2.5 直线的交点坐标与距离公式
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：两条直线的交点坐标....................................................... 2
考点二：两点间的距离................................................................ 3
考点三：点到直线的距离............................................................. 3
考点四：两条平行线间的距离....................................................... 3
考点五：对称问题......................................................................4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：判断两直线的位置关系.................................................... 4
题型二：直线交点的求相关量....................................................... 6
题型三：过两条直线交点的直线系方程..........................................10
题型四：两点间距离公式........................................................... 13
题型五：两点间距离转化应用......................................................15
题型六：点到直线距离公式........................................................ 18
题型七：平行线间距离公式........................................................ 24
题型八：点到直线距离公式转化应用.............................................26
题型九：点关于点、点关于线对称................................................30
题型十：线段和差最值问题........................................................ 33
题型十一：平行直线间的距离的最值问题....................................... 37
模块三：综合巩固....................................................................... 39
2.5 直线的交点坐标与距离公式
模块一：基础知识
考点一：两条直线的交点坐标
1.点与坐标的一一对应关系
几何元素及关系
代数表示
点P
( , )
P a b
直线l
:
0
l Ax
By
C
点P 在直线l 上
0
Aa
Bb
C
直线1l 与2l 的交点是P
方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A x
B y
C
A x
B y
C
的解是x
a
y
b
2.直线的交点与方程的解
求两直线
1
1
1
1
1
1
0(
0)
A x
B y
C
A B C
与
2
2
2
2
2
2
0(
0)
A x
B y
C
A B C
的交点坐标，
只需求两直线方程联立所得方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A x
B y
C
A x
B y
C
的解即可．
若有
1
1
1
2
2
2
A
B
C
A
B
C ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；
若有
1
1
1
2
2
2
A
B
C
A
B
C ，则方程组无解，此时两直线平行；
若有
1
1
2
2
A
B
A
B ，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标．
3.判断两直线的位置关系
关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．
（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．
（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．
4.过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含
有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．
由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
经过两直线1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
，2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
交点的直线方程为
1
1
1
2
2
2
(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C
，其中是待定系数．
在这个方程中，无论取什么实数，都得不到
2
2
2
0
A x
B y
C
，因此它不能表示直线2l ．
考点二：两点间的距离
1.距离公式：平面内两点
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P x
y
间的距离公式为：
2
2
1
2
1
2
1
2
PP
x
x
y
y
.
【注意】公式中
1P 和
2P 位置没有先后之分，也可以表示为：
2
2
1
2
2
1
2
1
PP
x
x
y
y
．
2.三种特殊距离：
（1）原点O 到任意一点
,
P x y 的距离为
2
2
OP
x
y
；
（2）当
1
2
PP 平行于x 轴时，
1
2
2
1
PP
x
x ；
（3）当
1
2
PP 平行于y 轴时，
1
2
2
1
PP
y
y ．
3.坐标法解题的基本步骤
（1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；
（2）进行有关代数运算；
（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
考点三：点到直线的距离
1.定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度．
2.距离公式：点
0
0
,
P x
y
到直线:
0
l Ax
By
C
的距离
0
0
2
2
Ax
By
C
d
A
B
．
【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．
（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离．
（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点P 在直线l 上时，它到直线的距离为0．
3.点到几种特殊直线的距离
（1）点
0
0
,
P x
y
到x 轴的距离
0
d
y
；
（2）点
0
0
,
P x
y
到y 轴的距离
0
d
x
；
（3）点
0
0
,
P x
y
到直线y
a
的距离
0
d
y
a
；
（4）点
0
0
,
P x
y
到直线x
b
的距离
0
d
x
b
．
考点四：两条平行线间的距离
1.定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长．
2.距离公式：两条平行直线1
1
:
0
l
Ax
By
C
，
2
2
1
2
:
0
l
Ax
By
C
C
C
，
它们之间的距离为：
1
2
2
2
C
C
d
A
B
【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且x 和y 的系数对应相等．
3.两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上
的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离．
考点五：对称问题
1.点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点
1
1
(
)
P x
y
，
关于点
0
0
(
)
Q x
y
，
的对称点为
2
2
(
)
P x
y
，
，则根
据中点坐标公式，有
1
2
0
1
2
0
2
2
x
x
x
y
y
y
可得对称点
2
2
(
)
P x
y
，
的坐标为
0
1
0
1
(2
2
)
x
x
y
y
，
2.点关于直线对称【2.8 专题有二级公式】
点
1
1
(
)
P x
y
，
关于直线:
0
l Ax
By
C
对称的点为
2
2
(
)
P x
y
，
，连接PP，交l 于M 点，则l 垂直平分
PP，所以PP
l
，且M 为PP中点，又因为M 在直线l 上，故可得
1
2
1
2
1
0
2
2
l
PP
k
k
x
x
y
y
A
B
C
，解出
2
2
(
)
x
y
，
即可．
3.直线关于点对称【2.8 专题有二级公式】
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求
出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4.直线关于直线对称
求直线1 :
0
l
ax
by
c
，关于直线2 :
0
l
dx
ey
f
（两直线不平行）的对称直线3l
第一步：联立1
2
l
l
，算出交点
0
0
(
)
P x
y
，
第二步：在1l 上任找一点（非交点）
1
1
(
)
Q x
y
，
，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
2
2
(
)
Q x
y
，
第三步：利用两点式写出3l 方程
模块二：题型分类
题型一：判断两直线的位置关系
1.判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1) 1 : 2
3
0
l
x
y
，2 :
2
1
0
l
x
y
；
(2) 1 :
2
0
l
x
y
，2 : 2
2
3
0
l
x
y
；
(3) 1 :
1
0
l
x
y
，2 : 2
2
2
0
l
x
y
．
【解析】（1）由
2
3
0
2
1
0
x
y
x
y
，解得
1
1
x
y
，
因此直线1l 和2l 相交，交点坐标为
1, 1
．
（2）因为1 :
2
0
l
x
y
，2 : 2
2
3
0
l
x
y
，
由
2
0
2
2
3
0
x
y
x
y
①
②，
①2-②得1
0
，矛盾，
由此可知方程组无解，因此直线1l 与2l 平行．
（3）由
1
0
2
2
2
0
x
y
x
y
①
②，
2
①
得2
2
2
0
x
y
，
说明方程②是方程①的2 倍，方程①的解都是方程②的解．
因此直线1l 与2l 重合．
2.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1) 1
2
:
1
0,
: 2
2
1
0
l
x
y
l
x
y
；
(2) 1
2
:
2
1
0,
:
2
5
0
l
x
y
l
x
y
．
【解析】（1）将1l 与2l 的方程分别化为斜截式可知1
2
1
:
1,
:
2
l
y
x
l
y
x
．
因此1l 与2l 的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
（2）解方程组
2
1
0
2
5
0
x
y
x
y
，
可得
3,
1
x
y
．
因此1l 与2l 相交，而且交点的坐标为( 3, 1)
3.分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标.
(1) 1 :
3
1
0
l
x
y
，2 :3
4
0
l
x
；
(2) 1 :
3
1
0
l
x
y
，2
1
:
4
3
l
y
x
.
【解析】（1）因为1 :
3
1
0
l
x
y
，2 :3
4
0
l
x
，
联立
3
1
0
3
4
0
x
y
x
，解得
4
3
1
9
x
y
，
所以1l 与2l 相交，交点坐标为
9
4 ,
3
1
.
（2）因为1 :
3
1
0
l
x
y
，2
1
:
4
3
l
y
x
可化为
3
12
0
x
y
，
联立
3
1
0
3
12
0
x
y
x
y
，两式相减得11
0
，显然不成立，故方程组无解，
所以1l 与2l 平行.
题型二：直线交点的求相关量
1.已知三条直线2
4
0,
3
0,
2
0
x
y
kx
y
x
y
交于一点，则实数k =（
）
A．1
B．1
C．
3
2
D．1
4
【答案】C
【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可.
【详解】由
2
4
0
2
2
0
0
x
y
x
x
y
y
，即两直线交点坐标为(2,0) ，
代入
3
0
kx
y
得：
3
2
0
3
0
2
k
k
.
故选：C
2.直线2
2
0
x
y
与
4
2
0
ax
y
互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（
）
A．
1, 4
B．
0, 2
C．
1,0
D．0, 1
2
【答案】C
【分析】由两直线垂直可得
2
a ，联立解方程组可得交点坐标.
【详解】易知直线2
2
0
x
y
的斜率为2
，
由两直线垂直条件得直线
4
2
0
ax
y
的斜率
1
4
2
a
，解得
2
a ；
联立
2
2
0
2
4
2
0
x
y
x
y
，解得
1
0
x
y
；
即交点为
1,0
故选：C.
3.已知直线1l ：
1
0
ax
y
与2l ：2
1
0
x
by
相交于点
1,1
M
，则a
b
（
）
A．1
B．1
C．2
D．－2
【答案】A
【分析】把点
1,1
M
代入两直线方程求得a
b
、，进而求得a
b
．
【详解】解：∵点
1,1
M
在直线1l 和2l 上，
∴
1 1
0
2
1
0
a
b
，
解得
2
1
a
b
，
1
a
b
．
故选：A．
4.已知直线
4
2
0
mx
y
与2
5
0
x
y
n
互相垂直，垂足为
1,
P
p ，则m
n
p
的值是（
）
A．24
B．0
C．20
D．4
【答案】C
【分析】利用垂直可求m ，根据垂足坐标可求,n p ，进而可得答案.
【详解】因为直线
4
2
0
mx
y
与2
5
0
x
y
n
互相垂直，
所以
2
4
5
0
m
，解得
10
m
；
垂足
1,
P
p 在直线10
4
2
0
x
y
上，所以
2
p ，
垂足
1,
P
p 在直线2
5
0
x
y
n
上，所以
5
2
12
n
p
，
所以
10
12
2
20
m
n
p
.
故选：C
5.已知直线1l ：y = kx - 4 与直线2l ：x + 2y + 2 = 0 的交点在第三象限.则实数k 的取值范围为（
）
A．
, 2
B．
2,
C．
1
,
2
D．
2,0
【答案】A
【分析】求得两直线的交点坐标，根据其所处现象列出不等式，求解即可.
【详解】联立直线1
2
,l l 的方程可得
1 2
6
k x
，显然
1
2
k
，故
6
1
2
x
k
，则
6
4
1
2
k
y
k
，
根据题意，
6
0
1
2k
且
6
4
0
1
2
k
k
，解得
1
2
k
且
2
k ，故
, 2
k
.
故选：A.
6.若直线:
3
l y
kx
与直线
3
0
x
y
相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围
是
．
【答案】30
90
【分析】根据两直线相交可得
1
k ，解出两直线交点坐标由第一象限即可限定出
3
3
k
，求出倾斜角的
取值范围.
【详解】由两直线相交可得
1
k ，
联立
3
3
0
y
kx
x
y
，解得
3
3
3
3
,
1
1
k
x
y
k
k
；
所以两直线的交点坐标为3
3 3
3
,
1
1
k
k
k
；
又两直线交点在第一象限，所以
3
3
0
1
3
3
0
1
k
k
k
，解得
3
3
k
，
又直线l 的倾斜角为，则
3
tan
3
，所以可得30
90
.
