10.2 事件的关系和运算
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：事件的关系................................................................... 2
考点二：事件的运算................................................................... 2
考点三：互斥事件与对立事件....................................................... 2
考点四：事件的关系或运算的含义及符号表示...................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：事件的关系................................................................... 3
题型二：互斥事件与对立事件....................................................... 5
题型三：事件的运算................................................................... 7
模块三：综合巩固....................................................................... 11
10.2 事件的关系和运算
模块一：基础知识
考点一：事件的关系
1.包含关系
一般地，若事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A (或事件A 包含于事件B )，
记作：B
A
(或A
B
)如下1 图
2.相等关系
如果事件B 包含事件A ，事件A 也包含事件B ，即B
A
且A
B
，则称事件A 与事件B 相等，
记作：A
B
；如上2 图
考点二：事件的运算
1.并事件(或和事件)
一般地，事件A 与事件B 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A 中，或者在事件B 中，
我们称这个事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)，
记作：A
B
(或A
B
).如下1 图
2.交事件(或积事件)
一般地，事件A 与事件B 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A 中，也在事件B 中，我们称
这样的一个事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)，
记作：A
B
(或AB ).如上2 图
考点三：互斥事件与对立事件
1.互斥事件
一般地，如果事件A 与事件B 不能同时发生，也就是说A
B
是一个不可能事件，即A
B
，则称事
件A 与事件B 互斥(或互不相容)，符号表示：A
B
.如下1 图
2.对立事件
如果事件A 和事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A
B
，且A
B
，那么称事件A
与事件B 互为对立，事件A 的对立事件记为A ，符号表示：A
B
，且A
B
.如上2 图
考点四：事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A 发生导致B 发生
A
B
并事件(和事件)
A 与B 至少一个发生
A
B
或A
B
交事件(积事件)
A 与B 同时发生
A
B
或AB
互斥(互不相容)
A 与B 不能同时发生
A
B
互为对立
A 与B 有且仅有一个发生
A
B
，A
B
模块二：题型分类
题型一：事件的关系
1.同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A ，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B ，则有(
)
A．A
B
B．A
B
C．A
B
D．A 与B 之间没有关系
【答案】C
【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，
其中事件A {（正，正）}，事件B {（正，正），（正，反），（反，正）}，
所以A
B
.
故选：C.
2.从装有2 个红球和2 个白球的口袋内任取2 个球，与事件“至少有1 个白球”相等的事件是（
）
A．全是红球
B．至少有1 个红球
C．至多有1 个红球
D．1 个红球，1 个白球
【答案】C
【解析】从装有2 个红球和2 个白球的口袋内任取2 个球，若至少有1 个白球，
则其包含的基本事件是：1个白球1个红球，2 个白球；
又至多有1 个红球包含的基本事件也是：1个白球1个红球，2 个白球.
故选：C .
3.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，
C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（
）
A．A
D
B．B
D
C．A
C
D
D．A
B
B
D
【答案】D
【解析】用
1
2
( ,
)
x x
表示试验的射击情况，其中
1
x 表示第1 次射击的情况，
2
x 表示第2 次射击的情况，以1
表示击中，0 表示没中，
则样本空间
0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1
.
由题意得，
(1,1)
A
，
(0,0)
B
，
(0,1),(1,0)
C
，
(0,1),(1,0),(1,1)
D
则A
D
，A
C
D
，且B
D
.即ABC 都正确；
又B
D
，
0,0 , 1,1
A
B
.
A
B
B
D
.故D 不正确.
故选：D.
4.同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（
）
A．M
N
B．M
N
C．M
N
=
D．M
N
【答案】A
【详解】事件N 包含两种结果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以当M 发生时,事件N 一定发
生,则有M
N
.
故选：A.
5.某小组有3 名男生和2 名女生，从中任选2 名参加演讲比赛，设A ={2 名全是男生}，B {2 名全是女生}，
C {恰有一名男生}，D ={至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（
）
A．A
D
B．B
D
C．A
C
D
D．A
B
B
D
【答案】D
【解析】至少有1 名男生包含2 名全是男生､1 名男生1 名女生，故A
D
，A
C
D
，
故A，C 正确；
事件B 与D 是互斥事件，故B
D
，故B 正确，
A
B
表示的是2 名全是男生或2 名全是女生，B
D
表示2 名全是女生或名至少有一名男生，
故A
B
B
D
，D 错误，
故选：D.
6.抛掷相同硬币3 次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两
次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3 次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A 与事件B，C，E 的关系；
(2)试求AD，B+C 所包含的样本点，并判断AD 与B+C 的关系.
