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第 01 讲 极坐标与参数方程
一、解答题
1．在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐
标系.已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为
参数）
(1)求曲线 的参数方程与直线 的普通方程；
(2)设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线 上的点，且 ,求 面积的取
值范围
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【分析】（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可求得曲线 的直角坐标方程，进而可得
椭圆的参数方程，直线参数方程消参即得普通方程；
（2）由点到直线距离公式的范围即可求得三角形面积的取值范围.
【详解】（1）由 得： ，
又因为 ，即得 ，
化简得： ，
故曲线 的参数方程为： （ 为参数），
由 ，消参可得： ，
直线 的普通方程为： .
（2）设 ，
则点 到直线 的距离 ，当 时， 有最小值 ，
当 时， 有最大值 ，
而 ，所以 .
故
2．已知圆 与直线 交于 两点，点 为线段 的中点， 为坐
标原点，直线 的斜率为 ．
(1)求 的值及 的面积；
(2)若圆 与 轴交于 两点，点 是圆 上异于 的任意一点，直线 ，分别
交 于 两点．当点 变化时，以 为直径的圆是否过圆 内的一定点，若过
定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1) ， 面积为
(2)以 为直径的圆过圆 内的一定点
【分析】（1）先通过直线 ，直线 联立解出 的坐标，利用垂径定理得到垂直关系
，通过 的斜率求出 ，再次利用垂径定理算出 线段长，点到直线的距离求
高，得到 的面积；
（2）利用 在 上可设圆 ，表示出直线 后，求出 的坐标，
表示出以 为直径的圆的方程，最后求该圆经过的定点.
【详解】（1）直线 的斜率为 ，于是直线 的方程为 ，和 联立，解得
交点 ，由垂径定理可得 ，故 ，故 ，解得
，又 ，由点到直线的距离公式 ，故
， 到 距离为 ，故 面积为：
（2）设 ， ，不妨设 ，故 ，
故 的方程为： ； ，故 的方程为： ，令 分别带入 ， 直线方程可得， ， ，设 为
以 为直径的圆上的任意点，则 ，即
，部分展开得，
，即 ，
令 ，则 ，解得 或 ， 变动时，即该圆经过定点
，又 ， ，
故以 为直径的圆过圆 内的一定点
3．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（其中 为参数），以原点
为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，
设点 ，曲线 交于 ，求 的值.
【答案】
【分析】解法1：曲线 均化为普通方程，联立求交点 坐标，再代入距离公式计算；解法2：曲线 均化为普通方程，联立用韦达定理表示 ，再整体代入距离公式计算；
解法3：曲线 化为普通方程， 坐标以及 可用曲线 的参数表示，代入 的
普通方程整体求解.
【详解】解法1：
设
，
解法2：（前面转化方程，联立方程同思路一）设 ，
由 得
解法3：设 ，则有 ， ，则有
代入到 中可得：所以 是方程 的两根，整理可得：
4．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方
程为 （ 为参数）．
(1)求直线 与曲线 的普通方程，并说明 是什么曲线？
(2)设M，N是直线 与曲线 的公共点，点 的坐标为 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）消去参数即可得到直线 与曲线 的普通方程即可说明曲线 .
（2）将直线参数方程代入圆的普通方程即可得到 与 ，根据参数的几何意义讨论求得
的值.
【详解】（1）由题意可得：直线l的参数方程为 消去参数
得： .
曲线 的参数方程为 .消去参数
得：
曲线 表示以原点为圆心，以 为半径的圆.
（2）由（1）知：将直线的参数方程 代入得：
可知 ， ，故 与 异号. 不妨设 ,
易知 ，故 =
=
同理 ，
易知 ，故 =
= 综上：
5．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线
的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐
标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当 时，
(1)求E的极坐标方程；
(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且 ，求 的面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）将 ， 代入曲线E，化简可得答案；
（2）不妨设 ， ， ， ，则 的面
积 ，令 ，可得 ，再利用配方
计算可得答案.
【详解】（1）将 ， 代入曲线E，
得 ，即 ，所以，E的极坐标方程为 ；
（2）不妨设 ， ，
即 ， ，
则 的面积
，
由于 ，
令 ，则 ， ，
则 ，
故当 时， ，
即 的面积的最大值为 ．
6．在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的参数为 （ 为参数）．
(1)求曲线 和直线 的直角坐标方程；
(2)过原点 引一条射线分别交曲线 和直线 于 、 两点，求 的最大值．
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）在曲线 和直线 的参数方程中，消去参数，可得出曲线 和直线 的直角
坐标方程；
（2）设点 、 ，求出直线 与曲线 的极坐标方程，可得出 、 的表达
式，再利用三角恒等变换结合三角函数的有界性可求得 的最大值.
（1）
解：在曲线 的参数中， ，
所以，曲线 的直角坐标方程为 ，
在直线 的参数方程中，消去参数 可得 ，即 .（2）
解：曲线 的极坐标方程为 ，即 ，
直线 的极坐标方程为 ，
设点 、 ，则 ， ，
由 可得 ，
所以， ，不妨取 ，
所以，
， 为锐角，且 ，
因为 ，则 ，
故当 时， 取最大值 .