故答案为：30
90
7.若y
a x
的图像与直线
(
0)
y
a
x a
有两个不同的交点，则a 的取值范围是（
）
A．1
0
a
B．
1
a
C．a<0
D．
1
a
【答案】B
【解析】当
0
x
时，由a x
a
x
可得，ax
a
x
，当
1
a 时，解得
1
a
x
a
；
当
0
x
时，由a x
a
x
可得，ax
a
x
，由a<0 可知，方程的解是
1
a
x
a
，
又y
a x
的图像与直线
(
0)
y
a
x a
有两个不同的交点，
所以
0
1
0
1
a
a
a
a
，其中a<0 ，解得
1
a ；
综上所述，
1
a .
故选：B
8.已知0
4
k
，直线1
2
2
8
0
l
kx
y
k
：
和直线
2
2
2
2
4
4
0
l
x
k y
k
：
与两坐标轴围成一个四边形，
则使得这个四边形面积最小的k 值为（
）
A．1
2
B．1
4
C．1
8
D．1
【答案】C
【解析】
1
2
2
8
0
l
k x
y
：
过定点
2 4
,
，
2
2
4
4
2
l
k
y
x
：
也过定点
2 4
,
，如图所示，
在1l 的方程中，令
0
x
，则
4
y
k
，
在2l 的方程中，令
0
y
，则
2
2
2
x
k
，
则点
0,4
A
k
，
2
2
2,0
B
k
，
2
2
1
1
1
127
2
4
4
4
2
4
2
2
8
16
S
k
k
k
．
由二次函数性质可得，当
1
8
k
时，S 取得最小值．
故选：C.
9.若直线:
3
l y
kx
与直线2
3
6
0
x
y
的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．π π
,
6 3
B．π π
,
6 2
C．π π
,
3 2
D．π π
,
6 2
【答案】D
【解析】法一：联立两直线方程，得
3
2
3
6
0
y
kx
x
y
，解得
3 3
6
2
3
6
2 3
2
3
x
k
k
y
k
，
所以两直线的交点坐标为3 3
6 6
2 3
(
,
)
2
3
2
3
k
k
k
.
因为两直线的交点在第一象限，所以
3 3
6
0
2
3
6
2 3
0
2
3
k
k
k
，解得
3
3
k
，
设直线l 的倾斜角为θ，则
3
tan
3
，又
[0,π)
，所以
π π
(
,
)
6 2
.
法二：由题意，直线l 过定点
(0,
3)
P
，
设直线2
3
6
0
x
y
与x 轴、y 轴的交点分别为
(3,0), (0,2)
B
A
.
如图，当直线l 在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知
3
3
PB
k
，
∴PB
l
的倾斜角为π
6 ，PA
l
的倾斜角为π
2 .
∴直线l 的倾斜角的取值范围是π π
( , )
6 2 .
故选：D
题型三：过两条直线交点的直线系方程
1.已知直线1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
（
1A ，
1
B 不全为0）与直线2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
（
2
A ，
2
B 不全为0）相交于
点P，求证：过点P 的直线可以写成
1
1
1
2
2
2
0
m A x
B y
C
n A x
B y
C
2
2
(
0)
m
n
的形式．
【解析】设点
0
0
(
,
)
P x
y
，
因为直线1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
（
1A ，
1
B 不全为0）与直线2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
（
2
A ，
2
B 不全为0）相交于
点P，
所以有
1
0
1
0
1
0
A x
B y
C
，
2
0
2
0
2
0
A x
B y
C
，
故
1
0
1
0
1
2
0
2
0
2
0
m A x
B y
C
n A x
B y
C
成立，
即说明点
0
0
(
,
)
P x
y
在直线
1
1
1
2
2
2
0
m A x
B y
C
n A x
B y
C
上；
下面只需证明过点
0
0
(
,
)
P x
y
的直线
1
1
1
2
2
2
0
m A x
B y
C
n A x
B y
C
的斜率可以取任意值或斜率不
存在；
1
1
1
2
2
2
0
m A x
B y
C
n A x
B y
C
可变为
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
0
mA
nA x
mB
nB
y
C
C
，即该方程表示的是一条直线，
1
2
,
B B
不可能同时为零，否则1
2.l l
不相交，则一定存在
,
m n 使得
1
2
0
mB
nB
，
此时
1
1
1
2
2
2
0
m A x
B y
C
n A x
B y
C
表示过P 斜率不存在的直线；
当
1
2
0
mB
nB
时，该直线斜率
1
2
1
2
mA
nA
k
mB
nB
，m，n 不能同时为0，总存在m，n 使得
1
2
1
2
mA
nA
k
mB
nB
取到任意实数，
故综合上述：过点P 的直线可以写成
1
1
1
2
2
2
0
m A x
B y
C
n A x
B y
C
2
2
(
0)
m
n
的形式．
2.求过两条直线
2
3
y
x
与3
2
0
x
y
的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）斜率为
1
2
；
（2）过点
2 , 3
P
；
（3）平行于直线3
1
x
y
．
【解析】（1）法一：直线
2
3
y
x
与3
2
0
x
y
－
的交点为
1,5 ，
当斜率为
1
2
时，由直线的点斜式方程得：直线方程为
1
5
1
2
y
x
－
－．
直线方程为
2
11
0
x
y
－
．
法二：由题意，直线3
2
0
x
y
不符合题意，
所以由直线系方程可设所求直线为
2
3
3
2
0
x
y
x y
-
2
3
3
2
0
2
3
1
2
3
0
x
y
x y
x
y
-
，
当直线的斜率为
1
2
时，2
3
1
1
2
，解得
5
7
，
故所求直线方程为
2
11
0
x
y
－
；
（2）法一：过点
2,3
P
时，由两点式得：
3
5
5
1
2 1
y
x
－
－即为
2
7
y
x
－
．
直线方程为2
7
0
x
y
－
．
法二：由题意，直线3
2
0
x
y
不符合题意，
过点
2,3
P
时，代入（1）中直线系方程得
4
4
5
0
5
，
故所求直线方程为2
7
0
x
y
－
．
（3）法一：平行于直线3
1
x
y
时，得直线斜率为
3
k －，直线方程为
5
3
1
y
x
－
－
－，
直线方程为3
8
0
x
y
－
．
法二：由题意，直线3
2
0
x
y
不符合题意，
平行于直线3
1
x
y
时，由（1）中直线系方程2
3
3
1
，解得
5
6
，
故所求直线方程为3
8
0
x
y
－
．
3.直线l 经过直线1
2
: 2
3
2
0
:3
4
2
0
l
x
y
l
x
y
与
的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
求直线l 的方程．
【解析】设直线l 方程为2
3
2
x
y
(3
4
2)
0
m
x
y
，
化简得(2
3 )
(3
4 )
2
2
0
m x
m y
m
，
直线l 与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
直线l 的斜率为，
2
3
3
4
m
m
或4
3
m ，解得
1
7
m
或
5
m
．
代入并化简得直线l 的方程为17
17
12
0
x
y
或17
17
8
0
x
y
．
所以所求的直线方程为17
17
12
0
x
y
或17
17
8
0
x
y
．
4.已知两直线
1
1
1
0
a x
b y
和
2
2
1
0
a x
b y
的交点为
(1,2)
P
，则过
1
1
1
(
,
),
Q a b
2
2
2
(
,
)
Q a b
两点的直线方程为
（
）
A．
2
1
0
x
y
B．
2
1
0
x
y
C．2
1
0
x
y
D．2
1
0
x
y
【答案】B
【解析】依题意两直线
1
1
1
0
a x
b y
和
2
2
1
0
a x
b y
的交点为
(1,2)
P
，
所以
1
1
2
2
1
2
2
1
0,
2
1
0
,
a
b
a
b
Q Q
，
在直线
2
1
0
x
y
上，
所以过
1
1
1
(
,
),
Q a b
2
2
2
(
,
)
Q a b
两点所在直线方程为
2
1
0
x
y
，
故选：B
5.求过直线x+y+1＝0 与2x+3y﹣4＝0 的交点且斜率为﹣2 的直线方程．
【解析】设过直线x+y+1＝0 与2x+3y﹣4＝0 的交点的直线方程为x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，
即（1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率为
1
2
1
3
2，
解得λ
1
4
，
∴所求的直线方程为2x+y+8＝0．
6.求经过直线1:
3
4
0
l
x
y
与2 :5
2
6 0
l
x
y
的交点，且过点
(2,3)
A
的直线方程．
【解析】解法一：联立直线方程，解方程组
3
4
0,
5
2
6
0
x
y
x
y
得
2
2
x
y
，
由两点式得所求直线的方程为
3
2
2
3
2
2
y
x
，
即
4
10
0
x
y
．
解法二：易知直线5
2
6
0
x
y
不符合所求方程，设所求直线方程为
3
4
(5
2
6)
0(
)
x
y
x
y
R ，
将点
(2,3)
A
的坐标代入，得2
3
3
4
(5
2
2
3
6)
0
，
解得
7
22
，
故所求直线方程为
7
3
4
(5
2
6)
0
22
x
y
x
y
，整理得
4
10
0
x
y
．
题型四：两点间距离公式
1.已知
3,6 ,
2,4
A
B
，则A，B 两点间的距离为（
）
A．5
B．5
C．3
D．
29
【答案】B
【分析】根据两点间距离公式求出答案.
【详解】A，B 两点间的距离为
2
2
3
2
6
4
5
.
故选：B
2.已知点
1,2 ,
1,0 ,
3,6 ,
A
B
C
M
为AB 中点，则MC
．
【答案】
34
【解析】由于M 是AB 中点，所以
0,1
M
，
所以
2
2
3
5
34
MC
.
故答案为：
34
3.三角形的三个顶点为
3, 2 ,
3,4 ,
5,4
A
B
C
，D 为AC 中点，则BD 的长为（
）
A．3
B．5
C．9
D．25
【答案】B
【分析】由中点坐标公式求得
( 1,1)
D
，应用两点间的距离公式求BD 的长.
【详解】由题设
( 1,1)
D
，则
2
2
|
|
(3 1)
(4 1)
5
BD
.
故选：B
4.直线1 :3
2
0
l
ax
y
和直线2 :
2
(
1)
y
l
a x
分别过定点A 和B，则AB
．
【答案】17
【解析】直线1 :3
2
0
l
ax
y
经过的定点坐标为
0, 2
，直线2 :
2
(
1)
y
l
a x
经过的定点坐标为
1,2 ，
从而计算
2
2
0 1
2
2
17
AB
.
故答案为：17 .
5.已知过
(
,2),
(
,
1)
A m
B
m m
两点的直线的倾斜角是45，则
,
A B 两点间的距离为（
）
A．2
B．
6
C．2 2
D．3 2
【答案】C
【分析】利用倾斜角求出
1
m ，然后利用两点间距离公式即可得出答案.
【详解】由题知，
1 2
tan 45
1
m
m
m
，
解得
1
m ，故
(1,2),
( 1,0)
A
B
，
则
,
A B 两点间的距离为
2
2
1 1
2
2 2
.
故选：C
6.在数轴上，运用两点距离的概念和计算公式，可得方程
1
1
2
x
x
的解集为
.