【答案】(1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E
(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，AD=B+C
【解析】（1）事件A 为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”，“两次正面向上，
一次反面向上”和“3 次都正面向上”三个基本事件，所以B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E
（2）“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”，“两次正面向上，一次反面向
上”和“3 次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A 与事件D 有相同的两个基本事件，即“一次正面向
上，两次反面向上”，“两次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或两次正面向上}，B+C={一
次正面向上或两次正面向上}，所以AD=B+C
题型二：互斥事件与对立事件
1.一个射手进行一次射击，事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5，则（
）
A．A 与B 是互斥事件
B．A 与B 是对立事件
C．A⊆B
D．A⊇B
【答案】C
【解析】事件A:命中环数大于8 即命中9 或10 环;事件B:命中环数大于5 即命中6 或7 或8 或9 或10 环，
故A⊆B.
故选：C
2.某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A 为“只订甲报纸”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C
为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报纸”，事件E 为“一种报纸也不订”.试判断下列每对事件是不是互
斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件.
（1）A 与C；（2）B 与E；（3）B 与D；（4）B 与C.
【答案】（1）不互斥；（2）既互斥也对立；（3）不互斥；（4）不互斥；
【详解】（1）由于事件C“至多订一种报纸”中，有可能“只订甲报”，即事件A 与C 有可能同时发生，故
A 与C 不是互斥事件.
（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件，
又因市民要么“至少订一种报纸”，要么“一种也不订”，故B 与E 是对立事件.
（3）事件B“至少订一种报纸”中，有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B 发生，事件D
也可能发生，故B 与D 不是互斥事件.
（4）事件B“至少订一种报纸”中，有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”；事件
C“至多订一种报纸”中，有这些可能：“什么报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，
由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件.
3.掷一枚骰子，设事件�：落地时向上的点数是奇数；�：落地时向上的点数是3 的倍数；�：落地时向上
的点数是2；�：落地时向上的点数是2 的倍数，则下列说法中，错误的是（
）
A．�和�有可能同时发生
B．�和�是对立事件
C．�和�是对立事件
D．�和�是互斥事件
【解题思路】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项判断得解.
【解答过程】依题意，事件�= {�, �, �}, �= {�, �}, �= {�}, �= {�, �, �}，
对于A，事件�和�有相同的基本事件：点数3，A 正确；
对于B，事件�和�不能同时发生，但必有一个发生，则�和�是对立事件，B 正确；
对于C，事件�和�不能同时发生，但可以同时不发生，则�和�不是对立事件，C 错误；
对于D，事件�和�不能同时发生，它们是互斥事件，D 正确.
故选：C.
4.从一批产品中取出三件产品，设A “三件产品全不是次品”，B “三件产品全是次品”，C “三件产品不
全是次品”，则下列结论不正确的是（
）
A．A 与B 互斥且为对立事件
B．B 与C 互斥且为对立事件
C．A 与C 存在有包含关系
D．A 与C 不是对立事件
【答案】A
【解析】取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，
两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，它们之间两两互斥.
于是A=M，B=Q，C
M
N
P
，
所以A 与B 互斥但不对立，A 错误；B,C,D 正确.
故选：A.
5.（多选）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2 个，一次任意取出2 个小球，则
与事件“2 个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（
）
A．2 个小球都为蓝球
B．2 个小球恰有1 个红球
C．2 个小球至少有1 个红球
D．2 个小球不全为红球
【答案】AB
【解析】一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2 个，一次任意取出2 个小球，
对于A，事件“2 个小球都为蓝球”与事件“2 个小球都为红色”是互斥而不对立的事件，故A 正确．
对于B，事件“2 个小球恰有1 个红球”与事件“2 个小球都为红色”互斥而不对立的事件，故B 正确；
对于C，事件“2 个小球至少有1 个红球”与事件“2 个小球都为红色”能同时发生，不是互斥事件，故C 错
误；
对于D，事件“2 个小球不全为红球”与事件“2 个小球都为红色”是对立事件，故D 错误.
