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第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
题型一：直线的交点坐标
1．直线 和 与两坐标轴围成的四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．三条直线 ， ， 相交于一点，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．直线 经过直线 和直线 的交点，且与直线 垂直，则直线 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
题型二：由直线交点个数求参数
4．已知直线 与射线 恒有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知线段AB两端点的坐标分别为 和 ，若直线 与线段AB有交点，则实数m的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．设点 , ,若直线 与线段 没有交点,则 的取值范围是( )A． B．
C． D．
题型三：两点间的距离公式应用
7．直线 ： 与 ： 及 ： 所得两交点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 三顶点为 、 、 ，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
9．已知点 ， ，且 ，则实数 等于（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D． 或3
题型四：点到直线的距离问题
10．已知点 ，直线 ，则点P到直线l的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知在 中，其中 ， ， 的平分线所在的直线方程为 ，则 的面积为（
）
A． B． C．8 D．
12．已知点 ，则当点 到直线 的距离最大时， （ ）
A． B． C． D．
题型五：点、直线的对称问题
13．点 关于直线 的对称点是（ ）
A． B． C． D．14．已知点 与 关于直线 对称，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
15．已知 ， ， ，一条光线从点A发出，经直线BC反射后，恰好过原点O，则入射光线所在
直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
题型六：两条平行直线间的距离
16．已知直线 ： （ ）， ： ，若 ，则 与 间的距离为
（ ）
A． B． C．2 D．
17．已知直线 ，直线 ，则 与 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
18．已知直线 与直线 和 的距离相等，则 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
一、单选题
19．已知直线 与直线 互相垂直，垂足为 .则 等于（ ）
A． B． C． D．
20．若直线 与直线 的交点位于第二象限，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
21．已知平面上两点 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
22．已知 ， 满足 ，则点 到直线 的距离的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
23．和直线 关于 轴对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．已知 的面积为5，则点C的轨迹方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
25．若两条平行直线 与 之间的距离是 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
26．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为 和 ，另一组对边所
在的直线方程分别为 和 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
27．过定点A的直线 与过定点B的直线 交于点 ，则
的值为（ ）A． B．10 C． D．20
28．已知直线 恒过定点 ，若点 到直线l的最大距离为2，则 的
最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【高分突破】
一：单选题
29．已知 的顶点为A（2，1），B(-2，3)，C(0，-1)，则AC边上的中线长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
30．一入射光线经过点 ，被直线l： 反射，反射光线经过点 ，则反射光线所在直线方
程为（ ）
A． B．
C． D．
31．已知直线 与 平行，且 与 间的距离为 ，则直线 的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
32．已知直线 ： 与直线 关于直线 ： 对称，直线 与直线 ： 垂直，则
的值为（ ）
A． B． C．3 D．
33．已知点 ， ，直线 ，在直线l上找一点P使得 最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C． D．
34．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、
重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知 的顶点 ，则该三角形的
欧拉线方程是（ ）A． B．
C． D．
35．已知直线 恒过点M，直线 上有一动点P，点N的坐标为 ，当
取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
36．若动点 分别在直线 和 上，则 的中点 到坐标原点的距离的最小值为（
）
A． B． C． D．
二、多选题
37．下列说法正确的是（ ）
A．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点 关于直线 的对称点为
C．过 ， 两点的直线方程为
D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为 或
38．已知 ， 和直线 ： ，若在坐标平面内存在一点 ，使 ，且点 到直线
的距离为 ，则 点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
39．已知直线 和 ，若直线 到直线 的距离与到直线 的距离之比为 ，则直线
的方程为（ ）
A． B．
C． D．40．（多选）已知直线l经过点 ，且点 到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
41．已知点P是直线 上的动点，定点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．线段PQ的长度的最小值为
B．当PQ最短时，直线PQ的方程是
C．当PQ最短时P的坐标为
D．线段PQ的长度可能是
42．下列结论错误的是（ ）
A．过点 ， 的直线的倾斜角为
B．若直线 与直线 垂直，则
C．直线 与直线 之间的距离是
D．已知 ， ，点P在x轴上，则 的最小值是5
三、填空题
43．已知直线 ， ，若 ，则 与 的距离为______．
44．设 ，求 的最小值是___________.
45．已知直线 ，则原点到直线 的距离的最大值等于___________.
46．已知 ， ， 过点 且斜率为 的直线 与线段 相交，点 到直线
的距离为 ，则实数 的取值范围是________________________.
