2.3 直线的方程（一）
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：直线的点斜式方程.......................................................... 2
考点二：直线的斜截式方程.......................................................... 2
考点三：直线的两点式方程.......................................................... 3
考点四：直线的截距式方程.......................................................... 4
考点五：中点坐标公式................................................................ 4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：直线的点斜式方程.......................................................... 4
题型二：直线的斜截式方程.......................................................... 7
题型三：直线的图像特征........................................................... 10
题型四：直线的位置关系的应用...................................................13
题型五：直线的两点式方程........................................................ 17
题型六：直线的截距式方程........................................................ 19
题型七：两点式与截距式辨析......................................................23
题型八：中点坐标公式.............................................................. 25
题型九：直线与坐标轴围成图形面积定值问题................................. 27
题型十：直线与坐标轴围成图形面积最值问题................................. 32
模块三：综合巩固....................................................................... 39
2.3 直线的方程（一）
模块一：基础知识
考点一：直线的点斜式方程
1.如图，已知直线l 过点
0
0
(
,
)
P x
y
和斜率k（已知一点+斜率），则这条直线的点斜式方程
0
0
(
)
y
y
k x
x
2.点斜式方程的推导
如图，直线l 经过点
0
0
0
,
P x
y
，且斜率为k ．
设
,
P x y 是直线l 上不同于点
0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，
由斜率公式得
0
0
y
y
k
x
x
，即
0
0
(
)
y
y
k x
x
．
3.【注意】对直线点斜式方程的理解
（1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点
0
0
,
x
y
和直线的斜率k ．
（2）当k 任意实数时，方程
0
0
y
y
k x
x
表示恒过定点
0
0
,
x
y
的无数条直线．
4.两种特殊的直线：
倾斜角
图象特征
斜率
直线方程
0°
tan 0
0
，即
0
k
0
0
y
y
，即
0
y
y
90°
tan90无意义，
即k 不存在
0
0
x
x
，即
0
x
x
考点二：直线的斜截式方程
1.直线l 的斜率为k 且在y 轴上的纵截距为b （已知斜率+纵截距），则直线斜截式方程为y
kx
b
2.斜截式方程的推导
如图，如果斜率为k 的直线l 过点
0 0,
P
b ，这时
0P 是直线l 与y 轴的交点，代入直线的点斜式方程，得
0
y
b
k x
，即
y
kx
b ．
2.【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时
要讨论斜率是否存在．
3.斜截式的几种特例
0
b
y
kx 表示过原点的直线
0
k
，
0
b
y
b 表示与x 轴平行的直线
0
k
，
0
b
0
y
表示x 轴
考点三：直线的两点式方程
1.设直线l 经过两点
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P x
y
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
，则方程
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
叫作直线l 的两点
式方程，简称两点式．
2.两点式方程的推导
如果直线l 经过两点
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P x
y
1
2
(
)
x
x
，则直线l 的斜率
2
1
2
1
y
y
k
x
x
．由直线的点斜式方程
得
2
1
1
1
2
1
(
)
y
y
y
y
x
x
x
x
．当
1
2
y
y
时，方程可以写成
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
．
3.对两点式方程的理解
（1）
2
1
1
1
2
1
(
)
y
y
y
y
x
x
x
x
1
2
(
)
x
x
与
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
，显然后者表示直线的范围
比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式．
（2）对两点式中的两点，只要是直线上的两个不同的点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关．
（3）把直线的两点式方程化为
1
2
1
2
1
1
y
y
x
x
y
y
x
x
，则该方程表示过平面内任意不同两
点
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
的直线．
考点四：直线的截距式方程
1.直线的截距式方程的定义
设直线l 在x 轴的截距为a ，在y 轴的截距为b ，且
0,
0
a
b
，则方程
1
x
y
a
b
叫作直线的截距式方程，
简称截距式．【注意：截距分正负】
2.截距式方程的推导
如图，已知直线l 经过两点
,0
A a
，
0,
B
b ，其中
0,
0
a
b
，有直线的两点式方程得，
0
0
0
y
x
a
b
a
，
即
1
x
y
a
b
．
3.截距的概念
（1）横截距：直线与x 轴交点的横坐标．在直线方程中，令
0
y
，解出x 的值即可．
（2）纵截距：直线与y 轴交点的纵坐标．在直线方程中，令
0
x
，解出y 的值即可．
4.截距式方程应用的注意事项
（1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；
（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；
（3）要注意截距式方程的逆向应用．
考点五：中点坐标公式
若点
1P ，
2P 的坐标分别为
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
，且线段
1
2
PP 的中点M 的坐标为
,x y ，则
1
2
1
2
2
2
x
x
x
y
y
y
．
模块二：题型分类
题型一：直线的点斜式方程
1.直线l 经过点
0( 2,3)
P
，且倾斜角
45
，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l ．
【解析】直线l 经过点
0( 2,3)
P
，斜率
tan 45
1
k
，
代入点斜式方程得
3
2
y
x
- =
+
．
画图时，只需再找出直线l 上的另一点
1
1
1
( ,
)
P x y
，
例如，取
1
1
x ，则
1
4
y
，得点
1P 的坐标为( 1,4)
，
过
0P ，
1P 两点的直线即为所求，如图所示．
2.已知直线l 经过点P，且l 的斜率为k，分别根据下列条件求直线l 的方程：
(1)
(0,3),
2
P
k
；
(2)
(1,0),
3
P
k ．
【解析】（1）根据已知可得直线l 的点斜式方程为
3
2
(
0)
y
x
，
化简得
2
3
y
x
；
（2）根据已知可得直线l 的点斜式方程为
0
( 3)
(
1)
y
x
，
化简得
3
3
y
x
.
3.经过点
2 2
P
，且倾斜角为π
4 的直线方程是（
）
A．y
x
B．
2
y
x
C．
4
y
x
D．
2
y
x
【答案】A
【分析】求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程，得到答案.
【详解】直线斜率
π
tan
1
4
k
，故直线方程为
2
2
y
x
，即y
x
.
故选：A
4.写出满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)经过点
2,3
A
，斜率为3；
(2)经过点
3,0
B
，倾斜角是π
6 ；
(3)经过点
4, 2
C
，倾斜角是2π
3 ．
【解析】（1）由题意可知，将
2,3
A
和斜率3 直接代入直线点斜式方程
0
0
y
y
k x
x
可得，
直线的点斜式方程为
3
3
2
y
x
；
（2）由倾斜角是π
6 可得直线斜率
π
3
tan 6
3
k
，
将
3,0
B
代入点斜式方程即为
3
0
3
3
y
x
（3）由倾斜角是2π
3 可得直线斜率
2π
tan
3
3
k
，
将
4, 2
C
代入点斜式方程即为
2
3
4
y
x
5.已知两点
(3,4)
A
、
( 5,6)
B
，则直线AB 的斜截式方程是
．
【答案】
1
19
4
4
y
x
【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式．
【详解】已知两点
(3,4)
A
、
( 5,6)
B
，故直线的斜率
6
4
1
5
3
4
k
，
则方程为：
1
6
(
5)
4
y
x
，整理得
4
19
x
y
，
转化为直线的斜截式为
1
19
4
4
y
x
．
故答案为：
1
19
4
4
y
x
．
6.已知
3,4
A
，
1,0
B
，则过AB 的中点且倾斜角为120，直线的点斜式方程是
．
【答案】
2
3
1
y
x
【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果.
【详解】设AB 的中点为M ，则
1,2
M
，
又斜率
tan120
3
k
，
所以直线的点斜式方程为
2
3
1
y
x
．
故答案为：
2
3
1
y
x
7.直线1l 过点
3
(2,
)
A
，其倾斜角等于直线2
1
:
3
l
y
x
的倾斜角的2 倍，求这条直线1l 的点斜式方程．
【解析】设直线1
2
,
l l 的倾斜角分别为
1
2
,
由点斜式方程可知直线2l 的斜率为
2
1
3
tan
3
3
，
因为
2
0
180
，所以
2
30
，
所以
1
60
，其斜率
tan 60
3
k
，
由直线方程的点斜式可得，直线1l 的方程为
3
3(
2)
y
x
.
8.已知在第一象限的ABC
中，
1,1
5,1
60
45
A
B
A
B
，
，=
，=
，求BC 边所在直线的点斜式方程.
【答案】
1
5
y
x
【分析】根据条件求出
BC
k
，再写出直线BC 的点斜式方程即可.
【详解】因为
1,1 ,
5,1 ,
60 ,
45 ,
A
B
A
B
直线AB 为水平直线，
所以
tan135
1
BC
k
，
故BC 边所在直线的点斜式方程为
1
5
y
x
9.求经过点
2, 3
，倾斜角是直线
1
3
y
x
倾斜角的2 倍的直线的点斜式方程．
【解析】因为直线
1
3
y
x
的斜率为1
3
3
3
，所以该直线倾斜角为30，
所以所求直线的倾斜角为60，其斜率为
3 ，
所以所求直线的点斜式方程为
3
3
2
y
x
．
10.已知在第一象限的ABC
中，
(1,1)
A
，
(5,1)
B
，
60
A
，
60
B
，求直线BC 的点斜式方程.
【解析】如图：
因为
60
B
，所以
tan(180
60 )
tan120
3
BC
k
，
故直线BC 的点斜式方程为
1
3(
5)
y
x
.
题型二：直线的斜截式方程
1.倾斜角为45且在y 轴上的截距是2
的直线方程是（
）
A．
2
y
x
B．
2
y
x
C．
2
2
2
y
x
D．
2
2
2
y
x
【答案】B
【解析】倾斜角为45，直线的斜率为1，
在y 轴上的截距是2
，直线方程
2
y
x
.故选：B.
2.直线
6
1
y
x
在y 轴上的截距b 是（
）
A．
1
b = -
B．
1
b
C．
6
b
D．
6
b
【答案】A
【解析】由已知
6
1
y
x
，令
0
x
，得
1
y ，
所以直线在y 轴上的截距为
1
b = - ，故选：A.
3.倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3 的直线的斜截式方程是
.
【答案】
3
3
y
x
或
3
3
y
x
【分析】求得斜率
3
k
，根据题意，求得直线在y 轴上的截距是3 或3
，即可求得直线的方程.
【详解】因为直线的倾斜角是60，所以斜率
tan 60
3
k
，
又因为直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3，
所以直线在y 轴上的截距是3 或3
，
所以所求直线的斜截式方程是
3
3
y
x
或
3
3
y
x
.
故答案为：
3
3
y
x
或
3
3
y
x
.
4.已知A（4，6），B（﹣3，﹣1），C（4，﹣5）三点.
（1）求经过点A 且与直线BC 平行的直线l 的点斜式方程；
（2）求经过点A 且与直线BC 垂直的直线m 的斜截式方程.
【答案】（1）
4 (
7
6
4)
y
x
＝
；（2）
7
1
4
y
x
.
【分析】（1）由题可求直线BC 的斜率，再写出直线的点斜式方程；
（2）先求出所求直线的斜率为7
4 ，再写出直线的斜截式方程.
【详解】（1）由题得直线BC 的斜率为
4
7
，所以经过点A 且与直线BC 平行的直线l 的点斜式方程为：
4 (
7
6
4)
y
x
＝
；
（2）由题得直线BC 的斜率为
4
7
，所以所求直线的斜率为7
4 .
所以直线的方程为
7
6
(
4)
4
y
x
，即
7
1
4
y
x
，
所以经过点A 且与直线BC 垂直的直线m 的斜截式方程
7
1
4
y
x
.
5.已知直线
(1
)
(
R)
l
y
m x
m
m
：
，若直线l 的倾斜角
π π
,
4 3
，求实数m 的取值范围
【答案】1
3,0
【分析】根据直线斜率与倾斜角的之间的关系，结合正切函数的性质进行求解即可.
【详解】由直线l 的方程可知该直线的斜率为1
m
，
所以有1
tan
m
，
因为
π π
,
4 3
，
所以tan
1, 3
1
1
3
0
3
1
1
3
0
m
m
m
，
因此实数m 的取值范围为1
3,0
，
故答案为：1
3,0
6.已知直线l 经过点
2,3
P
,且与坐标轴围成的三角形的面积为4 ,求直线l 的斜截式方程.