【答案】[1,
)
【解析】
1
1
x
x
表示数轴上到1
和1 对应点的距离差，
当
1
x 时，
1
1
2
x
x
，不合题意，
当1
<1
x
时，
1
1
1
1
2
2
x
x
x
x
x
，不合题意，
当
1
x
时，
1
1
2
x
x
，符合题意，
所以方程
1
1
2
x
x
的解集为[1,
)
，
故答案为：[1,
)
7.已知
, 5
A a
与
0,10
B
两点间的距离是17，则a 的值为（
）
A．8
B．2 66
C．2 66
D．8
【答案】D
【分析】直接用两点间得距离公式计算即可.
【详解】由两点间的距离公式得：
2
2
0
5 10
17
a
，解得
8
a .
故选：D
8.已知点
1,2
A
，
3,4
B
，
5,0
C
，若A ，B ，C 是ABC
的三个顶点，则ABC
是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】B
【分析】计算
2 2
AB
，
2 5
AC
，
2 5
BC
，且
2
2
2
AB
AC
BC
，得到答案.
【详解】
2
2
3 1
4
2
2 2
AB
，
2
2
5 1
0
2
2 5
AC
2
2
3 5
4
0
2 5
BC
，故AC
BC
，且
2
2
2
AB
AC
BC
，
故ABC
为等腰三角形.
故选：B.
9.已知函数y
x
m
的图象与函数
2
1
x
y
和函数
2
2
1
x
y
的图象分别交于
,
A B 两点，若
2
AB
，
则m
．13723366289
【答案】4
【解析】因为
2
2
3
2
1
2
1
2
2
2
0
4
x
x
x
x
x
，
所以函数
2
1
x
y
的图象恒在函数
2
2
1
x
y
上方，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则
1
2
x
x
，
1
2
y
y
，
由
2
AB
可得
2
2
1
2
1
2
2
x
x
y
y
，
又因为AB 所在直线的斜率为
1
2
1
2
1
y
y
x
x
，所以
2
1
1
2
1
x
x
y
y
，
因为
1
2
1
2
2
2
1
2
1
x
x
y
y
，所以
1
2 2
1
2
2
1
2
1
1
x
x
y
y
，
即
1
1 1
2
2
1
x
x
，解得
1
1
x ，
因为
1
1
2
1
3
x
y
，所以
1,3
A
，代入函数y
x
m
，可得
4
m
．
故答案为：4
题型五：两点间距离转化应用
1.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化
为几何问题加以解决，根据上述观点，当
2
2
2
10
10
29
f x
x
x
x
x
取得最小值时，实数x 的值
为（
）
A．13
5
B．3
C．17
5
D．4
【答案】C
【分析】
根据两点距离公式，结合直线方程即可求解.
【详解】
2
2
2
2
2
10
10
29
(
5)
4
(
1)
9
f x
x
x
x
x
x
x
，
表示平面上点
( ,0)
M x
与点
(5,2)
A
，
(1,
3)
B
的距离和，
连接AB ，与x 轴交于
( ,0)
M x
，此时直线AB 方程为
2
3
1
3
5
1
y
x
，
令
0
y
，则
7
5
1
x
( )
f x
的最小值为
2
2
(5
1)
(2
3)
41
，此时
7
5
1
x
故选：C．
2.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为
几何问题加以解决，如：
2
2
x
a
y
b
可以转化为平面上点
,
M x y 与点
,
N a b 的距离．结合上述观
点，可得
2
2
2
5
6
25
y
x
x
x
x
的最小值为（
）
A．2 10
B．2 2
C．
2
10
D．3
5
【答案】A
【分析】y 可看作x 轴上一点
,0
P x
到点
1,2
A
与点
3, 4
B
的距离之和，可知当A，P，B 三点共线时
PA
PB
取得最小值可得答案.
【详解】
2
2
2
2
2
2
2
5
6
25
1
0
2
3
0
4
y
x
x
x
x
x
x
，
则y 可看作x 轴上一点
,0
P x
到点
1,2
A
与点
3, 4
B
的距离之和，
即PA
PB
，则可知当A，P，B 三点共线时，PA
PB
取得最小值，
即
2
2
min
1 3
2
4
2 10
PA
PB
AB
．
故选：A.
3.
2
2
2
2
4
8
f x
x
x
x
x
的最小值为
．
【答案】3 2
【解析】
2
2
2
2
2
2
1
1
1
0 1
x
x
x
x
，
2
2
2
2
4
8
2
4
2
0
2
x
x
x
x
，
如图，设点
,0
A x
，
1,1
B
，
2, 2
C
，要求
f
x 的最小值，即求AB
AC
的最小值．
由于AB
AC
BC
，当A，B，C 三点共线时，等号成立，
且
2
2
1 2
1 2
3 2
BC
，故
f
x 的最小值为3 2 ．
故答案为：3 2 .
4.已知
R
x
y
、
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(
1)
1
2
(
2)
1
x
y
x
y
x
y
x
y
的最小值为
.
【答案】4
【解析】
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(
1)
1
2
(
2)
1
x
y
x
y
x
y
x
y
的最小值，即动点
,x y 到
1,0 , 0,1 , 1,2 , 2,1 的距离之和最小，
由平面内到两定点距离之和大于等于两定点间的距离，
1,0 , 0,1 , 1,2 , 2,1 为正方形的四个顶点，当
,x y 为正方形对角线交点
1,1 时，
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(
1)
1
2
(
2)
1
x
y
x
y
x
y
x
y
取
最小值4.
故答案为：4
题型六：点到直线距离公式
1.原点到直线9
12
10
0
x
y
间的距离是（
）
A．2
3
B．1
3
C．1
D．2
5
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可.
【详解】原点到直线9
12
10
0
x
y
间的距离是：
2
2
10
10
2
15
3
9
12
d
.
故选：A
2.已知点
0,3
A
及直线:
1
0
l x
y
上一点B ，则AB 的值不可能是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】易知点
0,3
A
到直线:
1
0
l x
y
的距离为
0
3 1
2
2
d
，所以
2
AB
，
因此AB 的值不可能是1.故选：A
3.已知
2,0
A
，
4,
B
m 两点到直线l ：
1
0
x
y
的距离相等，则m （
）
A．2
B．6
C．2
或4
D．4 或6
【答案】D
【分析】求出点A 到直线l 的距离和点B 到直线l 的距离，二者相等求解方程即可.
【详解】点A 到直线l 的距离为
2
2
| 2 1|
2
2
1
1
，
点B 到直线l 的距离为
2
2
| 4
1|
2 | 5
|
2
1
1
m
m
，
因为点A 到直线l 的距离和点B 到直线l 的距离相等，
所以| 5
| 1
m
，所以
4
m
或6.
故选：D.
4.已知点
1
,1 3
P
t
t
到直线:
2
1
l y
x
的距离为
5
5 ，则点P 的坐标为（
）
A．
0, 2
B．
2,4
C．
0, 2
或
2,4
D．
1,1
【答案】C
【详解】直线:
2
1
l y
x
可化为2
1
0
x
y
，依题意得
2
2
2 1
1
3
1
5
5
2
( 1)
t
t
，整理得
1
t ，所以
1
t
或-1．当
1
t 时，点P 的坐标为
2,4 ；当
1
t 时，点P 的坐标为
0, 2
，故选C．
5.已知ABC
的三个顶点的坐标为
3,3
A
，
2, 2
B
，
7,1
C
，则ABC
的面积为
.
【答案】24
【解析】
2
2
(2
7)
( 2 1)
3 10
BC
，
2 1
1
2
( 7)
3
BC
k
，则直线BC 方程为
1
2
(
2)
3
y
x
，即
3
4
0
x
y
，
A 到BC 的距离
2
2
| 3
3 3
4 |
16
10
1
3
d
，
则ABC
的面积为
1
1
16
3 10
24
2
2
10
S
BC d
．
故答案为：24．
6.已知
1,3
P
，
3,6
Q
，若P ，Q 到直线l 的距离都等于5
2 ，则满足条件的直线l 共有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【分析】分别研究
,
P Q 位于直线同侧以及
,
P Q 位于直线两侧时的情况，即可得出答案.
【详解】当
,
P Q 位于直线同侧时，只有
/ /
PQ
l 时，且两平行线之间的距离为5
2 时，满足条件，这样的直线
l 有2 条；
又
2
2
1 3
3
6
5
PQ
，
所以
,
P Q 位于直线两侧时，只有当直线l 恰为直线PQ的中垂线时，满足条件，此时的直线l 有1 条.
综上所述，满足条件的直线l 共有3 条.
故选：C．
7.已知直线l ：
2
3
y
k x
，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．若使AOB
的面积为12的直线l 共
有（
）条
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用直线方程求得直线与两坐标轴的交点A 、B ，从而将AOB
的面积表示为斜率k 的函数，分
0
k
和
0
k
两种情况根据AOB
的面积为12的条件计算，利用一元二次方程的解法运算即可得解.
【详解】解：
如上图，当=2
x
时
3
y ，则直线l 过定点
2,3
P
，
∵l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，
∴直线l 的斜率k 存在且不为0 ，
且∵直线l 方程为
2
3
y
k x
，
∴当=0
x
时
3
2
y
k ，当
3
=2
x
k
时
0
y
，
∴直线l 与y 轴交于点
0,3
2
A
k
，直线l 与x 轴交于点
3
2
,0
B
k
，
∴
3
2
AO
k ，
3
2
BO
k ，
∵AO
OB
，则AOB
是直角三角形，
∴
(
)
2
2
3
1
1
2
2
AOB
k
S
AO
OB
k
-
=
´
=
，
（i）当
0
k
时，
(
)
2
2
3
2
AOB
k
S
k
-
=
，
由题意，AOB
的面积为12，则(
)
2
2
3
12
2
k
k
-
=
，
即
2
4
36
9
0
k
k
-
+
=
，解得：
9
6 2
2
k
±
=
.
（ii）当
0
k
时，
(
)
2
2
3
2
AOB
k
S
k
-
=
-
，
由题意，AOB
的面积为12，则(
)
2
2
3
12
2
k
k
-
=
-
，
即
2
4
12
9
0
k
k
+
+
=
，解得：
3
2
k
.
综上知，使AOB
的面积为12的直线l 共有3 条.
故选：C.
8.（多选）已知
0,1
A
、
2,0
B
、
1, 1
C
，则（
）
A．直线AB 的方程为
2
2
0
x
y
-
+
=
B．点A 到直线BC 的距离为
10
2
C．ABC
为等腰直角三角形
D．ABC
的面积为5
【答案】ABC
【分析】利用截距式方程可判断A 选项；利用点到直线的距离公式可判断B 选项；利用斜率关系以及两点
间的距离公式可判断C 选项；利用三角形的面积公式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，直线AB 的方程为
1
2
1
x
y
，整理得
2
2
0
x
y
-
+
=
，A 对；
对于B 选项，直线BC 的斜率为
1 0
1
1
2
3
k
，
所以直线BC 的方程为
1
2
3
y
x
，即
3
2
0
x
y
，
则点A 到直线BC 的距离为
2
2
0
3 1 2
10
2
1
3
d
，B 对；
对于C 选项，
0 1
1
2
0
2
AB
k
，
1 1
2
1
0
AC
k
，则
1
A
AB
C
k
k
，
所以
90
BAC
，又
2
2
0 1
2
0
5
AB
，
2
2
1 1
1 0
5
AC
，
所以AB
AC
，所以ABC
为等腰直角三角形，C 对；
对于D 选项，ABC
的面积为
2
1
1
5
5
2
2
2
AB
AC
，D 错误.
