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2.3 直线的交点及距离公式
思维导图
常见考法考点一 直线的交点
【例1】（2019·江苏昆山.高一期中）如果直线 经过直线 与直线
的交点，那么b的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由 ，解得 ，所以 ， ．故选：D．
求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标
【一隅三反】
1．（2019·哈尔滨市第一中学校高一期末）直线 经过原点，且经过另两条直线 ，
的交点，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】联立方程 ，解得：
所以两直线的交点为 ，所以直线的斜率为 ，
则直线 的方程为： ，即 .故选：B
2．（2020·内蒙古集宁一中高一期中）直线 和 的交点在y轴上，则k的值为
（ ）
A．-24 B．6 C． D．-6
【答案】C【解析】因为两条直线 和 的交点在 轴上，所以设交点为 ，
所以 ，消去 ，可得 ．故选： ．
3．（2020·元氏县第一中学）经过直线 和 的交点，且在两坐标轴上的截距
相等的直线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】设直线方程为 ，即
令 ，得 ，令 ，得 .由 ，得 或 .
所以直线方程为 或 .故选：C.
考点二 三种距离问题
【例2】（1）（2020·巴楚县第一中学高一期末）已知点 ， 的距离是17 ，则a的值是
（ ）
A．8 B．6 C．±8 D．±6
（2）（2018·福建高一期末）原点到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2020·湖南张家界.高一期末）直线 与直线 平行，则它们的距离为（
）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）D（3）B【解析】（1） ，即 ， .故选：C
（2）由点到直线距离可知所求距离 .故选： .
（3）直线 ，即 ，与直线 平行，
，根据两条平行直线之间的距离公式
得 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·全国高三课时练习（理））若两条平行直线 与 之间的
距离是 ，则m+n=( )
A．0 B．1 C．-2 D．-1
【答案】C
【解析】由 ，得 ，解得 ，即直线 ，
两直线之间的距离为 ，解得 ( 舍去)，所以 故答案选C.
2．（2020·景东彝族自治县第一中学高二期中）到直线 的距离等于 的直线方程为( )
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D【解析】因为所求与直线 的距离为 ，所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为 ， ，解得 或 ，
故所求直线方程为 或 .故选：D.
3．（2020·全国高三课时练习（理））过直线 与直线 的交点，且到点
距离为 的直线方程为__________________.
【答案】 或
【解析】由 ，得 ，所以，直线 与 的交点为 .
当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为 ，点 到该直线的距离为 ，不合乎题意；
当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为 ，即 ，
由于点 到所求直线的距离为 ，可得 ，
整理得 ，解得 或 .
综上所述，所求直线的方程为 或 .
故答案为： 或 .
考点三 对称问题
【例3】（1）（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）若点P（3，4）和点Q（a，b）关于直线
对称，则（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
（2）（2020·河北高一期末）直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）由 ，解得 ，故选A．
（2）设直线 上的点 关于点 的对称点的坐标为 ，
所以 ， ，所以 ， ，
将其代入直线 中，得到 ，化简得 ，故选：C．
1. 点关于直线对称，可以利用对称点的坐标，两点连线的斜率与直线垂直，然后两点中点在直线上，
联立两个一元两次方程求解即得。
2.关于直线成轴对称问题，由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”，利用“垂
直”即斜率关系，“平分”即中点在直线上这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．
【一隅三反】
1．（2020·开鲁县第一中学高一期末（理））已知点 与点 关于直线 对称，则点 的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ,则 ，选D.2．（2019·营口市第二高级中学高二月考）点 关于直线 对称的点 ´的坐标是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点 ，则线段 的中点为 ，
又点 在直线 上，
所以 因为直线 ， ， 所以 .联立，解
得 ， .故选C.
3．（2020·甘肃省静宁县第一中学高一月考）直线 关于直线 对称的直线方程是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，直线 与直线 的交点为 ，直线 的倾斜角与所求
直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．直线 的斜率为2，故所求直线的斜率为 ，
所以所求直线方程是 ，即 ．选C.
4．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）已知直线l：x＋2y－2＝0.
（1）求直线l：y＝x－2关于直线l对称的直线l 的方程；
1 2
（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
【答案】（1）7x－y－14＝0；（2）x＋2y－4＝0.
【解析】（1）由 解得交点P(2,0)．在l 上取点M(0，－2)，
1
M关于l的对称点设为N(a，b)，
则 ,
解得 ，所以 ，
又直线l 过点P(2,0)，
2
所以直线l 的方程为7x－y－14＝0.
2
（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，
所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.
在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，
所以 ,所以m＝－4，
即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.
