2.5 直线的交点坐标与距离公式
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：两条直线的交点坐标....................................................... 2
考点二：两点间的距离................................................................ 3
考点三：点到直线的距离............................................................. 3
考点四：两条平行线间的距离....................................................... 3
考点五：对称问题......................................................................4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：判断两直线的位置关系.................................................... 4
题型二：直线交点的求相关量....................................................... 5
题型三：过两条直线交点的直线系方程............................................6
题型四：两点间距离公式............................................................. 7
题型五：两点间距离转化应用....................................................... 8
题型六：点到直线距离公式.......................................................... 8
题型七：平行线间距离公式........................................................ 10
题型八：点到直线距离公式转化应用.............................................11
题型九：点关于点、点关于线对称................................................11
题型十：线段和差最值问题........................................................ 12
题型十一：平行直线间的距离的最值问题....................................... 13
模块三：综合巩固....................................................................... 14
2.5 直线的交点坐标与距离公式
模块一：基础知识
考点一：两条直线的交点坐标
1.点与坐标的一一对应关系
几何元素及关系
代数表示
点P
( , )
P a b
直线l
:
0
l Ax
By
C
点P 在直线l 上
0
Aa
Bb
C
直线1l 与2l 的交点是P
方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A x
B y
C
A x
B y
C
的解是x
a
y
b
2.直线的交点与方程的解
求两直线
1
1
1
1
1
1
0(
0)
A x
B y
C
A B C
与
2
2
2
2
2
2
0(
0)
A x
B y
C
A B C
的交点坐标，
只需求两直线方程联立所得方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A x
B y
C
A x
B y
C
的解即可．
若有
1
1
1
2
2
2
A
B
C
A
B
C ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；
若有
1
1
1
2
2
2
A
B
C
A
B
C ，则方程组无解，此时两直线平行；
若有
1
1
2
2
A
B
A
B ，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标．
3.判断两直线的位置关系
关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．
（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．
（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．
4.过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含
有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．
由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
经过两直线1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
，2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
交点的直线方程为
1
1
1
2
2
2
(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C
，其中是待定系数．
在这个方程中，无论取什么实数，都得不到
2
2
2
0
A x
B y
C
，因此它不能表示直线2l ．
考点二：两点间的距离
1.距离公式：平面内两点
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P x
y
间的距离公式为：
2
2
1
2
1
2
1
2
PP
x
x
y
y
.
【注意】公式中
1P 和
2P 位置没有先后之分，也可以表示为：
2
2
1
2
2
1
2
1
PP
x
x
