2023 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
一、选择题(本大题共9 小题，每小题5 分，共45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{1,2,4}，则∁UB∪A 等于( )
A．{1,3,5}
B．{1,3}
C．{1,2,4}
D．{1,2,4,5}
答案 A
解析 因为∁UB＝{3,5}，且A＝{1,3}，
所以∁UB∪A＝{1,3,5}．
2．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 因为由a2＝b2，得a＝±b，当a＝－b≠0 时，a2＋b2＝2ab 不成立，充分性不成立；
由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立，
所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．
3．若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c 的大小关系为( )
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>b>c
D．b>a>c
答案 D
解析 由y＝1.01x在R 上单调递增，
则a＝1.010.5<b＝1.010.6，
由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，
则a＝1.010.5>c＝0.60.5.
所以b>a>c.
4.函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案 D
解析 由图知，函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且f(－2)＝f(2)<0，
A，B 定义域为R 且为奇函数，排除；
当x>0 时，>0，即C 中的函数图象在(0，＋∞)上函数值为正，排除，故选D.
5．已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为
( )
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝cos
答案 B
解析 A 中，T＝＝4，
B 中，T＝＝4，
C 中，T＝＝8，
D 中，T＝＝8，排除C，D；
对于A，当x＝2 时，函数值sin＝0，
故(2,0)是函数的一个对称中心，排除A；
对于B，当x＝2 时，函数值cos＝－1，故直线x＝2 是函数的一条对称轴，故选B.
6．已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n 项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为( )
A．3 B．18 C．54 D．152
答案 C
解析 由题意可得，当n＝1 时，a2＝2a1＋2，
即a1q＝2a1＋2，①
当n＝2 时，a3＝2(a1＋a2)＋2，
即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2，②
联立①②解得则a4＝a1q3＝54.
7．调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r＝0.824 5，则下
列说法正确的是( )
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.824 5
答案 C
解析 根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故A 错误；
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈正相关，故B 错误，C 正确；
由于r＝0.824 5 是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，
即取出的数据的相关系数不一定是0.824 5，故D 错误．
8．在三棱锥P－ABC 中，线段PC 上的点M 满足PM＝PC，线段PB 上的点N 满足PN＝
PB，则三棱锥P－AMN 和三棱锥P－ABC 的体积之比为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图，分别过点M，C 作MM′⊥PA，CC′⊥PA，垂足分别为M′，C′，过点B 作
BB′⊥平面PAC，垂足为B′，连接PB′，过点N 作NN′⊥PB′，垂足为N′.
因为BB′⊥平面PAC，BB′⊂平面PBB′，
所以平面PBB′⊥平面PAC.
又因为平面PBB′∩平面PAC＝PB′，NN′⊥PB′，NN′⊂平面PBB′，
所以NN′⊥平面PAC，且BB′∥NN′.
在△PCC′中，因为MM′⊥PA，CC′⊥PA，
所以MM′∥CC′，
所以＝＝，
在△PBB′中，因为BB′∥NN′，
所以＝＝，
所以＝＝＝＝.
9．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂
足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 D
解析 如图，设F2(c,0)，P(xP，yP)，渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
所以|PF2|＝＝＝b，
所以b＝2.
设∠POF2＝θ，则tan θ＝＝＝，所以|OP|＝a.
由题意知|OF2|＝c，
因为ab＝c·yP，
所以yP＝，
所以tan θ＝＝＝，
所以xP＝，
所以P，
因为F1(－c,0)，
所以
＝＝＝＝＝，
所以(a2＋2)＝4a，
解得a＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
二、填空题(本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．每小题中包含两个空的，答对1 个的
给3 分，全部答对的给5 分)
10．已知i 是虚数单位，化简的结果为________．
答案 4＋i
解析 由题意可得＝＝＝4＋i.
11．在6的展开式中，x2的系数是________．
答案 60
解析 展开式的通项公式Tk＋1＝C(2x3)6－k·k＝(－1)k·26－k·C·x18－4k，
令18－4k＝2，可得k＝4，
则x2项的系数为(－1)4×26－4×C＝4×15＝60.
12．过原点O 的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3 相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|
＝8，则p 的值为________．
答案 6
解析 易知圆(x＋2)2＋y2＝3 和曲线y2＝2px(p>0)均关于x 轴对称，不妨设切线方程为y＝
kx，k>0，
所以＝，
解得k＝，
由解得或
则P，
所以|OP|＝＝＝8，
解得p＝6.
