2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．(2013 课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
2．(2013 课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．
A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i
3．(2013 课标全国Ⅱ，理3)等比数列{an}的前n 项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．
A．
B．
C．
D．
4．(2013 课标全国Ⅱ，理4)已知m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l 满足l⊥m，l⊥n，l
α，l
β，则( )．
A．α∥β 且l∥α B．α⊥β 且l⊥β
C．α 与β 相交，且交线垂直于l D．α 与β 相交，且交线平行于l
5．(2013 课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(
)．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
6．(2013 课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝(
)．
A．
B．
C．
D．
7．(2013 课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，
(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以
为( )．
8．(2013 课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
9．(2013 课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y 满足约束条件
若z＝2x＋y 的最小值为1，则a＝(
)．
A．
B．
C．1 D．2
10．(2013 课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．
A．
x0∈R，f(x0)＝0
2013 全国新课标卷2 理科数学 第1页
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0 是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
11．(2013 课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M 在C 上，|MF|＝5，若以MF 为直径
的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )．
A．y2＝4x 或y2＝8x B．y2＝2x 或y2＝8x
C．y2＝4x 或y2＝16x D．y2＝2x 或y2＝16x
12．(2013 课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC 分割为面积
相等的两部分，则b 的取值范围是( )．
A．(0,1) B．
C．
D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22 题～第24
题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．
13．(2013 课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则
＝__________.
14．(2013 课标全国Ⅱ，理14)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等
于5 的概率为
，则n＝__________.
15．(2013 课标全国Ⅱ，理15)设θ 为第二象限角，若
，则sin θ＋cos θ＝
__________.
16．(2013 课标全国Ⅱ，理16)等差数列{an}的前n 项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为
__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013 课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12 分)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C
＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC 面积的最大值．
2013 全国新课标卷2 理科数学 第2页
18．(2013 课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12 分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E 分别是AB，BB1的中点，
AA1＝AC＝CB＝
.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E 的正弦值．
19．(2013 课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t
该产品获利润500 元，未售出的产品，每1 t 亏损300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频
率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表
示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T 表示为X 的函数；
(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000 元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为
需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105 的概率等于需求量
落入[100,110)的频率)，求T 的数学期望．
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20．(2013 课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12 分)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M：
(a＞b＞0)
右焦点的直线
交M 于A，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为
.
(1)求M 的方程；
(2)C，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．
21．(2013 课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12 分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0 是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2 时，证明f(x)＞0.
2013 全国新课标卷2 理科数学 第4页
请考生在第22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．(2013 课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10 分)选修4—1：几何证明选讲
如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D，E，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE
＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆．
(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．
23．(2013 课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10 分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知动点P，Q 都在曲线C：
(t 为参数)上，对应参数分别为t＝α 与t＝2α(0＜α＜2π)，M 为
PQ 的中点．
(1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
2013 全国新课标卷2 理科数学 第5页
24．(2013 课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10 分)选修4—5：不等式选讲
设a，b，c 均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤
；
(2)
.
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2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．
答案：A
解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝
{0,1,2}，故选A.
2．
答案：A
解析：
＝
＝－1＋i.
3．
答案：C
解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因
此q≠1.
∵q≠1 时，S3＝
＝a1·q＋10a1，
∴
＝q＋10，整理得q2＝9.
∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝
.
4．
答案：D
解析：因为m⊥α，l⊥m，l
α，所以l∥α.同理可得l∥β.
又因为m，n 为异面直线，所以α 与β 相交，且l 平行于它们的交线．故选D.
5．
答案：D
解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为
(0≤r≤5，r∈Z)，则含x2的项为
＋ax·
＝(10＋
5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.
6．
答案：B
解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1 时，T＝1，S＝1；
当k＝2 时，
，
；
当k＝3 时，
，
；
当k＝4 时，
，
；…；
当k＝10 时，
，
，k 增加1 变为11，满足k＞N，输出S，所以B
正确．
7．
答案：A
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz 的图像为下图：
2013 全国新课标卷2 理科数学 第7页
则它在平面zOx 上的投影即正视图为
，故选A.
8．
答案：D
解析：根据公式变形，
，
，
，因为lg 7＞lg 5＞lg
3，所以
，即c＜b＜a.故选D.
9．
答案：B
解析：由题意作出
所表示的区域如图阴影部分所示，
作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1 与直线x＝1 的交点坐标为
(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得
，所以
.