【解析】由题意得直线l 与两坐标轴不垂直,否则构不成三角形,
设其斜率为
0
k k
,则直线l 的方程为
3
2
y
k x
,
令
0
x
,得
2
3
y
k
;令
0
y
,得
3
2
x
k
,
于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
1
3
2
2
3
4
2
k
k
,
即
3
2
2
3
8
k
k
.
若
3
2
2
3
8
k
k
,
则整理得
2
4
4
9
0
k
k
,
因为
2
4
4 4 9
128
0
,所以方程无解.
若
3
2
2
3
8
k
k
,
则整理得
2
4
20
9
0
k
k
,
解得
1
2
k
或
9
2
k
,
所以直线l 的方程为
1
3
2
2
y
x
或
9
3
2
2
y
x
,
即
1
2
2
y
x
或
9
6
2
y
x
.
7.过点
2,3
且与直线2
1
0
x
y
垂直的直线l 的斜截式方程是
.
【答案】
1
4
2
y
x
【解析】因为直线l 与直线2
1
0
x
y
垂直，所以
2
1
lk
，解得
1
2
lk
，所以直线l 的方程为
1
3
2
2
y
x
，化简可得
1
4
2
y
x
.故答案为：
1
4
2
y
x
8.求与两坐标轴围成的三角形的面积是12，且斜率为
3
2
的直线的斜截式方程．
【解析】设直线方程为：
3
2
y
x
b
，
令
0
y
，得
2
3
b
x
，令
0
x
，得y
b
，
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积是12，
所以1
2
12
2
3
b
b
，
解得
6
b ，
所以直线的斜截式方程是
3
6
2
y
x
或
3
6
2
y
x
.
9.过点
3,4
P
且与坐标轴围成的三角形面积为1 的直线l 的斜截式方程是
．
【答案】
2
2
y
x
或
8
4
9
3
y
x
【解析】由题意所求直线l 的斜率必存在，且不为0 ，设其斜率为(
0)
k k
，则直线l 方程为
4
3
y
k x
，
令
0
x
，得
4
3
y
k
，令
0
y
，得
3
4
k
x
k
，
故所围三角形面积为1
3
4
4
3
1
2
k
k
k
，即
2
(3
4)
2
k
k
，
当
0
k
时，上式可化为
2
9
26
16
0
k
k
，解得
2
k
或
8
9
k
；
当
0
k
时，上式可化为
2
9
22
16
0
k
k
，方程无解；
综上：直线 l 的斜截式方程是
2
2
y
x
或
8
4
9
3
y
x
.
故答案为：
2
2
y
x
或
8
4
9
3
y
x
.
题型三：直线的图像特征
1.下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax 与y＝x＋a 正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别讨论
0,
0,
0
a
a
a
时直线y＝ax 与y＝x＋a 的倾斜角和在y 轴上的截距，从而可判断出选
项.
【详解】①当a>0 时，直线y＝ax 的倾斜角为锐角，
直线y＝x＋a 的倾斜角为锐角，且在y 轴上的截距为a ，a>0，所以选项A，B 都不成立；
②当a＝0 时，直线y＝ax 的倾斜角为0°，所以A，B，C，D 都不符合；
③当a<0 时，直线y＝ax 的倾斜角为钝角，
直线y＝x＋a 的倾斜角为锐角，且在y 轴上的截距为a ，a<0，所以只有C 成立．
故选：C.
2.已知直线1l 的方程是y
ax
b
，2l 的方程是y
bx
a
（
0
ab
，a
b
¹ ），则下列图形中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由图象判断参数范围，根据参数范围是否矛盾即可得答案.
【详解】对于A，由1l 的图象知a<0 ，
0
b
，由2l 的图象知a<0 ，
0
b
，故A 正确；
对于B，由1l 的图象知a<0，
0
b
，由2l 的图象知a<0 ，
0
b
，矛盾，故B 错误；
对于C，由1l 的图象知
0
a
，
0
b
，由2l 的图象知a<0 ，
0
b
，矛盾，故C 错误；
对于D，由1l 的图象知
0
a
，
0
b
，由2l 的图象知a<0 ，
0
b
，矛盾，故D 错误．
故选：A
3.直线
1
y
ax
a
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由直线
1
y
ax
a
，得：
0
a
，直线的斜率k
a
，直线在y 轴上的截距为
1
a
，
当
0
a
时，
1
0
a
，则直线经过第一象限和第三象限，且与y 轴相交于x 轴下方；
当a<0 时，
1
0
a
，则直线经过第二象限和第四象限，且与y 轴相交于x 轴上方；
只有B 选项的图象符合题意，故选：B.
4.（多选）同一坐标系中，直线1 :
l
y
ax
b
与2 :
l
y
bx
a
大致位置正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y 轴上的截距，从而得以判断.
【详解】因为1 :
l
y
ax
b
，2 :
l
y
bx
a
，
对于A，由图可得直线1l 的斜率a<0 ，在y 轴上的截距
0
b
；
而2l 的斜率
0
b
，矛盾，故A 错误；
对于B，由图可得直线1l 的斜率
0
a
，在y 轴上的截距
0
b
；
而2l 的斜率
0
b
，在y 轴上的截距
0
a
，即
0
a
，符合题意，故B 正确；
对于C，由图可得直线1l 的斜率a<0 ，在y 轴上的截距
0
b
；
而2l 的斜率
0
b
，在y 轴上的截距
0
a
，即a<0，符合题意，故C 正确．
对于D，由图可得直线1l 的斜率
0
a
，在y 轴上的截距
0
b
；
而2l 的斜率
0
b
，矛盾，故D 错误.
故选：BC.
5.直线1l ：y
ax
b
与直线2l ：
0,
y
bx
a ab
a
b
在同一平面直角坐标系内的图象只可能是
（填
写正确的序号）．
【答案】④
【分析】根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可.
【详解】对于①，由1l 得
0
a
，
0
b
，而由2l 得
0
a
，
0
b
，矛盾，故①错误；
对于②，由1l 得
0
<
a
，
0
b
，而由2l 得
0
a
，
0
b
，矛盾，故②错误；
对于③，由1l 得
0
a
，
0
b
，而由2l 得
0
<
a
，
0
b
，矛盾，故③错误；
对于④，由1l 得
0
a
，
0
b
，由2l 得
0
a
，
0
b
，故④正确．
故答案为：④.
6.（多选）直线1l ：y
ax
b
与2l ：y
bx
a
在同一平面直角坐标系内的位置可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】对于A 选项，利用两条直线斜率和截距的大小关系进行判定；对于B 选项当
0
ab
时，符合题意；
对于C 选项，当
0
0
a
b
或
0
0
a
b
时，符合题意；对于D 选项，根据一条直线斜率不存在即可判断.
【详解】对于A 选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线
的斜率和截距，不符合题意，A 不正确．
对于B 选项，当
0
ab
时，符合题意，B 正确．
对于C 选项，当
0
0
a
b
或
0
0
a
b
时，符合题意，C 正确．
对于D 选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D 不正确．
故选：BC.
题型四：直线的位置关系的应用
1.已知直线l1：y＝－3m
8
x＋10－3m
8
和l2：6my＝－x＋4，问m 为何值时，l1与l2平行或垂直？
解
当m＝0 时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
当m≠0 时，l2的方程可化为y＝－1
6m
x＋2
3m
.
由－3m
8
＝－1
6m
，得m＝±2
3
；
由10－3m
8
≠2
3m
，得m≠2
3
且m≠8
3
，所以当m＝－2
3
时，l1与l2平行；
又－3m
8
·
－1
6m ＝－1 无解．
故当m＝－2
3
时，l1与l2平行；
当m＝0 时，l1与l2垂直．
2.与直线
2
1
y
x
＋垂直，且在y 轴上的截距为4 的直线的斜截式方程为
；它与y 轴的交点为
.
【答案】
1
4
2
y
x
0,4
【分析】根据与直线
2
1
y
x
＋垂直，求出斜率，再根据在y 轴上的截距为4，求出直线方程.
【详解】设所求直线斜率为k，则2
1
k ，
即
1
2
k
，又在y 轴上的截距为4，
则直线为
1
4
2
y
x
，与y 轴交点为
0,4 .
故答案为：
1
4
2
y
x
；
0,4 .
3.（多选）若直线1
2
3
:
5
2,
:
0.2
1,
:
5
1
l
y
x
l
y
x
l
y
x
，则（
）
A．1l
2l
B．1
2
l
l
C．1
3
l
l
D．1l
3l
【答案】BD
【分析】找到斜率之间的关系,即可判断平行与垂直.
【详解】设1
2
3
, ,
l l l 的斜率分别为
1
2
3
,
,
k k k ，
结合题意易得：
1
2
3
5,
0.2,
5
k
k
k
，
因为
1
2
5
0.2
1,
k k
，所以1
2,
l
l
因为
1
3
5,
k
k
且2
1
，所以1l
3l .
故选：BD.
4.已知过点
2,
A
m
和点
,4
B m
的直线为1l ，2l ：
2
1
y
x
，3l ：
1
1
y
x
n
n
，若1
2
l
l
∥，2
3
l
l
，则m
n
的值为
.
【答案】10
【分析】由平行、垂直直线的斜率关系求解即可.
【详解】因为1
2
l
l
∥，所以
4
2
2
AB
m
k
m
，解得
8
m ，
又2
3
l
l
，所以
1
(
) ( 2)
1
n
，解得
2
n ，
所以
10
m
n
.
故答案为：10
.
5.已知直线1l 的方程为y＝－2x＋3.
(1)若直线2l 与1l 平行，且过点( 1,3)
，求直线2l 的方程；
(2)若直线2l 与1l 垂直，且l2 与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线2l 的方程．
【答案】(1)
2
1
y
x
；(2)
1
2
2
y
x
或
1
2
2
y
x
【解析】（1）由直线2l 与1l 平行，可设2l 的方程为
2
y
x
b
，
将
1,
3
x
y
代入，得3
( 2) ( 1)
b
，
即得
1
b ，所以直线2l 的方程为
2
1
y
x
（2）由直线2l 与1l 垂直，可设2l 的方程为
1
2
y
x
m
，
令
0
y
，得
2
x
m
，令
0
x
，得y
m
，
故三角形面积
1 | 2
| |
| 4
2
S
m
m
，
所以
2
4
m
，解得
2
m ，所以直线2l 的方程是
1
2
2
y
x
或
1
2
2
y
x
6.直线l 的方程为
3
5
a
y
ax
.
(1)证明：直线l 恒经过第一象限；
(2)若直线l 一定经过第二象限，求a 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)
3
a
【解析】（1）
3
1
3
5
5
5
a
y
ax
a x
，即直线一定过定点1 3
,
5 5
，
该点在第一象限，于是直线l 一定经过第一象限.
（2）由于直线经过第一象限的定点1 3
,
5 5
，
只要该直线在y 轴上的截距大于0 即可，而
3
5
a
y
ax
经过y 轴上的点
3
0,
5
a
，则3
0
5
a
，解得
3
a
7.已知在平面直角坐标系中的两点
8, 6 ,
2,2
A
B
．
(1)求线段AB 的中垂线的方程；
(2)求以向量AB
为方向向量且过点
2, 3
P
的直线l 的方程．
【答案】(1)
3
23
4
4
y
x
；(2)
4
1
3
3
y
x
【解析】（1）易知线段AB 的中点的坐标为
5, 2
，其斜率
6
2
4
8
2
3
AB
k
，
所以线段AB 的中垂线的斜率为3
4 ，
由直线的点斜式方程可得线段AB 的中垂线的方程为
3
2
5
4
y
x
，
即
3
23
4
4
y
x
.
（2）由已知得
6,8
AB
，则直线l 的斜率为
4
3
，
又过点
2, 3
P
，
由直线的点斜式方程得直线l 的方程为
4
3
2
3
y
x
，即
4
1
3
3
y
x
.