故选：ABC.
9.已知直线l 经过点
1,4 ，且点
2,2 ,
4, 2
A
B
到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为
.
【答案】
1
x 或2
3
14
0
x
y
【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据直线有无斜率求解.
【详解】当直线有斜率时，设直线方程为
1
4
y
k x
，
2,2 ,
4, 2
A
B
到直线l 的距离相等，则
2
2
3
2
3
6
1
1
k
k
k
k
，解得
2
3
k
，
所以直线方程为
2
1
4
3
y
x
，即2
3
14
0
x
y
，
当直线无斜率时，则直线方程为
1
x ，此时
2,2 ,
4, 2
A
B
到直线l 的距离均为3，符合题意，
综上可得：
1
x 或2
3
14
0
x
y
，
故答案为：
1
x 或2
3
14
0
x
y
10.若关于x 的方程
2
0
ax
x
b
；在[1,2] 上有实数根，则
2
2
a
b
的最小值是
.
【答案】4
17
【解析】由题意得存在
[1,2]
m
，使得点( , )
a b 在直线
2
0
m x
y
m
上
故点( , )
a b 到原点的距离最小值为
4
2
2
|
|
1
1
1
m
m
m
m
，
[1,2]
m
当
2
m
时，取最小值
4
17
，此时
2
2
a
b
的最小值为4
17 ，
故答案为：4
17
11.已知直线l 经过点
3,4 ，且点
2,2
A
，
4, 2
B
到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为
.
【答案】2
3
18
0
x
y
或2
2
0
x
y
【解析】设直线AB 的斜率为
AB
k
，直线l 的斜率为k ，
当直线
//
AB l 时，显然点
2,2
A
，
4, 2
B
到直线l 的距离相等，如下图：
则此时
AB
k
k
，由
2
2
2
2
4
3
AB
k
k
，且直线l 过
3,4
C
，
则直线l 的方程为
2
4
3
3
y
x
，整理可得2
3
18
0
x
y
；
当直线AB 与直线l 相交时，作AE
l
于E ，BF
l
于F ，如下图：
若AE
BF
，由
90
AEF
BFE
o ，
ADE
BDF
，则
AED
BFE
V
V
，
可得AD
BD
，即D 为AB 的中点，其坐标为
1,0
D
，
此时直线l 的斜率
4
0
2
3 1
k
，直线l 的方程为
0
2
1
y
x
，整理可得2
2
0
x
y
.
故答案为：2
3
18
0
x
y
或2
2
0
x
y
.
12.如图，在等腰直角三角形ABC 中，
2
AB
AC
，点P 是边AB 上异于
,
A B 的一点，光线从点P 出发，
经
,
BC CA发射后又回到原点P ，若光线QR 经过ABC
的重心，则BP 长为
.
【答案】4
3
【解析】以A 为坐标原点，以
,
AB AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则
(0,0), (2,0),
(0,2)
A
B
C
，
所以直线BC 的方程为
2
0
x
y
，且ABC
的重心
2 2
( ,
)
3 3
G
，
设
,
M N 分别是点P 关于直线BC 和y 轴的对称点，设
( ,0)
P a
，
设
0
0
(
,
)
M x
y
，可得
0
0
0
0
( 1)
1
2
0
2
2
y
x
a
x
a
y
，解得
0
0
2,
2
x
y
a
，即
(2,2
)
M
a
，
又由
(
,0)
N
a
，根据光的反射原理，可知
,
, ,
M Q R N 四点共线，
所以
MN
NG
k
k
，即
2
2
3
2
2
3
a
a
a
，解得
2
3
a
，即AP 长为2
3 ，所以BP 长为4
3 .
故答案为：4
3 .
13.
2
3
P
,
到直线
3
0
x
y
t
的距离不超过2 ，则实数t 的取值范围是
.
【答案】
9, 1
【分析】直接利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可.
【详解】因为
2
3
P
,
到直线
3
0
x
y
t
的距离不超过2 ，
所以
2
2
2
3
3
2
1
3
t
d
，解得9
1
t
，
即实数t 的取值范围是
9, 1
.
故答案为：
9, 1
14.光线由点
2,5
P
射到直线
1
x
y
上，反射后过点
1,1
Q
，则反射光线所在直线的一般式方程
为
．
【答案】4
7
3
0
x
y
【解析】设点
2,5
P
关于直线
1
x
y
的对称点
,
P a b
，
则
5
1
2
2
5
1
2
2
b
a
a
b
，解得：
6
3
a
b
，即
6, 3
P
，
点P在反射光线上，则
1 3
4
1 6
7
P Q
k
，
4
1
1
7
y
x
，整理为4
7
3
0
x
y
，
所以反射光线所在直线方程的一般式为4
7
3
0
x
y
.
故答案为：4
7
3
0
x
y
题型七：平行线间距离公式
1.两平行直线1 :
1
0
l
x
y
和2 :
3
0
l
x
y
之间的距离为（
）
A．
2
B．2
C．2 2
D．3
【答案】A
【分析】利用平行线间距离公式计算即得.
【详解】平行直线1 :
1
0
l
x
y
和2 :
3
0
l
x
y
之间的距离
2
2
1 3
2
1
1
d
.
故选：A
2.两条平行直线3
4
2
0
x
y
与6
8
1
0
x
y
间的距离为（
）
A．3
5
B．1
C．3
10
D．1
2
【答案】D
【解析】直线6
8
1
0
x
y
化为：
1
3
4
0
2
x
y
，
所以平行直线3
4
2
0
x
y
与6
8
1
0
x
y
间的距离为
2
2
1
| 2
|
1
2
2
3
4
d
.故选：D
3.已知1
2
1
2
// , : 2
4
0,
:6
2
0
l
l l
x
y
l
x
ay
,则它们的距离为（
）
A．2 5
15
B．2 5
5
C．
5
5
D．2 5
3
【答案】D
【分析】根据平行可求a ，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项.
【详解】因为1
2
//
l
l ，所以2
6
a ，故
3
a ，故2
2
: 2
0
3
l
x
y
.
故1
2
l l, 之间的距离为
2
4
10
2 5
3
3
5
3 5
，
故选：D.
4.若直线2
3
0
x
y
与4
2
0
x
y
a
之间的距离为5 ，则a 的值为（
）
A．4
B．
5
6
C．4 或16
D．8 或16
【答案】C
【分析】将直线2
3
0
x
y
化为4
2
6
0
x
y
，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.
【详解】将直线2
3
0
x
y
化为4
2
6
0
x
y
，
则直线2
3
0
x
y
与直线4
2
0
x
y
a
之间的距离
|
( 6) |
|
6 |
16
4
2 5
a
a
d
，
根据题意可得：|
6 |
5
2 5
a
，即|
6| 10
a
，解得
4
a
或
16
a
，
所以a 的值为
4
a
或
16
a
.
故选：C
5.两条平行直线1 :
2
1
0
l
x
y
与2 :2
2
0
l
x
my
m
之间的距离为
．
【答案】
5
【解析】
1
2
//
l
l
Q
，
2 2
2 2
1
m
m
m
，解得：
4
m ，
2 : 2
4
8
0
l
x
y
，即
2
4
0
x
y
，
1
2
,l l
之间的距离
2
2
4 1
5
1
2
d
.
故答案为：
5 .
6.在梯形ABCD中，
2
6
CD
AB
，且AB 和CD 所在直线的方程分别是
2
3
0
x
y
与
2
7
0
x
y
，则
梯形ABCD的面积为
.
【答案】9 5
【解析】直线AB 和CD 之间的距离为：
2
2
7
3
2 5
1
2
d
，
即梯形的高为2 5 ，
又
2
6
CD
AB
，
所以梯形ABCD的面积为
1 3
6
2 5
9 5
2
S
，
故答案为：9 5
题型八：点到直线距离公式转化应用
1.若点
,x y 在直线3
4
25
0
x
y
上移动，则
2
2
x
y
的最小值为
．
【答案】25
【解析】由题意可知点
,x y 在直线3
4
25
0
x
y
上移动，
而
2
2
2
2
2
(
0)
(
0)
x
y
x
y
，
即
2
2
x
y
可看作是直线3
4
25
0
x
y
上的点和原点的连线的距离的平方，
2
2
(
0)
(
0)
x
y
的最小值为原点到直线3
4
25
0
x
y
的距离
2
2
| 25|
5
3
4
，
故
2
2
x
y
的最小值为25，
故答案为：25
2.已知m
R
，则直线1 : (
1)
(
3)
4
0
l
m
x
m
y
与直线2 :(
1)
(
3)
l
m
x
m
y
0
的距离的最大值为
【答案】
2
【解析】因为直线
1l : m 1 x
m
3 y
4
0
与直线
2l : m 1 x
m
3 y
0
平行，
所以由平行线间的距离公式得
2
2
4
1
3
d
m
m
=
2
4
2
4
10
m
m
=
2
4
2
1
8
m
，所以当m=1 时，
d max =
2 .
故答案为
2 .
3.已知,x y 满足
2
5
0
x
y
，则
2
2
(
1)
(
1)
x
y
的最小值为
【答案】4
5 /0.8
【解析】由,x y 满足
2
5
0
x
y
知，点
( , )
P x y 是直线:
2
5
0
l x
y
上的任意点，
而
2
2
(
1)
(
1)
x
y
表示点
( , )
P x y 到定点
(
)
1,1
Q
的距离的平方，
因此
2
2
(
1)
(
1)
x
y
的最小值即为点
(
)
1,1
Q
到直线l 距离d 的平方，
即有
i
2
2
m n
5
|
1 2 1 5
2 5
1
2
|
d
PQ
，
所以
2
2
(
1)
(
1)
x
y
的最小值为
2
4
5
d
.
故答案为：4
5
4.已知动点
,
M a b 在直线3
4
10
0
x
y
上，则
2
2
a
b
的最小值为
.
【答案】2
【解析】因为
2
2
a
b
表示动点
,
M a b 到坐标原点
0,0
O
，
所以
2
2
a
b
的最小值为
0,0
O
到线3
4
10
0
x
y
的距离
2
2
10
2
3
4
d
.
故答案为：2.
5.已知
(2,0), (0,2), (1,0)
A
B
P
，O 为坐标原点，点
,
M N 分别在线段
,
AB OB 上，则PMN
周长的最小值
为
.
【答案】10
【解析】如图：
作点P 关于直线AB 对称点
'
,
P
x y
和关于y 轴对称点
"
P
，则
'
PP
AB
，并且
'
,
P P
的中点在AB 上，
直线AB 的方程为：
2
y
x
，即
'
1,
1
1,
1
1
AB
PP
y
k
k
y
x
x
…①，
'
,
P P
的中点坐标为
1,
2
2
x
y
，代入直线AB 的方程得：
1
2,
3
2
2
y
x
y
x
…②，
联立①②解得
2,
1
x
y
，即
' 2,1
P
，显然
1,0
P
，
PMN
的周长
"
'
'
"
PM
MN
PN
P N
MN
P M
P P
，
2
2
'
"
2
1
1
0
10
P P
，
故答案为：10 .