10．
答案：C
解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在
(－∞，x0)上不单调，故C 不正确．
11．
答案：C
解析：设点M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋
＝5，则
x0＝5－
.
又点F 的坐标为
，所以以MF 为直径的圆的方程为(x－x0)
＋(y－y0)y＝0.
将x＝0，y＝2 代入得px0＋8－4y0＝0，即
－4y0＋8＝0，所以y0＝4.
由
＝2px0，得
，解之得p＝2，或p＝8.
所以C 的方程为y2＝4x 或y2＝16x.故选C.
12．
答案：B
第Ⅱ卷
2013 全国新课标卷2 理科数学 第8页
本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22 题～第24
题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．
13．答案：2
解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为
(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则
＝(1,2)，
＝(－2,2)，所以
.
14．答案：8
解析：从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有
种取法，两数之和为5
的有(1,4)，(2,3)2 种，所以
，即
，解
得n＝8.
15．答案：
解析：由
，得tan θ＝
，即sin θ＝
cos θ.
将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得
.
因为θ 为第二象限角，所以cos θ＝
，sin θ＝
，sin θ＋cos θ＝
.
16．答案：－49
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝
＝10a1＋45d＝0，①
S15＝
＝15a1＋105d＝25.②
联立①②，得a1＝－3，
，
所以Sn＝
.
令f(n)＝nSn，则
，
.
令f′(n)＝0，得n＝0 或
.
当
时，f′(n)＞0,
时，f′(n)＜0，所以当
时，f(n)取最小值，而n∈N＋，则f(6)＝
－48，f(7)＝－49，所以当n＝7 时，f(n)取最小值－49.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)由已知及正弦定理得
sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①
又A＝π－(B＋C)，故
sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，
又B∈(0，π)，所以
.
2013 全国新课标卷2 理科数学 第9页
(2)△ABC 的面积
.
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－
.
又a2＋c2≥2ac，故
，当且仅当a＝c 时，等号成立．
因此△ABC 面积的最大值为
.
18．
解：(1)连结AC1交A1C 于点F，则F 为AC1中点．
又D 是AB 中点，连结DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1
平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝
得，AC⊥BC.
以C 为坐标原点，
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，
＝(1,1,0)，
＝(0,2,1)，
＝(2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD 的法向量，
则
即
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m 是平面A1CE 的法向量，
则
可取m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝
，
故sin〈n，m〉＝
.
即二面角D－A1C－E 的正弦值为
.
19．
解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以
(2)由(1)知利润T 不少于57 000 元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000 元的概率的
估计值为0.7.
(3)依题意可得T 的分布列为
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
20．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则
，
，
，
2013 全国新课标卷2 理科数学 第10页
由此可得
.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
，
所以a2＝2b2.
又由题意知，M 的右焦点为(
，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以M 的方程为
.
(2)由
解得
或
因此|AB|＝
.
由题意可设直线CD 的方程为
y＝
，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由
得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x3,4＝
.
因为直线CD 的斜率为1，
所以|CD|＝
.
由已知，四边形ACBD 的面积
.
当n＝0 时，S 取得最大值，最大值为
.
所以四边形ACBD 面积的最大值为
.
21．
解：(1)f′(x)＝
.
由x＝0 是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.
于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝
.
函数f′(x)＝
在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.
2013 全国新课标卷2 理科数学 第11页
因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2 时，f(x)＞0.
当m＝2 时，函数f′(x)＝
在(－2，＋∞)单调递增．
又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，
故f′(x)＝0 在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．
当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．
由f′(x0)＝0 得
＝
，ln(x0＋2)＝－x0，
故f(x)≥f(x0)＝
＋x0＝
＞0.
综上，当m≤2 时，f(x)＞0.
请考生在第22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．
解：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，
所以∠DCB＝∠A，由题设知
，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C 四点共圆，
所以∠CFE＝∠DBC，
故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．
(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C 四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝
DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为
.
23．
解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M 的轨迹的参数方程为
(α 为参数，0＜α＜2π)．
(2)M 点到坐标原点的距离
(0＜α＜2π)．
当α＝π 时，d＝0，故M 的轨迹过坐标原点．
24．
解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤
.
(2)因为
，
，
，
2013 全国新课标卷2 理科数学 第12页
故
≥2(a＋b＋c)，
即
≥a＋b＋c.
所以
≥1.
2013 全国新课标卷2 理科数学 第13页