8.已知ABC
中，点
1,0
A
，点
2,0
B
，点
0, 3
C
．
(1)求边BC 上的高所在直线的方程；
(2)求
BAC
角平分线所在直线的方程．
【答案】(1)
2 3
1
3
y
x
(2)
3
1
3
y
x
【分析】（1）根据题意，求得
3
2
BC
k
，得到边BC 上的高所在直线的斜率
2 3
3
k
，结合直线的点斜
式方程，即可求解；
（2）根据题意，得到
BAC
角平分线的倾斜角为30，求得
1
3
3
k
，结合直线的点斜式方程，即可求解．
【详解】（1）解：因为点
2 0
B
,
，点
0, 3
C
，所以边BC 所在直线斜率
3
2
BC
k
，
所以边BC 上的高所在直线的斜率
2 3
3
k
，且过点
1,0
A
，
所以边BC 上的高所在直线的方程为
2 3
1
3
y
x
．
（2）解：由
3
AC
k
，可得
60
BAC
，所以
BAC
角平分线的倾斜角为30，
所以
BAC
角平分线所在直线的斜率
1
3
tan 30
3
k
，且过点
1,0
A
，
所以
BAC
角平分线所在直线l 的方程为
3
1
3
y
x
．
9.已知两点
1, 2
A
，
2,1
B
.
(1)求线段AB 的垂直平分线；
(2)直线l 过点
0, 1
P
且与线段AB 有交点，求直线l 的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)
3
0
x
y
(2)
0 ,45
135 ,180
【分析】（1）根据中点坐标和垂直的斜率关系，根据点斜式即可求解，
（2）求出
,
PA PB 的斜率进而得其倾斜角，即可求解l 的倾斜角.
【详解】（1）
1, 2
A
，
2,1
B
的中点为3
1
,
2
2
且
1
2
3
2 1
AB
k
,
所以线段AB 的垂直平分线方程为
1
1
3
2
3
2
y
x
，即
3
0
x
y
（2）直线
,
PA PB 的斜率分别为
2
1
1
1
1,
1,
1 0
2
0
PA
PB
k
k
因此直线
,
PA PB 的倾斜角分别为135 ,45
所以直线l 与线段AB 有交点，则倾斜角的范围为
0 ,45
135 ,180
题型五：直线的两点式方程
1.经过两点(
)
1,2
-
，
3, 2
的直线方程是
.
【答案】2
4
0
x
y
【分析】根据直线的两点式即可求解.
【详解】根据直线的两点式方程得
2
1
2
2
3
1
y
x
，整理得2
4
0
x
y
.
故答案为：2
4
0
x
y
2.过点
(5,6)
A
和点
( 1,2)
B
的直线的两点式方程是
．
【答案】
6
5
2
6
1 5
y
x
【解析】由题意，AB 不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件，
当直线经过
1
1
2
2
( ,
),(
,
)
x y
x y
时，两点式方程为：
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
，
于是直线AB 的两点式方程为：
6
5
2
6
1 5
y
x
.
3.已知直线l 经过两点
,0
A a
，
0,
B
b （如图），其中
0
a
，
0
b
，求直线l 的方程．
【答案】
1
x
y
a
b
【分析】根据直线的两点式方程即可得解.
【详解】直线l 经过两点
,0
A a
，
0,
B
b ，其中
0
a
，
0
b
，
由直线的两点式方程，得
0
0
0
y
x
a
b
a
，即
1
x
y
a
b
4.已知直线l 的两点式方程为
0
( 5)
3
0
3
( 5)
y
x
，则l 的斜率为（
）
A．
3
8
B．3
8
C．
3
2
D．3
2
【答案】A
【解析】因为直线l 的两点式方程为
0
( 5)
3
0
3
( 5)
y
x
，
所以直线l 过点( 5,0)
，(3, 3)
，
所以l 的斜率为0
( 3)
3
5
3
8
．
故选：A
5.已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程．
解
由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
(1)当直线斜率不存在，即m＝1 时，直线方程为x＝1；
(2)当直线斜率存在，即m≠1 时，利用两点式，可得直线方程为y－0
1－0
＝x－1
m－1
，
即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1 时，直线方程为x＝1；
当m≠1 时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
6.已知三角形的顶点是
1,3 ,
2, 1 ,
1, 1
A
B
C
，求这个三角形三边所在直线的方程.
【答案】答案见解析
【解析】由题意可知，作出图形如图所示
直线AB 过
1,3 ,
2, 1
A
B
，
其两点式方程为
3
1
1 3
2 1
y
x
，整理，得4
3
5
0
x
y
，
这就是边AB 所在直线的方程.
直线AC 垂直于x 轴，故AC 边所在直线的方程为
1
x＝.
直线BC 平行于x 轴，故BC 边所在直线的方程为
1
y＝.
7.若三点
0,1
A
，
,0
B a
，
3,2
C
在同一条直线上，则a 的值为
.
【答案】3
【分析】求出直线AC 的方程，将
,0
B a
代入直线方程，求出答案.
【详解】由题意得直线AC 的方程为
2
3
1
2
0
3
y
x
，即
1
1
3
y
x
，
将
,0
B a
代入直线
1
1
3
y
x
中，则1
1
0
3 a
，解得
3
a .
故答案为：3
8.已知
ABCD
Y
三个顶点的坐标为
0,0
A
，
3,0
B
，
5,3
C
，求它的对角线AC，BD 所在直线的方程.
【答案】3
5
0
x
y
，3
9
0
x
y
【解析】因为
ABCD
Y
三个顶点的坐标为
0,0
A
，
3,0
B
，
5,3
C
，设
,
D x y ，
因为AC 和BD 的中点重合，所以
0
5
3
2
2
0
3
0
2
2
x
y
，解得
2
3
x
y
，所以
2,3
D
，
所以对角线AC 所在直线的斜率为3
0
3
5
0
5
，对角线BD 所在直线的斜率为3
0
3
2
3
，
所以对角线AC 所在直线的方程为
3
0
0
5
y
x
，即3
5
0
x
y
，
对角线BD 所在直线的方程为
0
3
3
y
x
，即3
9
0
x
y
.
题型六：直线的截距式方程
1.在平面直角坐标系xOy 中，直线
1
4
8
x
y
在y 轴上的截距为（
）
A．8
B．8
C．
1
8
D．1
8
【答案】A
【解析】对方程
1
4
8
x
y
，令
0
x
，解得
8
y ；
故直线
1
4
8
x
y
在y 轴上的截距为8
.故选：A.
2.过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为
．
【答案】
1
2
3
x
y
【解析】解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x 轴、y 轴上的截距分别为－2，3.由截
距式可知，方程为
1
2
3
x
y
.
故答案为：
1
2
3
x
y
.
3.直线
3
5
0
x
y
的横截距为（
）
A．1
B．5
C．1
D．3
【答案】B
【分析】令
0
y
，求出x 的值，即可得解.
【详解】由直线
3
5
0
x
y
，
令
0
y
，则
5
x .
故选：B
4.过点
1,2
A
的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（
）
A．
1
0
x
y
B．
1
0
x
y
C．2
0
x
y
或
1
0
x
y
D．2
0
x
y
或
1
0
x
y
【答案】C
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0 ，满足题意，
又因为直线过点
1,2
A
，所以直线的斜率为2
0
2
1 0
，
所以直线方程为
2
y
x
，即2
0
x
y
，
当直线不过原点时，设直线方程为
1
x
y
a
a
，
因为点
1,2
A
在直线上，
所以1
2
1
a
a
，解得
1
a ，
所以直线方程为
1
0
x
y
，
故所求直线方程为2
0
x
y
或
1
0
x
y
.故C 项正确.
故选：C.
5.已知直线l 经过点
1,2
A
，且在x ，y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为
.
【答案】
2
y
x
或
3
0
x
y
【解析】若直线l 经过原点，则方程为
2
y
x
；
若直线l 不经过原点，设方程为
1
x
y
a
a
，
故1
2
1
a
a
，得
3
a
，所以方程为
3
0
x
y
.
故答案为：
2
y
x
或
3
0
x
y
.
6.坐标平面内过点
( 2,1)
A
，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为
.
【答案】
1
2
y
x
或=
1
y
x
.
【解析】按照截距是否为0 分两种情况讨论，可求得结果.
【详解】当直线l 在两坐标轴上截距相等且为0 时，直线l 的方程为
1
2
y
x
；
当直线l 在两坐标轴上截距相等且不为0 时，设直线l 的方程为
1
x
y
a
a
，
又直线l 过点
( 2,1)
A
，则2
1
1
a
a
，解得
1
a ，所以直线l 的方程为=
1
y
x
；
所以直线l 的方程为
1
2
y
x
或=
1
y
x
.
故答案为：
1
2
y
x
或=
1
y
x
.
【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式
1
x
y
a
b
，只适用于不过原点或不
垂直于x 轴、y 轴的直线，表示与x 轴、y 轴相交，且x 轴截距为a，y 轴截距为b 的直线，考查学生分类
讨论思想，属于基础题.
7.直线l 过点
6,3
P
，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程．
【答案】
3
3
0
x
y
或
2
0
x
y
.
【分析】分两种情况讨论，当直线在y 轴上的截距不为零时，由根据截距式方程可设直线l 的方程为
1
3
x
y
b
b
，当直线在y 轴上的截距为零时，直线l 过原点，设其方程为y
kx
，分别将
6,3
代入所设
方程，求出参数，即可得到直线l 的方程.
【详解】分两种情况讨论：
①当直线在y 轴上的截距不为零时，
由题意可设直线l 的方程为
1
3
x
y
b
b
，
又直线l 过点P(－6,3)，∴
6
3
1
3b
b
，解得b＝1，
∴直线l 的方程为3
x ＋y＝1，即x＋3y－3＝0.
②当直线在y 轴上的截距为零时，
直线l 过原点，设其方程为y＝kx，
∵直线l 过点P(－6,3)．
∴3＝－6k，解得k＝
1
2
，
∴直线l 的方程为y＝－1
2 x，即x＋2y＝0.
综上所述，所求直线l 的方程为x＋3y－3＝0 或x＋2y＝0.
8.过点
1,2
P
，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（
）
A．4 条
B．2 条
C．3 条
D．1 条
【答案】C
【分析】考虑截距为0，截距相等且不为0，截距互为相反数且不为0，求出相应的方程，得到答案.
【详解】当截距为0 时，设直线方程为=
y kx，将
1,2
P
代入=
y kx，求得=2
k
，
故方程为
2
y
x
；
当截距不为0 时，
①截距相等时，设方程为
1
x
y
a
a
，
将
1,2
P
代入，即1
2
1
a
a
，解得：=3
a
，故方程为
3
x
y
；
②截距互为相反数时，设直线方程为
1
x
y
a
a
，
将
1,2
P
代入，即1
2
1
a
a
，解得：
1
a ，故方程为
1
0
x
y
；
一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3 条.
故选：C
9.在△ABC 中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：
(1)顶点C 的坐标；
(2)直线MN 的截距式方程．
【答案】(1)C(－5，－3)
(2)
1
5
1
2
x
y
【分析】（1）设C(x0，y0)，由中点坐标公式得出
,
AC BC 边中点坐标，从而求得
0
0
,
x
y ，得C 点坐标；
（2）由
,
M N 坐标得截距，得截距式方程．
【详解】（1）设C(x0，y0)，则AC 边的中点为M
0
0
5
2
(
,
)
2
2
x
y
，BC 边的中点为N
0
0
7
3
(
,
)
2
2
x
y
，
因为M 在y 轴上，所以
0
5
2
x
＝0，解得x0＝－5．又因为N 在x 轴上，所以
0
3
2
y
＝0，
解得y0＝－3．
即C(－5，－3)．
（2）由（1）可得M
5
(0,
)
2
，N(1，0)，所以直线MN 的截距式方程为
1
5
1
2
x
y
．
题型七：两点式与截距式辨析
1.下列直线方程是两点式方程的是（
）
A．y
kx
b
B．
0
0
2
y
y
k x
x
C．
1
2
x
y
a
b
D．
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
,
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
【答案】D
【解析】对于选项A：y
kx
b
是斜截式方程，故A 错误；
对于选项B：
0
0
2
y
y
k x
x
是点斜式方程，故B 错误；
对于选项C：
1
2
x
y
a
b
是截距式方程，故C 错误；
对于选项D：
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
,
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
是两点式方程，故D 正确；故选：D.