47．直线 经过点 ，且分别与直线 和 相交于 ， 两点，若 ，则直线 的方程为________．
四、解答题
48．已知直线 经过点 ．
（1）若原点到直线 的距离为2，求直线 的方程；
（2）若直线 被两条相交直线 和 所截得的线段恰被点 平分，求直线 的方程．
49．已知 的三个顶点分别为 ， ， ．
（1）若过 的直线 将 分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从 点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反
射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
50．已知两定点 ， 及两平行直线 ， ，
（1）求点 关于点 的对称点 的坐标；
（2）求点 关于直线 的对称点 的坐标；
（3）若点P，Q分别在直线 ， 上，且 ，求折线段APQB的长度最短时直线PQ的一般式方程．
51．已知 为正方形ABCD的中心 B，C，D逆时针排列 ，AB边所在直线方程为 ．（1）求对角线AC，BD所在直线的方程；
（2）已知 是一个定点， 是x轴上一个动点，过点M作直线MN，满足MN与MQ斜率之和为零，
且直线MN与正方形ABCD有公共点．
①求出直线MN分别过正方形各顶点时，M点的坐标；
②写出实数t的最大值与最小值 不需要过程，直接写出答案即可 ．【答案详解】
1．B
【详解】
直线 与x轴的交点为 ，直线 与y轴的交点为 ，
则 ．
如图所示：
则由两点式可得直线MN的方程为 ，即 ，
由 解得 ，
此为两直线的交点 ，
根据点到直线的距离公式可得P点到直线MN的距离为
，
故
．
故选：B
2．A
解：设三条直线交于一点P，则直线 ， ，交于点P，
联立 ，解得 ，即 ，
直线 过点P，即 ，
故选:A．
3．A
【详解】
联立 ，解得 ，
直线 与直线 垂直，则直线直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
整理可得 .
故选：A.
4．C
【详解】
联立 ，得 ，
∵直线 与射线 恒有公共点，
∴ ，
解得 .
∴m的取值范围是 .
5．C
【详解】
直线 恒过的定点 ， .
当 时，直线 方程为 ，与线段 有交点，符合题意.当 时，直线 的斜率为 ，则 ，
解得 或 ，综上， .
故选：C
6．C
【详解】
直线 与线段 没有交点
即直线 与线段 没有交点对于直线 ,
令 ,则 ,则直线恒过点
根据题意,作出如下图像:
,
根据两点求斜率公式可得:直线 的斜率为
,
根据两点求斜率公式可得:直线 的斜率为
直线 的斜率为
若直线 与线段 没有交点
则
故选:C.7．C
【详解】
由 ，得 ，即直线 与 的交点坐标 ，
由 ，得 ，即直线 与 的交点坐标 ，
所以 .
故选：C
8．B
【详解】
由已知， ， ，
∴ ，即 ，
∴ 是直角三角形.
故选：B.
9．C
【详解】
因为 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
故选：C
10．C
【详解】
点 到直线 的距离 ，当 时， ，当 时， ，恒有 ，于是得 ，综合得 ，
所以点P到直线l的距离的取值范围是 .
故选：C
11．C
【详解】
直线 的方程为 ，即 .
由 解得 .
设 ，直线 的方程分别为 ，即
， .根据角平分线的性质可知， 到直线 的距离相等，
所以
，
，由于 ，所以上式可化为 ，两边平方并化
简得
，解得 （ ），所以 .
所以 到直线 的距离为 ，而 ，所以 .
故选：C12．B
【详解】
因为直线恒过定点 ，
则当 与直线垂直时﹐点 到直线的距离达到最大值，
此时过 的直线的斜率为
所以直线 的斜率为 ，即 ，所以 .
故选：B．
13．B
【详解】
解：设点 关于直线 的对称点是 ，
则有 ，解得 ， ，
故点 关于直线 的对称点是 .
故选：B.
14．D
【详解】
,
的中点为 ， ，
与 关于直线 对称，
过点 ，且斜率为1，
直线 的方程为 ，
即 ，
故选：D15．D
【详解】
， ，
直线BC的方程是 ，即 ，
光线经直线BC反射后，恰好经过原点O，
原点O关于直线BC的对称点在入射光线上，
设原点O关于直线BC的对称点是 ，
则 ，解得 ， ，
入射光线经过点 ，
入射光线所在的直线的斜率为 ，
故选：D
16．B
【详解】
由 得 ，解得 ，
所以直线 ： ，即 ，
所以 与 间的距离为 ，
故选B．
17．D
【详解】
直线 的方程可化为 ，则 与 之间的距离 ．
故选：D
18．D
设所求直线l方程为： ，
因为直线l与 ； 距离相等，所以 ，解得 ，
所以所求直线方程为： ，
故选：D.
