2024 年普通高等学校招生考试(新课标Ⅰ卷)
一、单选题
1．已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1,0,2,3}，则A∩B 等于( )
A．{－1,0}
B．{2,3}
C．{－3，－1,0}
D．{－1,0,2}
答案 A
解析 因为A＝{x|－<x<}，B＝{－3，－1,0,2,3}，
且1<<2，－2<－<－1，
所以A∩B＝{－1,0}．
2．若＝1＋i，则z 等于( )
A．－1－i
B．－1＋i
C．1－i
D．1＋i
答案 C
解析 因为＝
＝1＋＝1＋i，
所以z＝1＋＝1－i.
3．已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x 等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 D
解析 因为b⊥(b－4a)，
所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，
即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.
4．已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)等于( )
A．－3m B．－ C. D．3m
答案 A
解析 由cos(α＋β)＝m 得cos αcos β－sin αsin β＝m.①
由tan αtan β＝2 得＝2，②
由①②得
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.
5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(
)
A．2π B．3π C．6π D．9π
答案 B
解析 设圆柱的底面半径为r，
则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，
所以2πr×＝πr×，
即2＝，故r＝3，
故圆锥的体积为π×9×＝3π.
6．已知函数f(x)＝在R 上单调递增，则a 的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．[－1,0]
C．[－1,1]
D．[0，＋∞)
答案 B
解析 因为f(x)在R 上单调递增，
且x≥0 时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增，
则需满足
解得－1≤a≤0，
即a 的取值范围是[－1,0]．
7．当x∈[0,2π]时，曲线y＝sin x 与y＝2sin 的交点个数为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
答案 C
解析 因为函数y＝sin x 的最小正周期
T＝2π，
函数y＝2sin 的最小正周期T1＝，
所以在x∈[0,2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6 个交点．
8．已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3 时，f(x)＝x，则下列结论中
一定正确的是( )
A．f(10)>100
B．f(20)>1 000
C．f(10)<1 000
D．f(20)<10 000
答案 B
解析 因为当x<3 时，f(x)＝x，
所以f(1)＝1，f(2)＝2，
又因为f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，
则f(3)>f(2)＋f(1)＝3，
f(4)>f(3)＋f(2)>5，
f(5)>f(4)＋f(3)>8，
f(6)>f(5)＋f(4)>13，
f(7)>f(6)＋f(5)>21，
f(8)>f(7)＋f(6)>34，
f(9)>f(8)＋f(7)>55，
f(10)>f(9)＋f(8)>89，
f(11)>f(10)＋f(9)>144，
f(12)>f(11)＋f(10)>233，
f(13)>f(12)＋f(11)>377，
f(14)>f(13)＋f(12)>610，
f(15)>f(14)＋f(13)>987，
f(16)>f(15)＋f(14)>1 597>1 000，
f(17)>f(16)＋f(15)>2 584，
f(18)>f(17)＋f(16)>4 181，
f(19)>f(18)＋f(17)>6 765，
f(20)>f(19)＋f(18)>10 946>10 000>1 000，
则B 正确，D 错误；
且无证据表明A，C 一定正确．
二、多选题
9．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动
出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均
值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N(1.8,0.12)，假设
推动出口后的亩收入Y 服从正态分布N(，s2)，则( )
(若随机变量Z 服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)
A．P(X>2)>0.2
B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5
D．P(Y>2)<0.8
答案 BC
解析 依题可知，＝2.1，s2＝0.01，
所以Y～N(2.1,0.12)，
故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3，所以C 正确，D 错误；
因为X～N(1.8,0.12)，
所以P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7，
而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)<P(X>1.8＋0.1)≈0.158 7，
所以B 正确，A 错误．
