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10.2 圆的方程（精练）（基础版）
题组一 圆的方程
1．（2022湖南期末）若 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，则 外接
圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得 是直角三角形，且 . 所以 的外接圆的圆心就是线段 的
中点，由中点坐标公式得 .故答案为：C
2．（2022成都期末）已知圆 的圆心为 ，且圆 与 轴的交点分别为
，则圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为圆 与 轴的交点分别为 ，所以圆心在直线 上，即有 ，圆
心 ， ，所以圆 的标准方程为 。
故答案为：B．
3．（2022天津月考）与 轴相切，且圆心坐标为 的圆的标准方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】由圆心的坐标为 ，可设圆的标准方程为 ，
又由圆与 轴相切，所以 ，所以圆的方程为 。故答案为：C.
4．（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的圆的方程，并画出图形：
(1)经过点 和 ，圆心在x轴上；
(2)经过直线 与 的交点，圆心为点 ；
(3)经过 ， 两点，且圆心在直线 上；
(4)经过 ， ， 三点．
【答案】(1) ，图形见解析；
(2) ，图形见解析；
(3) ，图形见解析；
(4) ，图形见解析.
【解析】(1)圆心在x轴上，设圆的方程为： ，
将点 代入圆的方程，得 ，解得 ，
所以圆的方程为： ，其图形如下：(2)圆心为点 ，设圆的方程为： ，
由 ，解得 ，即直线 与直线 的交点坐标为 ，
因为圆过交点 ，所以 ，解得 ，
所以圆的方程为： ，其图形如下：
(3)设圆的方程为： ，
圆心坐标为 ，在直线 上，所以 ①，
又圆过点 ，
所以 ②， ③，
联立①②③，得 ，
所以圆的方程为： ，其图形如下：(4)设圆的方程为： ，
因为圆经过点 ，
则 ，解得 ，
所以圆的方程为： ，
即 ，其图形如下：
题组二 直线与圆的位置关系
1（2022·滨州二模）已知直线 ，圆 ，
则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】D
【解析】直线 ，即
，由 解得 ，因此，直线 恒过定点 ，
又圆 ，即 ，显然点A在圆C外，
所以直线 与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D符合题意.
故答案为：D
2．（2022·毕节模拟）曲线 与直线 有两个交点，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 得： ，
令 ，解得： ， 直线 恒过定点 ；
由 得： ，
由此可得曲线 的图形如下图所示，由图形可知：当直线过点 时，直线斜率为 ，
若直线与曲线有两个不同交点，则直线斜率的取值范围为 ，
即 ，解得： ，即实数 的取值范围为 .
故答案为：D.
3．（2022汕尾期末）（多选）直线 ： 与圆 ： 相交于 ，
两点，则（ ）
A．直线 过定点
B． 时，直线 平分圆
C． 时， 为等腰直角三角形
D． 时，弦 最短
【答案】A,D
【解析】对A，因为当 时， 恒成立，故直线 过定点 ，A符合题意；
对B，当 时， ，圆 的圆心为 不满足 ，故此时直线 不过圆的圆心，故直线 不平分圆 ，B符合题意；
对C，当 时， 经过圆 的圆心 ，故无 ，C不符合题意；
对D，因为直线 过定点 ， ，故 在圆内，故当弦 最短时，
与直线 垂直.因为 时，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为1，故 与直线 垂
直成立，D符合题意；
故答案为：AD
4．（2022广东月考）（多选）已知点 是圆 上的任意一点，直线
，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 与圆 的位置关系只有相交和相切两种
B．圆 的圆心到直线 距离的最大值为
C．点 到直线 距离的最小值为
D．点 可能在圆 上
【答案】A,C,D
【解析】对于A选项，因为直线 的方程可化为 ．
令 解得 ，所以直线 过定点 ，
直线 是过点 的所有直线中除去直线 外的所有直线，
圆心 到直线 的距离为 ，即直线 与圆 相交，又点 在圆 上，所以直线 与 至少有一个公共点，
所以直线 与圆 的位置关系只有相交和相切两种，A符合题意；
对于B选项，当直线 为圆 的切线时，点 到直线 的距离最大，且最大值为 ，B不符合题
意；
对于C选项，因为圆心 到直线 的距离 ，
所以圆 上的点 到直线 距离的最小值为 ，C符合题意；
对于D选项，圆 的圆心为原点 ，半径为 ，
因为 ，所以，圆 与圆 内切，故点 可能在圆 上，D符合题意.
故答案为：ACD.
5．（2022盐城期末）已知直线 与圆 相切，则实数a的值为 ．
【答案】
【解析】由题可得圆 的圆心为 ，半径为 ， 因为直线 与圆
相切，所以圆心 到直线的距离 ，
即 ，解得 。故答案为： 。
6（2022·新高考Ⅱ卷）已知点 ，若直线 关于 的对称直线与圆
存在公共点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】【解析】因为 关于 对称点的坐标为 ， 在直线
上，所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即
；根据圆方程可得圆心 ，半径 ，
依题意知圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 .
故答案为：
7．（2022广东）当圆 截直线 所得的弦长最短时，m的值为（
）
A． B． C．-1 D．1
【答案】C
【解析】直线 过定点 ， 圆 的圆心为 ，半径 ，
当 时，圆 截直线 所得的弦长最短，
由于 ，所以 ，即 .故答案为：C
8（2022山西）．过点 的直线l与圆 有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】设直线的倾斜角为 ，圆心到直线l的距离为 ，当直线l的斜率不存在时，易得 ，
此时 ，符合题意， ；
当直线l的斜率存在时，设直线 ，即 ，此时 ，
解得 或 ，
即 或 ；综上可得 .