2.（多选）下列说法中错误的是（）
A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线
B．
1
2
3
x
y
与
1
2
3
x
y
是直线的截距式方程
C．直线方程的斜截式都可以化为截距式
D．在x 轴、y 轴上的截距分别是2、3
的直线方程为
1
2
3
x
y
【答案】ABC
【解析】对于选项A，直线方程的截距式为
1
x
y
a
b
，其中
0
ab
，
不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，故A 错误；
对于选项B，直线方程的截距式为
1
x
y
a
b
，其中
0
ab
，
而
1
2
3
x
y
与
1
2
3
x
y
不是直线的截距式方程，故B 错误；
对于选项C，直线方程的斜截式包含在y 轴上的截距为0 的情况，
而此类不能化为截距式，比如
2
y
x
，故C 错误；
对于选项D，直线方程的截距式为
1
x
y
a
b
，其中
0
ab
，
a 、b 是直线在x 轴、y 轴上的截距，
所以在x 轴、y 轴上的截距分别是2、3
的直线方程为
1
2
3
x
y
，故D 正确.故选：ABC.
3.（多选）下列说法中错误的是（
）
A．不过原点的直线都可以用方程
1
x
y
a
b
表示
B．若直线1
2
l
l
// ，则两直线的斜率相等
C．过两点
1
1
1
( ,
)
P x y
，
2
2
2
(
,
)
P x
y
的直线都可用方程
2
1
2
1
2
1
1
2
(
)
(
)
0
x y
y
y x
x
x y
x y
表示
D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直
【答案】ABD
【分析】
根据两直线的位置关系判断B、D，根据截距式方程的定义判断A，根据两点式方程判断C.
【详解】对于A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A 错误；
对于B：1l 和2l 的斜率有可能不存在，故B 错误；
对于C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果，
直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，但化为整式后就没有缺陷了，可以表示任意直线，故C
正确；
对于D：直线斜率不存在，则直线垂直于x 轴，
直线斜率存在，但不一定斜率为0 ，所以两直线不一定垂直，故D 错误.
故选：ABD
4.（多选）下列说法不正确的是（
）
A．过任意两点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
的直线方程可以写成
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
B．若直线在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1
C．若直线的斜率为1，则直线在x 轴和y 轴上的截距之和为0
D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1
【答案】ABD
【分析】根据直线的各种位置判断A，由截距的概念、斜率的概率判断BCD．
【详解】当
1
2
x
x
或
1y
2y 时，直线方程不能写成
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
，故A 错误；
当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距相等，但斜率不一定为﹣1，故B 错误；
设直线在y 轴上的截距为b，则直线方程为y
x
b
．令
0
y
，
得直线在x 轴上的截距为b
，于是
0
b
b
，故C 正确；
若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D 错误．
故选：ABD．
5.经过两点
1
1
2
2
,
,
,
x y
x
y
的直线方程都可以表示为（
）
A．
1
2
1
x
x
x
x
＝
1
2
1
y
y
y
y
B．
2
1
2
x
x
x
x ＝
2
1
2
y
y
y
y
C．
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
D．
1
1
y
y
x
x
＝
2
1
2
1
y
y
x
x
【答案】C
【解析】当
1
2
1
2
,
x
x
y
y
时，由两点式可得直线方程为：
1
2
1
y
y
y
y
＝
1
2
1
x
x
x
x
，
化为：
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
，
对于
1
2
x
x
或
1
2
y
y
时上述方程也成立，
因此直线方程为：
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
.故选：C.
题型八：中点坐标公式
1.已知点
,2
P a
，
3,
Q
b
，线段PQ 的中点为
2,0 ，则直线PQ 的方程为
.
【答案】2
5
4
0
x
y
【解析】因为点
,2
P a
，
3,
Q
b
，线段PQ 的中点为
2,0 ，
所以
3
2
2,
0
2
2
a
b
，所以
7,
2
a
b
，
所以
2
2
2
7
3
5
PQ
k
，
所以直线PQ 的方程为
2
0
2
5
y
x
，即2
5
4
0
x
y
，
故答案为：2
5
4
0
x
y
.
2.已知
1,0
M
，
3, 4
N
，直线l 经过线段MN 的中点，且垂直于线段MN ，则直线MN 的斜率为
；
直线l 的方程为
.
【答案】
2
2
6
0
x
y
【解析】线段MN 的中点坐标为1 3 0
4
,
2
2
，即
2, 2
，
4
0
2
3 1
MN
k
,
直线l 垂直于线段MN ，故
1
l
MN
k
k
，故
1
2
lk
，
所以直线l 的方程为
1
2
2
2
y
x
，化简得
2
6
0
x
y
.
故答案为：2
，
2
6
0
x
y
.
3.已知直线l 与直线1 : 2
2
0
l
x
y
和2
4
:
0
l
x
y
的交点分别为
,
A B ，若点
2,0
P
是线段AB 的中点，
则直线AB 的方程为
.
【答案】
4
2
0
x
y
【解析】因为直线l 与直线1 : 2
2
0
l
x
y
和2
4
:
0
l
x
y
的交点分别为
,
A B ，
设
1
1
2
2
( ,2
2), (
,4
)
A x
x
B x
x
，
因为点
2,0
P
是线段AB 的中点，由中点公式可得
1
2
1
2
4
2
2
4
0
x
x
x
x
，
解得
1
2
2
14
,
3
3
x
x
，所以直线AB 的斜率为
2
1
2
1
4
2
2
1
4
x
x
k
x
x
，
所以直线AB 的方程为
1
0
(
2)
4
y
x
，即
4
2
0
x
y
.
故答案为：
4
2
0
x
y
.
4.过点
(2,1)
M
作直线l，若l 分别交x 轴、y 轴的正半轴与点A，B，当M 为AB 中点时，求直线l 的方程．
【解析】不妨设
(
(
,0
,
)
)
0
A a
B
b
，
，且
0
0
a
b
，
，则直线l 的方程为
1
x
y
a
b
，
因为
(2,1)
M
为AB 中点，所以
4
2
a
b
，
，
由截距式可知，直线l 的方程为
1
4
2
x
y
，
即
2
4
0
x
y
.
5.如图，射线OA，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角，过点
1,0
P
作直线AB 分别交OA，OB 于A，B
两点，当AB 的中点C 恰好落在直线
1
2
y
x
上时，则直线AB 的方程是
.
【答案】
3
3
2
3
3
0
x
y
【解析】由题意可得
tan 45
1
OA
k
，
3
tan 180
30
tan150
3
OB
k
，
所以直线
3
:
,
:
3
OA
OB
l
y
x l
y
x
，
设
,
,
3 ,
A m m
B
n n ，
所以AB 的中点C
3 ,
2
2
m
n m
n
.
由点C 在直线
1
2
y
x
上，且A，P，B 三点共线得
1
3
2
2
2
(
0)
3
1
(
0)(
1)
m
n
m
n
m
n
n
m
解得
3
m
，所以
3, 3
A
,
又
1,0
P
，所以
3
3
1
AB
AP
k
k
＝3
3
2
，
所以
3
3
:
1
2
AB
l
y
x
，
即直线AB 的方程为
3
3
2
3
3
0
x
y
.
6.过点（3，2）的直线l ，被直线1 : 2
5
9
0
l
x
y
，2 : 2
5
7
0
l
x
y
所截得的线段AB 的中点恰好在直线
4
1
0
x
y
上，则直线l 的方程为
．
【答案】
2
1
0
x
y
【解析】设AB 中点为M ，
因为1// 2
l l ，所以M 在直线2
5
1
0
x
y
上，
由M 在直线
4
1
0
x
y
上，
联立可得
2
5
1
0
4
1
0
x
y
x
y
，解得
3
1
x
y
，即AB 中点为
3
1
M
（
，），
所以直线l 的斜率
2
1
1
3
3
2
k
，所以l 的方程为
1
3
2
2
y
x
（
）
，即
2
1
0
x
y
．
故答案为：
2
1
0
x
y
．
题型九：直线与坐标轴围成图形面积定值问题
1.直线l 过点P
4
3，2 ，且与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，O 为坐标原点．
(1)当△AOB 的周长为12 时，求直线l 的方程；
(2)当△AOB 的面积为6 时，求直线l 的方程．
解
(1)设直线l 的方程为x
a＋y
b＝1(a>0，b>0)，
由题意知a＋b＋a2＋b2＝12.①
因为直线l 过点P
4
3，2 ，
所以4
3a＋2
b＝1.②
联立①②，解得
a＝4，
b＝3
或
a＝12
5 ，
b＝9
2，
所以直线l 的方程为3x＋4y－12＝0 或15x＋8x－36＝0.
(2)设直线l 的方程为x
a＋y
b＝1(a>0，b>0)，
由题意知1
2ab＝6，
即ab＝12，③
联立②③，解得a＝4，
b＝3
或
a＝2，
b＝6.
所以直线l 的方程为3x＋4y－12＝0 或3x＋y－6＝0.
2.纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10 的直线的一般式方程为
．
【答案】4
5
20
0
x
y
或4
5
20
0
x
y
．
【分析】先设直线的截距式，结合已知条件求出直线方程后，化为一般式即可．
【详解】由题意可设直线方程为
1(
0)
4
x
y
a
a
，
则1
4 |
| 10
2
a
，即
5
a ，
所以直线方程为
1
5
4
x
y
或
1
5
4
x
y
，
所以直线的一般式方程4
5
20
0
x
y
或4
5
20
0
x
y
．
故答案为：4
5
20
0
x
y
或4
5
20
0
x
y
3.平面直角坐标系中，已知直线l 过点
0,4 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l 的方程
为
．
【答案】
2
4
y
x
【分析】根据题意假设直线l 的截距式方程，从而得到关于,a b 的方程组，解之即可得解.
【详解】依题意，直线l 的两个截距都不为0，故设直线l 为
1
x
y
a
b
，
则
0
4
1
1
4
2
a
b
a b
，解得
2
4
a
b
，
所以直线l 为
1
2
4
x
y
，即
2
4
y
x
.
故答案为：
2
4
y
x
4.已知直线l 经过点P(4, 1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程.
【答案】
1
1
4
4
y
x
【分析】根据题意设直线l 的方程为
4
)
1
(
)(
0
y
k x
k
，进而得直线l 与两坐标轴交于点
1
(4
,0)
k
与
0, 1
(
)
4k
，再结合面积解方程即可得
1
4
k
，最后书写方程即可.
【详解】解：根据题意知直线l 不垂直于x 轴，其斜率存在且为负数，
故可设直线l 的方程为
4
)
1
(
)(
0
y
k x
k
.
在方程中，令
0
y
，得
1
4
x
k
；令
0
x
，得
1 4
y
k
.
故直线l 与两坐标轴交于点
1
(4
,0)
k
与0, 1
(
)
4k
.
因为直线l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，
所以
1
1 4
2 4
8
1
k
S
k
，即：
2
16
8
1
0
k
k
，解得
1
4
k
，
故直线l 的点斜式方程为
1
1
4
4
y
x
5.求过点
(2,3)
P
且分别满足下列条件的直线方程
（1）在两个坐标轴上的截距相等.
（2）与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12.
【答案】（1）
3
2
y
x
或
5
0
x
y
；（2）3
2
12
0
x
y
．
【解析】（1）分类讨论，设出直线方程，然后代入点的坐标，计算求解即可；
（2）设出直线的截距式方程，然后代入点的坐标得到一个关于截距的方程，再由三角形面积等于12，得
到关于截距的另一方程，联立方程组求解截距，即可得解．
【详解】（1）①若直线经过原点，设方程为y
kx
，又因为直线过点
(2,3)
P
，故有3
2k
，解得：
3
2
k =
，
所以方程为：
3
2
y
x
；
②若直线不经过原点，设直线在两坐标轴上的截距为a ，方程为：
1
x
y
a
a
，又因为直线过点
(2,3)
P
，所
以有：2
3
1
a
a
，解得：
5
a
，所以直线方程为：
1
5
5
x
y
，即：
5
0
x
y
；
（2）设直线在x ，y 轴上的截距为a ，b（
0
a
，
0
b
），可设直线方程为
1
x
y
a
b
，由题意得
1
12
2
2
3
1
ab
a
b
，
解得
4
6
a
b
，∴直线方程为：
1
4
6
x
y
，即：3
2
12
0
x
y
．
【点睛】本题考查直线截距式方程的应用，解题关键是正确设出直线的方程，考查逻辑思维能力和运算能
力，属于常考题.