y
y
．
2.三种特殊距离：
（1）原点O 到任意一点
,
P x y 的距离为
2
2
OP
x
y
；
（2）当
1
2
PP 平行于x 轴时，
1
2
2
1
PP
x
x ；
（3）当
1
2
PP 平行于y 轴时，
1
2
2
1
PP
y
y ．
3.坐标法解题的基本步骤
（1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；
（2）进行有关代数运算；
（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
考点三：点到直线的距离
1.定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度．
2.距离公式：点
0
0
,
P x
y
到直线:
0
l Ax
By
C
的距离
0
0
2
2
Ax
By
C
d
A
B
．
【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．
（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离．
（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点P 在直线l 上时，它到直线的距离为0．
3.点到几种特殊直线的距离
（1）点
0
0
,
P x
y
到x 轴的距离
0
d
y
；
（2）点
0
0
,
P x
y
到y 轴的距离
0
d
x
；
（3）点
0
0
,
P x
y
到直线y
a
的距离
0
d
y
a
；
（4）点
0
0
,
P x
y
到直线x
b
的距离
0
d
x
b
．
考点四：两条平行线间的距离
1.定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长．
2.距离公式：两条平行直线1
1
:
0
l
Ax
By
C
，
2
2
1
2
:
0
l
Ax
By
C
C
C
，
它们之间的距离为：
1
2
2
2
C
C
d
A
B
【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且x 和y 的系数对应相等．
3.两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上
的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离．
考点五：对称问题
1.点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点
1
1
(
)
P x
y
，
关于点
0
0
(
)
Q x
y
，
的对称点为
2
2
(
)
P x
y
，
，则根
据中点坐标公式，有
1
2
0
1
2
0
2
2
x
x
x
y
y
y
可得对称点
2
2
(
)
P x
y
，
的坐标为
0
1
0
1
(2
2
)
x
x
y
y
，
2.点关于直线对称【2.8 专题有二级公式】
点
1
1
(
)
P x
y
，
关于直线:
0
l Ax
By
C
对称的点为
2
2
(
)
P x
y
，
，连接PP，交l 于M 点，则l 垂直平分
PP，所以PP
l
，且M 为PP中点，又因为M 在直线l 上，故可得
1
2
1
2
1
0
2
2
l
PP
k
k
x
x
y
y
A
B
C
，解出
2
2
(
)
x
y
，
即可．
3.直线关于点对称【2.8 专题有二级公式】
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直
线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4.直线关于直线对称
求直线1 :
0
l
ax
by
c
，关于直线2 :
0
l
dx
ey
f
（两直线不平行）的对称直线3l
第一步：联立1
2
l
l
，算出交点
0
0
(
)
P x
y
，
第二步：在1l 上任找一点（非交点）
1
1
(
)
Q x
y
，
，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
2
2
(
)
Q x
y
，
第三步：利用两点式写出3l 方程
模块二：题型分类
题型一：判断两直线的位置关系
1.判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1) 1 : 2
3
0
l
x
y
，2 :
2
1
0
l
x
y
；
(2) 1 :
2
0
l
x
y
，2 : 2
2
3
0
l
x
y
；
(3) 1 :
1
0
l
x
y
，2 : 2
2
2
0
l
x
y
．
2.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1) 1
2
:
1
0,
: 2
2
1
0
l
x
y
l
x
y
；
(2) 1
2
:
2
1
0,
:
2
5
0
l
x
y
l
x
y
．
3.分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标.
(1) 1 :
3
1
0
l
x
y
，2 :3
4
0
l
x
；
(2) 1 :
3
1
0
l
x
y
，2
1
:
4
3
l
y
x
.
题型二：直线交点的求相关量
1.已知三条直线2
4
0,
3
0,
2
0
x
y
kx
y
x
y
交于一点，则实数k =（
）
A．1
B．1
C．
3
2
D．1
4
2.直线2
2
0
x
y
与
4
2
0
ax
y
互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（
）
A．
1, 4
B．
0, 2
C．
1,0
D．0, 1
2
3.已知直线1l ：
1
0
ax
y
与2l ：2
1
0
x
by
相交于点
1,1
M
，则a
b
（
）
A．1
B．1
C．2
D．－2
4.已知直线
4
2
0
mx
y
与2
5
0
x
y
n
互相垂直，垂足为
1,
P
p ，则m
n
p
的值是（
）
A．24
B．0
C．20
D．4