当k＝－时，同理可得．
13．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子
中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是
黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________．
答案
解析 方法一 设A＝“从甲盒子中取一个球，是黑球”，
B＝“从乙盒子中取一个球，是黑球”，
C＝“从丙盒子中取一个球，是黑球”，
由题意可知P(A)＝40%＝，
P(B)＝25%＝，P(C)＝50%＝，
现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，
D2＝“取到的球是乙盒子中的”，
D3＝“取到的球是丙盒子中的”，
E＝“取到的球是白球”，
由题意可知P(D1)＝＝，
P(D2)＝＝，
P(D3)＝＝，
P(E|D1)＝1－＝，
P(E|D2)＝1－＝，
P(E|D3)＝1－＝，
所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)
＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)
＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)·P(E|D3)
＝×＋×＋×＝.
方法二 设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6，其中甲盒子中黑球的个数为2，
白球的个数为3；乙盒子中黑球的个数为1，白球的个数为3；丙盒子中黑球的个数为3，白
球的个数为3.则从三个盒子中各取一个球，共有5×4×6 种结果，其中取到的三个球都是黑
球有2×1×3 种结果，所以取到的三个球都是黑球的概率为＝.
将三个盒子中的球混合在一起共有5＋4＋6＝15(个)球，其中白球共有3＋3＋3＝9(个)，所
以混合后任取一个球，共有15 种结果，其中取到白球有9 种结果，所以混合后任取一个球，
是白球的概率为＝.
14．在三角形ABC 中，∠A＝，|BC|＝1，D 为线段AB 的中点，E 为线段CD 的中点，若设
AB＝a，AC＝b，则AE可用a，b 表示为________；若BF＝BC，则AE·AF的最大值为________．
答案 a＋b
解析 因为E 为CD 的中点，则ED＋EC＝0，
可得
两式相加，可得到2AE＝AD＋AC，
即2AE＝a＋b，
则AE＝a＋b.
因为BF＝BC，
则2FB＋FC＝0，
可得
得到AF＋FC＋2(AF＋FB)＝AC＋2AB，
即3AF＝2a＋b，
即AF＝a＋b.
于是AE·AF＝·＝(2a2＋5a·b＋2b2)．
设|AB|＝x，|AC|＝y，
则AE·AF＝(2a2＋5a·b＋2b2)
＝(2x2＋5xycos 60°＋2y2)
＝，
在△ABC 中，BC2＝x2＋y2－2xycos 60°
＝x2＋y2－xy＝1，
于是AE·AF＝＝，
由x2＋y2－xy＝1 和基本不等式，得x2＋y2－xy＝1≥2xy－xy＝xy，
故xy≤1，则AE·AF＝≤，
当且仅当x＝y＝1 时，等号成立，
则当x＝y＝1 时，AE·AF有最大值.
15．若函数f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，则a 的取值范围为________．
答案 (－∞，0)∪(0,1)∪(1，＋∞)
解析 (1)当x2－ax＋1≥0 时，f(x)＝0⇔(a－1)x2＋(a－2)x－1＝0，
即[(a－1)x－1](x＋1)＝0，
当a＝1 时，x＝－1，此时x2－ax＋1≥0 成立．
当a≠1 时，x＝或x＝－1，
若方程有一根为x＝－1，则1＋a＋1≥0，即a≥－2 且a≠1；
若方程有一根为x＝，
则2－a·＋1≥0，
解得a≤2 且a≠1；
若x＝＝－1，则a＝0，此时1＋a＋1≥0 成立．
(2)当x2－ax＋1<0 时，则f(x)＝0⇔(a＋1)x2－(a＋2)x＋1＝0，
即[(a＋1)x－1](x－1)＝0，
当a＝－1 时，x＝1，显然x2－ax＋1<0 不成立．
当a≠－1 时，x＝1 或x＝，
若方程有一根为x＝1，则1－a＋1<0，即a>2；
若方程有一根为x＝，
则2－a×＋1<0，
解得a<－2；
若x＝＝1，则a＝0，显然x2－ax＋1<0 不成立．
综上，
当a<－2 时，零点为，；
当－2≤a<0 时，零点为，－1；
当a＝0 时，只有一个零点－1；
当0<a<1 时，零点为，－1；
当a＝1 时，只有一个零点－1；
当1<a≤2 时，零点为，－1；
当a>2 时，零点为1，－1.
所以当函数有两个零点时，a≠0 且a≠1.
三、解答题(本大题共5 小题，共75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°.