6.（1）设直线m 的方程为
1
2
0
(
)
a
x
y
a
a
R
.若直线m 在两坐标轴上的截距相等，求直线m 的方
程；
（2）过直线l ：y
x
上的点
2,2
P
作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的
方程.
【答案】(1) 3
0
x
y
或
2
0
x
y
. (2)
2
2
0
x
y
-
+
=
或
2
x
.
【分析】(1)表示出截距，然后建立等量关系得到答案.
(2)计算出与x,y 轴的坐标，然后建立等量关系，即可得到直线方程.
【详解】解:（1）当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，∴
2
a
，方程即为3
0
x
y
.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，直线方程为
1
2
2
1
x
y
a
a
a
∴
2
2
1
a
a
a
∴
0
a
，方程即为
2
0
x
y
.综上，直线m 的方程为3
0
x
y
或
2
0
x
y
.
（2）①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为
2
x
，
直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；
②若直线m 的斜率
0
k
，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；
③若直线m 的斜率
0
k
，设其方程为
2
2
y
k x
，令
0
y
，得
2
2
x
k
，依题意
有1
2
2
2
2
2
k
，解得
1
2
k
，所以直线m 的方程为
1
2
2
2
y
x
，即
2
2
0
x
y
.
综上可知，直线m 的方程为
2
2
0
x
y
或
2
x
.
【点睛】本题主要考查直线的相关量的含义，截距不是距离，注意截距为0 的情况．细心分析题目，难度
不大.
7.设k 为实数，若直线l 的方程为
1
2
2
4
0
k
x
y
k
，根据下列条件分别确定k 的值：
(1)直线l 的斜率为2 ；
(2)直线l 与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为12.
【答案】(1)
3
k
(2)
4
2 6
k
【分析】（1）根据直线的斜率可得出关于k 的等式，解之即可；
（2）求出直线l 与两坐标轴的交点坐标，可得出关于k 的等式与不等式，即可解得k 的值.
【详解】（1）解：由题意可知，直线l 的斜率为
1
2
2
k
，解得
3
k .
（2）解：由题意可知
1
0
k
，在直线l 的方程中，令
0
x
，可得
2
y
k
，
令
0
y
时，可得
2
2
1
k
x
k
，
所以，直线l 分别交x 、y 轴于点
2
2 ,0
1
k
k
、
0,
2
k
，
由题意可得
2
0
2
2
0
1
k
k
k
，解得
1
k .
由题意可得
2
2
2
2
1
2
12
2
1
1
k
k
k
k
k
，整理可得
2
8
8
0
k
k
，
因为
1
k ，解得
4
2 6
k
.
8.求分别满足下列条件的直线l 的方程．
（1）经过直线2
2
0
x
y
和直线3
1
0
x
y
的交点且与直线2
3
5
0
x
y
垂直；
（2）与直线4
3
1
0
x
y
平行且与坐标轴围成的三角形面积为3．
【答案】（1）3
2
11
0
x
y
；（2）4
3
6 2
0
x
y
或4
3
6 2
0
x
y
.
【解析】（1）将2
2
0
x
y
和3
1
0
x
y
联立，求出交点，又可知直线斜率为3
2 ，利用点斜式方程求
出并化简即可．
（2）设所求直线方程为4
3
0
x
y
m
，求出与坐标轴交点坐标，根据三角形面积为3，得出关于m 的方
程并求解，再得出所求直线方程．
【详解】解：（1）将2
2
0
x
y
与3
1
0
x
y
联立得
2
2
0
3
1
0
x
y
x
y
，解得
1
4
x
x
所以交点坐标为
1, 4
．
由所求直线与直线2
3
5
0
x
y
垂直，则所求直线斜率为3
2 ，
所以方程为
)
3
2
4
(
1
y
x
，
从而所求直线方程为3
2
11
0
x
y
（2）依题意设直线方程为4
3
0
x
y
m
，则直线过点
,0
4
m
、0, 3
m
所以
1
3
2
4
3
m m
S
，解得
6 2
m
，
故直线方程为4
3
6 2
0
x
y
或4
3
6 2
0
x
y
【点睛】本题考查直线方程求解，平行直线系与垂直直线系．考查分析、计算能力．
9.若过点
3,2
P
的直线l 与坐标轴交于
,
A B 两点，围成三角形AOB 的面积为16，则符合条件的直线的条数
为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】由题意直线l 显然不过原点，所以不妨设直线l ：
1
x
y
a
b
，(
)
(
)
,0 ,
0,
A a
B
b ，
又点
3,2
P
在直线l 上，所以3
2
1
a
b
，3
2
2
1
b
a
b
b
，
又三角形AOB 的面积为16，所以1
16
2 ab
，
3
3
32
b
a
，
所以
3
2
32
b
b
b
，整理得
2
3
32
2
0
b
b
；
当
2
b
时，方程
2
3
32
2
0
b
b
变为
2
3
32
64
0
b
b
，解得
1
8
2
3
b
或
2
8
2
b
满足题意，
将
1
8
3
b
和
2
8
b
分别代入3
2
1
a
b
，解得对应的a 分别为
1
2
12,
4
a
a
；
当
2
b
时，方程
2
3
32
2
0
b
b
变为
2
3
32
64
0
b
b
，
解得
3
16
8 7
2
3
b
或
4
16
8 7
2
3
b
满足题意，
将
3
16
8 7
3
b
和
4
16
8 7
3
b
分别代入3
2
1
a
b
，
解得对应的a 分别为
3
4
8
4 7,
8
4 7
a
a
；
综上所述：满足题意的直线为：
1,
1,2,3,4
i
i
x
y
i
a
b
，共有4 条.故选：D.
题型十：直线与坐标轴围成图形面积最值问题
1.直线l 过点
2,3
A
，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（
）
A．9
B．12
C．18
D．24
【答案】B
【解析】设直线l ：
1
x
y
a
b
，
,
0
a b
，
因为直线l 过点
2,3
A
，所以2
3
1
a
b
，即2
3
b
a
ab
，
所以2
3
2 2
3
b
a
ab
b
a
，解得
24
ab
，
当且仅当2
3
b
a
，即
4
a
，
6
b
时等号成立，
则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围城的三角形面积
1
12
2
S
ab
.故选：B.
2.已知直线l 过点
(2,1)
P
，且与x 轴、y 轴的正半轴分别为交于A、B 两点，O 为坐标原点，则OAB
面积的
最小值为
，此时的直线方程为
．
【答案】
4
2
4
0
x
y
【分析】由题可知直线l 斜率必存在，则设其方程为
1
(
2)(
0)
y
k x
k
，求出其横截距和纵截距，表示
出△OAB 的面积，求其最小值即可.
【详解】由题可知直线AB 斜率为负，故设直线AB 的方程为
1
(
2)(
0)
y
k x
k
，
令x＝0，则y＝1－2k；令y＝0，则x＝2－1
k ，
∴
1
1
1
1
1
1
2
1 2
4
4
4
4
2
2
2
OAB
S
k
k
k
k
k
k
1
1
4
2
4
4
2
k
k
，当且仅当
1
4k
k
，即
1
2
k
时取等号.
故当
1
2
k
时，
OAB
S
有最小值4．
此时，直线方程为
1
1
(
2),
2
y
x
即
2
4
0
x
y
．
故答案为：4；
2
4
0
x
y
.
3.过点(1,2) 的直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A、B 两点，O 为坐标原点，当
OAB
的面积最小时，直
线l 的方程为（）
A．2
4
0
x
y
B．
2
5
0
x
y
C．
3
0
x
y
D．2
3
8
0
x
y
【答案】A
【分析】由截距式设出l 的方程，由此得出1
2
1
a
b
，结合基本不等式得出
8
ab
，从而得出当
2,
4
a
b
时，OAB
的面积最小，即可得出此时直线l 的方程.
【详解】设l 的方程为
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，则有1
2
1
a
b
因为
0,
0
a
b
，所以1
2
2
2
a
b
ab
，即
2
1
2 ab
所以
8
ab
，当且仅当1
2
1
2
a
b
，即
2,
4
a
b
时，取“=”.
即当
2,
4
a
b
时，OAB
的面积最小.
此时l 的方程为
1
2
4
x
y
，即2
4
0
x
y
.
故选：A
【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴围成图形的面积问题，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.
4.已知过点
4,1
P
的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O为坐标原点，当AOB
的面积最
小时，直线l 的方程为
．
【答案】
4
8
0
x
y
【解析】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为
1
4
y
k x
，求出点A 、B 的
坐标，结合已知条件可求得k 的取值范围，并求出AOB
的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求得
AOB
面积的最小值及其对应的k 值，由此可求得直线l 的方程.
【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，
可设直线l 的方程为
1
4
y
k x
，即
1 4
y
kx
k
.
在直线l 的方程中，令
0
x
，可得
1 4
y
k
；令
0
y
，可得
4
1
k
x
k
.
即点
4
1,0
k
A
k
、
0,1
4
B
k
，由题意可得
4
1
0
1
4
0
k
k
k
，解得
0
k
，
AOB
的面积为
1
4
1
1
1
1
1
1 4
8
16
8
2
16
8
2
2
2
AOB
k
S
k
k
k
k
k
k
△
，
当且仅当
1
16
0
k k
k
时，即当
1
4
k
时，等号成立，
所以，直线l 的方程为
1
1
4
4
y
x
，即
4
8
0
x
y
.
故答案为：
4
8
0
x
y
.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：
（1）将三角形的面积利用k 加以表示；
（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.
5.已知直线l 过点
(2,1)
M
，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A，B 两点，分别求满足下列条件的直线方程：
(1)
2
BM
AM
时，求直线l 的方程．
(2)当AOB
的面积最小时，求直线l 的方程．
【答案】(1)
3
0
x
y
(2)
2
4
0
x
y
.
【分析】（1）根据条件
2
BM
AM
可知点M 是AB 的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值
关系即可求出A，B 两点坐标，继而求出方程;
（2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程.
【详解】（1）作MN
OA
，则
(2,0)
N
.
由三角形相似，
1
3
AM
AN
AB
AO
，可求得
(3,0)
A
，
(0,3)
B
，
∴AB 方程为
1
3
3
x
y
，即
3
0
x
y
；
（2）根据题意，设直线l 的方程为
1
x
y
a
b
，由题意，知
2
a
，
1
b ，
∵l 过点
(2,1)
M
，∴2
1
1
a
b
，解得
2
a
b
a
，∴AOB
的面积
1
1
2
2
2
a
S
ab
a a
，
化简，得
2
2
4
0
a
aS
S
.①
∴
2
Δ
4
16
0
S
S
，解得
4
S
或
0
S
（舍去）.
∴S 的最小值为4，
将
4
S
代入①式，得
2
8
16
0
a
a
，解得
4
a
，
∴
2
2
a
b
a
.∴直线l 的方程为
2
4
0
x
y
.
6. A 是直线:
3
l y
x
上的第一象限内的一点，
3,2
B
为定点，直线AB 交x 轴正半轴于点C，求使AOC
面
积最小的点A 的坐标.
【答案】4 ,4
3
【分析】根据直线l 是否与x 轴垂直进行分类讨论，结合基本不等式求得AOC
面积最小值，并求得此时A
点的坐标.
【详解】如图，设点A 的坐标为
,3
m
m （
0
m
）.
（1）当直线AB 不垂直于x 轴时，
由两点式得AB 的方程为
2
3
3
2
3
y
x
m
m
（
2
3
m
，且
3
m ）.
令
0
y
，得
7
3
2
C
m
x
m
.
因为点C 在x 轴的正半轴上，所以
7
0
3
2
m
m
，即
2
3
m
.
所以AOC
的面积：
2
2
1
7
21
7
9
4
4
7
4
3
3
2
4
2
3
2
2 3
2
6
3
2
6
3
2
m
m
m
S
m
m
m
m
m
m
7
4
7
28
2
3
2
4
8
6
3
2
6
3
m
m
，
当且仅当
4
3
2= 3
2
m
m
，
4
3
m
时等号成立，此时点A 的坐标为4 ,4
3
.
（2）当直线AB 与x 轴垂直时，点A 的坐标为
3,9 ，此时
1
27
28
3 9
2
2
3
AOC
S
△
.
综上所述，AOC
的面积的最小值为28
3 ，此时点A 的坐标为4 ,4
3
.