故答案为：C.
9（2022山东）．过点 的直线 与圆 ： 交于 ， 两点，当弦 取最大
值时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆 ： 化为
所以圆心坐标 要使过点 的直线 被圆 所截得的弦 取最大值时，则直线过圆心
由直线方程的两点式得： ，即 故答案为：A
题组三 圆与圆的位置关系
1．（2022·邯郸模拟）已知圆 ： 和圆 ： ，则“ ”是“圆 与
圆 内切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】若圆 与圆 内切，则圆心距 ，即 ，得 或 ，
所以 是圆 与圆 内切的充分不必要条件.故答案为：A
2．（2022·河东模拟）圆 与圆 的公共弦长为 ．
【答案】
【解析】两圆方程相减得 ，即 ，
原点到此直线距离为 ，圆 半径为 ，
所以所求公共弦长为 ．故答案为： ．
3．（2022·河西模拟）设 与 相交于 两点，则
．
【答案】
【解析】将 和 两式相减：
得过 两点的直线方程： ，则圆心 到 的距离为 ，
所以 ，故答案为：
4．（2022·威海模拟）圆 与圆 的公共弦长为 ．
【答案】【解析】设圆 ： 与圆 ： 交于 ， 两点
把两圆方程相减，化简得 即 ：
圆心 到直线 的距离 ，又
而 ，所以 故答案为：
5．（2022·湖南模拟）已知动圆 与圆 外切，与圆 内切，
则动圆圆心 的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】由圆 ，圆心 ，半径为 ，
圆 ，圆心 ，半径为 ，
设动圆心 的坐标为 ，半径为 ，
则 ， ，
，
由双曲线的定义知，点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，
且 ， ， ， ，
双曲线的方程为 。
故答案为 。6．（2021·山东济南市·高二期末）（多选）已知圆 和圆 的公共点
为 ， ，则（ ）
A． B．直线 的方程是
C． D．
【答案】ABD
【解析】圆 的圆心是 ，半径 ，圆 ，圆心 ， ，
，故A正确；
两圆相减就是直线 的方程，两圆相减得 ，故B正确；
， ， ， ，所以 不正确，故C不正确；
圆心 到直线 的距离 ， ，故D正确.
故选：ABD
7．（2021·全国高二课时练习）（多选）圆 和圆 的交点为
A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为 B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为 D．P为圆 上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，由圆 与圆 的交点为A，B，
两式作差可得 ，即公共弦AB所在直线方程为 ，故A正确；
对于B，圆 的圆心为 ， ，
则线段AB中垂线斜率为 ，
即线段AB中垂线方程为： ，整理可得 ，故B正确；
对于C，圆 ，圆心 到 的距离为
，半径
所以 ，故C不正确；
对于D，P为圆 上一动点，圆心 到 的距离为
，半径 ，即P到直线AB距离的最大值为 ，故D正确.故选：ABD
8．（2022云南）已知圆 与圆 ．
(1)求证：圆 与圆 相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线 上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】(1)证明：圆 ： 化为标准方程为 ，
，圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
，
， 两圆相交；
(2)解：由圆 与圆 ，
将两圆方程相减，可得 ，
即两圆公共弦所在直线的方程为 ；
(3)由 ，解得 ，
则交点为 ， ，
圆心在直线 上，设圆心为 ，
则 ，即 ，解得 ，
故圆心 ，半径 ，
所求圆的方程为 ．
题组四 切线问题
1．（2022哈尔滨）设圆 ，圆 ，则圆 ， 的公切线有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】由题意，得圆 ，圆心 ，圆 ，圆心
，∴ ，∴ 与 相交，有2条公切线．故选：B．2．（2022·青海）（多选）已知圆 与圆 有四条公切线，则实数a的取
值可能是（ ）
A．－4 B．－2 C． D．3
【答案】AD
【解析】圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．
又两圆圆心距 ，所以 ，解得 或 ．
故选：AD．
3．（2022广东）（多选）已知圆 ，圆 ，则下列是M，N两
圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
【答案】ACD
【解析】圆M的圆心为M（2，1），半径 ．圆N的圆心为N（－2，－1），半径 ．圆心距
，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程
为y＝kx，则圆心到直线的距离 ，解得k＝0或 ，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两
条切线与直线MN平行，而 ，设切线方程为 ，则 ，解得 ，切线方
程为 ， ．
故选：ACD．
4．（2022·广东模拟）（多选）已知圆 和圆 ，过圆 上任意一点作圆 的两条切线，设两切点分别为 ，则（ ）
A．线段 的长度大于
B．线段 的长度小于
C．当直线 与圆 相切时，原点 到直线 的距离为
D．当直线 平分圆 的周长时，原点 到直线 的距离为
【答案】AD
【解析】如图示： ，
根据直角三角形的等面积方法可得， ，
由于 ，故 ，
由于 ，A符合题意，B不符合题意；
当直线 与圆 相切时，由题意可知AP斜率存在，
故设AP方程为 ，
则有 ，即 ，
即 或 ，设原点 到直线 的距离为d，则 ，
当 时， ；当 时， ，C不符合题意；
当直线 平分圆 的周长时，即直线 过点 ，
AP斜率存在，设直线 方程为 ，即 ，
则 ，即 ，
故原点 到直线 的距离为 ，则 ，D符合题意；
故答案为：：AD
5．（2022·兴化模拟）从圆 外一点 向圆引切线，则此切线的长为
．
【答案】2
【解析】【解答】将圆化为标准方程： ，则圆心 ，半径1，
如图，
设 ， ，切线长 ．故答案为：2