故选：AB．
6.（多选）从装有大小和形状完全相同的3 个红球和3 个白球的口袋内任取3 个球，那么下列各对事件中，
互斥而不互为对立的是（
）
A．至少有1 个红球与都是红球
B．恰有1 个红球与恰有2 个红球
C．至少有1 个红球与至少有1 个白球
D．至多有1 个红球与恰有2 个红球
【答案】BD
【解析】选项A：“至少有1 个红球”与“都是红球”这两个事件，都包含有“取出3 个红球”的事件，故不是
互斥事件，故A 错误；
选项B：“恰有1 个红球” 与“恰有2 个红球”为互斥事件，
除了这两个事件外，任取3 个球还包含“恰有0 个红球” 与“恰有3 个红球”两种事件，
故“恰有1 个红球” 与“恰有2 个红球”不是对立事件，故B 正确；
选项C：“至少有1 个红球”与“至少有1 个白球”都包含由事件“恰有1 个红球”与“恰有2 个红球”两个事件，
故不是互斥事件，故C 错误；
选项D：“至多有1 个红球”与“恰有2 个红球”为互斥事件，
除了这两个事件外，任取3 个球还包含“恰有3 个红球”这一事件，
故“至多有1 个红球”与“恰有2 个红球”不是对立事件，故D 正确，
故选：BD
7.（多选）从一批既有正品也有次品的产品中取出三件产品，记事件A：全不是次品，事件B：全是次品，
事件C：有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（
）
A．A 与C 互斥
B．B 与C 互斥
C．任何两个都互斥
D．A 与B 对立
【答案】ABC
【解析】由题意，事件A：全不是次品，即三件产品都是正品，事件B：全是次品，
事件C：有次品，但不全是次品，包括一件次品两件正品，两件次品一件正品，两个事件，
所以事件A 与C 互斥，B 与C 互斥，A 与B 互斥，即任何两个都互斥，故选项ABC 都正确，
A 与B 互斥，由于总事件中还包括一件次品两件正品，两件次品一件正品两个事件，
所以事件A 与B 不对立,故选项D 错误.
故选：ABC
题型三：事件的运算
1.抛掷两枚骰子，一枚是红色的，一枚是蓝色的．设A “红骰子的点数是2”，B “蓝骰子的点数是3”．
(1)写出样本空间，并用样本点表示事件A，B；
(2)计算A
B
；
(3)计算A
B
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)“红骰子是2 点，蓝骰子是3 点”；
(3)“红骰子是2 点或蓝骰子是3 点”.
【详解】（1）用( , )
i j 表示红骰子的点数是i，蓝骰子的点数是j，则试验的样本空间是
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1 ),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}．
依题意
{(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}
A
，
{(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}
B
.
（2）
{(2,3)}
A
B
“红骰子是2 点，蓝骰子是3 点”．
（3）
{(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}
A
B
“红骰子是2 点或蓝骰子是3
点”．
2.设某随机试验的样本空间
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
，事件
{2,3,4}
A=
，
{3,4,5}
B
，
{5,6,7}
C
，求下
列事件：
(1) A
B
；
(2) A
B
；
(3) A
B
；
(4)
(
)
A
B
C
．
【答案】(1){2,3,4,5}；
(2){3,4}；
(3){0,1,6,7,8,9,10}；
(4)
2,3,4 ．
【解析】1）由已知
{2,3,4,5}
A
B
；
（2）由题意
{3,4}
A
B
；
（3）由已知
{0 1 5 6 7 8 9 10}
A
，，，，，，，，
{0,1,2,6,7,8,9,10}
B
，所以
{0,1,6,7,8,9,10}
A
B
（4）由已知
{5}
B
C
，
{0,1,2,3,4,6,7,8,9,10}
B
C
，所以
2,3,4
A
B
C
．
3.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：
i
C =“点数为i”，其中
1,2,3,4,5,6
i
；
1
D =“点数不大于2”，
2
D =“点数大于2”，
3
D =“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
（1）
1
C 与
2
C 互斥；（2）
2
C ，
3
C 为对立事件；（3）
3
2
C
D
；（4）
3
2
D
D
；（5）
1
2
D
D
，
1
2
D D ；
（6）
3
5
6
D
C
C
；（7）
1
3
5
E
C
C
C
；（8）E，F 为对立事件；（9）
2
3
2
D
D
D
；（10）
2
3
3
D
D
D
【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确；（8）正确；（9）
正确；（10）正确.
【解析】该试验的样本空间可表示为
1,2,3,4,5,6
,
由题意知
i
C
i
,
1
1,2
D
,
2
3,4,5,6
D
,
3
5,6
D
,
1,3,5
E
,
2,4,6
F
.