19．D
【详解】
由两直线垂直得 ，
解得 ，
所以原直线一可写为 ，
又因为垂足为 同时满足两直线方程，
所以代入得 ，
解得 ，
所以 ，
故选:D
20．D
联立方程组 ，解得 ，
因为两直线的交点位于第二象限，可得 且 ，解得 ，
设直线 的倾斜角为 ，其中 ，即 ，解得 ，
即直线 的倾斜角的取值范围是 .故选：D.
21．D
【详解】
根据题意，平面上两点 ， ， ，
则 ，则有 ，
则 的最小值为 ，
故选：D.
22．C
【详解】
将 代入直线方程，得 ，所以直线 必过定点 ，
故点 到直线 的距离的最大值为 .
故选:C
23．C
【详解】
直线 交 轴于点 ，且直线 的斜率为 ，
故所求直线的方程为 ，即 .
故选：C.
24．D
【详解】
则
设C到AB边所在直线的距离为d，由 的面积为5，得 即 ；
顶点C的轨迹是与AB所在直线平行且与直线AB距离为 的两条直线；
直线AB的方程为 即
设点C所在直线方程为解得 或
点C的轨迹方程为 或 ；
故选：D
25．A
【详解】
由题意两直线平行，则 ， ，
又 ，而 ，所以 ．
所以 ．
故选：A．
26．B
【详解】
设直线 与直线 的交点为 ，则 ，解得 ，故
，
同理设直线 与直线 的交点为 ，则 ，
设直线 与直线 的交点为 ，则 ，
设直线 与直线 的交点为 ，则 ，
由菱形的性质可知 ,且 的斜率均存在，所以 ，则 ，即 ，解得
故选：B.
27．B
【详解】
解：动直线 过定点 ，
动直线 化为 ，
令 ，解得 ， ，故定点 .
当 时，直线方程为 ， ，此时两直线垂直；
当 时，由两直线的斜率之积为 可知两直线垂直，
，
，
故答案选：B.
28．C
【详解】
由题可知 ，所以 ，所以 ．
，
当且仅当 ，即 ， 时，取等号．
故选：C．
29．B
【详解】
设AC的中点为D，
因为A（2，1），C(0，-1)，所以 ,
所以AC边上的中线长 .故选：B
30．D
解：因为点 关于l： 的对称点为 ，
所以反射光线 的方程为 .
故选：D.
31．C
【详解】
解：设 ，
与 间的距离为 ．
，
即 ，
得 或 ，
即 或 ，
即线 的方程为 或 ，
故选：C．
32．B
【详解】
解：直线 与直线 ： 垂直，则 ，即 ，
∵直线 ： 与直线 关于直线 ： 对称，
∵由 得 得交点坐标 ，
在直线 上取点 ，设该点关于 对称的点为 ，则 ，得 ，故，解得 ，
故选：B.
33．B
【详解】
解：设A关于直线 的对称点的坐标为 ，
则 ，
∴ 最小 ．
故选：B
34．C
【详解】
解：因为 的顶点 ，所以三角形的重心坐标为 ， 的中垂线方程为 ，
， 的中点坐标为 ，所以 的中垂线方程为 ，即 ，所以三角形的外心为直
线 与 的交点 ，
所以三角形的欧拉线方程为 ，整理得
故选：C
35．B
【详解】
直线 ： ，即 ，
令 ，
求得 ， ，可得该直线恒过点 .直线 ： 上有一动点 ，点 的坐标为 ，
故 、 都在直线 ： 的上方．
点 关于直线 ： 的对称点为 ，
则 直线方程为 ，即 .
把 直线方程和直线 ： 联立方程组，求得 ，
可得当 取得最小值时，点 的坐标为 ．
故选：B
36．B
【详解】
根据题意，可得 的集合为与直线 和 距离都相等的直线，
则 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点 所在直线的方程为 ，
由 ，可得 ，解得 ，可得 ，
所以 到原点的距离的最小值为 .
故选：B.
37．AB
【详解】
解：对于A，当 时， ，当 时， ，所以直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为
，所以A正确，对于B，设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，解得 ，所以点 关于直线
的对称点为 ，所以B正确，
对于C，当 或 时，不能利用两点式求直线方程，所以C错误，
对于D，当直线的截距为零时，设直线方程为 ，则 ，所以直线方程为 ，当当直线的截距不为
零时，设直线方程为 ，则 ，解得 ，所以直线方程为 ，所以经过点 且在 轴
和 轴上截距都相等的直线方程为 或 ，所以D错误，
故选：AB
38．BD
【详解】
设点 的坐标为 ，线段 的中点 的坐标为 ， ，
∴ 的垂直平分线方程为 ，即 ，
∵点 在直线 上，∴ ，
又点 到直线 ： 的距离为 ，∴ ，
即 ，
联立可得 、 或 、 ，
∴所求点 的坐标为 或 ，
故选：BD.