7.已知点M 为直线1 : 2
0
l
x
y
a
与直线2 :
2
1
0
l
x
y
在第一象限的交点，经过点M 的直线l 分别交x，
y 轴的正半轴于A，B 两点，O 为坐标原点，则当
AOB
S
取得最小值为14
25 时，a 的值为
.
【答案】3
2
【分析】先求出点M 的坐标，然后设直线AB 的方程，得出
,
A B 坐标后可得三角形面积，由面积的最小值
可求得a ．
【详解】由
2
0
2
1
0
x
y
a
x
y
，得
2
1
5
2
5
a
x
a
y
，即
2
1
2
(
,
)
5
5
a
a
M
，M 在第一象限，则
1
2
a
，
设直线l 方程为
2
2
1
(
)
5
5
a
a
y
k x
，显然
0
k
，
令
0
x
得
2
(2
1)
5
5
B
a
a
k
y
，令
0
y
得
2
1
2
5
5
A
a
a
x
k
，
所以
1
1
2
1
2
2
(2
1)
2
2
5
5
5
5
AOB
A
B
a
a
a
a
k
S
x y
k
△
2
2
1
(
2)
2(
2)(2
1)
(2
1) (
)
50
a
a
a
a
k
k
2
2
1
(
2)
2(
2)(2
1)
2
(2
1) (
)
50
a
a
a
a
k
k
2(
2)(2
1)
25
a
a
，当且仅当
2
2
(
2)
(2
1) (
)
a
a
k
k
，即
2
2
1
a
k
a
时等号成立．
所以
OAB
S
最大值为2(
2)(2
1)
14
25
25
a
a
，解得
3
2
a
或
3
a （舍去）．
故答案为：3
2 ．
【点睛】本题考查求直线的交点坐标，考查求直线方程，三角形面积，考查用基本不等式求最值．本题考
查了学生运算求解能力，属于中档题．
8.设直线l 的方程为(
1)
2
0(
)
a
x
y
a
a
R
(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.
(3)若直线l 交x 轴正半轴于点A，交y 轴负半轴于点B，
AOB
△
的面积为S，求S 的最小值并求此时直线l
的方程.
【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时2
0
a
,解得=2
a
,化为3
0
x
y
.
当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故
1 1
a ,解得=0
a
,可得直线l 的方程为:
2
0
x
y
.
综上所述，直线l 的方程为3
0
x
y
或
2
0
x
y
.
（2）
=
+1
+
2
y
a
x a
,
∵l 不经过第二象限,∴
+1
0
2
0
a
a
,解得
1
a .
∴实数a 的取值范围是
, 1
.
（3）令=0
x
,解得=
2<0
y a
,解得
2
a
;
令=0
y
,解得
2
=
>0
+1
a
x
a
,解得
2
a
或
1
a .
综上有
1
a .
∴
1
2
1
9
1
9
=
2
=
+1+
6 =3+
1 +
2
+1
2
+1
2
1
AOB
a
S
a
a
a
a
a
a
1
9
3+
×2
1 ×
=6
2
1
a
a
,
当且仅当
4
a 时取等号.
∴
AOB
△
(O为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程3 + +6=0
x y
，即3
6
0
x
y
9.已知一条动直线
:3
1
6
4
0
l
m
x
my
m
，
(1)求证：直线l 恒过定点，并求出定点P 的坐标；
(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O为坐标原点，是否存在直线l 同时满足下列条件：
①AOB
的周长为12；②AOP
的面积为4 .若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：将直线方程3
3
6
4
0
mx
x
my
m
变形为
3
6
3
4
0
m
x
y
x
，
由
3
6
0
3
4
0
x
y
x
，可得
4
3
2
x
y
，
因此，直线
3
1
6
4
0
m
x
my
m
恒过定点
4 ,2
3
P
.
（2）设点A 的坐标为
,0
0
a
a
，若
1
2
4
2
AOP
S
a
△
，则
4
a
，
则
4,0
A
、
4 ,2
3
P
，直线AP 的斜率为
0
2
3
4
4
4
3
AP
k
，
故直线AB 的方程为
3
4
4
y
x
，即3
4
12
0
x
y
，
此时直线AB 与y 轴的交点为
0,3
B
，则
4
OA
，
3
OB
，
2
2
3
4
5
AB
，
此时AOB
的周长为12.
所以，存在直线3
4
12
0
x
y
满足题意.
10.已知直线l 过点
4,3
P
，与x 轴正半轴交于点A､与y 轴正半轴交于点B.
（1）求OAB
面积最小时直线l 的方程（其中O 为坐标原点）；
（2）求PA PB
的最小值及取得最小值时l 的直线方程.
【解析】（1）设l 的方程为
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，由直线过点
(4,3)
P
知4
3
1
a
b
，即3
4
a
b
ab
，由基本
不等式得3
4
2 12
a
b
ab
ab
，即
48
ab
，当且仅当
8,
6
a
b
时等号成立，
又知
( ,0),
(0, )
A a
B
b ，所以
1
24,
8,
6
2
OAB
S
ab
a
b
时等号成立，
此时l 直线的方程为
1
8
6
x
y
，
即OAB
面积最小时直线l 的方程为3
4
24
0
x
y
.
（2）易知直线l 的斜率存在，所以可设直线l 的方程为
3
(
4)(
0)
y
k x
k
，所以得
3
4
,0
A
k
，
(0,3
4 )
B
k
，所以
2
2
9
|
|
9,|
|
16
16
PA
PB
k
k
，得
2
2
2
2
9
1
|
| |
|
9
16
16
12
2
12 2
2
24
PA
PB
k
k
k
k
，等号成立时有k
2
2
1
k
k
，得
1
k ，
此时直线的方程为
3
(
4)
y
x
，即
7
0
x
y
.
故|
| |
|
PA
PB
的最小值是24，取最小值时直线l 的方程是
7
0
x
y
.
11.设直线l 的方程为
1
5
2
0
a
x
y
a
a
R
.
(1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;
(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点
,0
A
A x
，
0,
B
B
y
，当AOB
面积最小时，求AOB
的
周长;
(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.
【解析】(1)由
1
5
2
0
a
x
y
a
得
2
5
0
a x
x
y
，
则
2
0
5
0
x
x
y
，解得
2
3
x
y
，
所以不论a 为何值，直线l 必过一定点
2,3
P
；
(2)由
1
5
2
0
a
x
y
a
得，
当
0
x
时，
5
2
B
y
a
，当
0
y
时，
5
2
1
A
a
x
a
，
又由
5
2
0
5
2
0
1
B
A
y
a
a
x
a
，得
1
a ，
1
1
9
1
9
4
1 +
12
2 4
1
12
12
2
2
1
2
1
5
2
5
2
1
AOB
a
a
a
S
a
a
a
a
，
当且仅当
9
4
1
1
a
a
，即
1
2
a
时，取等号.
4,0
A
，
0,6
B
，
AOB
的周长为
2
2
4
6
4
6
10
2 13
OA
OB
AB
；
(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数，
即5
2a
，5
2
1
a
a
均为整数，
5
2
3
2
1
1
a
a
a
，
4, 2,0,2
a
，
又当
5
2
a
时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，
所以直线l 的方程为3
3
0
x
y
，
1
0
x
y
，
5
0
x
y
，3
9
0
x
y
，3
2
0
x
y
.
模块三：综合巩固
1.过点( 1,2)
且与直线
3
2
3
y
x
垂直的直线方程为（
）
A．
3
2
(
1)
3
y
x
B．
2
3(
1)
y
x
C．
3
2
(
1)
3
y
x
D．
2
3(
1)
y
x
【答案】D
【分析】
先求得所求直线的斜率，再根据点斜式求得正确答案.
【详解】直线
3
2
3
y
x
的斜率为
3
3
由垂直关系可得垂线的斜率为
3
，
又垂线过点( 1,2)
，
垂线方程为
2
3(
1)
y
x
故选：D
2.直线
4
2
y
x
在x 轴和y 轴上的截距分别为（
）
A．1
2 ，2
B．
1
2
，2
C．1
2 ，2
D．
1
2
，2
【答案】B
【分析】利用横纵截距的意义求解即得.
【详解】直线
4
2
y
x
，当
0
y
时，
1
2
x
，当
0
x
时，
2
y
，
所以直线
4
2
y
x
在x 轴和y 轴上的截距分别为
1
2
，2.
故选：B
3.过点
2, 1
P
，且倾斜角为90的直线方程为（
）
A．
1
y
B．
2
x
C．
2
y
D．= 1
x
【答案】B
【解析】过点
2, 1
P
，且倾斜角为90的直线垂直于x 轴，其方程为
2
x
.故选：B
4.直线
3
4
3
y
x
的倾斜角是（
）
A．30
B．60
C．120
D．135
【答案】A
【解析】直线
3
4
3
y
x
的斜率
3
3
k
，则该直线的倾斜角
30
.故选：A
5.直线
1
4
2
x
y
的一个方向向量是（
）
A．
1,2
B．(
)
1, 2
-
C．
2,1
D．
2, 1
【答案】C
【分析】直接根据方向向量的定义解答即可．
【详解】直线
1
4
2
x
y
可化成斜截式方程
1
2
2
y
x
，
所以直线的斜率为
1
2
，
由直线方向向量与斜率的关系，即直线的方向向量为
,x y ,则斜率为y
x ,
所以选项中
2,1
可以是直线的方向向量，即C 正确.
故选：C .
6.直线l 的方向向量
2,3
a
，且过点
1,1 ，则直线l 的方程为（
）
A．2
3
5
0
x
y
B．3
2
5
0
x
y
C．2
3
1
0
x
y
D．3
2
1
0
x
y
【答案】D
【分析】根据方向向量可求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得直线的方程.
【详解】由直线l 的方向向量可得直线l 的斜率为3
2 ，
所以直线l 的方程为
3
1
(
1)
2
y
x
，即3
2
1
0
x
y
．
故选：D.
7.已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(5，2),
2, 4
C
，则AB 边上的高CD 所在的直线方程
为（
）
A．5
14
0
x
y
B．
5
14
0
x
y
C．2
8
0
x
y
D．2
0
x
y
【答案】C
【分析】先求出AB 的斜率，根据两直线垂直的性质，得出直线CD 的斜率，从而得出直线CD 的方程.
【详解】解：因为
2
0
1
5 1
2
AB
k
，
所以
2
CD
k
，
所以CD 直线为：
4
2
2
y
x
，即2
8
0
x
y
.
故选：C.
8.直线l 的方向向量
2,3
a
，且过点
1,1 ，则直线l 的方程为（
）
A．2
3
5
0
x
y
B．3
2
5
0
x
y
C．2
3
1
0
x
y
D．3
2
1
0
x
y
【答案】D
【解析】由直线l 的方向向量可得直线l 的斜率为3
2 ，
所以直线l 的方程为
3
1
(
1)
2
y
x
，即3
2
1
0
x
y
．故选：D.
9.在x 轴、y 轴上的截距分别是2
、3 的直线方程为（
）
A．
1
2
3
x
y
B．
1
2
3
x
y
C．
1
3
2
y
x
D．
1
2
3
x
y
【答案】C
【解析】因为直线在x 轴、y 轴上的截距分别是2
、3，
所以直线方程是
1
2
3
x
y
，即
1
3
2
y
x
．故选：C．
10.过点
6
(5 )
A ，和点
(
)
1 2
B －，的直线的两点式方程是（
）
A．
5
1
6
2
y
y
x
x
B．
6
5
2
6
1 5
y
x
C．2
6
1 5
6
5
y
x
D．
6
5
2
6
1 5
x
y
【答案】B
【解析】因为所求直线过点
6
(5 )
A ，和点
(
)
1 2
B －，，根据直线的两点式方程可得：
所求直线方程为
6
5
2
6
1 5
y
x
.故选B.
11.直线l 经过点
(3,4)
P
，它的倾斜角是直线
3
3
y
x
的倾斜角的2 倍，则直线l 的方程是（
）
A．
4
3
3
y
x
B．
4
3
3
y
x
C．
4
3
3
y
x
D．
4
3
3
y
x
【答案】D
【分析】根据题意，求得直线l 的倾斜角为120，得到l 的斜率为
3
k
，结合直线的点斜式方程，即可
求解.