5.已知直线1l ：y = kx - 4 与直线2l ：x + 2y + 2 = 0 的交点在第三象限.则实数k 的取值范围为（
）
A．
, 2
B．
2,
C．
1
,
2
D．
2,0
6.若直线:
3
l y
kx
与直线
3
0
x
y
相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围
是
．
7.若y
a x
的图像与直线
(
0)
y
a
x a
有两个不同的交点，则a 的取值范围是（
）
A．1
0
a
B．
1
a
C．a<0
D．
1
a
8.已知0
4
k
，直线1
2
2
8
0
l
kx
y
k
：
和直线
2
2
2
2
4
4
0
l
x
k y
k
：
与两坐标轴围成一个四边形，
则使得这个四边形面积最小的k 值为（
）
A．1
2
B．1
4
C．1
8
D．1
9.若直线:
3
l y
kx
与直线2
3
6
0
x
y
的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．π π
,
6 3
B．π π
,
6 2
C．π π
,
3 2
D．π π
,
6 2
题型三：过两条直线交点的直线系方程
1.已知直线1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
（
1A ，
1
B 不全为0）与直线2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
（
2
A ，
2
B 不全为0）相交于
点P，求证：过点P 的直线可以写成
1
1
1
2
2
2
0
m A x
B y
C
n A x
B y
C
2
2
(
0)
m
n
的形式．
2.求过两条直线
2
3
y
x
与3
2
0
x
y
的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）斜率为
1
2
；
（2）过点
2 , 3
P
；
（3）平行于直线3
1
x
y
．
3.直线l 经过直线1
2
: 2
3
2
0
:3
4
2
0
l
x
y
l
x
y
与
的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
求直线l 的方程．
4.已知两直线
1
1
1
0
a x
b y
和
2
2
1
0
a x
b y
的交点为
(1,2)
P
，则过
1
1
1
(
,
),
Q a b
2
2
2
(
,
)
Q a b
两点的直线方程为
（
）
A．
2
1
0
x
y
B．
2
1
0
x
y
C．2
1
0
x
y
D．2
1
0
x
y
5.求过直线x+y+1＝0 与2x+3y﹣4＝0 的交点且斜率为﹣2 的直线方程．
6.求经过直线1:
3
4
0
l
x
y
与2 :5
2
6 0
l
x
y
的交点，且过点
(2,3)
A
的直线方程．
题型四：两点间距离公式
1.已知
3,6 ,
2,4
A
B
，则A，B 两点间的距离为（
）
A．5
B．5
C．3
D．
29
2.已知点
1,2 ,
1,0 ,
3,6 ,
A
B
C
M
为AB 中点，则MC
．
3.三角形的三个顶点为
3, 2 ,
3,4 ,
5,4
A
B
C
，D 为AC 中点，则BD 的长为（
）
A．3
B．5
C．9
D．25
4.直线1 :3
2
0
l
ax
y
和直线2 :
2
(
1)
y
l
a x
分别过定点A 和B，则AB
．
5.已知过
(
,2),
(
,
1)
A m
B
m m
两点的直线的倾斜角是45，则
,
A B 两点间的距离为（
）
A．2
B．
6
C．2 2
D．3 2
6.在数轴上，运用两点距离的概念和计算公式，可得方程
1
1
2
x
x
的解集为
.
7.已知
, 5
A a
与
0,10
B
两点间的距离是17，则a 的值为（
）
A．8
B．2 66
C．2 66
D．8
8.已知点
1,2
A
，
3,4
B
，
5,0
C
，若A ，B ，C 是ABC
的三个顶点，则ABC
是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
9.已知函数y
x
m
的图象与函数
2
1
x
y
和函数
2
2
1
x
y
的图象分别交于
,
A B 两点，若
2
AB
，
则m
．13723366289
题型五：两点间距离转化应用
1.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化
为几何问题加以解决，根据上述观点，当
2
2
2
10
10
29
f x
x
x
x
x
取得最小值时，实数x 的值
为（
）
A．13
5
B．3
C．17
5
D．4
2.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为
几何问题加以解决，如：
2
2
x
a
y
b
可以转化为平面上点
,
M x y 与点
,
N a b 的距离．结合上述观
点，可得
2
2
2
5
6
25
y
x
x
x
x
的最小值为（
）
A．2 10
B．2 2
C．
2
10
D．3
5
3.
2
2
2
2
4
8
f x
x
x
x
x
的最小值为
．
4.已知
R
x
y
、
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(
1)
1
2
(
2)
1
x
y
x
y
x
y
x
y
的最小值为
.
题型六：点到直线距离公式
1.原点到直线9
12
10
0
x
y
间的距离是（
）
A．2
3
B．1
3
C．1
D．2
5
2.已知点
0,3
A
及直线:
1
0
l x
y
上一点B ，则AB 的值不可能是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.已知
2,0
A
，
4,
B
m 两点到直线l ：
1
0
x
y
的距离相等，则m （
）
A．2
B．6
C．2
或4
D．4 或6
4.已知点
1
,1 3
P
t
t
到直线:
2
1
l y
x
的距离为
5
5 ，则点P 的坐标为（
）
A．
0, 2
B．
2,4
C．
0, 2
或
2,4
D．
1,1
5.已知ABC
的三个顶点的坐标为
3,3
A
，
2, 2
B
，
7,1
C
，则ABC
的面积为
.
