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专题 05 概率初步（3 知识&8 题型&3 易错&5 方法清单）【清单01】 事件类型
必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1
【清单02】概率的定义及公式
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概
率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的计算公式：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，
事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越
接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．
3.求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举
出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们
可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为
不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便
了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【清单03】频率与概率
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么，这个常
数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
【题型一】事件的分类
【典例1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中十环 B．抛掷一枚硬币，反面朝上
C．向空中抛出的排球会落地 D．太阳西升东落
【变式1】（24-25九年级上·安徽六安·期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开手机就有未接电话
B．学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖
C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人
【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．任画一个三角形，其内角和是360°
B．在单词mathematics中任选一个字母，字母为“b”
C．某射击运动员射击一次，命中靶心
D．在通常情况下，加热到100°C时，水沸腾
【变式3】（24-25九年级上·四川泸州·期末）下列事件为必然事件的是（ ）
A．同位角相等
B．三角形的内角和为180°
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
【题型二】可能性的大小
【典例2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）某事件A发生的概率为0.99．关于事件A描述正确的是（
）
A．该事件是确定事件
B．该事件发生的可能性很小
C．该事件发生与不发生的可能性一样大
D．该事件发生的可能性很大，但不一定发生
【变式1】（2024八年级下·江苏·专题练习）抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面的情况如下，则
下列选项中的说法正确的是（ ）
①全是正面；②一正一反；③全是反面．
A．事件①发生的可能性最大 B．事件②发生的可能性最大
C．事件③发生的可能性最大 D．事件①②③发生的可能性相等
【变式2】（2025·湖北·二模）下列成语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．水涨船高 B．瓜熟蒂落 C．守株待兔 D．旭日东升
【变式3】（2025七年级上·广东·专题练习）一个盒子里装有3个红球、4个黄球、5个白球和6个黑球，
1
这些球形状与大小完全相同．从盒子中任意摸一个球，摸到（ ）球的可能性是 ．
3
A．红 B．黄 C．白 D．黑
【题型三】概率的意义
【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）若气象部门预报，明天下雨的概率是10％，下列说法正确的是（ ）
A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨
C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小
【变式1】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花一定会有95株成活
B．天气预报“明天降水概率是20%”是指明天有20%的时间会下雨
C．某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖
D．连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”
【变式2】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）掷一枚质地均匀的硬币 5 次，其中 2 次正面朝上，3
次反面朝上，现再掷一次，这一次正面朝上的概率是（ ）
1 2 2
A．1 B． C． D．
2 5 3
【题型四】根据概率公式计算
【典例4】（24-25九年级上·四川成都·期中）“水中捞月”这个事件发生的概率是（ ）
1 1
A．1 B．0 C． D．
2 100000
1
【变式1】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）从 ，3.14，❑√5，0四个数中随机抽取一个数，这个数是无
7
理数的概率是（ ）
3 1 1
A． B． C． D．无法确定
4 2 4
【变式2】（25-26九年级上·浙江·期中）从甲、乙、丙、丁四人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选
中的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 3 2
【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个
红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
2 5 2 1
A． B． C． D．
7 7 5 3
【变式4】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任
意闭合其中一个开关，小灯泡不发光的概率为（ ）1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
【题型五】几何概率
【典例5】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个
同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
年级上·广东深圳·期中）如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字
为偶数的概率为（ ）
1 5 3 1
A． B． C． D．
4 6 4 2
【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和
240°，让转盘自由转动1次，则指针落在白色区域的概率为（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 3 3 4
【变式3】（2025·贵州遵义·一模）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是（ ）.