6.设
1
0
x
y
，求
2
2
2
2
6
10
34
4
30
229
d
x
y
x
y
x
y
x
y
的最小值是
．
【答案】5 13
【解析】根据题意可得
2
2
2
2
3
5
2
15
d
x
y
x
y
，
表示直线
1
0
x
y
上一点
,
P x y 到点
3,5
A
和点
2,15
B
的距离之和，
点A 关于直线
1
0
x
y
的对称点为
,
C a b ，
则满足
5
1
3
3
5 1
0
2
2
b
a
a
b
解得
4,
2
a
b
；
所以点A 关于直线
1
0
x
y
的对称点为
4, 2
C
，如下图所示：
则PA
PB
PB
PC
BC
所以
2
2
min
4
2
15
2
5 13
PA
PB
BC
.
故答案为：5 13
7.已知
2,0
E
，
0, 2
F
，点P 在直线3
1
0
x
y
上移动，则
2
2
PE
PF
的最小值为
.
【答案】9
【解析】因为点P 在直线3
1
0
x
y
上，所以可设点P 的坐标为
,3
1
a
a
，其中
R
a
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
3
3
20
9
2
PE
PF
a
a
a
a
a
，
故当
1
2
a
时，
2
2
PE
PF
取得最小值9.
故答案为：9.
8.函数
4
2
4
2
( )
3
6
13
1
f x
x
x
x
x
x
的最大值为
.
【答案】10
【解析】根据题意，其几何意义为点
2
,
P x x
到点
3,2
A
，
0,1
B
两点的距离之差，故
f x
PA
PB
AB
，再根据距离公式求解即可.因为
4
2
4
2
( )
3
6
13
1
f x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
3
2
1
0
x
x
x
x
，
其几何意义为点
2
,
P x x
到点
3,2
A
，
0,1
B
两点的距离之和，
即
f x
PA
PB
，
因为点
2
,
P x x
在抛物线
2
y
x
=
上，点
0,1
B
在抛物线
2
y
x
=
内，点
3,2
A
在抛物线外，
所以，当P ，B ，A 三点共线，且B 在AP 之间时，PA
PB
取得最大值，为AB （P ，B ，A 三点不共
线时，可构成三角形，此时两边之差小于第三边），
因为
9 1
10
AB
，
所以函数
4
2
4
2
( )
3
6
13
1
f x
x
x
x
x
x
的最大值为10 .
故答案为：10 .
题型九：点关于点、点关于线对称
1.已知不同的两点
,
P a
b
与
1,
1
Q b
a
关于点
3,4 对称，则ab （
）
A．5
B．14
C．14
D．5
【答案】C
【解析】因为两点
,
P a
b
与
1,
1
Q b
a
关于点
3,4 对称，
可得
1
3
2
1
4
2
a
b
a
b
，即
5
9
a
b
a
b
，解得
7,
2
a
b
，
所以
7
2
14
ab
.
故选：C.
2.点
3,0 关于直线
3
0
x
y
对称的点的坐标为（
）
A．
3,6
B．
6, 3
C．
6,3
D．
3,6
【答案】D
【解析】设所求对称点的坐标为
,a b ，
则
3
3
0
2
2
1
3
a
b
b
a
，解得
3
6
a
b
，
故点
3,0 关于直线
3
0
x
y
对称的点的坐标为
3,6
.故选：D.
【注意】第一个式子是（3,0）（a，b）与的中点在已知直线上的表达式，第二个式子是垂直斜率相乘等于
-1 的式子
3.已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11 对称，则a，b 的值为（
）.
A．a=-1，b=2
B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4
D．a=4，b=2
【答案】D
【解析】点A，B 关于直线4
3
11
x
y
对称，则
3
4
AB
k
，
即
2
(
)
3
2
(
)
4
b
b
a
b
a
，
①
且AB 中点
2
(
,1)
2
b
在已知直线上，
代入得2(
2)
3
11
b
，
②
联立①②组成的方程组，解得
4
2
a
b
，
故选：D.
4.已知点A 与点
(2,1)
B
关于直线+
2
0
x y
对称，则点A 的坐标为（
）
A．( 1,4)
B．(4,5)
C．( 3, 4)
D．( 4, 3)
【答案】C
【解析】设
,
A x y ，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线+
2
0
x y
上且直线AB与直线+
2
0
x y
垂直，
则
2
1
2
0
3
2
2
1
4
1
2
x
y
x
y
y
x
，
即点A 坐标为( 3, 4)
.
故选：C
5.已知点
1, 2
M
、
,2
N m
，若M 、N 关于直线
2
2
0
x
y
对称，则实数m 的值是（
）
A．3
B．1
C．2
D．7
【答案】A
【解析】由题意得；MN 的中点在直线
2
2
0
x
y
上，且直线
2
2
0
x
y
与直线MN 垂直，
即
1
2
2
2
2
0
2
2
2
2
1
1
1
2
m
m
，解得：
3
m
，
故选：A.
6.点
1,2
P
在直线l 上，直线1l 与l 关于点(
)
0,1 对称，则一定在直线1l 上的点为（）
A．1 3
,
2 2
B．
3
1, 2
C．(
)
1,0
-
D．1 ,0
2
【答案】C
【解析】由题设，
1,2
P
关于(
)
0,1 对称的点必在1l 上，若该点为( , )
x y ，
∴
1
0
2
2
1
2
x
y
，解得
1
0
x
y
，即(
)
1,0
-
一定在直线1l 上.
故选：C
7.直线2
3
6
0
x
y
关于点(1,1) 对称的直线方程为（
）
A．3
2
2
0
x
y
B．2
3
7
0
x
y
C．3
2
12
0
x
y
D．2
3
4
0
x
y
【答案】D
【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为
x
y
，
，
则其关于点
1,1 对称的点的坐标为(2
,2
)
x
y
，
以(2
,2
)
x
y
代换原直线方程中的( , )
x y 得
2 2
3 2
6
0
x
y
，即2
3
4
0
x
y
.故选：D.
8.直线
1
y
x
关于直线
2
y
x
对称的直线方程为（
）
A．3
1
0
x
y
B．4
2
0
x
y
C．5
3
0
x
y
D．7
5
0
x
y
【答案】D
【解析】由
1
2
y
x
y
x
，解得
1
2
x
y
，
则直线
1
y
x
与直线
2
y
x
交于点(1,2)
A
，
在直线
1
y
x
上取点
( 4, 3)
B
，
设点B 关于直线
2
y
x
的对称点
( , )
B a b
，
依题意，
3
1
4
2
3
4
2
2
2
b
a
b
a
，整理得
2
10
2
5
a
b
a
b
，解得
0
5
a
b
，即点
(0, 5)
B
，
直线BB的方程为
2
( 5)
5
1
0
y
x
，即7
5
0
x
y
，
所以直线
1
y
x
关于直线
2
y
x
对称的直线方程为7
5
0
x
y
.故选：D
9.如果直线
2
y
ax
与直线
3
y
x
b
关于直线y
x
对称，那么（
）
A．
1 ,
6
3
a
b
B．
1 ,
6
3
a
b
C．
3,
2
a
b
D．
3,
6
a
b
【答案】A
【解析】在
2
y
ax
上取一点(0,2) ，
则由题意可得其关于直线y
x
的对称点(2,0) 在
3
y
x
b
上，
所以0
6
b
，得
6
b
，
在
3
6
y
x
上取一点(0, 6)
，
则其关于直线y
x
的对称点( 6,0)
在
2
y
ax
上，
所以0
6
2
a
，得
1
3
a
，
综上
1 ,
6
3
a
b
，
故选：A
10.已知直线
1
:
1
0,
: 2
2
0
l x
y
l
x
y
．若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程是（
）
A．
1
0
x
y
B．
2
1
0
x
y
C．
2
1
0
x
y
D．
2
1
0
x
y
【答案】C
【解析】求出直线1l ，l 的交点在直线2l 上，在直线1l 上任取一点，求出此点关于直线l 的对称点也在直线2l
上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线2l 的方程.若直线2l 与1l 关于l 对称，则直线1l ，l 的交点在直线
2l 上，
即
1
0
2
2
0
x
y
x
y
，解得：
(
)
1,0
A
在直线1l 上任取一点
2,2 关于直线l 对称的点为
3,1
B
，则点B 在直线2l 上，
由A,B 两点可知，直线2l 的斜率为
1
0
1
3 1
2
k
，则直线2l 的方程为：
1
0
1
2
y
x
即
2
1
0
x
y
故选：C
题型十：线段和差最值问题
1.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有
趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，
怎样走才能使总路最短？试求
2
2
1
2
5
x
x
x
最小（
）
A．5
B．10
C．1
5
D．2
2
【答案】B
【解析】
2
2
1
2
5
x
x
x
，
2
2
2
2
1
0
0
2
0
1
x
x
，
设
0,1
P
，
1,2
Q
，
,0
S x
，
则
2
2
1
2
5
x
x
x
为点
,0
S x
分别到点
0,1
P
，
1,2
Q
的距离之和，
点P 关于x 轴的对称点的坐标为
0, 1
P
，
连接P Q
，
则
2
2
1 0
2
1
10
PS
QS
P Q
，
当且仅当P，S，Q 三点共线时取等号，
故选：B.
2.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有
趣的数学问题— — “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到
军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为
3,4
B
，若将军从点
2,0
A
处出发，河岸线所在直线方程为y
x
，则“将军饮马”的最短总路程为
（
）
A．5
B．3 5
C．4
D．5 3
【答案】B
【解析】点
2,0
A
关于直线y
x
的对称点为
0, 2
A
，如下图所示：
在直线y
x
上任取一点M ，由对称性可知AM
A M
，
所以，
2
2
3
0
4
2
3 5
AM
BM
A M
BM
A B
，
当且仅当点M 为线段A M
与直线y
x
的交点时，等号成立，
故“将军饮马”的最短总路程为3 5 .
故选：B.
3.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个
数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走
才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
2
2
4
x
y
，若将军从点
3,1
A
处出发，河岸
线所在直线方程为=
5
y
x
，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路
程为（
）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】C
【解析】设点A 关于直线=
5
y
x
的对称点坐标为
( , )
B a b
故
3
1
5
0
2
2
1
1
3
a
b
b
a
，解得
6
8
a
b
，即对称点
( 6, 8)
B
，故原点到点B 的距离
2
2
( 6
0)
( 8
0)
10
d
，
所以最短距离为
10
2
8
BQ
．
故选：C
4.已知点R 在直线
1
0
x
y
上，
1,3
M
，
3, 1
N
，则RM
RN
的最大值为（
）
A．5
B．7
C．10
D．2 5
【答案】C
【解析】设点
1,3
M
关于直线
1
0
x
y
的对称点为
,
M
x y
，
则
3
1
1
1
3
1
0
2
2
y
x
x
y
，解得
2
2
x
y
，
∴
2,2
M
，又
3, 1
N
，
∴
10
RM
RN
RM
RN
M N
.
故选：C.
5.已知两点
4,8 ,
2,4
A
B
，点C 在直线
1
y
x
上，则AC
BC
的最小值为（
）
A．2 13
B．9
C．
74
D．10
【答案】C
【解析】依题意，若
2,4
B
关于直线
1
y
x
的对称点
(
, )
B m n
，
∴
4
1
2
4
2 1
2
2
n
m
n
m
，解得
3
3
m
n
，
∴
(3,3)
B
，连接AB交直线
1
y
x
于点C，连接BC，如图，
在直线
1
y
x
上任取点C，连接
,
,
AC BC B C
，显然，直线
1
y
x
垂直平分线段BB，
则有|
|
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
| |
|
|
|
AC
BC
AC
B C
AB
AC
B C
AC
BC
，当且仅当点C 与C重合时取等号，
∴
2
2
min
(
)
|
|
( 4
3)
(8
3)
74
AC
BC
AB
，故AC
BC
的最小值为
74 .