6.已知
1,3
P
，
3,6
Q
，若P ，Q 到直线l 的距离都等于5
2 ，则满足条件的直线l 共有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
7.已知直线l ：
2
3
y
k x
，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．若使AOB
的面积为12的直线l 共
有（
）条
A．1
B．2
C．3
D．4
8.（多选）已知
0,1
A
、
2,0
B
、
1, 1
C
，则（
）
A．直线AB 的方程为
2
2
0
x
y
-
+
=
B．点A 到直线BC 的距离为
10
2
C．ABC
为等腰直角三角形
D．ABC
的面积为5
9.已知直线l 经过点
1,4 ，且点
2,2 ,
4, 2
A
B
到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为
.
10.若关于x 的方程
2
0
ax
x
b
；在[1,2] 上有实数根，则
2
2
a
b
的最小值是
.
11.已知直线l 经过点
3,4 ，且点
2,2
A
，
4, 2
B
到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为
.
12.如图，在等腰直角三角形ABC 中，
2
AB
AC
，点P 是边AB 上异于
,
A B 的一点，光线从点P 出发，
经
,
BC CA发射后又回到原点P ，若光线QR 经过ABC
的重心，则BP 长为
.
13.
2
3
P
,
到直线
3
0
x
y
t
的距离不超过2 ，则实数t 的取值范围是
.
14. 光线由点
2,5
P
射到直线
1
x
y
上，反射后过点
1,1
Q
，则反射光线所在直线的一般式方程
为
．
题型七：平行线间距离公式
1.两平行直线1 :
1
0
l
x
y
和2 :
3
0
l
x
y
之间的距离为（
）
A．
2
B．2
C．2 2
D．3
2.两条平行直线3
4
2
0
x
y
与6
8
1
0
x
y
间的距离为（
）
A．3
5
B．1
C．3
10
D．1
2
3.已知1
2
1
2
// , : 2
4
0,
:6
2
0
l
l l
x
y
l
x
ay
,则它们的距离为（
）
A．2 5
15
B．2 5
5
C．
5
5
D．2 5
3
4.若直线2
3
0
x
y
与4
2
0
x
y
a
之间的距离为5 ，则a 的值为（
）
A．4
B．
5
6
C．4 或16
D．8 或16
5.两条平行直线1 :
2
1
0
l
x
y
与2 :2
2
0
l
x
my
m
之间的距离为
．
6.在梯形ABCD中，
2
6
CD
AB
，且AB 和CD 所在直线的方程分别是
2
3
0
x
y
与
2
7
0
x
y
，则
梯形ABCD的面积为
.
题型八：点到直线距离公式转化应用
1.若点
,x y 在直线3
4
25
0
x
y
上移动，则
2
2
x
y
的最小值为
．
2.已知m
R
，则直线1 : (
1)
(
3)
4
0
l
m
x
m
y
与直线2 :(
1)
(
3)
l
m
x
m
y
0
的距离的最大值为
3.已知,x y 满足
2
5
0
x
y
，则
2
2
(
1)
(
1)
x
y
的最小值为
4.已知动点
,
M a b 在直线3
4
10
0
x
y
上，则
2
2
a
b
的最小值为
.
5.已知
(2,0), (0,2), (1,0)
A
B
P
，O 为坐标原点，点
,
M N 分别在线段
,
AB OB 上，则PMN
周长的最小值
为
.
6.设
1
0
x
y
，求
2
2
2
2
6
10
34
4
30
229
d
x
y
x
y
x
y
x
y
的最小值是
．
7.已知
2,0
E
，
0, 2
F
，点P 在直线3
1
0
x
y
上移动，则
2
2
PE
PF
的最小值为
.
8.函数
4
2
4
2
( )
3
6
13
1
f x
x
x
x
x
x
的最大值为
.
题型九：点关于点、点关于线对称
1.已知不同的两点
,
P a
b
与
1,
1
Q b
a
关于点
3,4 对称，则ab （
）
A．5
B．14
C．14
D．5
2.点
3,0 关于直线
3
0
x
y
对称的点的坐标为（
）
A．
3,6
B．
6, 3
C．
6,3
D．
3,6
3.已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11 对称，则a，b 的值为（
）.