【详解】设直线
3
3
y
x
的倾斜角为，其中0
180
由直线
3
3
y
x
，可得斜率为
1
3
k
，即tan
3
，可得
60
，
根据题意，可得直线l 的倾斜角为2
120
，所以直线l 的斜率为
tan120
3
k
，
因为直线l 经过点
(3,4)
P
，可得直线l 的方程为
4
3(
3)
y
x
.
故选：D.
12.已知点
2,1
P
，过点P 向直线1l ：
3
y
x
和2l ：
3
3
y
x
作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN
的长是（
）
A．
3
B．2 3
C．
5
2
D．15
2
【答案】C
【分析】根据题意得到
,
,
,
P M N O 四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为OMN
的外接圆，由正弦定
理进行求解.
【详解】如图，∵PM
OM
，PN
ON
，
∴
,
,
,
P M N O 四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为OMN
的外接圆，
设半径为R ，则
2
OP
R
，
在OMN
中，由正弦定理得
2
sin
MN
R
MON
，
∴
sin
MN
OP
MON
，
又1l ，2l 的倾斜角分别是60 ,30
，
∴
30
MON
，而
5
OP
，
∴
5
5 sin 30
2
MN
.
故选：C
13.过点( 1,2)
且与直线
3
2
3
y
x
垂直的直线方程为（
）
A．
3
2
(
1)
3
y
x
B．
2
3(
1)
y
x
C．
3
2
(
1)
3
y
x
D．
2
3(
1)
y
x
【答案】D
【解析】直线
3
2
3
y
x
的斜率为
3
3
由垂直关系可得垂线的斜率为
3
，
又垂线过点( 1,2)
，
垂线方程为
2
3(
1)
y
x
故选：D
14.直线
1
0
y
k x
k
可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
0
k
，所以A C 错；当= 1
x 时，
0
y
，故B 对；故选：B
15.直线l1：y＝ax＋b 与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对B，2l 斜率为正，在y 轴上的截距也为正，故不可能有1l 斜率为负的情况.故B 错.
当,
0
a b
时，
1l 和2l 斜率均为正，且截距均为正.仅D 选项满足.
故选：D
16.若直线
:
1
0,
0
x
y
l
a
b
a
b
经过点
1,2 ，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和取最小值时，a
b （
）
A．2
B．
1
2
C．
2
D．
2
2
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得1
2
1
a
b
，再结合基本不等式即可得到当a
b
取最小值的条件，即可得到
结果.
【详解】因为直线
:
1
0,
0
x
y
l
a
b
a
b
经过点
1,2 ，则1
2
1
a
b
，
则
1
2
2
3
3
2 2
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
，
当且仅当
2
b
a
a
b
时，即
2
b
a
时，等号成立，
所以直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和取最小值为3
2 2
，
此时
2
b
a
，则
2
2
2
a
a
b
a
.
故选：D
17.数学家欧拉在1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心
都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知ABC
的顶点分别为
0,2
A
，
1,0
B
，
4,0
C
，则ABC
的欧拉线方程为（
）
A．4
3
6
0
x
y
B．3
4
3
0
x
y
C．4
3
6
0
x
y
D．3
4
3
0
x
y
【答案】C
【分析】先求出ABC
的重心坐标，由
1
A
AB
C
k
k
得出ABC
为直角三角形，外心为斜边中点，进而求出
外心坐标，由于外心和重心在同一直线上，根据外心和重心的坐标即可得出答案．
【详解】因为ABC
的顶点分别为
0,2
A
，
1,0
B
，
4,0
C
，
所以ABC
的重心为
2
1, 3
G
，
因为
2
AB
k
，
1
2
AC
k
，
所以
1
A
AB
C
k
k
，
所以AB
AC
，
所以ABC
的外心为BC 的中点
3 ,0
2
D
，
因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，
所以ABC
的欧拉线为直线GD ，
所以ABC
的欧拉线方程为
3
0
2
2
3
0
1
3
2
x
y
，即4
3
6
0
x
y
，
故选：C．
18.已知直线
1
x
y
a
b
经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（
）
A．a
b
B．
a
b
C．(
)(
)
0
b
a b
a
D．1
1
a
b
【答案】D
【解析】已知直线
1
x
y
a
b
经过第一、二、三象限，则直线在x 轴上的截距a<0 ，在y 轴上的截距
0
b
，
由直线的斜率小于1，可知0
1
b
a
，结合a<0 可得
0
a
b
a
，
对于A，由绝对值的性质可知a
b
，故选项A 错误，
对于B，由幂函数的单调性可知
a
b
，故选项B 错误，
对于C，由不等式的性质，可得
0
b
a
，
0
b
a
，则(
)(
)
0
b
a b
a
，故选项C 错误，
对于D，1
0
a
，1
0
b
，则1
1
a
b
，故选项D 正确.故选：D
19.已知两点
3,0
A
，
0,4
B
，动点
,
P x y 在线段AB 上运动，则xy 的最大值为（
）
A．12
5
B．144
49
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先写出直线AB 的方程；再利用基本不等式即可求解.
【详解】由
3,0
A
，
0,4
B
可得：
4
0
4
0
3
3
AB
k
，
则直线AB 的方程为：
4
4
0
3
y
x
，即4
3
12
x
y
.
又因为动点
,
P x y 在线段AB 上运动，
所以
0,
0
x
y
，
则12
4
3
2 4
3
4 3
x
y
x
y
xy
，当且仅当4
3
x
y
，即
3
2
x
，
2
y
时等号成立，
所以
3
xy . xy 最大值为3.
故选：C.
20.已知直线1l ：
1
2
2
y
x
，直线2l 是直线1l 绕点
2,1
P
逆时针旋转45得到的直线，则直线2l 的方程是（
）
A．
3
y
x
=
+
B．
1
5
3
3
y
x
C．
3
7
y
x
D．
3
7
y
x
【答案】D
【分析】由正切的和角公式与直线方程的点斜式求解即可
【详解】设直线1l 的倾斜角为，则
1
tan
2
，
又直线2l 是直线1l 绕点
2,1
P
逆时针旋转45得到的直线，
所以直线2l 的倾斜角为
45
，
故直线2l 的斜率为
1
1
tan
tan 45
2
tan
45
3
1
1
tan
tan 45
1
1
2
，
故直线2l 的方程是
1
3
2
y
x
，即
3
7
y
x
，
故选：D．
21.（多选）若直线1
2
3
:
5
2,
:
0.2
1,
:
5
1
l
y
x
l
y
x
l
y
x
，则（
）
A．1l
2l
B．1
2
l
l
C．1
3
l
l
D．1l
3l
【答案】BD
【解析】设1
2
3
, ,
l l l 的斜率分别为
1
2
3
,
,
k k k ，
结合题意易得：
1
2
3
5,
0.2,
5
k
k
k
，
因为
1
2
5
0.2
1,
k k
，所以1
2,
l
l
因为
1
3
5,
k
k
且2
1
，所以1l
3l .
故选：BD.
22.（多选）已知直线l：
3
1
y
x
，则（
）
A．直线l 过点
3, 2
B．直线l 的斜率为
3
C．直线l 的倾斜角为60
D．直线l 在y 轴上的截距为1
【答案】BC
【分析】根据直线方程逐项判断.
【详解】对于A，将
3, 2
代入
3
1
y
x
，可知不满足方程，故A 不正确；
对于B，由
3
1
y
x
，知直线l 的斜率为3 ，故B 正确；
对于C，设直线l 的倾斜角为α，则tan
3
，可得
60
，故C 正确；
对于D，由
3
1
y
x
，令
0
x
，可得直线l 在y 轴上的截距为－1，故D 不正确．
故选：BC
23.（多选）直线l 经过点
1,2
A
，在x 轴上的截距的取值范围是
3,3
，则其斜率的可能的值是（
）
A．
B．1
C．
5
1
2
D．e
【答案】ACD
【分析】设直线l 的方程，求出在x 轴上的截距，根据截距范围列不等式求解即可.
【详解】设直线l 的方程为
1
2
y
k x
，
0
k
令
0
y
，
2
1
x
k
，
得
2
3
1
3
k
，解得
1
k 或
1
2
k
，
观察可得ACD 符合.
故选：ACD.
24.（多选）直线l 过点
2,1
A
，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 在y 轴上的截距可能是（
）
A．1
B．1
C．3
D．0
【答案】ACD
【解析】当直线过原点时，设直线方程为y
kx
，则1
2k
，解得
1
2
k
，此时在y 轴上的截距为0 ；
当直线不过原点且截距相同，设直线方程为
1
x
y
a
a
，则2
1
1
a
a
，解得
3
a ，
此时在y 轴上的截距为3 ；
当直线不过原点且截距相反，设直线方程为
1
x
y
a
a
，则2
1
1
a
a
，解得
1
a ，
此时在y 轴上的截距为1
；
综上所述：截距可能为0, 1,3
.故选：ACD
25.（多选）已知直线l：
8
y
x
，则下列结论正确的是（）
A．点
2,6 在直线l 上
B．直线l 的一个方向向量为
1,1
u
C．直线l 在y 轴上的截距为8
D．直线l 的倾斜角为π
4
【答案】BD
【解析】对于A 选项，把
2
x
代入到
8
y
x
得y 6 ，所以点
2,6 不在直线l 上，A 错误；
对于B 选项，因为直线l：
8
y
x
，即为：
8
0
x
y
，直线的斜率为1，
所以
1,1
u
为直线的一个方向向量，B 正确；
对于C 选项，当
0
x
时，
8
y ，所以直线l 在y 轴上的截距为8
，C 错误；
对于D 选项，因为直线的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π
4 ，D 正确.
故选：BD
26.已知直线l 的斜率为1
，且过点(2, 5)
，则直线l 在y 轴上的截距是
.
【答案】3
【解析】由点斜式方程得
5
2
y
x
，转化为斜截式方程可得
3
y
x
，
所以该直线在y 轴上的截距为3
.故答案为：3
.
27.已知直线1l 的倾斜角比直线2l ：
3
4
y
x
的倾斜角小20，则直线1l 的倾斜角为
.
【答案】100
【解析】由题意得直线2l ：
3
4
y
x
的斜率为
3
，
直线的倾斜角范围为大于等于0小于180，故2l 的倾斜角为120，
所以直线1l 的倾斜角为100，
故答案为：100
28.已知直线l 经过点
1,1 ，且
4, 1
A
，
2,3
B
两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为
.
【答案】
1
y 或
2
1
y
x
【分析】根据直线l 与直线AB 平行，过直线l 过线段AB 的中点进行分类讨论，从而求得l 的方程.
【详解】直线AB 的斜率为
1 3
2
4
2
，
所以过
1,1 且平行于直线AB 的直线l 方程为
1
2
1 ,
2
1
y
x
y
x
.
线段AB 的中点坐标为
3,1
，
所以过
1,1 与线段AB 中点
3,1
的直线l 的方程为
1
y .
所以直线
1
y 或
2
1
y
x
符合题意.
故答案为：
1
y 或
2
1
y
x
29.直线l 过点
0,1
P
，且斜率是倾斜角为π
6 的直线斜率的二倍，则直线l 的方程为
【答案】2 3
3
3
0
x
y
【解析】倾斜角为π
6 的直线的斜率
1
π
3
tan 6
3
k
，则直线l 的斜率
2 3
3
k
，
由点斜式方程可得
2 3
1
0
3
y
x
，整理可得：2 3
3
3
0
x
y
.
故答案为：2 3
3
3
0
x
y
.
30.某公园的示意图为如图所示的六边形ABCDEF ，其中AB
AF
，AF
BC
∥
，AB
DE
∥
，BCD
AFE
，
且
3
tan
4
BCD
，
50
CD
EF
米，
80
BC
DE
米．若计划在该公园内建一个有一条边在AB 上的矩
形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为
．
【答案】33800
3
【分析】以AF 所在直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用直线方程得出
3
|
|
80
2
PQ
a
，
120
PN
a
，再由面积公式结合二次函数的性质求解.