（1）
1
1
C
,
2
2
C
,满足
1
2
C
C
,所以
1
C 与
2
C 互斥,故正确；
（2）
2
2
C
,
3
3
C
,满足
2
3
C
C
但不满足
2
3
C
C
.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；
根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；
（6）
5
6
5,6
C
C
,所以
3
5
6
D
C
C
,故正确；（7）
1
3
5
1,2,3
C
C
C
,故
1
3
5
E
C
C
C
正确；
（8）因为E
F
, E
F
,所以E,F 为对立事件,故正确；
（9）正确；（10）正确.
4.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A 表示事件“点数大于3”，B 表示事件“点数为偶数”，则事
件“点数为5”可以表示为（
）
A．A
B
B．A
B
C．A
B
D．A
B
【答案】B
【详解】A
B
表示“点数为2”，A
B
表示“点数5”，A
B
表示“点数为3 或2 或1 或4 或6”，A
B
表示“点数为1 或3 或4 或5 或6”，
故选：B
5.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件E “向上的点数为1”，事件F “向上的点数为5”，事件G “向上的点
数为1 或5”，则有（
）
A．E
F
B．G
F
C．E
F
G
D．E
F
G
【答案】C
【解析】根据事件间的基本关系直接判定即可.根据事件之间的关系,知事件G 发生当且仅当事件E 发生或
事件F 发生,所以E
F
G
.
故选：C.
6.甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（
）
A．EF
B．EF
C．EF
D．E
F
【答案】B
【解析】因为甲、乙两个元件构成一并联电路，
所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，
所以表示电路故障的事件为E
F
.
故选：B
7.打靶3 次，事件
iA 表示“击中i 发”，其中
0
i
、1、2 、3 .那么
1
2
3
A
A
A
A
表示（
）
A．全部击中
B．至少击中1发
C．至少击中2 发
D．以上均不正确
【答案】B
【解析】
1
2
3
A
A
A
A
所表示的含义是
1A 、
2A 、
3A 这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2 发
或3 发.
故选：B.
8.设A，B，C 表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C 表示出来．
(1)三个事件都发生；
(2)三个事件至少有一个发生；
(3)A 发生，B，C 不发生；
(4)A，B，C 中恰好有两个发生．
【答案】(1)ABC
(2) A
B
C
(3) ABC
(4)
ABC
ABC
ABC
【详解】解：（1）三个事件都发生表示为ABC；
（2）三个事件至少有一个发生表示为A
B
C
；
（3）A 发生，B，C 不发生表示为ABC ；
（4）恰好有两个发生表示为
ABC
ABC
ABC
．
9.连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A {两次出现的点数相同}，事件B {两次出现的点数之
和为4}，事件C {两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D ={两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件C
D
，A
B
；
(2)若事件
1,3 , 1,5 , 2,2 , 2,6 , 3,1 , 5,1 , 6,2
E
，则事件E 与已知事件是什么运算关系？
【答案】(1)
1,5 , 5,1
C
D
，
1,1 , 1,3 , 2,2 , 3,1 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , 6,6
A
B
(2) E
B
C
∪
【详解】（1）由题意得，事件
1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , 6,6
A
，
事件
1,3 , 2,2 , 3,1
B
，
事件
1,5 , 2,6 , 5,1 , 6,2
C
，
事件
1,5 , 2,4 , 3,3 , 4,2 , 5,1
D
.
则
1,5 , 5,1
C
D
，
1,1 , 1,3 , 2,2 , 3,1 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , 6,6
A
B
；
（2）由（1）知，事件
1,3 , 2,2 , 3,1
B
，
1,5 , 2,6 , 5,1 , 6,2
C
，
因为
1,3 , 1,5 , 2,2 , 2,6 , 3,1 , 5,1 , 6,2
E
，
所以E
B
C
∪
.
模块三：综合巩固
1.抛掷3 枚质地均匀的硬币，记事件A {至少1 枚正面朝上}，B {至多2 枚正面朝上}，事件C {没有硬
币正面朝上}，则下列正确的是（
）
A．C
A
B
B．C
A
B
C．C
A
D．C
B
【答案】D
【详解】记事件D ={1 枚硬币正面朝上}，E {2 枚硬币正面朝上}，F {3 枚硬币正面朝上}，则
A
D
E
F
，B
C
D
E
，
显然C
A
B
，C
A
B
，C
B
，C 不含于A.
故选：D
2.（多选）对于一个随机试验，设Ω 是样本空间，A 是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（
）
A．
Ω
A
B．
Ω
A
C．
Ω
D．
Ω
【答案】BC
【解析】对于一个随机试验，其所有可能的结果的集合称为样本空间，样本空间的元素称为样本点或基本
事件，随机事件是样本空间的一个子集.