39．BD
【详解】
设直线 ， 且 ，
直线 到直线 和 的距离分别为 ，由题知： ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
即直线 为 或 。
故选：BD
40．AB
当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，即
．
由已知得 ，所以 或 ，
所以直线l的方程为 或 ．
故选：AB
41．AC
【详解】
解：当PQ垂直直线 时，PQ最短，
Q到直线的距离为 ，故A正确；
故PQ的长度范围为 ， ，故D错误；
设 ，则 ，解得 ，故P为 ，故C正确；
此时直线PQ的方程是 ，即 ，故B错误，
故选：AC．
42．ABC
解：过点 ， 的直线的斜率是 ，则倾斜角不为 ，故A错误
由直线 与直线 垂直，得 解得 ，故B错误；
直线 与直线 之间的距离是 ，故C错误
点 关于x轴的对称点为 ，连接 ，交x轴于点 ，
则 ，当 与 重合时取等号，
故D正确.
故选：ABC.
43．
【详解】
解：直线 ， ，当 时， ，解得 ．
当 时， 与 重合，不满足题意；当 时， ，此时 ， ．
则 与 的距离为 ．
故答案为： .
44．
【详解】
解：
，
即d可看作点 和 到直线 上的点 的距离之和，
作 关于直线 对称的点 ，
由题意得 ，解得
故 ，
则 .
故答案为： .
45．
【详解】
根据题意，设原点到直线的距离为d.直线 ,即 则有 ,解得 ,即直线l恒过定点
(1,2).
设M(1,2),则 ,即原点到直线l的距离的最大值等于 .
故答案为: .
46．
【详解】
由题意知：当 过 点时， ；当 过 点时， ；
∴过点 且斜率为 的直线 与线段 相交，则 .
又 到直线 的距离 .
故答案为：
47． 或
【详解】
直线 和 之间的距离为 ，
由 做 于 ，所以 ，因为 ，
所以 与 的夹角为 ，
当直线 的斜率存在时，设为 ，则 的直线方程为 ，所以 ，解得 ，则 的直线方程为 ；
当直线 的斜率不存在时，则 的直线方程为 ，
与直线 和 的交点为 和 ，
因为两点间的距离为 ，符合题意，
所以 的直线方程为 或 .
故答案为： 或 .
48．（1） 或 ；（2） ．
【详解】
(1)当直线 的斜率不存在时，直线 方程为 ，满足原点到直线 的距离为2，
当直线 斜率存在时，设直线 方程为 ，即 ，
于是得 ，解得 ，直线 的方程为 ，即 ，
综上，直线 的方程为 或 ；
(2)设直线 与直线 交于点 ，与直线 交于点
因 被点 平分，即 ， ，则 ， ，因 ，则 ，解得 ， ，
即 ，直线 的斜率是 ，直线l方程为 ，即 ，
所以直线 的方程为： .
49．【详解】
（1）直线BC的方程为： ，
直线 只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点，
由 得 ， ，
直线 与x轴交点为 ， ，
由 ，即 ，
化简得： ，又 ，
，解得： ，
而 ， ．
（2）设 ，直线AC的方程为： ，直线BC的方程为： ，
设 关于直线AC的对称点为 ，
则 ，解得 ，
同理可得 关于直线BC的对称点为 ，
则 在直线ED上，所以直线ED的斜率为 ，的斜率为 ，l方程为 ，即 ，
过定点 ．
50．
设 ，则 ，解得 即 ．
设 ，则线段 中点 在直线 上
∴ ，又直线 垂直 ，则有 ，
∴ ,故点 关于直线 的对称点 的坐标为 ．
如图，作点B关于 的对称点 ，作点A关于 的对称点 ，
再在 的延长线上取点M，使得 等于两平行线 、 之间的距离d，连结 与 的交点为Q，过Q作QP垂直 于点P，
可得图中的点P、Q就是所求作的点，结合已知可求得 ， .
故折线段APQB的长度最短时，直线PQ的一般式方程为 ．
51． 过P作 ，垂足为H，则PH斜率 ，
∴PH方程为 ，由 ，解得 ，
∴ ，易得 ， ，
∴ ，
正方形ABCD中，AC与BD的交点为P，
∴AC，BD所在直线方程分别为 ， ；
①由 知 ，由P是AC，BD中点知: ，
综上，正方形四个顶点坐标依次为∵ ，
∴直线MN与直线MQ关于x轴对称．点Q关于x轴的对称点为 ，
∴直线MN即为直线 ：
将顶点坐标代入 方程，可以得到t依次为 ， ， ， ，
∴当MN过正方形顶点时，对应的M坐标分别为 ， ， ， ，
②根据①知，t的最小值为 ，最大值为 ．