故选：C
6.已知
4,8 ,
2,4
A
B
，点C 在直线y
x
上，则AC
BC
的最小值为（
）
A．2 13
B．9
C．10
D．
74
【答案】C
【解析】依题意，点
2,4
B
关于直线y
x
的对称点
(4,2)
B
，连接AB交直线y
x
于点C，连接BC，
如图，
在直线y
x
上任取点C，连接
,
,
AC BC B C
，显然，直线y
x
垂直平分线段BB，
则有|
|
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
| |
|
|
|
AC
BC
AC
B C
AB
AC
B C
AC
BC
，当且仅当点C 与C重合时取“=”，
因此，
2
2
min
(
)
|
|
( 4
4)
(8
2)
10
AC
BC
AB
，
所以AC
BC
的最小值为10.
故选：C
题型十一：平行直线间的距离的最值问题
1.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B 旋转，如果两条平行直线间
的距离为d.求：
(1)d 的变化范围；
(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．
解
(1)如图，显然有0<d≤|AB|.
而|AB|＝6＋3
2＋2＋1
2＝3 10.
故所求的d 的变化范围为(0,3 10]．
(2)由图可知，当d 取最大值时，两直线与AB 垂直．
而kAB＝2－－1
6－－3
＝1
3
，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0 和3x＋y＋10＝0.
2.已知A ，B 两点的坐标分别为
1,0 ，(
)
1,2
-
，若两平行直线1l ，2l 分别过点A，B，则1l ，2l 间的距离的
最大值为（
）
A．1
B．
2
C．2
D．2 2
【答案】D
【分析】根据平行线之间的距离转化为一直线上的点到平行线之间的距离，可结合图形分析1l ，2l 间的距
离的最大值为AB ，即可求得.
【详解】解：由题可知
(
)
1,0
A
，
1,2
B
，如图，两平行直线1l ，2l 分别过点A，B，
因为1
2
l
l
∥
，所以1l ，2l 间的距离即点A 到直线2l 的距离d ，由图可知，d
AB
当1l ，2l 垂直AB 时，1l ，2l 间的距离取最大值，即最大值为AB ，
又由两点间的距离公式可知，
2
2
(1 1)
2
2 2
AB
.
故选：D
3.设m
R
，已知直线1 :(
2)
2
2
0
l
m
x
my
m
，过点(2,3) 作直线2l ，且1
2
l
l
∥
，则直线1l 与2l 之间距离
的最大值是
．
【答案】13
【分析】由直线1l 知过定点(2,3) ，又1
2
l
l
∥
,则直线1l 与2l 之间距离的最大值为两定点距离.用两点间距离
公式计算即可.
【详解】解：由于直线1 :(
2)
2
2
0
l
m
x
my
m
，整理得：(
2
1)
(2
2)
0
x
y
m
x
，
故
2
1
0
2
2
0
x
y
x
，解得
1
1
x
y
，
即直线1l 恒过点( 1,1)
；则过点(2,3) 作直线2l ，且1
2
l
l
∥
，
则最大距离
2
2
(2
1)
(3 1)
13
d
．
故答案为：13
模块三：综合巩固
1.已知
(6,0), ( 2,0)
A
B
，则|
|
AB （
）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【解析】因为
(6,0), ( 2,0)
A
B
，则
2
2
(6
2)
(0
0)
8
AB
,故选：D.
2.原点到直线9
12
10
0
x
y
间的距离是（
）
A．2
3
B．1
3
C．1
D．2
5
【答案】A
【解析】原点到直线9
12
10
0
x
y
间的距离是：
2
2
10
10
2
15
3
9
12
d
.故选：A
3.两条平行线1 :
2
2
0
l
x
y
，2 :
6
9
0
l
ax
y
间的距离等于（
）
A．
5
5
B．3 5
5
C．
5
D．7 5
5
【答案】A
【解析】由题意知1l ：
2
2
0
x
y
，2l ：
6
9
0
ax
y
，即
2
3
0
3
a x
y
，
因为两直线平行，所以距离为
2
2
2
3
5
5
1
2
，故A 正确.故选：A.
4.已知点
2,1
A
，点B 在直线
3
0
x
y
上，则AB 的最小值为（
）
A．5
B．
26
C．2 2
D．4
【答案】C
【解析】如下图所示：
易知当AB 与直线
3
0
x
y
垂直，且B 为垂足时，AB 的值最小；
此时AB 的最小值为点A 到直线
3
0
x
y
的距离，
即
min
2
2
2 1 3
2 2
1
1
AB
d
.
故选：C
5.已知1
2
1
2
// ,
: 2
4
0,
: 6
2
0
l
l l
x
y
l
x
ay
,则它们的距离为（
）
A．2 5
15
B．2 5
5
C．
5
5
D．2 5
3
【答案】D
【解析】因为1
2
//
l
l ，所以2
6
a ，故
3
a ，故2
2
: 2
0
3
l
x
y
.
故1
2
l l, 之间的距离为
2
4
10
2 5
3
3
5
3 5
，故选：D.
6.已知
2,0
A
，
4,
B
m 两点到直线l ：
1
0
x
y
的距离相等，则m （
）
A．2
B．6
C．2
或4
D．4 或6
【答案】D
【解析】点A 到直线l 的距离为
2
2
| 2 1|
2
2
1
1
，
点B 到直线l 的距离为
2
2
| 4
1|
2 | 5
|
2
1
1
m
m
，
因为点A 到直线l 的距离和点B 到直线l 的距离相等，
所以| 5
| 1
m
，所以
4
m
或6.故选：D.
7.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转化为
几何问题加以解决，如：
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
可以转化为平面上点
( , )
M x y 与点
( , )
N a b 的距离．结合上述观点，
可得
2
2
4
8
4
8
y
x
x
x
x
的最小值为（
）
A．4 2
B．2 2
C．
2
10
D．3
5
【答案】A
【解析】
2
2
2
2
2
2
4
8
( )
2
0
2
2
4
2
8
0
y
x
x
x
x
x
f
x
x
，
则
f
x 可看作x 轴上一点
,0
P x
到点
2, 2
A
与点
2,2
B
的距离之和，即PA
PB
，
则可知当
, ,
A P B 三点共线时，PA
PB
取得最小值，
即
2
2
min
2
2
2
2
4 2
PA
PB
AB
.
故选：A.
8.在梯形ABCD中，
2
6
CD
AB
，且AB 和CD 所在直线的方程分别是
2
3
0
x
y
与
2
7
0
x
y
，则
梯形ABCD的面积为（
）
A．9
B．18
C．9 5
D．18 5
【答案】C
【解析】由直线AB 的方程为：
2
3
0
x
y
，直线CD 的方程为
2
7
0
x
y
可知
/ /
AB
CD ，所以梯形ABCD的高即为直线AB 和CD 间的距离
2
2
3
7
2 5
1
2
d
，所以梯形ABCD的
面积为
1
1
3
6
2 5
9 5
2
2
AB
CD d
.
故选：C.
9.已知点A，B 分别是直线1 : 2
2
0
l
x
y
与直线2 4
2
1
0
:
l
x
y
上的点，则AB 的最小值为（
）
A．0
B．5
C．
5
2
D．
5
4
【答案】C
【解析】由题意可知直线1
2
//
l
l ，所以当
1
AB
l
，且
2
AB
l
时，AB 有最小值，
其最小值为平行直线
1l 与2l 的距离，
直线1l 的方程可化为2 4
2
4
0
:
l
x
y
，
所以
min
2
2
4 1
5
|
|
.
2
4
2
AB
故选：C.
10.已知
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P
x
y
是直线
2023
y
kx
（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组
1
1
2
2
1
1
x x
y y
x x
y y
的解的情况，下列说法正确的是（
）
A．无论k ，
1P ，
2P 如何，总是无解
B．无论k ，
1P ，
2P 如何，总有唯一解
C．存在k ，
1P ，
2P ，使
1
2
x
y
是方程组的一组解
D．存在k ，
1P ，
2P ，使之有无穷多解
【答案】B
【解析】直线
2023
y
kx
的斜率存在，∴
1
2
x
x
，
由题意
1
1
2
2
2023
2023
y
kx
y
kx
，
则
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2023
2023
2023
0
x y
x y
x kx
x
ky
x
x
，
故1l ：
1
1
1
x x
y y
与2l ：
2
2
1
x x
y y
相交，
∴方程组总有唯一解，A，D 错误，B 正确；
若
1
2
x
y
是方程组的一组解，则
1
1
2
2
2
1
2
1
x
y
x
y
，
则点
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P
x
y
在直线
2
1
x
y
，即
1
1
2
2
y
x
上，
但已知这两个点在直线
2023
y
kx
上，而这两条直线不是同一条直线，
∴
1
2
x
y
不可能是方程组的一组解，C 错误.故选：B.
11.已知直线
3
1
0
x
y
与直线2 3
2
3
0
x
y
平行，则它们之间的距离是（
）
A．1
B．5
4
C．3
D．4
【答案】B
【解析】将直线
3
1
0
x
y
化为2 3
2
2
0
x
y
，
因为直线
3
1
0
x
y
与直线2 3
2
3
0
x
y
平行，
设两条平行线间的距离为d ，
所以根据两平行线之间的距离公式
1
2
2
2
2
2
3
2
5
4
2 3
2
C
C
d
A
B
.
故选：B
12.若三条直线
3 ,
4,
5
0
y
x x
y
mx
ny
相交于同一点，则点
,
m n 到原点的距离d 的最小值是（
）
A．
5
2
B．
6
2
C．
7
2
D．10
2
【答案】D
【解析】联立
3
4
y
x
x
y
，解得
1
3
x
y
，
把13
（，）代入
5
0
mx
ny
，得
3
5
0
m
n
，
5
3
m
n
，
点m
n
（，）到原点的距离
2
2
2
2
2
3
5
10
5
3
10
2
2
2
d
m
n
n
n
n
（
）
（
）
，
当且仅当
1
3
,
2
2
m
n
时取等号．
点m
n
（，）到原点的距离的最小值为
10
2
．
故选：D．
13.已知直线
:
2
1
3
3
0
l
m
x
m
y
m
，点
5,4
M
，记M 到l 的距离为d ，则d 的取值范围为（
）
A．0,3 2
B．
0,3 2
C．
0,18
D．
0,18
【答案】B
【解析】当
1
2
m
时，直线:
1
0
l x
y
过点
5,4
M
，M 到l 的距离为
0
d
；
由直线
:
2
1
3
3
0
l
m
x
m
y
m
，可得
3
2
3
0
m x
y
x
y
，
由
3
0
2
3
0
x
y
x
y
，可解得
2
1
x
y
，
即直线
:
2
1
3
3
0
l
m
x
m
y
m
过定点
2,1
A
，
则
2
2
5
2
1
(
)
)
3 2
(4
MA
=
，
4 1
1
5
2
MA
k
，
当直线
:
2
1
3
3
0
l
m
x
m
y
m
与直线MA垂直时，
3 2
d
最大，
令
2
1
1
l
m
k
m
，m 的值不存在，即这样的直线l 不存在，
所以0
3 2
d
．
故选：B．
14.两直线方程为1
2
:3
2
6
0,
:
2
0
l
x
y
l
x
y
，则1l 关于2l 对称的直线方程为（
）
A．3
2
4
0
x
y
B．2
3
6
0
x
y
C．2
3
4
0
x
y
D．2
3
4
0
x
y
【答案】C
【解析】联立直线1l 和2l 的方程
3
2
6
0
2
0
x
y
x
y
，得到
2,
0
x
y
，故直线1l 和2l 的交点为
(2,0)
A
，
在1l 上取一点(0, 3)
，设它关于直线2l 的对称点为
( , )
B m n ，
则有
( 3) 1
1
0
3
2
0
2
2
n
m
m
n
，整理得
3
1
0
n
m
m
n
，解得
1,
2
m
n
，即
( 1, 2)
B
，
由
(2,0)
A
，
( 1, 2)
B
，可得所求直线方程为
2
(
2)
1 2
y
x
，即2
3
4
0
x
y
，
故选：C.