所以有
Ω
和
Ω
A
.
故选：BC
3.掷一枚骰子，设事件A ：落地时向上的点数是奇数；B ：落地时向上的点数是3 的倍数；C ：落地时向
上的点数是2；D ：落地时向上的点数是2 的倍数，则下列说法中，错误的是（
）
A．A 和B 有可能同时发生
B．A 和D 是对立事件
C．B 和C 是对立事件
D．A 和C 是互斥事件
【答案】C
【详解】依题意，事件
{1,3,5},
{3,6},
{2},
{2,4,6}
A
B
C
D
，
对于A，事件A 和B 有相同的基本事件：点数3，A 正确；
对于B，事件A 和D 不能同时发生，但必有一个发生，则A 和D 是对立事件，B 正确；
对于C，事件B 和C 不能同时发生，但可以同时不发生，则B 和C 不是对立事件，C 错误；
对于D，事件A 和C 不能同时发生，它们是互斥事件，D 正确.
故选：C
4.（多选）某人打靶时连续射击两次，记事件A 为“第一次中靶”，事件B 为“至少一次中靶”，事件C 为“至
多一次中靶”，事件D 为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（
）
A．A
B
A
B．B 与C 是互斥事件
C．C
D
D．B 与D 是互斥事件，且是对立事件
【答案】AD
【详解】由题意可知，事件为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都
中靶” “ 两次都没有中靶”；
事件B 为“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都中
靶”；
事件C 为“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都没
有中靶”；
事件D 为“两次都没中靶”；
故A
B
A
，B 与C 不是互斥事件，B 与D 是互斥事件，且是对立事件，C
D
.
故选:：AD.
5.（多选）已知事件M 表示“3 粒种子全部发芽”，事件N 表示“3 粒种子都不发芽”，则M 和N （
）
A．是对立事件
B．不是互斥事件
C．互斥但不是对立事件
D．是不可能事件
【答案】C
【详解】事件M 表示“3 粒种子全部发芽”，事件N 表示“3 粒种子都不发芽”，
所以事件M 和事件N 不会同时发生，是互斥事件，
因为3 粒种子可能只发芽1 粒，
所以事件M 和事件N 可以都不发生，则M 和N 不是对立事件.
故选：C
6.抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E “点数为奇数”，F “点数为偶数”，G “点数大于2”，H “点
数不大于2”，R “点数为1”.则下列结论不正确的是（
）
A．E，F 为对立事件
B．G，H 为互斥不对立事件
C．E，G 不是互斥事件
D．G，R 是互斥事件
【答案】B
【详解】E，F 是对立事件，选项A 正确；G，H 为互斥且对立事件，选项B 不正确；
E，G 不互斥，选项C 正确；G，R 为互斥事件，选项D 正确.
故选：B.
7.（多选）某小组有3 名男生和2 名女生，从中任选2 名同学去参加演讲比赛，事件“至少1 名女生”与事
件“全是男生”（
）
A．是互斥事件
B．不是互斥事件
C．是对立事件
D．不是对立事件
【答案】AC
【详解】从3 男2 女中人选2 名同学，一共会出现的抽取情况为：2 男，或者2 女，或者1 男1 女，
至少一名女生包括一名或两名女生，全是男生相当于女生数为零，两者间是互斥事件也是对立事件.
故选：AC
8.盒中有标号1~3 的同样白球各1 个，标号1~2 的同样黑球各1 个，从中倒出3 个，观察结果，写出样本
空间.
(1)用集合A 表示事件“3 个都是白球”；
(2)用集合B 表示事件“至少2 个白球”；
(3)用集合C 表示事件“至少1 个白球”；
(4)计算A
B
，A
B
，
\
A B ，
\
C B（其中
\
A B 表示属于集合A ，且不属于集合B ），并解释它们的含义.
【答案】(1)
{
}
A
abc
；
(2)
{
B
abc
，abe，abf ，ace，acf ，bce ，
}
bcf ；
(3)
{
C
abc
，abe，abf ，ace，acf ，aef ，bce ，bcf ，bef ，
}
cef ；
(4)答案见解析.
【详解】（1）记标号1~ 3的白球为a ，b ，c ，标号1~ 2 的黑球为e，f ，
则样本空间
{abc
，abe ，abf ，ace ，acf ，aef ，bce ，bcf ，bef ，
}
cef ，
所以
{
}
A
abc
.
（2）由（1）得
{
B
abc
，abe ，abf ，ace，acf ，bce ，
}
bcf .