一、解答题
1．在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （t为参数），以O为极点，x轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，且两曲线
与 交于M，N两点．
(1)求曲线 ， 的直角坐标方程；
(2)设 ，求 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）依据参普方程互化规则求得曲线 的直角坐标方程，依据极坐标与直角坐
标的互化规则求得曲线 的直角坐标方程；（2）利用直线参数方程的几何意义去求 的值简单快捷.
【详解】（1）由曲线 的参数方程消去参数t，得 ，即曲线 的直角坐标方程为
．
由曲线 的极坐标方程，得 ，则
即 的直角坐标方程为 ．
（2）因为 在曲线 上，所以曲线 的参数方程为 （t为参数），
代入 的直角坐标方程，得 ．
设M，N对应的参数分别为 ， ，则 ， ，
所以 ．
2．已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原
点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
，点 的极坐标是 .
（1）求直线 的极坐标方程及点 到直线 的距离；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的面积.
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】（1）由 消去 ，得到 ，再利用 ，求得极坐
标方程，然后利用直线的极坐标方程求点 到直线 的距离.
（2）由曲线 的极坐标方程和直线的极坐标方程联立得到 ，利用韦达定理
及弦长公式求得 ，再由 求解.【详解】（1）由 消去 ，得到 ，则 ，∴
所以直线 的极坐标方程为 ．
所以点 到直线 的距离为 ．
（2）由 得 ，设 ， ，
所以 ， ，所以 ；
所以 的面积 .
3．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数且
），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极
坐标方程为 ．
（1）说明 是哪种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，射线 与 的交点为 （异于极点），与
的交点为 （异于极点），若 ，求 的值．
【答案】（1） 是圆心为 ，半径为 的右半圆， ；（2）
．
【分析】（1）利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用极坐标的几何意义和三角函数关系式求解.
【详解】（1）因为曲线 的参数方程为 ，
所以 是圆心为 ，半径为 的右半圆，
所以 的直角坐标方程为 ，
由 ， ， ，得 ，所以 的极坐标方程为 ．
（2）设 ， ，
∵ ，∴ ， ，
，
，
因为 ，
所以 或 （舍）．
4．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数 ）．
以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 的极坐标方程为
．
（1）求半圆 的参数方程和直线 的直角坐标方程；
（2）直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 在半圆 上，且直线 的倾斜角是直
线 的倾斜角的 倍， 的面积为 ，求 的值．
【答案】（1） ： （ 为参数， ）， ： ；
（2）
【分析】（1）消去参数得直线的普通方程，利用半圆 的极坐标方程，写出直角坐标方程
为 ，再写出半圆的参数方程；
（2）由题意设 ，利用点到线的距离求出点 到直线 的距离，利用
两点之间的距离求出 ，再由三角形的面积公式，结合同角之间的关系求出 ，即可
求出 的值．
【详解】（1）半圆 的参数方程为 （其中 为参数， ），
直线 的直角坐标方程为 .（2）由题意可知，可设 ，其中
所以点 到直线 的距离为：
,
又 ， .
三角形 的面积 .
，
又 ， .
5．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ， 为参数）.以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的直角坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程和直线 的极坐标方程；
（2）射线 ， 和曲线 分别交于点 ， ，与直线 分别交于 ，
两点，求四边形 的面积.
【答案】（1） ； ；（2） .
【解析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果即可.
（2）利用三角形的面积公式的应用和割补法的应用即可求出答案.
【详解】（1）曲线 的参数方程为 ， 为参数），转换为直角坐标方程为
.
曲线 的直角坐标方程为 ，根据 ，整理得
，即 .
（2）射线 ， 和曲线 分别交于点 ， ，
与直线 分别交于 ， 两点，如图所示：所以直线 的直角坐标方程为 ，直线 的直线方程为 ，
所以 ，解得 ，
设直线 与 轴交于点 ，
将 代入 ，得 ，即 .
所以 .
同理： ，解得： ，
所以 ，
所以 .
6．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点
为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点 为曲线 上的动点，点 在线段 的
延长线上且满足 点 的轨迹为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，求 面积的最小值.
【答案】（1） ： ， ： ； （2）2.
【分析】（1）消去参数，求得曲线 的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的
互化公式，即可求得曲线 的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线 的极坐标方
程；
（2）由 ,求得 ，求得 面积的表达式，即可求解.【详解】（1）由曲线 的参数方程为 ( 为参数)，
消去参数，可得普通方程为 ，即 ，
又由 ，代入可得曲线 的极坐标方程为 ，
设点 的极坐标为 ，点 点的极坐标为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
所以曲线 的极坐标方程为 .
（2）由题意，可得 ,
则 ，
即 ，
当 ，可得 的最小值为2.