A．a=-1，b=2
B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4
D．a=4，b=2
4.已知点A 与点
(2,1)
B
关于直线+
2
0
x y
对称，则点A 的坐标为（
）
A．( 1,4)
B．(4,5)
C．( 3, 4)
D．( 4, 3)
5.已知点
1, 2
M
、
,2
N m
，若M 、N 关于直线
2
2
0
x
y
对称，则实数m 的值是（
）
A．3
B．1
C．2
D．7
6.点
1,2
P
在直线l 上，直线1l 与l 关于点(
)
0,1 对称，则一定在直线1l 上的点为（）
A．1 3
,
2 2
B．
3
1, 2
C．(
)
1,0
-
D．1 ,0
2
7.直线2
3
6
0
x
y
关于点(1,1) 对称的直线方程为（
）
A．3
2
2
0
x
y
B．2
3
7
0
x
y
C．3
2
12
0
x
y
D．2
3
4
0
x
y
8.直线
1
y
x
关于直线
2
y
x
对称的直线方程为（
）
A．3
1
0
x
y
B．4
2
0
x
y
C．5
3
0
x
y
D．7
5
0
x
y
9.如果直线
2
y
ax
与直线
3
y
x
b
关于直线y
x
对称，那么（
）
A．
1 ,
6
3
a
b
B．
1 ,
6
3
a
b
C．
3,
2
a
b
D．
3,
6
a
b
10.已知直线
1
:
1
0,
: 2
2
0
l x
y
l
x
y
．若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程是（
）
A．
1
0
x
y
B．
2
1
0
x
y
C．
2
1
0
x
y
D．
2
1
0
x
y
题型十：线段和差最值问题
1.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有
趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，
怎样走才能使总路最短？试求
2
2
1
2
5
x
x
x
最小（
）
A．5
B．10
C．1
5
D．2
2
2.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有
趣的数学问题— — “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到
军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为
3,4
B
，若将军从点
2,0
A
处出发，河岸线所在直线方程为y
x
，则“将军饮马”的最短总路程为（
）
A．5
B．3 5
C．4
D．5 3
3.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个
数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走
才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
2
2
4
x
y
，若将军从点
3,1
A
处出发，河岸
线所在直线方程为=
5
y
x
，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路
程为（
）
A．10
B．9
C．8
D．7
4.已知点R 在直线
1
0
x
y
上，
1,3
M
，
3, 1
N
，则RM
RN
的最大值为（
）
A．5
B．7
C．10
D．2 5
5.已知两点
4,8 ,
2,4
A
B
，点C 在直线
1
y
x
上，则AC
BC
的最小值为（
）
A．2 13
B．9
C．
74
D．10
6.已知
4,8 ,
2,4
A
B
，点C 在直线y
x
上，则AC
BC
的最小值为（
）
A．2 13
B．9
C．10
D．
74
题型十一：平行直线间的距离的最值问题
1.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B 旋转，如果两条平行直线间
的距离为d.求：
(1)d 的变化范围；
(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．
2.已知A ，B 两点的坐标分别为
1,0 ，(
)
1,2
-
，若两平行直线1l ，2l 分别过点A，B，则1l ，2l 间的距离的
最大值为（
）
A．1
B．
2
C．2
D．2 2
3.设m
R
，已知直线1 :(
2)
2
2
0
l
m
x
my
m
，过点(2,3) 作直线2l ，且1
2
l
l
∥
，则直线1l 与2l 之间距离
的最大值是
．
模块三：综合巩固
1.已知
(6,0), ( 2,0)
A
B
，则|
|
AB （
）
A．3
B．4
C．6
D．8
2.原点到直线9
12
10
0
x
y
间的距离是（
）
A．2
3
B．1
3
C．1
D．2
5
3.两条平行线1 :
2
2
0
l
x
y
，2 :
6
9
0
l
ax
y
间的距离等于（
）
A．
5
5
B．3 5
5
C．
5
D．7 5
5
4.已知点
2,1
A
，点B 在直线
3
0
x
y
上，则AB 的最小值为（
）
A．5
B．
26
C．2 2
D．4
5.已知1
2
1
2
// ,
: 2
4
0,
: 6
2
0
l
l l
x
y
l
x
ay
,则它们的距离为（
）
A．2 5
15
B．2 5