10．设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则( )
A．x＝3 是f(x)的极小值点
B．当0<x<1 时，f(x)<f(x2)
C．当1<x<2 时，－4<f(2x－1)<0
D．当－1<x<0 时，f(2－x)>f(x)
答案 ACD
解析 对于A，因为函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2
＝3(x－1)(x－3)，
易知当x∈(1,3)时，f′(x)<0；
当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，
在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
故x＝3 是f(x)的极小值点，故A 正确；
对于B，当0<x<1 时，
x－x2＝x(1－x)>0，所以1>x>x2>0，
由A 选项分析可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，
所以f(x)>f(x2)，故B 错误；
对于C，当1<x<2 时，1<2x－1<3，
由A 选项分析可知，函数f(x)在(1,3)上单调递减，
所以f(1)>f(2x－1)>f(3)，
即－4<f(2x－1)<0，故C 正确；
对于D，当－1<x<0 时，
f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)>0，
所以f(2－x)>f(x)，故D 正确．
11.设计一条美丽的丝带，其造型
可以看作图中的曲线C 的一部分．已知C 过坐标原点
O，且C 上的点满足：横坐标大于－2，到点F(2,0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积
为4，则( )
A．a＝－2
B．点(2，0)在C 上
C．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点(x0，y0)在C 上时，y0≤
答案 ABD
解析 设曲线上的动点P(x，y)，
对于A，则x>－2 且×|x－a|＝4，
因为曲线过坐标原点，
故×＝4，
解得a＝－2(正值舍去)，故A 正确；
对于B，由曲线的方程为
×＝4，
而x>－2，
故×(x＋2)＝4.
当x＝2，y＝0 时，
×(2＋2)＝8－4＝4，
故点(2，0)在C 上，故B 正确；
对于C，由曲线的方程可得
y2＝－(x－2)2，
令f(x)＝－(x－2)2，
则f′(x)＝－－2(x－2)，
因为f(2)＝1，且f′(2)<0，
所以函数f(x)在x＝2 附近单调递减，
即必定存在一小区间(2－ε，2＋ε)(ε>0)使得f(x)单调递减，
所以在区间(2－ε，2)上均有f(x)>1，
所以P(x，y)的纵坐标的最大值一定大于1，故C 错误；
对于D，当点(x0，y0)在C 上时，
由C 项的分析可得
y＝－(x0－2)2≤，
又x0>－2，故y0≤|y0|≤，故D 正确．
三、填空题
12．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y 轴的直线
交C 于A，B 两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C 的离心率为________．
答案
解析 |F1A|＝13，|AF2|＝|AB|＝5，
且AF2⊥F1F2，
|F1F2|＝＝12.
由双曲线定义可得2a＝|F1A|－|AF2|＝8，
2c＝|F1F2|＝12，
化简得a＝4，c＝6，
则C 的离心率e＝＝.
13．若曲线y＝ex＋x 在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a 的切线，则a＝________.
答案 ln 2
解析 由y＝ex＋x 得y′＝ex＋1，
当x＝0 时，y′＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x 在点(0,1)处的切线方程为
y＝2x＋1.
由y＝ln(x＋1)＋a 得y′＝，
设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a 相切的切点为(x0，y0)，
由两曲线有公切线得y′＝＝2，
解得x0＝－，代入切线方程y＝2x＋1 得y0＝2×＋1＝0，
则y＝ln(x0＋1)＋a＝0，
即ln＋a＝0，解得a＝ln 2.
14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字
1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从
自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1 分，数字小
的人得0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)．则四轮
比赛后，甲的总得分不小于2 的概率为________．
答案
解析 因为甲出卡片1 一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为
3.
若甲的总得分为3，则甲出卡片3,5,7 时都赢，所以只有1 种组合：3－2,5－4,7－6,1－8.
若甲的总得分为2，有以下三类情况：
第一类，当甲出卡片3 和5 时赢，只有1 种组合，为3－2,5－4,1－6,7－8；
第二类，当甲出卡片3 和7 时赢，有3－2,7－4,1－6,5－8 或3－2,7－4,1－8,5－6 或3－2,7
－6,1－4,5－8，共3 种组合；
第三类，当甲出卡片5 和7 时赢，有5－2,7－4,1－6,3－8 或5－2,7－4,1－8,3－6 或5－4,7
－2,1－6,3－8 或5－4,7－2,1－8,3－6 或5－2,7－6,1－4,3－8 或5－2,7－6,1－8,3－4 或5－
4,7－6,1－2,3－8，共7 种组合．
综上，甲的总得分不小于2 共有12 种组合，而所有不同的组合共有4×3×2×1＝24(种)，
所以甲的总得分不小于2 的概率P＝＝.