（3）由（1）得
{
C
abc
，abe ，abf ，ace，acf ，aef ，bce ，bcf ，bef ，
}
cef .
（4）A
B
B
“至少2 个白球”，
A
B
A
“3 个都是白球”，
\
A B “不可能事件”，
\
{
,
,
}
C
B
aef bef cef
“1 个白球”．
9.某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A 表示随机事件“两次都投中”，事件B 表示随机事
件“两次都未投中”，事件C 表示随机事件“恰有一次投中”，事件D 表示随机事件“至少有一次投中”，则下
列关系不正确的是（
）
A．A
D
B．B
D
C．A
B
B
D
D．A
C
D
【答案】C
【详解】根据题意可得：事件A 表示表示“两次都投中”；
事件B 表示“两次都未投中”；
事件C 表示“恰有一次投中”；
事件D 表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，
故A
D
，所以选项A 正确；
事件B 和事件D 是对立事件，故B
D
，所以选项B 正确；
事件A
B
表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件B
D
表示“两次都未投中”、“两次都投中”或“恰
有一次投中”，故选项C 错误；
事件A
C
U
表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故A
C
D
，所以选项D 正确；
故选：C.
10.一副扑克牌（含大王、小王）共54 张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K 各4 张，从该副
扑克牌中随机取出两张，事件A “取出的牌有两张6”，事件B “取出的牌至少有一张黑桃”，事件C “取
出的牌有一张大王”，事件D =“取出的牌有一张红桃6”，则（
）
A．事件A 与事件D 互斥
B．事件B 与事件C 互斥
C．事件B 与事件D 互斥
D．事件A 与事件C 互斥
【答案】D
【详解】ABC 选项，因为事件A 与事件D ，事件B 与事件C ，事件B 与事件D 都可以同时发生，所以A，
B，C 错误.
D 选项，因为取出的牌有两张6 的同时不可能再有一张大王，所以事件A 与事件C 互斥.
故选：D
11.将一枚均匀硬币连续抛掷两次，下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是（
）
A．至多一次正面向上
B．两次正面都向上
C．只有一次正面向上
D．两次都没有正面向上
【答案】D
【详解】将一枚均匀硬币连续抛掷两次，有：正正，正反，反正，反反，共4 种可能，
事件“至少一次正面向上”包括：正正，正反，反正，
对A：事件“至多一次正面向上”包括：正反，反正，反反，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；
对B：事件“两次正面都向上”即：正正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；
对C：事件“只有一次正面向上”包括：正反，反正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；
对D：事件“两次都没有正面向上”即：反反，与事件“至少一次正面向上”是对立事件.
故选：D.
12.袋中装有红球3 个、白球2 个、黑球1 个，从中任取2 个，则互斥而不对立的两个事件是（
）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个
D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
【答案】C
【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A 不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B 不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的
两个事件，C 是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D 不是.
故选：C
13.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A 表示事件“点数大于3”，B 表示事件“点数为偶数”，则
事件“点数为5”可以表示为（
）
A．A
B
B．A
B
C．A
B
D．A
B
【答案】B
【详解】A
B
表示“点数为2”，A
B
表示“点数5”，A
B
表示“点数为3 或2 或1 或4 或6”，A
B
表示“点数为1 或3 或4 或5 或6”，
故选：B
14.从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件A ，则
下列推断正确的是（
）
A．事件A 发生的概率等于1
4
B．事件A 发生的概率等于1
5
C．事件A 是不可能事件
D．事件A 是必然事件
【答案】D
【详解】根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形，
所以事件A 是必然事件．
故选：D．
15.对满足A
B
的非空集合A 、B ，有下列四个命题：
①“若任取x
A
，则x
B
”是必然事件；
②“若x
A
，则x
B
”是不可能事件；
③“若任取x
B
，则x
A
”是随机事件；
④“若x
B
，则x
A
”是必然事件.
其中正确命题的个数为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【详解】①：因为A
B
，x
A
，所以x
B
，因此“若任取x
A
，则x
B
”是必然事件，故本命题是
真命题；
②：当集合A 是集合B 的真子集时，显然存在一个元素在集合B 中，不在集合A 中，
因此“若x
A
，则x
B
”是随机事件，故本命题是假命题；
③：任取x
B
，当集合A 是集合B 的真子集时，x
A
有可能成立，也可能不成立，
因此“若任取x
B
，则x
A
”是随机事件,故本命题是真命题；
④：因为x
B
，所以一定有x
A
，显然“若x
B
，则x
A
”是必然事件，故本命题是真命题．
因此①③④为真命题.