5
C．
5
5
D．2 5
3
6.已知
2,0
A
，
4,
B
m 两点到直线l ：
1
0
x
y
的距离相等，则m （
）
A．2
B．6
C．2
或4
D．4 或6
7.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转化为
几何问题加以解决，如：
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
可以转化为平面上点
( , )
M x y 与点
( , )
N a b 的距离．结合上述观点，
可得
2
2
4
8
4
8
y
x
x
x
x
的最小值为（
）
A．4 2
B．2 2
C．
2
10
D．3
5
8.在梯形ABCD中，
2
6
CD
AB
，且AB 和CD 所在直线的方程分别是
2
3
0
x
y
与
2
7
0
x
y
，则
梯形ABCD的面积为（
）
A．9
B．18
C．9 5
D．18 5
9.已知点A，B 分别是直线1 : 2
2
0
l
x
y
与直线2 4
2
1
0
:
l
x
y
上的点，则AB 的最小值为（
）
A．0
B．5
C．
5
2
D．
5
4
10.已知
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P
x
y
是直线
2023
y
kx
（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组
1
1
2
2
1
1
x x
y y
x x
y y
的解的情况，下列说法正确的是（
）
A．无论k ，
1P ，
2P 如何，总是无解
B．无论k ，
1P ，
2P 如何，总有唯一解
C．存在k ，
1P ，
2P ，使
1
2
x
y
是方程组的一组解
D．存在k ，
1P ，
2P ，使之有无穷多解
11.已知直线
3
1
0
x
y
与直线2 3
2
3
0
x
y
平行，则它们之间的距离是（
）
A．1
B．5
4
C．3
D．4
12.若三条直线
3 ,
4,
5
0
y
x x
y
mx
ny
相交于同一点，则点
,
m n 到原点的距离d 的最小值是（
）
A．
5
2
B．
6
2
C．
7
2
D．10
2
13.已知直线
:
2
1
3
3
0
l
m
x
m
y
m
，点
5,4
M
，记M 到l 的距离为d ，则d 的取值范围为（
）
A．0,3 2
B．
0,3 2
C．
0,18
D．
0,18
14.两直线方程为1
2
:3
2
6
0,
:
2
0
l
x
y
l
x
y
，则1l 关于2l 对称的直线方程为（
）
A．3
2
4
0
x
y
B．2
3
6
0
x
y
C．2
3
4
0
x
y
D．2
3
4
0
x
y
15.（多选）若直线1 :
3
2
l
y
kx
k
与直线2 :
3
0
l
x
y
的交点在第四象限，则实数k 的取值可以是（）
A．0
B．1
3
C．
1
2
D．1
16.（多选）平面上有三条直线2
5
0,
1
0,
0
x
y
x
y
x
ky
，将平面划分为六个部分，则实数k 的
所有可能取值为（
）
A．1
2
B．1
C．2
D．1
17.（多选）已知直线l ：
1
3
4
0
a
x
ay
a
，O为坐标原点，下列说法正确的是（
）
A．若
0
a
，则a 越大，直线的倾斜角越小
B．若直线l 关于直线
4
x
对称的直线方程是2
9
0
x
y
，则
1
a
C．若直线l 过定点P ，直线m 经过P 和原点O，则直线m 围绕点P 旋转45°后得到的直线方程是
5
3
17
0
x
y
或3
5
13
0
x
y
D．若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当OA
OB
最小时，
2
3
a
18.（多选）已知三条直线：直线1
2
3
:
3
0,
:
1
0,
: 2
5
0
l
ax
y
l
x
y
l
x
y
不能围成一个封闭图形，则
实数a 的值可以是（
）13723366289
A．2
B．1
C．2
D．3
19.（多选）已知直线1l ：
2
4
0
x
y
，直线2l ：
1
4
2
0
a
x
y
，下列结论正确的是（
）
A．直线2l 可能不存在斜率
B．直线2l 恒过点
1
0,
2
C．若1
2
l
l
，则
9
a
D．点P 和点Q 分别是直线1l ，2l 上的动点，若1
2
l
l
∥，则PQ 的最小值是5
20.（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有
趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军
营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m ，n ，其方程分别为2
0
x
y
，
0
y
，点
3,1
A
，
6,3
B
，则下列说法正确的是（
）
A．将军从A 出发，先去河流m 饮马，再返回B 的最短路程是7
B．将军从A 出发，先去河流n 饮马，再返回B 的最短路程是7
C．将军从A 出发，先去河流m 饮马，再去河流n 饮马，最后返回B 的最短路程是85
D．将军从A 出发，先去河流n 饮马，再去河流m 饮马，最后返回B 的最短路程是2 13
21.在△ABC 中，点
(1,1)
A
，
(4,2)
B
，
( 4,1)
C
，则ABC
的面积为
．
22.直线2
3
0
x
y
与3
2
1
x
y
上任意两点最小距离为
.