一、解答题
1．（2022·全国·高考真题（理））在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
（t为参数），曲线 的参数方程为 （s为参数）．
(1)写出 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．
【答案】(1) ；
(2) 的交点坐标为 ， ， 的交点坐标为 ， ．
【分析】(1)消去 ，即可得到 的普通方程；
(2)将曲线 的方程化成普通方程，联立求解即解出．【详解】（1）因为 ， ，所以 ，即 的普通方程为
．
（2）因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，
由 ，即 的普通方程为 ．
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ；
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ．
2．（2022·全国·高考真题（文））在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为
，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知
直线l的极坐标方程为 ．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围
即可.
【详解】（1）因为l： ，所以 ，
又因为 ，所以化简为 ，
整理得l的直角坐标方程：
（2）[方法一]：【最优解】参数方程
联立l与C的方程，即将 ， 代入 中，
可得 ，
化简为 ，
要使l与C有公共点，则 有解，令 ，则 ，令 ， ，
对称轴为 ，开口向上，
，
，
，即m的取值范围为 .
[方法二]：直角坐标方程
由曲线 的参数方程为 ， 为参数，消去参数 ，可得 ，
联立 ，得 ，即
，即有 ，即 ， 的取值范围是
．
【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的
最优解；
方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，
与方法一本质上差不多，但容易忽视 的范围限制而出错．
3．（2021·全国·高考真题（文））在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨
迹 的参数方程，并判断C与 是否有公共点．
【答案】（1） ；（2）P的轨迹 的参数方程为 （
为参数），C与 没有公共点.
【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为 ，将 代入
可得；
（2）方法一：设 ，设 ，根据向量关系即可求得P的轨迹
的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）
[方法一]【最优解】
设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.
[方法二]：
设点 的直角坐标为 ， ， ，因为 ，
所以 ， ， ，
由 ，
即 ，
解得 ，
所以 ， ，代入 的方程得 ，
化简得点 的轨迹方程是 ，表示圆心为 ， ，半径为2的圆；
化为参数方程是 ， 为参数；
计算 ，所以圆 与圆 内含，没有公共点．
4．（2021·全国·高考真题（理））在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为
1．
（1）写出 的一个参数方程;
（2）过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
求这两条切线的极坐标方程．
【答案】（1） ，（ 为参数）；
（2） 和 ．
【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
【详解】（1）由题意， 的普通方程为 ，
所以 的参数方程为 ，（ 为参数）
（2）[方法一]：直角坐标系方法
①当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，此时圆心到直线的距离为 ，故舍去．
②当切线斜率存在时，设其方程为 ，即 ．
故 ，即 ，解得 ．
所以切线方程为 或 ．
两条切线的极坐标方程分别为 和 ．
即 和 ．
[方法二]【最优解】：定义求斜率法
如图所示，过点F作 的两条切线，切点分别为A，B．在 中， ，又 轴，所以两条切线 的斜率分别
和 ．
故切线的方程为 ， ，这两条切线的极坐标方程为
和 ．
即 和 ．
5．（2020·全国·高考真题（理））在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程
为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2） .
【分析】（1）利用 消去参数 ，求出曲线 的普通方程，即可得出结论；
（2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相加
消去参数 ，得 普通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程，联
立 方程，即可求解.
【详解】（1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
两式平方相加得 ，
所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数），
两式相加得曲线 方程为 ，得 ，平方得 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 直角坐标方程为 ，
联立 方程 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
， 公共点的直角坐标为 .
6．（2020·全国·高考真题（理））已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ：
1 2 1
（θ为参数），C ： （t为参数）.
2
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在
1 2
极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【答案】（1） ； ；（2） .
【分析】（1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化
即可得到所求极坐标方程.
【详解】(1)[方法一]：消元法
由 得 的普通方程为 ．
由参数方程可得 ，
两式相乘得普通方程为 ．
[方法二]【最优解】：代入消元法
由 得 的普通方程为 ，
由参数方程可得 ，
代入 中并化简得普通方程为 ．
(2)[方法一]：几何意义+极坐标将 代入 中解得 ，故P点的直角坐标为 ．
设P点的极坐标为 ，
由 得 ， ， ．
故所求圆的直径为 ，
所求圆的极坐标方程为 ，即 ．
[方法二]：
由 得 所以P点的直角坐标为 ．
因为 ．
设圆C的极坐标方程为 ，所以 ，
从而 ，解得 ．
故所求圆的极坐标方程为 ．
[方法三]：利用几何意义
由 得 所以P点的直角坐标为 ，
化为极坐标为 ，其中 ．
如图，设所求圆与极轴交于E点，则 ，
所以 ，所以所求圆的极坐标方程为 ．[方法四]【最优解】：
由题意设所求圆的圆心直角坐标为 ，则圆的极坐标方程为 ．
联立 得 解得 ．
设Q为圆与x轴的交点，其直角坐标为 ，O为坐标原点．
又因为点 都在所求圆上且 为圆的直径，
所以 ，解得 ．
所以所求圆的极坐标方程为 ．
[方法五]利用几何意义求圆心
由题意设所求圆的圆心直角坐标为 ，
则圆的极坐标方程为 ．
联立 得 ，
即P点的直角坐标为 ．
所以弦 的中垂线所在的直线方程为 ，
将圆心坐标代入得 ，解得 ．
所以所求圆的极坐标方程为 ．
