文档内容
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】5J：集合．
【分析】由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公
共元素，即可求出交集．
【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}，
∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，4}．
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分） =（ ）
A．﹣1﹣ i B．﹣1+ i C．1+ i D．1﹣ i
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．
【解答】解： = = = =﹣1+ i．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力
．
第1页 | 共23页3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2
的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数
中随机的抽2个，共有C 2种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值
4
等于2的有两种，得到概率．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C 2=6种结果，
4
满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3）
，（2，4），
∴要求的概率是 = ．
故选：B．
【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件
数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果．
4．（5分）已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，则C的渐
近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=± x，代入可得
第2页 | 共23页答案．
【解答】解：由双曲线C： （a＞0，b＞0），
则离心率e= = = ，即4b2=a2，
故渐近线方程为y=± x= x，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．
5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题
中为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
【考点】2E：复合命题及其真假．
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【专题】21：阅读型；5L：简易逻辑．
【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+
x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命
题，由复合命题的真假得到答案．
【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则
￢p为真命题．
令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2
﹣1在（0，1）上存在零点，
即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．
则￢p∧q为真命题．
故选：B．
【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判
断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．
6．（5分）设首项为1，公比为 的等比数列{a }的前n项和为S ，则（ ）
n n
第3页 | 共23页A．S =2a ﹣1 B．S =3a ﹣2 C．S =4﹣3a D．S =3﹣2a
n n n n n n n n
【考点】89：等比数列的前n项和．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的
关系式．
【解答】解：由题意可得a =1× = ，
n
∴S = =3﹣ =3﹣2 =3﹣2a ，
n n
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档
题．
7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）
A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]
【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．
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【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．
第4页 | 共23页【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数
值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条
分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．
【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：
函数分为两段，即t＜1与t≥1，
又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；
不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2
故分段函数的解析式为：s= ，
如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，
则输出的s属于[﹣3，4]．
故选：A．
【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图
的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断
框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，
分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式
．
第5页 | 共23页8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4 x的焦点，P为C上一点，若|PF|
=4 ，则△POF的面积为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【考点】K8：抛物线的性质．
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【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（ ）．设P（m，n），由抛
物线的定义结合|PF|=4 ，算出m=3 ，从而得到n= ，得到△POF的
边OF上的高等于2 ，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．
【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4 x
∴2p=4 ，可得 = ，得焦点F（ ）
设P（m，n）
根据抛物线的定义，得|PF|=m+ =4 ，
即m+ =4 ，解得m=3
∵点P在抛物线C上，得n2=4 ×3 =24
∴n= =
∵|OF|=
∴△POF的面积为S= |OF|×|n|= =2
故选：C．
【点评】本题给出抛物线C：y2=4 x上与焦点F的距离为4 的点P，求△POF的
第6页 | 共23页面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等
知识，属于基础题．
9．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由函数的奇偶性可排除B，再由x∈（0，π）时，f（x）＞0，可排除A，
求导数可得f′（0）=0，可排除D，进而可得答案．
【解答】解：由题意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x），
故函数f（x）为奇函数，故可排除B，
又因为当x∈（0，π）时，1﹣cosx＞0，sinx＞0，
故f（x）＞0，可排除A，
又f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′
=sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x，
故可得f′（0）=0，可排除D，
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象，涉及函数的奇偶性和某点的导数值，属基
础题．
10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos
2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
第7页 | 共23页【考点】HR：余弦定理．
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【专题】58：解三角形．
【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由a与
c的值，利用余弦定理即可求出b的值．
【解答】解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0，即cos2A= ，A为锐角，
∴cosA= ，
又a=7，c=6，
根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即49=b2+36﹣ b，
解得：b=5或b=﹣ （舍去），
则b=5．
故选：D．
【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是
解本题的关键．
11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】16：压轴题；27：图表型．
第8页 | 共23页【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图
的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．
【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，
其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长
为4．
∴长方体的体积=4×2×2=16，
半个圆柱的体积= ×22×π×4=8π
所以这个几何体的体积是16+8π；
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系
，柱体体积计算公式，空间想象能力
12．（5分）已知函数f（x）= ，若|f（x）|≥ax，则a的取值范
围是（ ）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]
【考点】7E：其他不等式的解法．
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【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．
【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|
的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合
可得a的范围．
【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，
第9页 | 共23页由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意
，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x
2﹣2x，
求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，
故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]
故选：D．
【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题
．
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．（5分）已知两个单位向量 ， 的夹角为60°， =t +（1﹣t） ．若 • =0
，则t= 2 ．
【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由于 • =0，对式子 =t +（1﹣t） 两边与 作数量积可得
=0，经过化简即可得出．
【解答】解：∵ ， ，∴ =0，
∴tcos60°+1﹣t=0，∴1 =0，解得t=2．
故答案为2．
第10页 | 共23页【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．
14．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=2x﹣y的最大值为 3 ．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直
线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，
由 得A（3，3），
z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小，
即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，
在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基
础题．
15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂
足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 ．
第11页 | 共23页【考点】LG：球的体积和表面积．
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【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由
与球心距离为 R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的
半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定
理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为 R，
∵α截球O所得截面的面积为π，
∴d= R时，r=1，
故由R2=r2+d2得R2=12+（ R）2，∴R2=
∴球的表面积S=4πR2= ．
故答案为： ．
【点评】若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半
径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R2=r2+d2
16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ﹣
．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．
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【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．
【分析】f（x）解析式提取 ，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的
正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ= ，与sin2θ
+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．
