2023 年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国Ⅱ)
一、选择题
1．在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 A
解析 因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，
则所求复数对应的点为(6,8)，位于第一象限．
2．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a 等于( )
A．2 B．1 C. D．－1
答案 B
解析 若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合题意；
若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合题意．
综上所述，a＝1.
3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，
拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名和200
名学生，则不同的抽样结果共有( )
A．C·C 种
B．C·C 种
C．C·C 种
D．C·C 种
答案 D
解析 根据比例分配的分层随机抽样的定义知，初中部共抽取60×＝40(人)，高中部共抽取
60×＝20(人)，
根据组合公式和分步乘法计数原理知，不同的抽样结果共有C·C 种．
4．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a 等于( )
A．－1 B．0 C. D．1
答案 B
解析 方法一 因为f(x)为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，
即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.
当a＝0 时，f(x)＝xln .
由(2x－1)(2x＋1)>0，
解得x>或x<－，
则其定义域为，关于原点对称．
f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln－1＝xln ＝f(x)，
此时f(x)为偶函数，符合题意．
故a＝0.
方法二 设g(x)＝ln ，
易知g(x)的定义域为∪，
且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数．
若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，
则y＝x＋a 也应为奇函数，所以a＝0.
5．已知椭圆C：＋y2＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m 与C 交于A，B 两点，
若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2 倍，则m 等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 C
解析 由题意知，F1(－，0)，F2(，0)，
△F1AB 面积是△F2AB 面积的2 倍，
所以点F1到直线AB 的距离是点F2到直线AB 的距离的2 倍，
即＝2×，
解得m＝－或m＝－3(舍去)．
6．已知函数f(x)＝aex－ln x 在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为( )
A．e2 B．e C．e－1 D．e－2
答案 C
解析 依题可知，f′(x)＝aex－≥0 在(1,2)上恒成立，显然a>0，
所以xex≥在(1,2)上恒成立，
设g(x)＝xex，x∈(1,2)，
所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，
所以g(x)在(1,2)上单调递增，
g(x)>g(1)＝e，故e≥，
即a≥＝e－1，即a 的最小值为e－1.
7．已知α 为锐角，cos α＝，则sin 等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 因为α 为锐角，
所以sin ＝＝
＝＝.
8．记Sn为等比数列{an}的前n 项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8等于( )
A．120 B．85 C．－85 D．－120
答案 C
解析 方法一 设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，
若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，不符合题意，
所以q≠1.
由S4＝－5，S6＝21S2，
可得＝－5，
＝21×，①
由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，
所以S8＝＝·(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.
方法二 设等比数列{an}的公比为q，
因为S4＝－5，S6＝21S2，
所以q≠－1，否则S4＝0，
从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，
所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，
解得S2＝－1 或S2＝，
当S2＝－1 时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，
即为－1，－4，－16，S8＋21，
易知S8＋21＝－64，即S8＝－85；
当S2＝时，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，
与S4＝－5 矛盾，舍去．
综上，S8＝－85.
二、选择题
9．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C 在
底面圆周上，且二面角P－AC－O 为45°，则( )
A．该圆锥的体积为π
B．该圆锥的侧面积为4π
C．AC＝2
D．△PAC 的面积为
答案 AC
解析 依题意，∠APB＝120°，PA＝2，
所以OP＝1，OA＝OB＝.