故选：B
16.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件M ：向上的点数为奇数；事件N ：向上的点数是6，则事件M
与事件N （
）
A．既互斥又对立
B．互斥但不对立
C．对立但不互斥
D．既不互斥也不对立
【答案】B
【详解】由题意知事件M ：向上的点数为奇数；事件N ：向上的点数是6，
则事件M 与事件N 不会同时发生，故二者互斥，
当M 不发生时，N 也不一定发生，因为可能是投掷出向上的点数为2 或4，
故二者不对立，
故选：B
17.（多选）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件A “记下的点数为3”，事
件B “记下的点数为偶数”，事件C “记下的点数小于3”，事件D =“记下的点数大于2”，则（
）
A．事件A 与B 互斥
B．事件A 与C 互斥
C．事件B 与D 对立
D．事件C 与D 对立
【答案】ABD
【详解】依题意骰子面朝上的点数可能为1、2 、3 、4 、5、6共6个基本事件，
则事件B “记下的点数为偶数”包含2 、4 、6共3个基本事件，
事件C “记下的点数小于3” 包含1、2 共2 个基本事件，
事件D =“记下的点数大于2”包含3、4 、5、6共4 个基本事件，
所以事件A 与B 互斥，故A 正确；
事件A 与C 互斥，故B 正确；
事件B 与D 不互斥也不对立，故C 错误；
事件C 与D 互斥且对立，故D 正确；
故选：ABD
18.（多选）下列四个命题中，是真命题的是（
）
A．若事件
,
A B 是互斥事件，则
,
A B 是对立事件
B．若事件
,
A B 是对立事件，则
,
A B 是互斥事件
C．若事件A 是必然事件，则
1
P A
D．若事件
,
A B 是互斥事件，则
1
P A
B
【答案】BC
【详解】对于A，互斥事件不一定是对立事件，故A 选项不符合题意，
对于B，对立事件一定是互斥事件，故B 选项符合题意，
对于C，因为事件A 是必然事件，所以
1
P A ，故C 选项符合题意，
对于D，若事件
,
A B 是互斥事件，则只有当事件
,
A B 是对立事件时才有
1
P A
B
，故D 选项不符合题意.
故选：BC.
19.从一副扑克牌（去掉大、小王，共52 张）中随机选取1 张，记录它的花色．事件A 表示随机事件“抽出
的牌是黑桃”，事件B 表示随机事件“抽出的牌是红心”，事件C 表示随机事件“抽出的牌是方片”，事件D
表示随机事件“抽出的牌是草花”，下列说法中正确的序号是
．
（1）A，B，C，D 彼此互斥；
（2）A 与D，B 与C 是对立事件；
（3）A 的对立事件是B
C
D
；
（4）A
B
的对立事件为C
D
；
（5）A
C
U
与B
D
为互斥事件，但不是对立事件．
【答案】（1）（3）（4）．
【详解】（1）A，B，C，D 四个事件只能发生一个，不可能有两个同时发生，它们彼此互斥，（1）正确；
（2）当B 发生时，A 和D 都不发生，因此
,
A D不是对立事件，（2）错；
（3）事件A 和事件B
C
D
不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（3）正确；
（4）事件A
B
和事件C
D
不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（4）正确；
（5）事件A
C
U
和事件B
D
不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（5）错误．
故答案为：（1）（3）（4）．
20.电路如图所示.用A 表示事件“电灯变亮”，用B，C，D 依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，
则A＝
.(用B，C，D 间的运算关系式表示)
【答案】(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)
【详解】灯亮必须形状开关I 闭合，开关II 和III 中至少有一个闭合，
因此
(
)
A
B
C
D
．
故答案为：
(
)
B
C
D
．也可写成：(
)
(
)
BC
BD
．
21.已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配
的分层随机抽样方法，从中抽取7 名同学去敬老院参加献爱心活动．
(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)抽出的7 名同学分别用A，B，C，D，E，F，G 表示，现从该7 名同学中随机抽取2 名同学承担敬老院
卫生打扫工作．设7 名同学中来自高一的3 人分别为A，B，C，记事件M “抽取的两名同学中至少有一
名来自高一年级”，试用所给字母写出事件M 包含的样本点；
【答案】(1)分别抽取3 人，2 人，2 人
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意知，高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者人数之比为180:120:120
3: 2: 2
，
又采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7 名同学．
故应从高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者中分别抽取3 人，2 人，2 人．
（2）
,
M
A B
，
,
A C ，
