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2012 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文科）
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1.已知集合
，则
=（ ）
(
, 1)
2
( 1,
)
3
2
(
,3)
3
(3,
)
【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算.
【考查方式】给出两个集合，求交集.
【参考答案】C
【试题解析】
，利用二次不等式的解法可得
或
，画出数
轴易得
.
2.在复平面内，复数
对应的点坐标为 （ ）
)
【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义.
【考查方式】给出复数，求对应的点坐标.
【参考答案】A
【试题解析】
，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3) ，故
选A.
3.设
不等式组表示的平面区域为
,在区域
内随机取一个点，则此点到坐标
原
点
的
距
离
大
于
2
的
概
率
是
（ ）
【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型.
【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率.
【参考答案】D
【试题解析】题目中
表示的区域表示正方形区域，
而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆
的面积部分，因此
，故选D
4. 执行如图所示的程序框图，输出的
值为
（ ）
2
4 C．8
16
【测量目标】循环结构的程序图框.
【考查方式】给出程序图，求最后的输出值.
【参考答案】C
【试题解析】
循环结束，输出的S 为8，故选C.
5.函数
的零点个数为 （ ）
0
1
2
3
【测量目标】导函数的定义与应用.
【考查方式】已知复合函数，求零点个数.
【参考答案】B
【试题解析】函数
的零点，即令
，根据此题可得
，在平
面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选
答案B
6. 已知
为等比数列.下面结论中正确的是 （ ）
若则
1
2
a
a
,则
若
，则
【测量目标】等比数列的公式与性质.
【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质.
【参考答案】B
【试题解析】当
时，可知
，所以
选项错误；当
时，
选项错误；当
时，
，与
选项矛盾。因此根据均值定
理可知
选项正确.
7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （ ）
28
6 5
30
6 5
56 12 5
60 12 5
【测量目标】由三视图求几何体的表面积.
【考查方式】给出三棱锥的三视图，求其表面积.
【参考答案】B
【试题解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面
的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
，
因此该几何体表面积
，故选
.
8. 某棵果树前n 年得总产量
n
S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的
年平均产量最高，m 的值为 （ ）
5
7
9
11
【测量目标】线性分布的特点与理解.
【考查方式】给出线性分布图，求总量最高时
所对应的横坐标.
【参考答案】C
【试题解析】由图可知6，7，8，9 这几年增长最快，选超过平均值，所以应该加入，因此选
.
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9.直线
被圆
截得的弦长为 .
【测量目标】直线与圆的位置关系.
【考查方式】给出直线与圆的方程，求直线被圆所截的弦长.
【参考答案】
【试题解析】将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为
，圆心到直线的距离
，以及圆半径
构成了一个直角三角形，因此
.
10.已知
为等差数列，
为其前n 项和.若
，则
；
.
【测量目标】等差数列的公式与定义及前n 项和.
【参考答案】
【试题解析】因为
，所以
，所以
11. 在
中，若
，
，则
的大小为 .
【测量目标】正弦定理、余弦定理的运算.
【考查方式】给出两边长及其中一边所对应的角，求另一边的边长.
【参考答案】
【试题解析】
,而
，而
12.已知函数
，若
，则
.
【测量目标】复合函数的求解及对数函数的运算性质.
【考查方式】给出复合函数，代入求值.
【参考答案】2
【试题解析】
，
，
.
13.已知正方形
的边长为1，点
是
边上的动点，则
的值为 .
【测量目标】平面几何的理解与向量的运算法则.
【考查方式】给出正方形的边长及个点位置，求两向量的乘积.
【参考答案】1
【试题解析】根据平面向量的点乘公式
，可知
，因此
；
，而
就是向量
在
边上的射影，要想让
最大，即让射影最大，此时E
点与B 点重合，射影为
，所以长度为1.
14.已知
，
.若
，
或
，
则m 的取值范围是 .
【测量目标】函数的定义域、值域及函数的求解.
【考查方式】给出带有未知数的两个函数，求函数小于零时的取值范围.
【参考答案】（-4,0）
【试题解析】首先看
没有参数，从
入手，显然
1
x 时，
，
时，
，而对
，
或
成立即可，故只要
时，
（*）恒成立即可.当
时，
，不符合（*），所以舍去；当
时，由
得
3
2
m
x
m
，并不对
成立，舍去；当
时，由
，注意
故
，所以
，即
，又
，故
，所以
，又
，
故
，综上，m 的取值范围是
.
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题13 分）
已知函数
.
（1）求
的定义域及最小正周期；
（2）求
的单调递减区间.
【测量目标】正弦定理、余弦定理及三角函数与三角恒等变换.
【考查方式】给出函数，求函数的定义域最小及周期及单调减区间.