四、解答题
15．记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC 的面积为3＋，求c.
解 (1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，
因为a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝，
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C＝＝＝，
又因为sin C＝cos B，
即cos B＝，
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由(1)可得B＝，cos C＝，C∈(0，π)，
从而C＝，sin A＝sin(B＋C)＝sin
＝×＋×＝.
方法一 由正弦定理有＝，
从而b＝·c＝c，
由三角形面积公式可知，
△ABC 的面积可表示为S△ABC＝bc·sin A
＝·c·c·＝c2，
由已知△ABC 的面积为3＋，
可得c2＝3＋，所以c＝2.
方法二 记R 为△ABC 外接圆的半径，
由正弦定理得
S△ABC＝ab·sin C＝2R2sin Asin Bsin C
＝2R2···
＝·R2＝3＋.
所以R＝2.
所以c＝2R·sin C＝2×2×＝2.
16．已知A(0,3)和P 为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C 的离心率；
(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．
解 (1)由题意得
解得
所以C 的离心率e＝＝＝.
(2)方法一 kAP＝＝－，
则直线AP 的方程为
y＝－x＋3，
即x＋2y－6＝0，
因为|AP|＝＝，
S△ABP＝9，
所以点B 到直线AP 的距离d＝＝，
设B(x0，y0)，则
解得或即B(0，－3)或，
当B(0，－3)时，kl＝，
直线l 的方程为y＝x－3，
即3x－2y－6＝0；
当B 时，kl＝，
直线l 的方程为y＝x，即x－2y＝0.
综上，直线l 的方程为3x－2y－6＝0 或x－2y＝0.
方法二 同方法一得到直线AP 的方程为x＋2y－6＝0，
点B 到直线AP 的距离d＝，
设B(2cos θ，3sin θ)，
其中θ∈[0,2π)，
则有＝，
联立cos2θ＋sin2θ＝1，
解得或
即B(0，－3)或，以下同方法一．
方法三 当直线AB 的斜率不存在时，此时B(0，－3)，
S△PAB＝×6×3＝9，符合题意，
此时kl＝，
直线l 的方程为y＝x－3，
即3x－2y－6＝0；
当直线AB 的斜率存在时，
设直线AB 的方程为y＝kx＋3，k≠0，
联立椭圆方程有
则(4k2＋3)x2＋24kx＝0，
其中k≠kAP，即k≠－，
解得x＝0(舍去)或x＝，k≠0，k≠－，
当x＝时，y＝，
则B，
同方法一得到直线AP 的方程为x＋2y－6＝0，
点B 到直线AP 的距离d＝，
则＝，
解得k＝，
此时B，
则kl＝，
直线l 的方程为y＝x，
即x－2y＝0，
综上，直线l 的方程为3x－2y－6＝0 或x－2y＝0.
方法四 当l 的斜率不存在时，
l：x＝3，B，
|PB|＝3，点A 到直线PB 的距离d＝3，
此时S△ABP＝×3×3＝≠9 不满足条件；
当直线l 的斜率存在时，
设直线l：y＝k(x－3)＋，
设l 与y 轴的交点为Q，
令x＝0，则Q，
联立
则有(3＋4k2)x2－8kx＋36k2－36k－27＝0，
其中Δ＝64k22－4(3＋4k2)(36k2－36k－27)>0，
即4k2＋12k＋9>0，
且k≠kAP，即k≠－，k≠－，
则3xB＝，
xB＝，
则S△ABP＝|AQ||xP－xB|
＝＝9，
解得k＝或k＝，均满足题意．
则直线l 的方程为y＝x 或y＝x－3，
即x－2y＝0 或3x－2y－6＝0.