(1)求sin B 的值；
(2)求c 的值；
(3)求sin(B－C)的值．
解 (1)由正弦定理可得，＝，
即＝，
解得sin B＝.
所以sin B 的值为.
(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A，
即39＝4＋c2－2·2·c·，
解得c＝5 或c＝－7(舍去)．
所以c 的值为5.
(3)由正弦定理可得，＝，
即＝，
解得sin C＝，而A＝120°，
所以B，C 都为锐角，
因此cos C＝＝，
cos B＝＝，
故sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C
＝×－×＝－.
17.如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1
＝1，N 为线段AB 的中点，M 为线段BC 的中点．
(1)求证：A1N∥平面C1MA；
(2)求平面C1MA 与平面ACC1A1所成角的余弦值；
(3)求点C 到平面C1MA 的距离．
方法一 (1)证明 以A 为坐标原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x，y，z 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系．
则有A(0,0,0)，M(1,1,0)，N(1,0,0)，A1(0,0,2)，C1(0,1,2)．
所以A1N＝(1,0，－2)，AM＝(1,1,0)，AC1＝(0,1,2)，
设平面C1MA 的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝2，则
所以平面C1MA 的一个法向量为n＝(2，－2,1)，
因为A1N·n＝1×2＋0×(－2)＋(－2)×1＝0，
所以A1N⊥n.
又A1N⊄平面C1MA，所以A1N∥平面C1MA.
(2)解 取平面ACC1A1的一个法向量为AN＝(1,0,0)，
由(1)知平面C1MA 的一个法向量为n＝(2，－2,1)，
所以cos〈AN，n〉＝＝，
所以平面C1MA 与平面ACC1A1所成角的余弦值为.
(3)解 C(0,2,0)，则MC＝(－1,1,0)，
所以点C 到平面C1MA 的距离d＝＝.
方法二 (1)证明 如图，连接MN.由M，N 分别是BC，BA 的中点，
根据中位线性质，得MN∥AC，且MN＝＝1，
由棱台性质知，A1C1∥AC，于是MN∥A1C1，
又A1C1＝1，
所以四边形MNA1C1是平行四边形，则A1N∥C1M，
A1N⊄平面C1MA，C1M⊂平面C1MA，
于是A1N∥平面C1MA.
(2)解 如图，过点M 作ME⊥AC，垂足为E，过点E 作EF⊥AC1，垂足为F，连接MF，
C1E.
由ME⊂平面ABC，A1A⊥平面ABC，故AA1⊥ME，
又ME⊥AC，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，
则ME⊥平面ACC1A1.
由AC1⊂平面ACC1A1，
故ME⊥AC1，
又EF⊥AC1，ME∩EF＝E，ME，EF⊂平面MEF，
于是AC1⊥平面MEF，由MF⊂平面MEF，
故AC1⊥MF.
于是平面C1MA 与平面ACC1A1所成的角即为∠MFE.
又ME＝＝1，cos∠CAC1＝，
则sin∠CAC1＝，
故EF＝AEsin∠CAC1＝，
在Rt△MEF 中，∠MEF＝90°，
则MF＝＝，
于是cos∠MFE＝＝.
(3)解 在(2)图中的基础上作辅助线C1Q⊥AM，垂足为Q(图略)，
易知C1A＝C1M，
则△C1AM 为等腰三角形，
故C1Q＝＝，
设点C 到平面C1MA 的距离为h.
＝×C1E×S△AMC＝×2××()2＝，
＝×h×
＝×h×××＝.
由
，得＝，解得h＝.
所以点C 到平面C1MA 的距离是.
18．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1F|＝3，|A2F|＝1.
(1)求椭圆的方程和离心率e；
(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P 交y 轴于点Q，若三角形A1PQ 的面
积是三角形A2FP 的面积的二倍，求直线A2P 的方程．
解 (1)如图，
由题意得
解得
所以b＝＝，
所以椭圆的方程为＋＝1，离心率e＝＝.
(2)由题意得，直线A2P 斜率存在，
由椭圆的方程为＋＝1，
可得A2(2,0)，
设直线A2P 的方程为y＝k(x－2)，
联立方程组消去y 整理得
(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
由根与系数的关系得xA2·xP＝，
所以xP＝，
所以P，Q(0，－2k)．
所以
＝×4×|yQ|，
＝×1×|yP|，
＝×4×|yP|，
所以
，
所以2|yQ|＝3|yP|，
即2|－2k|＝3，解得k＝±，
所以直线A2P 的方程为y＝±(x－2)．
19．已知数列{an}是等差数列，a2＋a5＝16，a5－a3＝4.
