋1＝0 与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B 两点，|AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，FM·FN＝0，求△MFN 面积的最小值．
解 (1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由可得y2－4py＋2p＝0，
所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，
所以|AB|＝×＝4，
即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去)．
(2)由(1)知y2＝4x，
所以焦点F(1,0)，显然直线MN 的斜率不可能为零，
设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由可得y2－4my－4n＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，
Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0，
因为FM·FN＝0，FM＝(x1－1，y1)，FN＝(x2－1，y2)，
所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，
即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，
将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n 代入得，
4m2＝n2－6n＋1，
所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，
所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，
解得n≥3＋2 或n≤3－2.
设点F 到直线MN 的距离为d，
所以d＝，
|MN|＝
＝
＝
＝2|n－1|，
所以△MFN 的面积
S＝×|MN|×d＝×2|n－1|×＝(n－1)2，
而n≥3＋2 或n≤3－2，
所以当n＝3－2 时，△MFN 的面积最小，为Smin＝(2－2)2＝12－8＝4(3－2)．
21．已知函数f(x)＝ax－，x∈.
(1)当a＝8 时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)<sin 2x，求a 的取值范围．
解 f′(x)＝a－
＝a－
＝a－，
令cos2x＝t，则t∈(0,1)，
则f′(x)＝g(t)＝a－＝，t∈(0,1)．
(1)当a＝8 时，f′(x)＝g(t)＝＝，
当t∈，即x∈时，f′(x)<0.
当t∈，即x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)设h(x)＝f(x)－sin 2x，
h′(x)＝f′(x)－2cos 2x＝g(t)－2(2cos2x－1)＝－2(2t－1)＝a＋2－4t＋－，
设φ(t)＝a＋2－4t＋－，
则φ′(t)＝－4－＋＝＝－，
当t∈(0,1)时，φ′(t)>0，φ(t)单调递增，
所以φ(t)<φ(1)＝a－3.
若a∈(－∞，3]，则h′(x)＝φ(t)<a－3≤0，
即h(x)在上单调递减，
所以h(x)<h(0)＝0，
所以当a∈(－∞，3]时，f(x)<sin 2x，符合题意．
若a∈(3，＋∞)，
当t→0＋时，－＝－32＋→－∞，
所以φ(t)→－∞.
φ(1)＝a－3>0.
所以∃t0∈(0,1)，使得φ(t0)＝0，
即∃x0∈，使得h′(x0)＝0，t0＝cos2x0.
当t∈(t0,1)时，φ(t)>0，
即当x∈(0，x0)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以当x∈(0，x0)时，h(x)>h(0)＝0，不符合题意．
综上，a 的取值范围为(－∞，3]．
(二)选考题
22．已知点P(2,1)，直线l：(t 为参数)，α 为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交
于点A，B，且|PA|·|PB|＝4.
(1)求α；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．
解 (1)因为l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于A，B 两点，
所以<α<π，
令x＝0，得t1＝－，
令y＝0，得t2＝－，
所以|PA||PB|＝|t2t1|＝＝＝4，
所以sin 2α＝±1，
即2α＝＋kπ，k∈Z，
解得α＝＋kπ，k∈Z，
因为<α<π，
所以α＝.
(2)由(1)可知，直线l 的斜率为tan α＝－1，且过点(2,1)，
所以直线l 的一般式方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，
由x＝ρcos α，y＝ρsin α 可得直线l 的极坐标方程为ρcos α＋ρsin α－3＝0.
23．设a>0，函数f(x)＝2|x－a|－a.
(1)求不等式f(x)<x 的解集；
(2)若曲线y＝f(x)与x 轴所围成的图形的面积为2，求a.
解 (1)若x≤a，则f(x)＝2a－2x－a<x，
即3x>a，解得x>，
即<x≤a，
若x>a，则f(x)＝2x－2a－a<x，
解得x<3a，即a<x<3a，
综上，不等式的解集为.
(2)f(x)＝
作出f(x)的大致图象如图，
曲线y＝f(x)与x 轴围成的图形即△ABC，
易得A，B，
C(a，－a)，
所以|AB|＝a，△ABC 的底边AB 上的高为a，
所以S△ABC＝|AB|·a＝a2＝2，
解得a＝2 或a＝－2(舍去)，故a＝2.