A 项，圆锥的体积为×π×()2×1＝π，故A 正确；
B 项，圆锥的侧面积为π××2＝2π，故B 错误；
C 项，取AC 的中点D，连接OD，PD，如图所示，
则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO 是二面角P－AC－O 的平面角，
则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1，
故AD＝CD＝＝，
则AC＝2，故C 正确；
D 项，PD＝＝，
所以S△PAC＝×2×＝2，故D 错误．
10．设O 为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C 交于M，
N 两点，l 为C 的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．△OMN 为等腰三角形
答案 AC
解析 A 项，直线y＝－(x－1)过点(1,0)，
所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，
所以＝1，p＝2，故A 正确；B 项，抛物线C 的方程为y2＝4x，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y 并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，
解得x1＝3，x2＝，
所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，故B 错误；
C 项，如图，设MN 的中点为A，M，N，A 到直线l 的距离分别为d1，d2，d，
因为d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|)
＝|MN|，
即A 到直线l 的距离等于MN 的一半，所以以MN 为直径的圆与直线l 相切，故C 正确；
D 项，直线y＝－(x－1)，
由上述分析可知y1＝－×(3－1)＝－2，
y2＝－×＝，
所以|OM|＝＝，
|ON|＝＝，
且|MN|＝，
所以△OMN 不是等腰三角形，故D 错误．
11．若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A．bc>0
B．ab>0
C．b2＋8ac>0
D．ac<0
答案 BCD
解析 函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，
则f′(x)＝－－＝，
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，
则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0 有两个不相等的正实数根x1，x2，
于是
即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，
显然a2bc<0，即bc<0，故A 错误，B，C，D 正确．
12．在信道内传输0,1 信号，信号的传输相互独立．发送0 时，收到1 的概率为α(0<α<1)，
收到0 的概率为1－α；发送1 时，收到0 的概率为β(0<β<1)，收到1 的概率为1－β.考虑两
种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1 次；三次传输是指每个
信号重复发送3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译
码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为
1)．( )
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1 的概率为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1 的概率为β(1－β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D．当0<α<0.5 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案
译码为0 的概率
答案 ABD
解析 对于A，依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1 的事件是发送1 接收1、发送0 接收0、发
送1 接收1 这3 个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A 正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则依次收到1,0,1 的事件是发送1 接收
1、发送1 接收0、发送1 接收1 这3 个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B 正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1 的事件是依次收到1,1,0；1,0,1；0,1,1 和1,1,1 这4
个事件的和，
它们互斥，所求的概率为Cβ(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故C 错误；
对于D，三次传输，发送0，则译码为0 的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，
单次传输发送0，则译码为0 的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，
因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，故D 正确．
三、填空题
13．已知向量a，b 满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________.
答案
解析 方法一 因为|a＋b|＝|2a－b|，
即(a＋b)2＝(2a－b)2，
则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，
整理得a2－2a·b＝0，
又因为|a－b|＝，
即(a－b)2＝3，
则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，
所以|b|＝.
方法二 设c＝a－b，
则|c|＝，a＋b＝c＋2b,2a－b＝2c＋b，
由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，
则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，
整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝.
14．底面边长为4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3
的正四棱锥，所得棱台的体积为________．
答案 28
解析 方法一 棱台的体积为×3×(16＋4＋)＝28.
方法二 如图，由于＝，而截去的正四棱锥的高为3，
所以原正四棱锥的高为6，
所以原正四棱锥的体积为
×(4×4)×6＝32，
截去的正四棱锥的体积为
×(2×2)×3＝4，
所以棱台的体积为32－4＝28.
15．已知直线x－my＋1＝0 与⊙C：(x－1)2＋y2＝4 交于A，B 两点，写出满足“△ABC 面积
为”的m 的一个值为________．
答案 2
解析 设直线x－my＋1＝0 为直线l，点C 到直线l 的距离为d，
由弦长公式得|AB|＝2，
所以S△ABC＝×d×2＝，
解得d＝或d＝，
又d＝＝，
所以＝或＝，
解得m＝±或m＝±2.
16.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B 是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|
＝，则f(π)＝________.
答案 －
解析 设A，B，
由|AB|＝可得x2－x1＝，
由sin x＝可知，
x＝＋2kπ，k∈Z 或x＝＋2kπ，k∈Z，
由图可知，
ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，
即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4.
因为f ＝sin＝0，
所以＋φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝－＋kπ，k∈Z.
所以f(x)＝sin，k∈Z，
所以f(x)＝sin 或f(x)
＝－sin，
又因为f(0)<0，
所以f(x)＝sin，
所以f(π)＝sin＝－.
四、解答题
17．记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为，D 为BC 的中
点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
解 (1)方法一 在△ABC 中，因为D 为BC 的中点，∠ADC＝，AD＝1，
则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4.
在△ABD 中，∠ADB＝，
由余弦定理得
c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，
即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，
解得c＝.
在△ABD 中，则cos B＝＝＝，
sin B＝＝＝，
所以tan B＝＝.
方法二 在△ABC 中，因为D 为BC 的中点，∠ADC＝，AD＝1，
则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4.