【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx= （ sinx﹣ cosx）= sin（x﹣α）（
其中cosα= ，sinα= ），
∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，
第12页 | 共23页∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ= ，
又sin2θ+cos2θ=1，
联立得（2cosθ+ ）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣ ．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系
，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{a }的前n项和S 满足S =0，S =﹣5．
n n 3 5
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）求数列{ }的前n项和．
【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设出等差数列{a }的首项和公差，直接由S =0，S =﹣5列方程组
n 3 5
求出，然后代入等差数列的通项公式整理；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通项公式，代入数列{ }的通项中进行列项
整理，则利用裂项相消可求数列{ }的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a }的首项为a ，公差为d，则 ．
n 1
由已知可得 ，即 ，解得a =1，d=﹣1，
1
故{a }的通项公式为a =a +（n﹣1）d=1+（n﹣1）•（﹣1）=2﹣n；
n n 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．
从而数列{ }的前n项和
S =
n
第13页 | 共23页= ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是
中档题．
18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随
机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后
，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；
（Ⅱ）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．
【解答】解：（Ⅰ）设A药观测数据的平均数据的平均数为 ，设B药观测数据
的平均数据的平均数为 ，
则 = ×（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0
+3.1+2.3+2.4）=2.3．
第14页 | 共23页×（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+
1.2+2.7+0.5）=1.6．
由以上计算结果可知： ．由此可看出A药的效果更好．
（Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有 的叶集中在2，3上．而B药疗
效的试验结果由 的叶集中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好．
【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，CA=CB，AB=AA ，∠BAA =60°
1 1 1 1 1
（Ⅰ）证明：AB⊥A C；
1
（Ⅱ）若AB=CB=2，A C= ，求三棱柱ABC﹣A B C 的体积．
1 1 1 1
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA ，可
1
通过证明AB⊥平面OA C得要证的结论；
1
（Ⅱ）在三角形OCA 中，由勾股定理得到OA ⊥OC，再根据OA ⊥AB，得到OA 为
1 1 1 1
三棱柱ABC﹣A B C 的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公
1 1 1
第15页 | 共23页式求体积．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，
取AB的中点O，连结OC，OA ，A B．
1 1
因为CA=CB，所以OC⊥AB．
由于AB=AA ， ，故△AA B为等边三角形，
1 1
所以OA ⊥AB．
1
因为OC∩OA =O，所以AB⊥平面OA C．
1 1
又A C⊂平面OA C，故AB⊥A C；
1 1 1
（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA B都是边长为2的等边三角形，
1
所以 ．
又 ，则 ，故OA ⊥OC．
1
因为OC∩AB=O，所以OA ⊥平面ABC，OA 为三棱柱ABC﹣A B C 的高．
1 1 1 1 1
又△ABC的面积 ，故三棱柱ABC﹣A B C 的体积
1 1 1
．
【点评】题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间
想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（
0））处切线方程为y=4x+4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方
第16页 | 共23页程．
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【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0
））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，
∴f′（x）=ex（ax+a+b）﹣2x﹣4，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4
∴f（0）=4，f′（0）=4
∴b=4，a+b=8
∴a=4，b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4ex（x+2）﹣2x﹣4=4
（x+2）（ex﹣ ），
令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2
∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x
）＜0
∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，
﹣ln2）
当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计
算能力，确定函数的解析式是关键．
21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外
切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半
径最长时，求|AB|．
第17页 | 共23页【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|
PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹
是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R
≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）
2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角
不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根
据 ，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联
立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．
【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x
﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．
设动圆的半径为R，
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，
而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的
椭圆，
∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．
∴曲线C的方程为 （x≠﹣2）．
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），
由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=
2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．
①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|= ．
②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，
设l与x轴的交点为Q，则 ，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4）
，
由l于M相切可得： ，解得 ．
第18页 | 共23页当 时，联立 ，得到7x2+8x﹣8=0．
∴ ， ．
∴|AB|= = =
由于对称性可知：当 时，也有|AB|= ．
综上可知：|AB|= 或 ．
【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及
其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公
式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如
果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选
题号后的方框涂黑。
22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点
E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC= ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
【考点】NC：与圆有关的比例线段．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平
分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知D
第19页 | 共23页E为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB
．
（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG= ．设DE的中点为O
，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而
得到Rt△BCF的外接圆的半径= ．
【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．
由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．
∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．
（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．
故DG是BC的垂直平分线，∴BG= ．
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF的外接圆的半径= ．
【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形
全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解
决问题的能力．
23．已知曲线C 的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x
1
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．
2
（1）把C 的参数方程化为极坐标方程；
1
（2）求C 与C 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
1 2
第20页 | 共23页【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）曲线C 的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由
1
，能求出C 的极坐标方程．
1
（2）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，与C 的普通方程联立，求出C 与
2 1 1
C 交点的直角坐标，由此能求出C 与C 交点的极坐标．
2 1 2
【解答】解：（1）将 ，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣
5）2=25，
即C ：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，
1
将 代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，
得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．
∴C 的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．
1
（2）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．
2
∴曲线C 的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，
2
联立 ，
解得 或 ，
∴C 与C 交点的极坐标为（ ）和（2， ）．
1 2
【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，
考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论
证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题
．
24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣ ， ]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
第21页 | 共23页【考点】R5：绝对值不等式的解法．
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【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x
﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结
论．
（Ⅱ）不等式化即
1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣ ， ]都成立，分析可得﹣ ≥a﹣2，由此解得a
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|
﹣x﹣3＜0．
设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y= ，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣ ， ]时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，
故 x≥a﹣2对x∈[﹣ ， ]都成立．
故﹣ ≥a﹣2，
解得 a≤ ，
故a的取值范围为（﹣1， ]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零
点分段讨论法分析函数的解析式．
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