1 4 5 2
A． B． C． D．
3 9 9 3
【题型六】列表法和树状图法求概率
【典例6】（25-26九年级上·山西晋中·期中）为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了
“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕
拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
【变式1】（25-26九年级上·江西九江·期中）小张与小李相约去江西省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙
两个入口，A，B，C三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 6 8 12
【变式2】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，有三张卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡
片背面朝上洗均匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，放回后再从中随机抽取一张，以其
正面的数字作为b的值，则点(a,b)在第三象限的概率是（ ）．
4 1 1 2
A． B． C． D．
9 3 2 3
【变式3】（2025·吉林·一模）为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会
上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打
虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放
回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．
(1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是 ；
(2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事(A,B)的概率．
【题型七】游戏的公平性
【典例7】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装
有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一
个球．
(1)若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________；
(2)若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方
公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由．
【变式1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）某校计划在运动会期间，组织一次拔河比赛，裁判员让甲、
乙两队长通过“石头、剪刀、布”的方式选择场地．游戏规则如下：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石
头，获胜一方可优先选择场地．若两人出相同的手势，则平局．请用列表或画树状图的方法，列出甲、
乙两队长的手势可能出现的情况，并判断裁判员这种做法是否合理．【变式2】（24-25九年级上·山东威海·期末）绝大多数的彩色都可以利用红、绿、蓝三种颜色按不同比例
混合而成，这叫做三原色原理．如：红色与蓝色重叠现紫色，红色与绿色重叠现黄色…小刚和小亮利
用如图所示的两个转盘作游戏，转动两个转盘各一次，若配成紫色小刚赢，若配成黄色小亮赢．请利
用画树状图或者列表的方法说明这个游戏是否公平．
【变式3】（24-25九年级上·广东揭阳·期末）小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将
“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小
都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若
他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两
张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．
(1)小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______；
(2)这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．【题型八】频率估计概率
【典例8】（25-26九年级上·福建三明·期中）数学课上郑老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的
口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次
100 150 200 500 800 1000
数n
摸到黑球 23 31 60 130 203 251
的次数m
摸到黑球 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251
m
的频率
n
(1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ，估计袋中白球的个数为 个；
(2)在（1）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白
球的概率．
【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据
回答问题：
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
投中的次数 61 93 165 246 753 996 1503
投中的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.502 0.498 0.501
根据表中的数据，估计这位同学投篮一次，投中的概率为 ．（保留一位小数）
【变式2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，
在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发
现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计约有 条鱼．
【变式3】（25-26九年级上·北京·期中）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某
一事件发生的频率，该事件可能是（ ）A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2
C．从只装有2张黑桃和1张红桃(除花色外都相同)的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃
D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上
【题型01：列表法和树状图法求概率】
1．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图
中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ）
如
2 3 4 5
A． B． C． D．
7 7 7 7
2．（25-26九年级上·内蒙古·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，能让灯
1 2 3
泡L 发光的概率是 ．
2
3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）中国古代的“五经”是指《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，若从这5部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），
则抽取的两本恰好是《诗经》和《尚书》的概率是 ．
4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图是两个M型电子元件的组合，每个M型电子元件都有通电和断
开两种状态，且这两种状态发生的可能性相等．在一定时间段内，A，B之间的电流能够正常通过的概
率为 ．
【题型02：频率估计概率】
1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知不透明的袋中装有4个白球和若干黑球，这些球除颜色不同外
其他都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并摇匀，经过大量重复试验后发现摸出
黑球的频率稳定在0.6，则估计袋中黑球的个数为（ ）
A．4个 B．6个 C．10个 D．8个
2．（23-24九年级上·天津和平·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频
率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率
B．任意写一个整数，它能被2整除的概率
C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率
D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中
随机取出1个球，则它是绿球的概率题型 1：事件类型判断
根据定义判断事件是必然、不可能还是随机事件，注意结合实际情境。
题型 2：一步试验概率计算（直接列举）
列全结果→数 n→数 m→算 P (A)=m/n。
题型 3：两步试验概率计算（列表法）
定行 / 列因素→列表→数 n→数 m→算 P (A)=m/n。
题型 4：三步及以上试验概率计算（树状图）
分层画树状图→数 n→数 m→算 P (A)=m/n。
题型 5：用频率估计概率
算频率→用频率估计概率→解决实际问题（如估计总数、预测次数）。