在△ACD 中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC，
即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝，
又AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝，
C＝，过A 作AE⊥BC 于点E，如图所示，
于是CE＝ACcos C＝，AE＝ACsin C＝，BE＝，
所以在Rt△AEB 中，tan B＝＝.
(2)方法一 在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理得
整理得a2＋2＝b2＋c2，
而b2＋c2＝8，则a＝2，
又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，
解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，
于是∠ADC＝，
所以b＝c＝＝2.
方法二 在△ABC 中，因为D 为BC 的中点，
则2AD＝AB＋AC，
又CB＝AB－AC，
于是4AD2＋CB2＝(AB＋AC)2＋(AB－AC)2＝2(b2＋c2)＝16，
即4＋a2＝16，解得a＝2，
又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，
解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，
于是∠ADC＝，
所以b＝c＝＝2.
18．已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n 项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：当n>5 时，Tn>Sn.
(1)解 设等差数列{an}的公差为d，
而bn＝
则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6，
于是
解得a1＝5，d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3.
(2)证明 方法一 由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，
bn＝
当n 为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1，
Tn＝·＝n2＋n，
当n>5 时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，
因此Tn>Sn.
当n 为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－[4(n＋1)＋6]＝n2＋n－5，
当n>5 时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，
因此Tn>Sn.
综上，当n>5 时，Tn>Sn.
方法二 由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，
bn＝
当n 为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝·＋·＝n2＋n，
当n>5 时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，
因此Tn>Sn，
当n 为奇数时，若n≥3，
则Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝·＋·＝n2＋n－5，
显然T1＝b1＝－1 满足上式，
因此当n 为奇数时，Tn＝n2＋n－5，
当n>5 时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，
因此Tn>Sn，
所以当n>5 时，Tn>Sn.
19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经
过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于
或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；
误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生
的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c 和误诊率q(c)；
(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最
小值．
解 (1)依题可知，患病者该指标的频率分布直方图中第一个小矩形的面积为5×0.002＝0.01
＝1%>0.5%，
所以95<c<100，
所以(c－95)×0.002＝0.5%，
解得c＝97.5，
q(c)＝0.01×(100－97.5)＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)当c∈[95,100]时，
f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－95)×0.002＋(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.008c＋0.82≥0.02；
当c∈(100,105]时，
f(c)＝p(c)＋q(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＋(105－c)×0.002
＝0.01c－0.98>0.02，
故f(c)＝
所以f(c)在区间[95,105]的最小值为0.02.
20.如图，三棱锥A－BCD 中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E 为BC 的
中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F 满足EF＝DA，求二面角D－AB－F 的正弦值．
(1)证明 如图，连接AE，DE，
因为E 为BC 的中点，DB＝DC，
所以DE⊥BC，
因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，
所以△ACD 与△ABD 均为等边三角形，
所以AC＝AB，从而AE⊥BC，
又AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，
所以BC⊥平面ADE，而AD⊂平面ADE，
所以BC⊥DA.
(2)解 不妨设DA＝DB＝DC＝2，
因为BD⊥CD，
所以BC＝2，DE＝AE＝.
所以AE2＋DE2＝4＝AD2，
所以AE⊥DE，
又AE⊥BC，DE∩BC＝E，DE，BC⊂平面BCD，
所以AE⊥平面BCD.
以E 为原点，ED，EB，EA 所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(，0,0)，A(0,0，)，B(0，，0)，E(0,0,0)，
设平面DAB 与平面ABF 的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
二面角D－AB－F 的平面角为θ，而AB＝(0，，－)，
因为EF＝DA＝(－，0，)，
所以F(－，0，)，
则AF＝(－，0,0)．
由
得取x1＝1，
所以n1＝(1,1,1)．
由
得取y2＝1，
所以n2＝(0,1,1)，
所以|cos θ|＝＝＝，
从而sin θ＝＝.
所以二面角D－AB－F 的正弦值为.
21．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在
第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P 在定直线上．
(1)解 设双曲线C 的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由焦点坐标可知c＝2，
则由e＝＝，
可得a＝2，b＝＝4，
所以双曲线C 的方程为－＝1.
