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绝密★启用前
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题(本大题满分56 分)本大题共有14 题，考生必须在答题纸相应编号的
空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分．
1． 函数
的最小正周期是 .
2. 若复数z=1+2i，其中i 是虚数单位，则
=___________.
3. 设常数
，函数
，若
，则
.
4. 若抛物线y2=2px 的焦点与椭圆
的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
___________.
5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600 名、1200 名、800 名，为了解该校高中学生的牙齿健
康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20 名学生，则高一、高二共抽取的学
生数为 .
6.若实数x,y 满足xy=1,则
+
的最小值为______________.
7. 若圆锥的侧面积是底面积的3 倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数
值表示）.
8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体
积之和等于 .
9. 设
若
是
的最小值，则
的取值范围是 .
10.设无穷等比数列{
}的公比为q，若
，则q= .
11．若
，则满足
的
取值范围是 .
12. 方程
在区间
上的所有解的和等于 .
13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10 天中随机选择3 天进行紧急疏散演练，则选
择的3 天恰好为连续3 天的概率 是 （结构用最简分数表示）.
14. 已知曲线C：
，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C 上的点P 和l 上的点
Q 使得
，则m 的取值范围为 .
二、选择题：本大题共4 个小题,每小题5 分,共20 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
15. 设
,则“
”是“
”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
16. 已知互异的复数
满足
，集合
={
,
},则
= （ ）
（A）2 （B）1 （C）0 （D）
17. 如图，四个边长为1 的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，
是小正方形的其余各个顶点，则
的不同值的个数为
（ ）
（A）7 （B）5 （C）3 （D）1
18. 已知
与
是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的
方程组
的解的情况是（ ）
（A）无论k，
如何，总是无解 （B)无论k，
如何，总有唯一解
（C）存在k，
，使之恰有两解 （D）存在k，
，使之有无穷多解
三．解答题（本大题共5 题，满分74 分）
19、（本题满分12 分）
底面边长为2 的正三棱锥
, zxxk 其表面展开图是三角形
，如图，求△
的各边长及此三棱锥的体积
.
20.（本题满分14 分）本题有2 个小题，学科网第一小题满分6 分，第二小题满分1 分。
设常数
，函数
（1）若
=4，求函数
的反函数
；
（2）根据
的不同取值，讨论函数
的奇偶性，并说明理由.
21.（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.
如图，某公司要在
两地连线上的定点
处建造广告牌
，其中
为顶端，
长35 米，
长80 米，设
在同一水平面上，从
和
看
的仰角分别为
.
（1）设计中
是铅垂方向，若要求
，问
的长至多为多少学科网（结果精
确到0.01 米）？
（2）施工完成后.
与铅垂方向有偏差，现在实测得zxxk
求
的长（结果精确到0.01 米）？
22（本题满分16 分）本题共3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满分8
分.
在平面直角坐标系
中，对于直线：
和点
记
若
<0，则称点
被直线分隔。若曲线C 与直线
没有公共点，且曲线C 上存在点
被直线分隔，则称直线为曲线C 的一条分隔线.
⑴ 求证：点
被直线
分隔；
⑵若直线
是曲线
的分隔线，求实数
的取值范围；
⑶动点M 到点
的距离与到
轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E，求E 的方程，
并证明
轴为曲线E 的分隔线.
23.（本题满分18 分）本题共3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分
9 分.
已知数列
满足
.
（1）若
，求
的取值范围；zxxk
（2）若
是等比数列，且
，求正整数
的最小值，学科网以及
取最小值时
相应
的公比；
（3）若
成等差数列，求数列
的公差的取值范围.
上海数学（文）参考答案
一、
1.
2. 6 3. 3 4.
5.70 6.
7.
8.24
9.
10.
11.
12.
13.
14.