【试题解析】
解：（1）由
得
，
故
的定义域为
.因为
=
=
所以
的最小正周期
.
（2）函数
的单调递减区间为
.
由
得
所以
的单调递减区间为
.
16. （本小题14 分）
如图1，在
中，
，
分别是
上的中点,
点
为线段
上的一点.将
沿
折起到
的位置，使
，如图
2.
（1）求证：
平面
; （2）求证：
;
（3）线段
上是否存在点
,使
平面
？说明理由
【测量目标】空间中线面平行、垂直的有关性质
与判定定理及空间想象能力与推理论证能力
【考查方式】给出四棱锥中线线关系、线面关系
及面面关系，求线面垂直、线面平行及面面垂
直.
【试题解析】
解：（1）因为
分别为
的中点，所
以
.（步骤1）又因为
平面
,所以
平面
.（步骤2）
（2）由已知得
且
,所以
.所以
,
,所以
平面
.而
平面
,
（步骤3）
所以
.又因为
,所以
平面
.
所以
，（步骤4）
（3）线段
上存在点
,使
平面
.理由如下：如图，
分别取
的中点
,则
.
又因为
,所以
.所以平面
即为平面
.（步骤5）
由（2）知
平面
,所以
.（步骤6）
又因为
是等腰三角形
底边
的中点，
所以
,所以
平面
,从而
⊥平面
.
故线段
上存在点
,使得
平面
.（步骤7）
17.（本小题13 分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余 垃圾、可回收物和其他垃
圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该
市三类垃圾箱中总计1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为
其中
当数据
的方差
最大时，写出
的值（结论不
要求证明），并求此时
的值.
（注：方差
，其中
为
的平均数）
【测量目标】概率的意义、频率与概率的区别及分布的特点与意义及方差的计算.
【考查方式】给出垃圾数据表，分别求各项概率及方差
【试题解析】
1）厨余垃圾投放正确的概率约为
“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量
厨余垃圾总量
（2）设生活垃圾投放错误为事件
,则事件A 表示生活垃圾投放正确。
事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他
垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即
,约为
,所以
约为
.
（3）当
，
时，
取得最大值.因为
，
所以
．
18.（本小题13 分）
已知函数
，
.
（1）若曲线
与曲线
在它们的交点
处具有公共切线，求
的值；
（2）当
时，求函数
在区间
上的最大值为
，求
的取值范
围.
【测量目标】导数概念的实际的背景，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则
运算法则求简单函数的导数
【考查方式】考查导数在函数中的应用.
【试题解析】
(1)：
，
.因为曲线
与
在它们的交点
处
具有公共切线，
．即
且
．解得
.
（2 ）记
，当
时，
，
令
，解得：
；
与
在(
,2]
上的情况如下：
x
(
, 3)
3
( 3,1)
1
（1,2）
2
+
0
—
0
+
28
-4
3
由此可知：
当
时，函数
在区间
上的最大值为
；
当
时，函数
在区间
上的最大值小于
. 因此，k 的取值范围是
19.（本小题14 分）
已知椭圆
:
的一个顶点为
，离心率为
.直线
与椭圆
交于不同的两点
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）当
得面积为
时，求k 的值.
【测量目标】椭圆的标准方程的定义，直线与圆的位置关系
【考查方式】给出椭圆的顶点与离心率，求椭圆的标准方程及直线与椭圆相交直线斜率的值
的解.
【试题解析】
解：（1）由题意得
解得
.所以椭圆
的方程为
.
（2）由
得
.
设点
的坐标分别为
，
，则
，
，
，
.
所
以
由因为点
到直线
的距离
，
所以
的面积为
. 由
，解得
.
20.（本小题13 分）
设
是如下形式的2 行3 列的数表，
满足：性质
：
，且
.
记
为
的第i 行各数之和
，
为
的第j 列各数之和
；
记
为
，
，
，
，
中的最小值.
（1）对如下数表
,求
的值；
（2）设数表
形如
其中
.求
的最大值；
【测量目标】等差数列的定义与公式.
【考查方式】给出数表与数据，求等差数列中的最大值.
【试题解析】
因为
1( )
r A =1.2 ，
2( )
1.2
r A
，
1( )
1.1
c A
，
2( )
0.7
c
A
，
3( )
1.8
c A
，所以
( )
0.7
k A
，
，
，
.
因为
，所以
，
.所以
.
当
时，
取得最大值.
任给满足性质P 的数表A （如图所示）
任意改变
的行次序或列次序，或把
中的每个数换成它的相反数，所得数表
仍满
足性质
，并且
，因此，不妨设
，由
的定
义知，
对所以满足性质
的
行
列的数表
,求
的最大值.
，
从
而
因此
，由（2）知，存在满足性质P 的数表A ，使
，故
的最大值为1.