(1)求{an}的通项公式和∑ai.
(2)已知{bn}为等比数列，对于任意k∈N*，若2k－1≤n≤2k－1，则bk<an<bk＋1，
①当k≥2 时，求证：2k－1<bk<2k＋1；
②求{bn}的通项公式及其前n 项和．
(1)解 由题意可得
解得
则数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，
注意到a2n－1＝2×2n－1＋1＝2n＋1，
从a2n－1到a2n－1共有2n－1－2n－1＋1＝2n－1项，
故∑ai＝2n－1×(2n＋1)＋×2＝22n－1＋2n－1＋22n－2－2n－1＝3×22n－2＝3×4n－1.
(2)①证明 由题意可知，当2k－1≤n≤2k－1 时，bk<an，
取n＝2k－1，
则bk<
＝2×2k－1＋1＝2k＋1，
即bk<2k＋1，
当2k－2≤n≤2k－1－1 时，an<bk，
取n＝2k－1－1，
此时an＝
＝2(2k－1－1)＋1＝2k－1，
据此可得2k－1<bk，
综上可得，2k－1<bk<2k＋1.
②解 由①可知，1<b1<3,3<b2<5,7<b3<9,15<b4<17，
据此猜测bn＝2n，
否则，若数列的公比q>2，
则bn＝b1qn－1>b1×2n－1>2n－1，
注意到2n－1－(2n－1)＝1－2n－1，
则2n－1－(2n－1)>0 不恒成立，
即2n－1>2n－1 不恒成立，
此时无法保证2n－1<bn，
若数列的公比q<2，
则bn＝b1qn－1<b1×2n－1<3×2n－1，
注意到3×2n－1－(2n＋1)＝2n－1－1，
则2n－1－1<0 不恒成立，
即3×2n－1<2n＋1 不恒成立，
此时无法保证bn<2n＋1，
综上，数列的公比为2，则数列的通项公式为bn＝2n，
其前n 项和为Sn＝＝2n＋1－2.
20．已知函数f(x)＝ln(x＋1)．
(1)求曲线y＝f(x)在x＝2 处切线的斜率；
(2)当x>0 时，证明：f(x)>1；
(3)证明：<ln(n！)－ln n＋n≤1，n∈N*.
(1)解 由题意得，
f(x)＝＋，
则f′(x)＝＋－，
所以f′(2)＝－，
故曲线y＝f(x)在x＝2 处的切线斜率为－.
(2)证明 构造g(t)＝ln t－(t≥1)，
则g′(t)＝－＝≥0，
所以函数g(t)在[1，＋∞)上单调递增，
所以g(t)≥g(1)＝0，
所以ln t>(t>1)．
令x＋1＝t(x>0)，
则ln(x＋1)>(x>0)，
所以当x>0 时，ln(x＋1)>1，
即f(x)>1.
(3)证明 先证ln(n！)－ln n＋n≤1.
令h(n)＝ln(n！)－ln n＋n，n∈N*，
则h(n＋1)－h(n)＝ln(n＋1)－ln(n＋1)＋ln n＋1＝1－ln，
由(2)可知，当x>0 时，
ln(x＋1)>1，
令n＝，则1－ln<0，
故h(n)在N*上单调递减，则h(n)≤h(1)＝1，得证．
再证<ln(n！)－ln n＋n.
方法一 构造s(x)＝ln x－，x>0，
则s′(x)＝－＝，
当0<x<1 时，s′(x)>0，
当x>1 时，s′(x)<0，
故s(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
故s(x)≤s(1)＝0，即ln x≤.
又当n≥2 时，
h(n)－h(n＋1)＝ln－1
≤·－1
＝<
＝，
所以h(1)－h(2)＋h(2)－h(3)＋…＋h(n－1)－h(n)
＝h(1)－h(n)<1－ln 2＋ln 2－2＋
＝ln 2－1＋<ln 2－1＋<，
故h(n)>h(1)－＝，得证．
综上，<ln(n！)－ln n＋n≤1，n∈N*.
方法二 先证不等式ln(1＋x)－1<成立．
令p(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，
则p′(x)＝≤0，
故p(x)在[0，＋∞)上单调递减，
故当x>0 时，p(x)<p(0)＝0，
所以当n≥2 时，ln－1<<.
以下同方法一．