15.（多选）若直线1 :
3
2
l
y
kx
k
与直线2 :
3
0
l
x
y
的交点在第四象限，则实数k 的取值可以是（）
A．0
B．1
3
C．
1
2
D．1
【答案】AC
【解析】联立方程
3
0
3
2
x
y
y
kx
k
，解得
5
3
1
6
2
1
k
x
k
k
y
k
，
因为交点在第四象限，可得
5
3
0
1
6
2
0
1
k
k
k
k
，解得
1
1
3
k
故选：AC.
16.（多选）平面上有三条直线2
5
0,
1
0,
0
x
y
x
y
x
ky
，将平面划分为六个部分，则实数k 的
所有可能取值为（
）
A．1
2
B．1
C．2
D．1
【答案】ABC
【解析】由
2
5
0
1
0
x
y
x
y
解得
2
1
x
y
，设
2,1
A
，
当
0
k
时，直线
0
x
ky
即
0
x
，画出图象如下图所示，此时三条直线围成三角形，
平面划分为7 部分，不符合题意.
当
0
k
时，直线
0
x
ky
的斜率为1
k ，
当直线
0
x
ky
过
2,1
A
时，2
0,
2
k
k
，
平面划分为6部分，符合题意.
直线2
5
0
x
y
的斜率为2 ，直线
1
0
x
y
的斜率为1
，
当1
1
2,
2
k
k
时，如下图所示，平面划分为6部分，符合题意，
当1
1,
1
k
k
时，如下图所示，平面划分为6部分，符合题意，
当
1
k 且
1
2
k
且
2
k 时，三条直线围成三角形，
平面划分为7 部分，不符合题意.
所以ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC
17.（多选）已知直线l ：
1
3
4
0
a
x
ay
a
，O为坐标原点，下列说法正确的是（
）
A．若
0
a
，则a 越大，直线的倾斜角越小
B．若直线l 关于直线
4
x
对称的直线方程是2
9
0
x
y
，则
1
a
C．若直线l 过定点P ，直线m 经过P 和原点O，则直线m 围绕点P 旋转45°后得到的直线方程是
5
3
17
0
x
y
或3
5
13
0
x
y
D．若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当OA
OB
最小时，
2
3
a
【答案】BD
【解析】由题意可知，当
0
a
时，直线l 的斜率为
1
1
1
a
a
a
，故A 错误；
可求得直线2
9
0
x
y
与直线
4
x
的交点是
4,1 ，正是直线l 经过的定点
4,1 ，
可知直线l 的斜率与直线2
9
0
x
y
的斜率互为相反数，
所以
1
2
a
a
，解得
1
a ，B 正确；
易知
4,1
P
，得直线m 的斜率为1
4 ，
设直线m 围绕点P 逆时针旋转45°后所得直线的倾斜角为，
则
1
1
5
4
tan
1
3
1
1
4
，
所以直线m 围绕点P 顺时针旋转45°后所得直线的斜率为
3
5
-
，
但是直线3
5
13
0
x
y
不经过点P ，故C 错误；
直线l 过定点
4,1
P
，另外假设直线l 的截距式方程为
1
0,
0
x
y
s
t
s
t
，
则4
1
1
s
t
，
4
1
4
4
5
2
5
9
t
s
t s
OA
OB
s
t
s
t
s
t
s
t
s
t
，
当且仅当
6
s
，
3
t
时，等号成立，此时直线l 的方程为
2
6
0
x
y
，
由
1
1
2
a
a
，得
2
3
a
，故D 正确．
故选：BD
18.（多选）已知三条直线：直线1
2
3
:
3
0,
:
1
0,
: 2
5
0
l
ax
y
l
x
y
l
x
y
不能围成一个封闭图形，则
实数a 的值可以是（
）13723366289
A．2
B．1
C．2
D．3
【答案】ABC
【解析】若1
2
3
, ,
l l l 中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，
若1
2
//
l
l ，由两直线平行与斜率之间的关系可得
1
a ；
若1
3
//
l
l ，由两直线平行与斜率之间的关系可得
2
a ；
联立2
3
,
l l 可得
1
0
2
5
0
x
y
x
y
，可知2
3
,
l l 的交点为(
)
2, 1
-
，
若1
2
3
, ,
l l l 交于同一点，可得
2
a
，
故选：ABC.
19.（多选）已知直线1l ：
2
4
0
x
y
，直线2l ：
1
4
2
0
a
x
y
，下列结论正确的是（
）
A．直线2l 可能不存在斜率
B．直线2l 恒过点
1
0,
2
C．若1
2
l
l
，则
9
a
D．点P 和点Q 分别是直线1l ，2l 上的动点，若1
2
l
l
∥，则PQ 的最小值是5
【答案】BCD
【解析】对于A，因为直线2l 的斜率为
1
4
a
，所以A 错误；
对于B，因为点
1
0,
2
的坐标恒满足2l 的方程
1
4
2
0
a
x
y
，所以B 正确；
对于C，当1
2
l
l
时，有1
1
1
2
4
a
，解得
9
a
，所以C 正确；
对于D，因为1
2
l
l
∥，所以1
1
2
4
a
，解得
1
a ，则直线2l ：
2
1
0
x
y
，
当
2
PQ
l 时，PQ 最小，此时
2
2
4
1
5
1
2
PQ
，所以D 正确．
故选：BCD.
20.（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有
趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军
营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m ，n ，其方程分别为2
0
x
y
，
0
y
，点
3,1
A
，
6,3
B
，则下列说法正确的是（
）
A．将军从A 出发，先去河流m 饮马，再返回B 的最短路程是7
B．将军从A 出发，先去河流n 饮马，再返回B 的最短路程是7
C．将军从A 出发，先去河流m 饮马，再去河流n 饮马，最后返回B 的最短路程是85
D．将军从A 出发，先去河流n 饮马，再去河流m 饮马，最后返回B 的最短路程是2 13
【答案】AC
【解析】由
3,1
A
关于2
0
x
y
，
0
y
的对称点分别为
( 1,3),
(3, 1)
C
D
，而
6,3
B
，
从A 出发，先去河流m 饮马，再返回B 的最短路程是|
| 7
BC
，A 对；
从A 出发，先去河流n 饮马，再返回B 的最短路程是|
| 5
BD
，B 错；
由
6,3
B
关于2
0
x
y
，
0
y
的对称点分别为
6 33
,
,
6, 3
5
5
E
F
，
从A 出发，先去河流m 饮马，再去河流n 饮马，最后返回B 的最短路程|
|
85
CF
，C 对；
从A 出发，先去河流n 饮马，再去河流m 饮马，最后返回B 的最短路程是
1885
|
|
5
DE
，D 错.
故选：AC
21.在△ABC 中，点
(1,1)
A
，
(4,2)
B
，
( 4,1)
C
，则ABC
的面积为
．
【答案】5
2 / 2.5
【解析】由两点式可得直线AB 的方程为
1
1
2 1
4 1
y
x
，即为
3
2
0
x
y
，
再由点到直线的距离公式可得，
点
( 4,1)
C
到直线AB 的距离
2
2
4
3
2
10
2
1
3
d
，
且
,
A B 两点间的距离为
2
2
4 1
2 1
10
，
所以ABC
的面积为1
10
5
10
2
2
2
.
故答案为：5
2
22.直线2
3
0
x
y
与3
2
1
x
y
上任意两点最小距离为
.
【答案】0
【解析】直线2
3
0
x
y
的斜率为
1
2
3
k =
，直线3
2
1
x
y
的斜率为
2
3
2
k
，
因为
1
2
k
k
，所以两直线相交，故最小距离为0.
故答案为：0
23.已知直线1 : 4
0
l
x
y
，2 :
1
l
mx
y
，3 : 2
3
4
l
x
my
，若它们不能围成三角形，则实数m 的取值所构
成的集合为
．
【答案】
9
1
4,
,
6
4
【解析】当1l 与2l 平行或重合时，
4
m
，
当1l 与3l 平行或重合时，
4
3
2
m
，解得
1
6
m
，
当2l 与3l 平行或重合时，
3
2
m
m
，此时无解；
当三条直线经过同一点时，联立
2
3
4
1
4
0
x
my
mx
y
x
y
，解得
9
4
4
25
16
25
m
x
y
，
故m 的取值所构成的集合为
9
1
4,
,
6
4
.
故答案为：
9
1
4,
,
6
4
24.已知两条平行直线1l ：
2
1
0
x
y
，2l ：
0
ax
y
b
间的距离为5 ，则a
b
．
【答案】5
2
【解析】根据题意，两条平行直线1 :
2
1
0
l
x
y
，2 :
0
l
ax
y
b
，
必有1 ( 1)
( 2)
a
，解可得
1
2
a
，
则2 :
0
l
ax
y
b
即1
0
2 x
y
b
，变形可得
2
2
0
x
y
b
，
又由两条平行直线间的距离为
5 ，则有2
1
5
1
4
b
，解可得
3
b
或2
，
故
5
|
|
2
a
b
.
故答案为：5
2 ．
25.已知点
(2,0)
A
、
( 2, 4)
B
，P 在直线:
2
8
0
l x
y
上，则PA
PB
的最小值等于
.
【答案】12
【解析】设A 关于l 的对称点为
( , )
A m n
则
2,
2
2
2
8
0
2
2
n
m
m
n
，解得
2
m ，
8
n ，
( 2,8)
A
，则
12
A B
，
所以PA
PB
的最小值是12.
故答案为：12.
26.在平面直角坐标下中，有四个定点
3 , 0 ,
1 ,
1 ,
0 , 3 ,
1 , 3
A
B
C
D
及一个动点P ，则
PA
PB
PC
PD
的最小值为
．
【答案】3 2
2 5
【解析】
PA
PC
AC
（当且仅当P 点位于线段AC 上时取等号），
PB
PD
BD
（当且仅当PAC 点位于线段BD 上时取等号），
PA
PB
PC
PD
AC
BD
（当且仅当P 点位于线段BD 与AC 的交点时取等号），
即当到四点距离最小时，P 点的坐标即为直线AC 与直线BD 的交点，
3 2
2 5
PA
PB
PC
PD
AC
BD
，
即PA
PB
PC
PD
的最小值为3 2
2 5
．
27.已知定点
6,4
P
与定直线1l ：
4
y
x
，过P 点的直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，
求使OQM
面积最小的直线方程为
.