(2)证明 由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
显然直线MN 的斜率不为0，
设直线MN 的方程为x＝my－4，且－<m<，
与－＝1 联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)>0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
直线MA1的方程为y＝(x＋2)，
直线NA2的方程为y＝(x－2)，
联立直线MA1与直线NA2的方程可得
＝＝
＝
＝
＝＝－，
由＝－可得x＝－1，即xP＝－1，
据此可得点P 在定直线x＝－1 上运动．
22．(1)证明：当0<x<1 时，x－x2<sin x<x；
(2)已知函数f(x)＝cos ax－ln(1－x2)，若x＝0 是f(x)的极大值点，求a 的取值范围．
(1)证明 构建F(x)＝x－sin x，x∈(0,1)，
则F′(x)＝1－cos x>0 对∀x∈(0,1)恒成立，
则F(x)在(0,1)上单调递增，
可得F(x)>F(0)＝0，
所以x>sin x，x∈(0,1)；
构建G(x)＝sin x－(x－x2)＝x2－x＋sin x，x∈(0,1)，
则G′(x)＝2x－1＋cos x，x∈(0,1)，
令g(x)＝G′(x)，x∈(0,1)，
则g′(x)＝2－sin x>0 对∀x∈(0,1)恒成立，
则g(x)在(0,1)上单调递增，
可得g(x)>g(0)＝0，
即G′(x)>0 对∀x∈(0,1)恒成立，
则G(x)在(0,1)上单调递增，
可得G(x)>G(0)＝0，
所以sin x>x－x2，x∈(0,1)．
综上所述，当0<x<1 时，x－x2<sin x<x.
(2)解 方法一 因为f(x)＝cos ax－ln(1－x2)(－1<x<1)，
所以f(x)＝f(－x)，
所以f(x)为偶函数．
f′(x)＝－asin ax＋(－1<x<1)，
令t(x)＝－asin ax＋(－1<x<1)，
则t′(x)＝－a2cos ax＋(－1<x<1)．
令n(x)＝－a2cos ax＋，
则n′(x)＝a3sin ax＋.
当a＝0 时，
当0<x<1 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当－1<x<0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以x＝0 是f(x)的极小值点，不符合题意．
当a>0 时，取与1 中的较小者，为m，
则当0<x<m 时，易知n′(x)>0，
所以n(x)即t′(x)在(0，m)上单调递增，
所以t′(x)>t′(0)＝2－a2.
①当2－a2≥0，即0<a≤时，t′(x)>0(0<x<m)．
所以t(x)在(0，m)上单调递增，
所以t(x)>t(0)＝0，即f′(x)>0.
那么f(x)在(0，m)上单调递增，
由偶函数性质知f(x)在(－m,0)上单调递减．
故x＝0 是f(x)的极小值点，不符合题意．
②当2－a2<0，即a>时，
当<1，即a>时，
因为t′(0)<0，t′>0，
所以t′(x)在(0，m)上存在唯一零点x1，
且当0<x<x1时，t′(x)<0，t(x)单调递减，
因为t(0)＝0，
所以当0<x<x1时，t(x)<0，即f′(x)<0，
所以f(x)在(0，x1)上单调递减，
因为f(x)为偶函数，
所以f(x)在(－x1,0)上单调递增，
故可得x＝0 是f(x)的极大值点，符合题意．
当≥1，即<a≤时，
因为t′(0)<0，t′＝－a2cos＋>0，
所以t′(x)在(0，m)上存在唯一零点x2，
且当0<x<x2时，t′(x)<0，t(x)单调递减．
因为t(0)＝0，
所以当0<x<x2时，t(x)<0，即f′(x)<0，
所以f(x)在(0，x2)上单调递减．
因为f(x)为偶函数，
所以f(x)在(－x2,0)上单调递增，
故可得x＝0 是f(x)的极大值点，符合题意．
当a<0 时，由偶函数图象的对称性可得a<－.
综上所述，a 的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
方法二 由f(x)＝cos ax－ln(1－x2)，
得f′(x)＝－asin ax＋(－1<x<1)，
令t(x)＝－axsin ax＋(－1<x<1)，
则t′(x)＝－a2cos ax＋(－1<x<1)．
由x＝0 是f(x)的极大值点，
易得f′(0)＝0，t′(0)<0，
所以2－a2<0，
解得a<－或a>.
所以a 的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