二、
15. B 16.D 17.C 18.B
19.解：∵由题得，三棱锥
是正三棱锥
∴侧棱与底边所成角相同且底面
是边长为2 的正三角形
∴由题得，
，
又∵
三点恰好在
构成的
的三条边上
∴
∴
∴
，三棱锥
是边长为2 的正四面体
∴如右图所示作图，设顶点
在底面
内的投影为
，连接
，并延长交
于
∴
为
中点，
为
的重心，
底面
∴
，
，
20.解：（1）由题得，
∴
，
（2）∵
且
∴①当
时，
，
∴对任意的
都有
，∴
为偶函数
②当
时，
，
，
∴对任意的
且
都有
，∴
为奇函数
③当
且
时，定义域为
，
∴定义域不关于原定对称，∴
为非奇非偶函数
21.解：（1）由题得，∵
，且
，
即
，解得，
，∴
米
（2）由题得，
，
∵
，∴
米
∵
，∴
米
22.证明：（1）由题得，
，∴
被直线
分隔。
解：（2）由题得，直线
与曲线
无交点
即
无解
∴
或
，∴
证明：（理科）（3）由题得，设
，∴
，
化简得，点
的轨迹方程为
。
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为
。
联立方程，
。
令
，
，显然
是开口朝上的二次函数
∴由二次函数与幂函数的图像可得，
必定有解，不符合题意，舍去
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为
。
显然
与曲线
没有交点，在曲线
上找两点
。
∴
，符合题意
综上所述，仅存在一条直线
是
的分割线。
证明：（文科）（3）由题得，设
，∴
，
化简得，点
的轨迹方程为
。
显然
与曲线
没有交点，在曲线
上找两点
。
∴
，符合题意。∴
是
的分割线。
23.解：（1）由题得，
（文科）（2）∵
，且数列
是等比数列，
，
∴
，∴
，∴
。
∴
，∴
，又∵
，∴
∴
的最小值为8，此时
，即
。
（3）由题得，∵
，且数列数列
成等差数列，
，
∴
，∴
，∴
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共50 分）
一、填空题（本大题共14 小题，共56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，
每个空格填对得4
分，否则一律得零分．
（1）【2014 年上海，文1，5 分】函数
的最小正周期是 ．
【答案】
【解析】
，所以
．
（2）【2014 年上海，文2，5 分】若复数
，其中i 是虚数单位，则
．
【答案】6
【解析】
．
（3）【2014 年上海，文3，5 分】设常数
，函数
，若
，则
．
【答案】3
【解析】
，所以
，所以
，故
．
（4）【2014 年上海，文4，5 分】若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则
该抛物线的准线方程为 ．
【答案】
【解析】椭圆
的右焦点右焦点为
，故
，故该抛物线的准线方程为
．
（5）
【2014 年上海，文5，5 分】某校高一、高二、高三分别有学生1600 名、1200 名、800 名．为
了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20
名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．
【答案】70
【解析】由分层抽样知高一、高二、高三抽取的学生数比为4:3:2，高三抽取的学生数为20，故
高一、高二共需抽取的学生数为
．
（6）【2014 年上海，文6，5 分】若实数
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由基本不等式可得
，故
的最小值为
．
（7）【2014 年上海，文7，5 分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与轴所成的角大小
为 ．（结果用反三角函数值表示）
【答案】
【解析】由题意可得，
，解得
，记母线与轴所成的角为
，则
，即
．
（8）【2014 年上海，文8，5 分】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切
割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．
【答案】24
【解析】由三视图可知，被割去的两个小长方体长为2，宽为3，高为2，故切割掉的两个小长
方体的体积之和为2×3×2×2=24．
（9）【2014 年上海，文9，5 分】设
，若
是
的最小值，则
的取值
范围为 ．
【答案】
【解析】
，当
时，
，因为
是
的最小值，故
．
（10）【2014 年上海，文10，5 分】设无穷等比数列
的公比为
，若
．
【答案】
【解析】因为无穷等比数列
的极限存在，所以
，又因为
即
，解得
．
（11）【2014 年上海，文11，5 分】若
，则满足
的
的取值范围是
．
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
即
，在同一坐标系中作出
（
）
的图象（如图），由图象可知，当
时，
.故满足
的
的取值范
围是
．
（12）【2014 年上海，文12，5 分】方程
在区间
上的所有解的和等于
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，因为
，所以
，所以由
可得
或
，解得
，所以
．
（13）【2014 年上海，文13，5 分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10 天中随机选择
3 天进行紧急疏散演练，则选择的3 天恰好为连续3 天的概率是 （结果用最
简分数表示）．
【答案】
【解析】记“选择的3 天恰好为连续3 天”的概率为P，从10 天中选择3 天共有
种方法，
从10 天中选择连续的3 天有8 种选择方法，故