,
A D ，
,
A E ，
,
A F ，
,
A G ，
,
B C ，
,
B D ，
,
B E ，
,
B F ，
,
B G ，
,
C D ，
,
C E ，
,
C F ，
,
C G
，共含有15 个样本点．
22.箱子里有3 双不同的手套，从中随机拿出2 只，记事件
{
A 拿出的手套不能配对}，事件
{
B 拿出的
都是同一只手上的手套}，事件
{
C
拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对}．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A 、事件B 、事件C ；
(3)说出事件A 、事件B 、事件C 的关系．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3) A
B
，A
C
，B
C
A
【详解】（1）设3 双手套为
1
2
a a ，
1 2
b b ，
1 2
c c ，
其中
1a ，
1b ，
1c 代表左手手套，
2a ，
2b ，
2c 代表右手手套，
样本空间为
1
2
{(
)
a a
，
1 2
(
)
a b
，
1 2
(
)
a c ，
1
2
(
)
b a
，
1 2
(
)
b b
，
1 2
(
)
b c
，
1
2
(
)
c a ，
1 2
(
)
c b
，
1 2
(
)
c c
，
1 1
(
)
a b ，
1 1
(
)
a c ，
1 1
(
)
b c ，
2
2
(
)
a b
，
2
2
(
)
a c
，
2
2
(
)}
b c
．
（2）
1 2
{(
)
A
a b ，
1 2
(
)
a c ，
1
2
(
)
b a
，
1 2
(
)
b c
，
1
2
(
)
c a ，
1 2
(
)
c b
，
1 1
(
)
a b ，
1 1
(
)
a c ，
1 1
(
)
b c ，
2
2
(
)
a b
，
2
2
(
)
a c
，
2
2
(
)}
b c
，
1 1
{(
)
B
a b
，
1 1
(
)
a c ，
1 1
(
)
b c ，
2
2
(
)
a b
，
2
2
(
)
a c
，
2
2
(
)}
b c
，
1 2
{(
)
C
a b
，
1 2
(
)
a c ，
1
2
(
)
b a
，
1 2
(
)
b c
，
1 2
(
)
c b
，
1
2
(
)}
c a
．
（3）根据（2）知A
B
，A
C
，B
C
A
．
23.从一副扑克牌（去掉大、小王，共52 张）中随机选取1 张，下列每组事件是否为互斥事件？若是互斥
事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件A 、事件B 的对立事件．
(1) A 表示“抽出的牌是红心”，B 表示“抽出的牌是方片”；
(2) A 表示“抽出的牌是红心”，B 表示“抽出的牌是K”；
(3) A 表示“抽出的牌是红色牌”，B 表示“抽出的牌是黑色牌”；
(4) A 表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10 之一”，B 表示“抽出的牌是方片”；
(5) A 表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10 之一”，B 表示“抽出的牌面是J，Q，K，A 之一”；
(6) A 表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7 之一的一张方片”，B 表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，
A 之一的一张方片”．
【答案】(1)答案见解析
(2) A 与B 不互斥也不对立
(3) A 与B 互斥且A 与B 对立．
(4) A 与B 不互斥也不对立
(5) A 与B 互斥且A 与B 对立．
(6)答案见解析
【详解】（1）因为A 表示“抽出的牌是红心”，B 表示“抽出的牌是方片”，
所以A 与B 互斥，但A 与B 不对立．
A 的对立事件是“抽出的牌不是红心”，
B 的对立事件是“抽出的牌不是方片”．
（2）因为A 表示“抽出的牌是红心”，B 表示“抽出的牌是K”；
当出现红心K 时，事件A 、B 都发生，所以A 与B 不互斥也不对立．
（3）因为A 表示“抽出的牌是红色牌”，B 表示“抽出的牌是黑色牌”；
所以A 与B 互斥且A 与B 对立．
（4）因为A 表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10 之一”，B 表示“抽出的牌是方片”；
当出现方片2，3，4，6，10 之一，则事件A 、B 都发生，所以A 与B 不互斥也不对立．
（5）因为A 表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10 之一”，B 表示“抽出的牌面是J，Q，K，A
之一”；
所以A 与B 互斥且A 与B 对立．
（6）因为A 表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7 之一的一张方片”，
B 表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A 之一的一张方片”．
所以A 与B 互斥，但A 与B 不对立．
A 的对立事件是“抽出的牌面不是方片2，3，4，5，6，7 之一”，
B 的对立事件是“抽出的牌面不是方片8，9，10，J，Q，K，A 之一”．