【详解】以AF 所在直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形PQMN ．
由题可知，直线EF 的方程为
3
30
4
y
x
，直线CD 的方程为
3
110
4
y
x
．
设
3
,
30
4
P a
a
，其中0
40
a
，则
3
,
110
4
Q a
a
，
3
120,
30
4
N
a
，
则
3
|
|
80
2
PQ
a
，
120
PN
a
，
四边形PQMN 的面积
2
3
3
100
33800
80 (120
)
(
)
2
2
3
3
S
PQ PN
a
a
a
．
当
100
3
a
时，S取得最大值33800
3
．
故答案为：33800
3
31.如图，在两条互相垂直的道路1l ，2l 的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路1l 的垂直距离为4 米，到
道路2l 的垂直距离为3 米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条
垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米．
【答案】10
【分析】建立平面直角坐标系，设出直线方程为
4
3
0
y
k x
k
，分别写出
,
A B 点坐标，进而根据
三角形面积公式结合均值不等式求解即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
根据题意设人行道所在直线方程为
4
3
0
y
k x
k
，
所以
4
3
,0
A
k
，
0,4
3
B
k
，
所以ABO
的面积
1
4
1
16
4
3
3
24
9
2
2
S
k
k
k
k
，
因为
0
k
，所以
16
16
9
2
9
24
k
k
k
k
，
当且仅当
16
9k
k
，即
4
3
k
时取等号，
此时
6,0
A
，
0,8
B
，
所以人行道的长度为
2
2
6
8
10
米.
32.已知直线l 的方程是
3
1
y
x
.
(1)求直线l 的斜率和倾斜角；
(2)求过点( 3, 1)
且与直线l 平行的直线的方程.
【答案】(1)斜率为
3 ，倾斜角是60°
(2)
3
4
y
x
【分析】（1）由直线方程直接求出斜率，进而得到倾斜角；
（2）利用点斜式方程求出直线方程.
【详解】（1）已知直线l：
3
1
y
x
，
所以直线l 的斜率
3
k
，倾斜角是60.
（2）过点( 3, 1)
且与直线l 平行的直线的斜率是
3 ，
所求直线方程为：
1
3
3
y
x
，即
3
4
y
x
.
33.写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3 ，在y 轴上的截距是3
；
(2)直线倾斜角是60，在y 轴上的截距是5 ；
(3)直线在x 轴上的截距为4 ，在y 轴上的截距为2
.
【答案】(1)
3
3
y
x
；(2)
3
5
y
x
；(3)
1
2
2
y
x
【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为
3
3
y
x
.
（2）因为直线斜率为
tan 60
3
k
，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：
3
5
y
x
.
（3）因为直线在x 轴上的截距为4 ，在y 轴上的截距为2
，所以直线过点
4,0 ，
0, 2
，
根据两点可求直线斜率
2
0
1
0
4
2
k
，所以直线的斜截式方程为
1
2
2
y
x
.
34. ABC
的三个顶点分别是
3 0
A , ，
2,1
B
，
2,3
C
.
(1)求BC 边的垂直平分线DE 所在直线方程；
(2)求ABC
内BC 边上中线AD 方程.
【答案】(1) 2
2
0
x
y
；(2)
2
3
6
0
3
0
x
y
x
【解析】（1）由
2,1
B
，
2,3
C
可得线段BC 的中点为
0,2 ，
1 3
1
2
2
2
BC
k
，
因为DE 是BC 边的垂直平分线，所以
2
DE
k
，
则DE 所在直线方程：
2
2
y
x
即2
2
0
x
y
（2）由（1）可得线段BC的中点为
0,2 ，
故BC 边上中线AD 方程为
1
3
2
x
y
即2
3
6
0
x
y
，
所以ABC
内BC 边上中线AD 方程：
2
3
6
0
3
0
x
y
x
35.设直线l 的方程是
0
ax by
c
+
+
=
，在下列条件下，分别求实数a 、b 、c 的取值范围.
(1)l 与x 轴、y 轴均相交；
(2)l 与x 轴相交，与y 轴不相交.
【解析】（1）当
0
ab
时，
a
c
y
x
b
b
，斜率为
a
b
存在，且
0
a
b
，
这时直线
0
ax by
c
+
+
=
与两坐标轴都相交.
（2）令
0
y
，则
0
ax
c
+
=
，
此时，当
0
a
，
0
b
，
0
c 时，直线
0
ax by
c
+
+
=
只与x 轴相交，与y 轴不相交.
36.在平面直角坐标系xOy 中，直线1 :
1
0
l
ax
by
，2 :(
2)
0
l
a
x
y
a
.
（1）求直线2l 经过定点的坐标；
（2）当
4
b
且1
2
l
l
// 时，求实数a 的值.
【解析】（1）∵
2
0
a
x
y
a
，
∴
2
0
ax
x
y
a
，
∴
1
2
0
a x
y
x
令
1
0
x
且
2
0
y
x
，则
1
x ，
2
y ，
∴对任意a
R
，直线
2 :
2
0
l
a
x
y
a
过定点
1, 2
（2）当
4
b
时，直线1 :
4
1
0
l
ax
y
，即
1
4
4
a
y
x
又知直线
2 :
2
0
l
a
x
y
a
，即
2
y
a x
a
，1
2
/ /
l
l ，
∴
2
4
a
a
且
1
4
a
，
∴
8
3
a
.
37.讨论直线1l ：
2
0
m x
y
m
和2l ：3
6
0
x
my
m
的位置关系．
【解析】当(2
)
3
m m
，即
3
m 且
1
m 时，直线1l 、2l 相交；
当
3 2
0
m
m
，即
3
2
m
时，直线1l ，2l 垂直；
当
2
(2
)
3
(
6)
m m
m
m
，即
1
m 时，直线1l 、2l 平行；
当
2
(2
)
3
(
6)
m m
m
m
，即
3
m
时，直线1l 、2l 重合．
38.在ABC
中，边AB 所在的直线斜率为
1
3
AB
k
，其中顶点A 点坐标为
1,1
，顶点C 的坐标为(1,2) .
(1)求AB 边上的高所在的直线方程；
(2)若
,
CA CB 的中点分别为E ，F ，求直线EF 的方程.
【解析】（1）由题意知AB 边上的高过
1,2
C
，
1
3
AB
k
，
因为AB 边上的高所在的直线与AB 所在的直线互相垂直，
故高线的斜率为3，
所以AB 边上的高所在的直线方程为：
2
3(
1)
y
x
，即3
1
0
x
y
；
（2）由已知A 点坐标为
1,1
，
1,2
C
，故CA 的中点为
3
(0,
)
2
E
，
EF 是ABC
的一条中位线，所以EF ∥AB ，
而
1
3
AB
k
，所以直线EF 的斜率为
1
3
，
所以直线EF 的方程为：
3
1 (
0)
2
3
y
x
化简可得：2
6
9
0
x
y
.
39.已知直线l 过点( 1, 3)
且与直线
3
1
0
x
y
的夹角为6
，求直线l 的方程
【解析】直线
3
1
0
x
y
的倾斜角为3
，
因为直线l 过点( 1, 3)
且与直线
3
1
0
x
y
的夹角为6
，
所以直线l 的倾斜角为2
或6
，
所以直线l 的方程为
1
0
x
或
3
4
0
x
y
.
40.已知ABC
的顶点为
0,4
A
，
2,6
B
，
8,0
C
．
(1)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程；
(2)求AC 边所在直线的一个方向向量和一个法向量；
(3)求过AC 中点，且垂直于AC 方向向量的直线方程．
【解析】（1）依题意，线段AC 的中点
( 4,2)
D
，于是直线BD 的斜率
6
2
2
2
( 4)
k
，
所以直线BD的方程为
6
2(
2)
y
x
，即2
10
0
x
y
.
（2）依题意，直线AC 的一个方向向量
( 8, 4)
n
，显然
(1, 2)
m
满足
0
m n
，
所以AC 的一个法向量为
(1, 2)
m
.
（3）由（2）知，垂直于AC 方向向量的直线的方向向量为
(1, 2)
m
，而边AC 的中点
( 4,2)
D
，
所以过AC 中点，且垂直于AC 方向向量的直线方程为
2
2(
4)
y
x
，即2
6
0
x
y
.
41.已知直线
:
1
3
2
1
0
l
a
x
a y
a
.
(1)若直线的斜率
1,2
k
，求实数a 的取值范围；
(2)证明：对任意实数a ，直线l 都经过一个确定的点.
【解析】
（1）因为
1
3
2
1
0
a
x
a y
a
，由题知3
2
0
a
，所以
1
1
2
3
2
3
a
a
y
x
a
a
，所以
1
2
3
a
k
a
，
又因为
1,2
k
，所以
1
1
2
2
3
a
a
，
即
1
2
2
3
1
1
2
3
a
a
a
a
，即
3
5
0
2
3
3
4
0
2
3
a
a
a
a
，由3
5
0
2
3
a
a
，得到
5
3
a
或
3
2
a
，由3
4
0
2
3
a
a
，得到
3
2
a
或
4
3
a
，所
以
4
3
a
或
5
3
a
.
（2）由
1
3
2
1
0
a
x
a y
a
，变形得到(
2
1)
3
1
0
a x
y
x
y
，令
2
1
0
3
1
0
x
y
x
y
，得到
5,
2
x
y
，
当
5,
2
x
y
，
1
( 5)
3
2
( 2)
1
5
5
6
4
1
0
a
a
a
a
a
a
恒成立，
所以，不论a 取何值，
1
3
2
1
0
a
x
a y
a
恒过定点( 5, 2)
，结论成立.
42.如图直线l 过点(3，4)，与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，AOB
的面积为24.点P 为线段AB
上一动点，且
/ /
PQ
OB 交OA于点Q .
（1）求直线AB 斜率的大小；
（2）若
APQ
△
的面积
APQ
S
与四边形OQPB 的面积
OQPB
S
满足：
1
3
APQ
OQPB
S
S
△
时，请你确定P 点在AB 上
的位置，并求出线段PQ的长；
（3）在y 轴上是否存在点M ，使MPQ
为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明
理由.
【解析】1）显然直线l 斜率存在，设直线l 方程为
4
3
y
k x
，
则直线l 交x 轴的正半轴于点
4
3
,0
A
k
，交y 轴的正半轴于点
0,4
3
B
k
，
于是得
1
4
3
4
3
24
2
AOB
S
k
k
△
，解得
4
3
k
，
所以直线AB 斜率为
4
3
；
（2）由（1）知直线l 的方程为：
4
4
3
3
y
x
，即4
3
24
0
x
y
，
(0,8)
B
，
因
1
3
APQ
OQPB
S
S
△
，则
1
4
APQ
ABO
S
S
△
△
，
又
/ /
PQ
OB ，则
APQ
△
与ABO
相似，于是有
2
2
1
4
APQ
ABO
S
PQ
BO
S
，即
1
2
PQ
BO
，得
4
PQ
，此时点P 为线段
AB 中点，
所以
1
3
APQ
OQPB
S
S
△
时，点P 为线段AB 中点，且
4
PQ
；
（3）假定在y 轴上存在点M ，使MPQ
为等腰直角三角形，由(1)知直线l 的方程为：4
3
24
0
x
y
，如
图，
当
90
PQM
时，而点M 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，则M 必与原点O 重合，
设
( ,0)
Q t
，因|
| |
|
MQ
PQ
，则
( , )
P t t ，于是有4
3
24
0
t
t
，解得
24
6
7
t
，此时
(0,0)
M
，
当
90
MPQ
时，由
/ /
PQ
OB ，|
| |
|
MQ
PQ
知四边形OMPQ 为正方形，
设
1
( ,0)
Q t
，则
1
1
1
( , ),
(0, )
P t t
M
t
，于是有
1
1
4
3
24
0
t
t
，解得1
24
6
7
t
，此时
24
(0,
)
7
M
，
当
90
PMQ
时，由
/ /
PQ
OB ，|
| |
|
MQ
PQ
得
45
OQM
PQM
，即|
| |
|
OM
OQ
，
设
2
( ,0)
Q t
，则
2
(0, )
M
t
，直线l 上点
2
2
4
( ,8
)
3
P t
t
，
显然直线QM 斜率为-1，则PM 斜率必为1，即
2
2
2
4
8
3
1
0
t
t
t
，解得2
12
6
5
t
，此时
12
(0,
)
5
M
，
综上，y 轴上存在点
(0,0)
M
或
24
(0,
)
7
M
或
12
(0,
)
5
M
使MPQ
为等腰直角三角形.
定位