23.已知直线1 : 4
0
l
x
y
，2 :
1
l
mx
y
，3 : 2
3
4
l
x
my
，若它们不能围成三角形，则实数m 的取值所构
成的集合为
．
24.已知两条平行直线1l ：
2
1
0
x
y
，2l ：
0
ax
y
b
间的距离为5 ，则a
b
．
25.已知点
(2,0)
A
、
( 2, 4)
B
，P 在直线:
2
8
0
l x
y
上，则PA
PB
的最小值等于
.
26.在平面直角坐标下中，有四个定点
3 , 0 ,
1 ,
1 ,
0 , 3 ,
1 , 3
A
B
C
D
及一个动点P ，则
PA
PB
PC
PD
的最小值为
．
27.已知定点
6,4
P
与定直线1l ：
4
y
x
，过P 点的直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，
求使OQM
面积最小的直线方程为
.
28.已知直线: 2
3
1
0
l
x
y
，点
1, 2
A
．求：
(1)点A 关于直线l 的对称点A的坐标；
(2)直线
: 3
2
6
0
m
x
y
关于直线l 的对称直线m的方程；
(3)直线l 关于点
1, 2
A
对称的直线l的方程．
29.已知直线1
2
:
3
4
0,
:3
2
2
0
l
x
y
l
x
y
，设直线1
2
,
l l 的交点为P .
(1)求点P 的坐标；
(2)若直线l 过点P 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.
30.已知直线1 :3
4
2
0
l
x
y
，2 : 2
2
0
l
x
y
3 :
2
5
0
l
x
y
，
(1)求直线1l 与直线2l 的交点M 的坐标；
(2)求过点M 且与直线3l 平行的直线方程.
31.等腰直角三角形ABC 的直角顶点B 和顶点A 都在直线2
3
0
x
y
上，顶点C 的坐标是
2,3
，直线
AC 的倾斜角是钝角.
(1)求直线BC，AC 在x 轴上的截距之和；
(2)平行于AC 的直线l 与边AB，BC 分别交于点D，E，若
BDE
△
的面积等于5
2 ，求直线l 与两坐标轴围成
的三角形的周长.
32.求函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
的最大值．
33.已知直线:
2
1
0
l x
y
和点
1,2
A
(1)求点A 关于直线l 的对称点的坐标；
(2)求直线l 关于点A 对称的直线方程.
34.已知
1, 1
M
，
2,2
N
，
3,0
P
．
(1)求点Q 的坐标，满足PQ
MN
，
/ /
PN
MQ ；
(2)若点Q 在x 轴上，且
NQP
NPQ
，求直线MQ 的倾斜角；
(3)一条光线从点
2,2
N
发出，射到x 轴上一点
3,0
P
后被x 轴反射，求反射光线所在的直线方程.
35.已知ABC
的顶点
2,0
B
，AB 边上的高所在的直线方程为
3
26
0
x
y
．
(1)求直线AB 的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
①角A 的平分线所在直线方程为
2
0
x
y
；
②BC 边上的中线所在的直线方程为
3
y ．
若________________，求直线AC 的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