17.如图，四棱锥P－ABCD 中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝.
(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且二面角A－CP－D 的正弦值为，求AD.
(1)证明 因为PA⊥平面ABCD，
而AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA＝P，
PB，PA⊂平面PAB，
所以AD⊥平面PAB，
而AB⊂平面PAB，
所以AD⊥AB.
因为BC2＋AB2＝AC2，
所以BC⊥AB，
根据平面知识可知AD∥BC，
又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
(2)解 方法一 以D 为原点，DA，DC的方向分别为x 轴、y 轴正方向建立如图所示的空间
直角坐标系．
设AD＝p，DC＝q，
满足p2＋q2＝AC2＝4.
则A(p，0,0)，P(p，0,2)，C(0，q，0)，D(0,0,0)．
设平面APC 的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
因为AP＝(0,0,2)，AC＝(－p，q，0)，
所以
取m＝(q，p，0)．
设平面DPC 的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
因为DP＝(p，0,2)，DC＝(0，q，0)，
所以
取n＝(2,0，－p)．
所以|cos 〈m，n〉|＝＝
＝，
又因为p2＋q2＝4，所以＝，
解得p＝(负值舍去)，
即AD＝.
方法二 如图所示，过点D 作DE⊥AC 于点E，
再过点E 作EF⊥CP 于点F，连接DF，
因为PA⊥平面ABCD，
PA⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD，
又平面PAC∩平面ABCD＝AC，
DE⊂平面ABCD，
所以DE⊥平面PAC，
因为CP⊂平面PAC，所以DE⊥CP，
又EF⊥CP，EF∩DE＝E，
EF，DE⊂平面DEF，
所以CP⊥平面DEF，
所以DF⊥CP，
根据二面角的定义可知，
∠DFE 即为二面角A－CP－D 的平面角，
即sin∠DFE＝，
即tan∠DFE＝.
因为AD⊥DC，设AD＝x，0<x<2，
则DC＝，
由等面积法可得，DE＝，
又CE＝＝，
而△EFC 为等腰直角三角形，
所以EF＝，
又DE⊥平面PAC，EF⊂平面PAC，
所以DE⊥EF，
故tan∠DFE＝＝＝，
解得x＝，即AD＝.
18．已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3.
(1)若b＝0，且f′(x)≥0，求a 的最小值；
(2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形；
(3)若f(x)>－2 当且仅当1<x<2，求b 的取值范围．
(1)解 当b＝0 时，f(x)＝ln＋ax，
其中x∈(0,2)，
则f′(x)＝＋＋a＝＋a，x∈(0,2)，
因为x(2－x)≤2＝1，
当且仅当x＝1 时等号成立，
故f′(x)min＝2＋a，
而f′(x)≥0，
故2＋a≥0，即a≥－2，
所以a 的最小值为－2.
(2)证明 f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0,2)，
设P(m，n)为y＝f(x)图象上任意一点，
P(m，n)关于点(1，a)的对称点为
Q(2－m，2a－n)，
因为点P(m，n)在y＝f(x)的图象上，
故n＝ln＋am＋b(m－1)3，
而f(2－m)＝ln＋a(2－m)＋b(2－m－1)3
＝－＋2a，
＝－n＋2a，
所以点Q(2－m，2a－n)也在y＝f(x)的图象上，由点P 的任意性可得y＝f(x)的图象为中心对
称图形，且对称中心为(1，a)．
(3)解 因为f(x)>－2 当且仅当1<x<2，
故x＝1 为f(x)＝－2 的一个解，
所以f(1)＝－2，即a＝－2.
此时f(x)>－2，即ln ＋2(1－x)＋b(x－1)3>0，
设t＝x－1∈(－1,1)，
则ln －2t＋bt3>0.
设g(t)＝ln －2t＋bt3，t∈(－1,1)，
则g′(t)＝－2＋3bt2
＝.