．
（14）【2014 年上海，文14，5 分】已知曲线
，直线
．若对于点
，
存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得
，则m 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意可设
（
），又因为
，所以点P、
A、Q 在一条直线上，且A 点为线段PQ 的中点．所以，
，又
，所以
．
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个
正确选项，选对得5 分，否则一律得零分．
（15）【2014 年上海，文15，5 分】设
，则“
”是“
且
”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分
也非必要条件
【答案】B
【解析】由
不能推出
且
，如
满足
，但不能满足
且
；如果
且
，由不等式的性质可得
；故“
”是“
且
”的必要非充分条件，故选B．
（16）【2014 年上海，文16，5 分】已知互异的复数
满足
，集合
，则
（ ）
（A）2 （B）1 （C）0 （D）
【答案】D
【解析】（1）当
时，
可看作是
的根，此时
与
矛盾，故舍去；
（2）当
时，可得
，（*）因为
，所以
，所以（*）即
为
，
即
，
所
以
，
此
时
；
①当
时，
，
与
矛盾且不满足集合的互异性，故舍去；
②当
时，
，但此时不能满足集合的互异性，故舍去；
③当
时，
，
且满足集合的互异性，符合题意，此
时
；
④当
时，
，
且满足集合的互异性，符合题意，此
时
；
综上所述，
，故选D．
（17）【2014 年上海，文17，5 分】如图，四个边长为1 的小正方形排成一个大正方形，
是
大正方形的一条边，
是小正方形的其余顶点，则
的不同值的个数为（ ）
（A）7 （B）5 （C）3 （D）1
【答案】C
【解析】如图，以点A 为原点，建立坐标系，则
，
故
，通过计算可得
的值有0,2,4,共3 个，故选C．
（18）【2014 年上海，文18，5 分】已知
与
是直线
（
为常数）上两
个不同的点，则关于
和
的方程组
的解的情况是（ ）
（A）无论
如何，总是有解 （B）无论
如何，总有唯一解
（C）存在
，使之恰有两解 （D）存在
，使之有无穷多解
A
C
B
D
【答案】B
【解析】解法一：
由已知得
，代入
得
解得
，即直
线
与
恒交于点
（
为常数），故选B．
解法二：
由
已
知
条
件
，
，
，
∴有唯一解，故选B．
三、解答题（本题共5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写
出必要的步骤．
（19）【2014 年上海，文19，12 分】底面边长为的正三棱锥
，其表面展开图是
三
角形
，如图．求
的各边长及此三棱锥的体积
．
解：根据题意可得
共线，∵
，
，
∴
，∴
，同理
，∴
是等
边三角形，
是正四面体，所以
边长为4；∴
．
（20）【2014 年上海，文20，14 分】设常数
，函数
．
（1）若
，求函数
的反函数
；
（2）根据
的不同取值，讨论函数
的奇偶性，并说明理由．
解：（1）∵
，∴
，∴
，∴
，
∴
，
．
……6 分
（2）当
时，
，定义域为
，故函数
是偶函数；当
时，
定义域为
，
，故函数
是奇函数；当
时，
关于原点不对称，故函数
既不是奇函数，也不是
偶函数．……14 分
（21）【2014 年上海，文21，14 分】如图，某公司要在
两地连线上的定
点
处建造广告牌
，其中
为顶端，
长
米，
长
米．
设点
在同一水平面上，从
和
看
的仰角分别为
和
．
（1）设计中
是铅垂方向． 若要求
，问
的长至多为多
少（结
果精确到
米）？
（2）施工完成后，
与铅垂方向有偏差．现在实测得
，
，求
的
长（结果精确
到
米）．
解：
（1）设
的长为
米，则
，∵
， ∴
，∴
B
A
C
P3
P1
P2
，
∴
，解得
，∴
的长至多为
米．
……6 分
（2）设
，
，则
，
解得
∴
∴
的长为
米．……14 分
（22）【2014 年上海，文22，16 分】在平面直角坐标系
中，对于直线
和点
，记
． 若
，则称点
被直
线分隔． 若曲线
与直线没有公共点，且曲线
上存在点
被直线分隔，则称
直线为曲线
的一条分隔线．
（1）求证：点
被直线
分隔；
（2）若直线
是曲线
的分隔线，求实数的取值范围；
（3）动点
到点
的距离与到
轴的距离之积为，设点
的轨迹为曲线
，求
的方程，并证明
轴为曲线
的分隔线．
解：（1）将
分别代入
，得
，
∴
点
被
直
线
分
隔
．
……3 分
（2）直线
与曲线
有公共点的充要条件是方程组
有解，即
．
因为直线
是曲线
的分隔线，故它们没有公共点，即
．
当
时，对于直线
，曲线
上的点
和
满足
，即点
和
被
分隔．故实数
的取值范围是
．
……9 分
（3）设M 的坐标为
，则曲线E 的方程为
．
对任意的
不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的
点
对于
轴满足
，即点
被y 轴分隔．所以y 轴为曲线E 的分割线．
……16 分
（23）【2014 年上海，文23，18 分】已知数列
满足
，
，
．
（1）若
，求的取值范围；
（2）若
是等比数列，且
，求正整数
的最小值，以及
取最小值时相应
的公比；
（3）若
成等差数列，求数列
的公差的取值范围．
解：（1）依题意，
，∴
，又
，∴
，综上可得
．……3 分
（2）设
的公比为
．由
，且
，得
．因为
，所
以
．
从
而
，
解
得
．
时
，
．
所以，
的最小值为
8 ，
时，
的公比为
．
……9 分
（3）设数列
的公差为
．则
，
①当
时，
，所以
，即
．
②当
时，
符合条件．
③
当
时
，
，
所
以
，
，又
，
所以
．
综
上
，
的
公
差
的
取
值
范
围
为
．
……18 分