【答案】
10
0
x
y
【解析】当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为
6
x
，由
6
4
x
y
x
，得到
6,
24
x
y
，
即
(6,24)
Q
，又易知
(6,0)
M
，所以OQM
的面积为
1
6 24
72
2
S
，
（2）当直线l 斜率存在时，不妨设直线l 为
4
(
6)
y
k x
，
令
0
y
，得到
4
6
x
k
，
又由
4
4
(
6)
y
x
y
k x
，消x 得到
24
16
4
k
y
k
，
由题知
4
6
0
24
16
0
4
k
k
k
，得到
0
k
，
此时，OQM
的面积为
2
2
1
4
24
16
8(3
2)
(6
) (
)
2
4
4
k
k
S
k
k
k
k
，
令3
2
k
t
，得到
2
3
t
k
，
则
2
2
2
2
2
2
2
8(3
2)
8
72
72
8
20
(
2)
4(
2)
4
8
20 1
9
3
k
t
t
S
t
t
k
k
t
t
t
t
，
又因为
2
2
8
20
1
1
9
1
20
5
5
t
t
t
，又由
2
0
3
t
k
，得到
2
t ，故
1
1
0
2
t
，
所以
2
1
1
9
9
0
20
5
5
5
t
，故
2
72
72
40
8
20
9
1
5
S
t
t
，此时
5,
1
t
k
，
因为40
72
，所以使OQM
面积最小的直线方程为
4
(
6)
y
x
，即
10
0
x
y
,
故答案为：
10
0
x
y
.
28.已知直线: 2
3
1
0
l
x
y
，点
1, 2
A
．求：
(1)点A 关于直线l 的对称点A的坐标；
(2)直线
: 3
2
6
0
m
x
y
关于直线l 的对称直线m的方程；
(3)直线l 关于点
1, 2
A
对称的直线l的方程．
【答案】(1)
33 4
,
13 13
A
；(2)9
46
102
0
x
y
；(3)2
3
9
0
x
y
【解析】（1）设
,
A x y
，由: 2
3
1
0
l
x
y
得
2
1
3
3
y
x
，
则
2
2
1
1
3
1
2
2
3
1
0
2
2
y
x
x
y
，解得
33
13
4
13
x
y
，故
33 4
,
13 13
A
.
（2）在直线m 上取一点，如
2,0
M
，则
2,0
M
关于直线l 的对称点必在m上，
设对称点为
,
M
a b
，则
2
0
2
3
1
0
2
2
0
2
1
2
3
a
b
b
a
，解得
6
13
30
13
a
b
，即
6 30
,
13 13
M
，
设m 与l 的交点为N ，则由
2
3
1
0
3
2
6
0
x
y
x
y
，解得
4
3
x
y
，即
4,3
N
，
又m经过点
4,3
N
，故
30
3
9
13
=
=
6
46
4
13
m
k
，
所以直线m的方程为
9
3
4
46
y
x
，即9
46 +102=0
x
y
.
（3）设
( , )
Q x y 为l上任意一点，
则
( , )
Q x y 关于点
1,
2
A
的对称点为
(
2
,
4
)
Q
x
y
，
因为Q在直线l 上，所以2( 2
)
3( 4
) 1
0
x
y
，
即直线l的方程为2
3
9
0
x
y
.
29.已知直线1
2
:
3
4
0,
:3
2
2
0
l
x
y
l
x
y
，设直线1
2
,
l l 的交点为P .
(1)求点P 的坐标；
(2)若直线l 过点P 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.
【答案】(1)
2, 2
P
；(2)
4
0
x
y
或
0
x
y
.
【解析】（1）联立方程
3
4
0,
3
2
2
0,
x
y
x
y
解得
2, 2
P
.
（2）直线l 在两坐标轴上的截距相等，
直线l 的斜率为1
或经过原点.
①当直线l 过原点时，直线l 过点P ，
l
的方程为y
x
；
②当直线l 斜率为1
时，直线l 过点P ，
l
的方程为
2
2
y
x
，即
4
0
x
y
.
综上所述，直线l 的方程为
4
0
x
y
或
0
x
y
.
30.已知直线1 :3
4
2
0
l
x
y
，2 : 2
2
0
l
x
y
3 :
2
5
0
l
x
y
，
(1)求直线1l 与直线2l 的交点M 的坐标；
(2)求过点M 且与直线3l 平行的直线方程.
【解析】（1）联立直线1l 与直线2l 可得
3
4
2
0
2
2
0
x
y
x
y
，解得
2
2
x
y
，
即1
2
,l l 的交点为
2,2
，
所以M 的坐标为
2,2
M
（2）由题意可设所求直线方程为
2
0
x
y
C
，
因为所求直线过点
2,2
，所以2
4
0
C
，解得
2
C ，
即所求直线方程为
2
2
0
x
y
31.等腰直角三角形ABC 的直角顶点B 和顶点A 都在直线2
3
0
x
y
上，顶点C 的坐标是
2,3
，直线
AC 的倾斜角是钝角.
(1)求直线BC，AC 在x 轴上的截距之和；
(2)平行于AC 的直线l 与边AB，BC 分别交于点D，E，若
BDE
△
的面积等于5
2 ，求直线l 与两坐标轴围成
的三角形的周长.
【解析】（1）因为直线AB 的方程为2
3
0
x
y
，
所以直线BC 的斜率为
1
2
，
直线BC 的方程为
1
3
2
2
y
x
，即
2
4
0
x
y
，
令
0
y
，得
4
x
，所以直线BC 在x 轴上的截距为4.
设
,2
3
A a
a
，由AB
BC
知点A 到直线BC 的距离等于点C 到直线AB 的距离，
即
2 2
3
4
4
3
3
5
5
a
a
，
解得
0
a
或
4
a
，
当
4
a
时，即
4,5
A
，
5
3
1
0
4
2
3
AC
k
，不符合题意舍去，
当
0
a
时，即
0, 3
A
，
3
3
3
0
0
2
AC
k
，符合题意，
所以直线AC 的方程为
3
3
3
3
0
y
x
x
y
，
令
0
y
，得= 1
x ，所以直线AC 在x 轴上的截距为1
，
所以直线BC、AC 在x 轴上的截距之和为3.
（2）设直线l 的方程为3
0
x
y
m
，
由
2
3
0,
2
4
0,
x
y
x
y
可得
2,1
B
，
则
2
2
2
2
1 3
2 5
BC
.
ABC
的面积为1
2 5
2 5
10
2
，
而
BDE
△
的面积为5
1 10
2
4
，
所以点B 到直线AC 的距离是点B 到直线l 的距离的2 倍，
即
6 1
6 1 3
2
10
10
m
，解得
2
m 或
12
m
.
因为直线l 与边AB，BC 分别交于点D，E，所以
2
m ，
即直线l 的方程为3
2
0
x
y
，
所以所求三角形的周长为
2
4
8
2 10
2
4
3
9
3
.
32.求函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
的最大值．
【解析】
2
1
9
x
表示
,0
A x
、
1,3
B
的距离，
2
5
4
x
表示
,0
A x
、
5,2
C
的距离，所以
f x
AB
AC
，
因为AB
AC
BC
，
所以
2
2
max
1 5
3
2
17
f x
BC
.
33.已知直线:
2
1
0
l x
y
和点
1,2
A
(1)求点A 关于直线l 的对称点的坐标；
(2)求直线l 关于点A 对称的直线方程.
【解析】（1）设
,
A m n
，由题意可得
2
1
1
1
2
1
2
2
1
0
2
2
n
m
m
n
，解得
3
5
6
5
m
n
，
所以点A的坐标为
3
6
,
5
5
.
（2）在对称直线l上任取一点
,
P x y ，设
,
P x y 关于点A 的对称点为
0
0
,
P x
y
，
则
0
0
1
2
2
2
x
x
y
y
，解得
0
0
2
4
x
x
y
y
，
由于
2
,4
P
x
y
在直线
2
1
0
x
y
上，则
2
2 4
1
0
x
y
，即
2
9
0
x
y
，
故直线l 关于点A 的对称直线l的方程为
2
9
0
x
y
.
34.已知
1, 1
M
，
2,2
N
，
3,0
P
．
(1)求点Q 的坐标，满足PQ
MN
，
/ /
PN
MQ ；
(2)若点Q 在x 轴上，且
NQP
NPQ
，求直线MQ 的倾斜角；
(3)一条光线从点
2,2
N
发出，射到x 轴上一点
3,0
P
后被x 轴反射，求反射光线所在的直线方程.
【解析】（1）设
( , )
Q x y ，而
2
( 1)
3
2 1
MN
k
，PQ
MN
，则
1
3
3
PQ
y
k
x
，
又
2
0
2
2
3
PN
k
且
/ /
PN
MQ ，则
1
2
1
MQ
y
k
x
，
综上，
3
3
0
1
2
2
1
y
x
x
y
x
y
，即
(0,1)
Q
.
（2）设
( ,0)
Q x
，由
NQP
NPQ
，如下图知：
NPQ
△
为等腰三角形，
所以
3
2
1
2
x
x
，即
(1,0)
Q
，而
1, 1
M
，即MQ 与x 轴垂直，
所以直线MQ 的倾斜角为π
2 .
（3）若N是
2,2
N
关于x 轴的对称点，则
(2, 2)
N
，且在反射光线所在直线上，
则
0
( 2)
2
3
2
PN
k
，故反射光线所在直线方程为
2(
3)
2
6
0
y
x
x
y
.
35.已知ABC
的顶点
2,0
B
，AB 边上的高所在的直线方程为
3
26
0
x
y
．
(1)求直线AB 的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
①角A 的平分线所在直线方程为
2
0
x
y
；
②BC 边上的中线所在的直线方程为
3
y ．
若________________，求直线AC 的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】（1）因为AB 边上的高所在的直线方程为
3
26
0
x
y
，
所以直线AB 的斜率
3
k ，又因为ABC
的顶点
2,0
B
，
所以直线AB 的方程为：
3
2
y
x
，即3
6
0
x
y
；
（2）若选①，角A 的平分线所在直线方程为
2
0
x
y
，
由
2
0
3
6
x
y
y
x
，解得
1
3
x
y
，所以点A 坐标为
1,3
A
，
设点B 关于
2
0
x
y
的对称点为
0
0
,
B
x
y
，
则
0
0
0
0
0
1
2
2
2
0
2
2
y
x
x
y
，解得
0
0
2
4
x
y
，即B坐标为
2,4 ，
又点
4,2
B
在直线AC 上，所以AC 的斜率
4
3
1
2 1
3
AC
k
，
所以直线AC 的方程为
1
4
2
3
y
x
，即
3
10
0
x
y
．
若选②：BC 边上的中线所在的直线方程为
3
y ，
由
3
3
6
y
y
x
，解得
1
3
x
y
，所以点
1,3
A
，
设点
1
1
,
C x y
，则BC 的中点在直线
3
y 上，
所以
1
0
3
2
y
，即
1
6
y
，又点
1,6
C x
在直线
3
26
0
x
y
上，所以
8,6
C
，
所以AC 的斜率
6
3
1
8 1
3
AC
k
，所以直线AC 的方程为
1
6
8
3
y
x
，
即直线AC 的方程为
3
10
0
x
y