当b≥0 时，
－3bt2＋2＋3b≥－3b＋2＋3b＝2>0，
故g′(t)≥0 恒成立，
故g(t)在(－1,1)上为增函数，
又g(0)＝0，所以g(t)>0 当且仅当0<t<1，
即f(x)>－2 当且仅当1<x<2；
当－≤b<0 时，
－3bt2＋2＋3b≥2＋3b≥0，
故g′(t)≥0 恒成立，
故g(t)在(－1,1)上为增函数，
又g(0)＝0，所以g(t)>0 当且仅当0<t<1，
即f(x)>－2 当且仅当1<x<2；
当b<－时，
则当0<t<<1 时，g′(t)<0，
故在上，g(t)单调递减，
g(t)<g(0)＝0，不符合题意，舍去，
综上，b≥－.
19．设m 为正整数，数列a1，a2，…，a4m＋2是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项ai和
aj(i<j)后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
a1，a2，…，a4m＋2是(i，j)－可分数列．
(1)写出所有的(i，j)，1≤i<j≤6，使数列a1，a2，…，a6是(i，j)－可分数列；
(2)当m≥3 时，证明：数列a1，a2，…，a4m＋2是(2,13)－可分数列；
(3)从1,2，…，4m＋2 中一次任取两个数i 和j(i<j)，记数列a1，a2，…，a4m＋2是(i，j)－可分
数列的概率为Pm，证明：Pm>.
(1)解 (1,2)，(1,6)，(5,6)．
(2)证明 当m＝3 时，删去a2，a13，其余项可分为以下3 组：
a1，a4，a7，a10为第1 组，
a3，a6，a9，a12为第2 组，
a5，a8，a11，a14为第3 组，
当m>3 时，删去a2，a13，其余项可分为以下m 组：
a1，a4，a7，a10为第1 组，
a3，a6，a9，a12为第2 组，
a5，a8，a11，a14为第3 组，
a15，a16，a17，a18为第4 组，
a19，a20，a21，a22为第5 组，
…
a4m－1，a4m，a4m＋1，a4m＋2为第m 组，
可知每组的4 个数都能构成等差数列，故数列a1，a2，…，a4m＋2是(2,13)－可分数列．
(3)证明 易知a1，a2，…，a4m＋2是(i，j)－可分数列⇒1,2，…，4m＋2 是(4p＋1,4q＋2)－可分
数列，其中p，q∈{0,1，…，m}．
当0≤p≤q≤m 时，删去4p＋1,4q＋2，
其余项按从小到大的顺序排列，每4 项分为1 组，可知每组的4 个数都能构成等差数列，
故数列1,2，…，4m＋2 是(4p＋1,4q＋2)－可分数列，
可分为(1,2,3,4)，…，(4p－3,4p－2,4p－1,4p)，…，(4(q＋1)－1,4(q＋1)，4(q＋1)＋1，4(q＋
1)＋2)，…，(4m－1,4m，4m＋1,4m＋2)．
p，q 的可能取值方法数为
C＋m＋1＝.
易知a1，a2，…，a4m＋2是(i，j)－可分数列⇒1,2，…，4m＋2 是(4p＋2,4q＋1)－可分数列，其
中p，q∈{0,1，…，m}．
当q－p>1 时，删去4p＋2,4q＋1，
将1～4p 与4q＋3～4m＋2 按从小到大的顺序排列，每4 项分为1 组，可知每组的4 个数成
等差数列．考虑4p＋1,4p＋3,4p＋4，…，4q，4q＋2 是否可分，等同于考虑1,3,4，…，4t，
4t＋2 是否可分，其中t＝q－p>1，可分为(1，t＋1,2t＋1,3t＋1)，(3，t＋3,2t＋3,3t＋3)，(4，
t＋4,2t＋4,3t＋4)，…，(t，2t，3t，4t)，(t＋2,2t＋2,3t＋2,4t＋2)，每组的4 个数都能构成等
差数列．
故数列1,2，…，4m＋2 是(4p＋2,4q＋1)－可分数列，
p，q 且q－p>1 的可能取值方法数为
C－m＝.
从而Pm≥
＝>.
