专题02二次函数（期末知识清单）（教师版）_人教版数学九年级上册_版本二_九年级数学上册（人教版）_期末专项复习-U276_期末总复习_2026版

专题 02 二次函数（9 知识&23 题型&6 易错&6 方法清单）【清单01】 二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【清单02】二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x）（x–x），其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2 1 2
【清单03】二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，
图象特征
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
图
象 y
y y
y y h<0,k>0
x x x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=-
2a
b 4ac-b2
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (- ， )
2a 4a
a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
最
值
a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.4ac-b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
减
性 a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
【清单04】二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2）二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
【清单05】二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对
x +x
称轴可表示为直线x= 1 2 .
2
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=- 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=- 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图
象于x轴对称.
【清单06】二次函数的最值问题
自变量取值范围 图象 最大值 最小值
b
y 当x= - 时，二次函数
2a
x 4ac-b2
a>0 取得最小值
O 4a
全体实数
b
y 当x= - 时，二次函数
2a
4ac-b2
a<0 取得最大值
x 4a
O
当x=x2时，二次函数取 b
y 当x= - 时，二次函数
得最大值y2 2a
y
2
4ac-b2
x 取得最小值
4a
x O x
1 2y
当x=x1时，二次函数取
当x= -
b
时，二次函数
得最大值y1 2a
y
1 4ac-b2
x 取得最小值
x x 4a
1 2
x1≤x≤x2 a>0
y
2
当x=x2时，二次函数取 当x=x1时，二次函数取
y
得最大值y2 得最小值y1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
【清单07】二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程
的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程
根的情况.
与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac
2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0
1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0
0个交点 没有实数根 b2-4ac<0
【清单08】二次函数与不等式的关系:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象 y y y
x
x O x
1 2 x x
O x (x ) O
1 2
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点ax2＋bx＋c>0 x<x1或x>x2 b 取任意实数
-
x≠
2a
的解集情况
ax2＋bx＋c<0 x1<x<x2 无解 无解
的解集情况
【清单09】用二次函数解决实际问题的一般步骤
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当
的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果
顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值
解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点
的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后
利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合
直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条
件进行计算．
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设
出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条
件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不
存在．【题型一】二次函数的定义
【典例1】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）下列函数一定是二次函数的是（ ）
1 2
A．y=x+ B．y=3(x-1) 2 C．y=ax2+bx+c D．y=
3 x
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的识别．解题的关键是掌握：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0
）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常
数项．据此解答即可．
【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意；
B．该函数是二次函数，故此选项符合题意；
C．若a=0，则该函数不是二次函数，故此选项不符合题意；
D．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）函数 y=2x²-3x+1的一次项系数是（ ）
A．2 B．-3 C．3 D．1
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，把形如
y=ax2+bx+c(a≠0)，（a，b，c均为常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b称为一
次项系数，c为常数项，即可．
【详解】解：函数y=2x2-3x+1的一次项系数为：-3．
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于x的函数y=(m+2)xm2-2+x-3是二次函数，则m的值
为（ ）
A．0 B．2 C．-2或2 D．-2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2-2=2，求出即可．
【详解】解：∵关于x的函数y=(m+2)xm2-2+x-3是二次函数，∴m+2≠0且m2-2=2，
解得：m=2，
故选：B．
【变式3】（24-25九年级上·山东东营·期末）如果y=(k-3)x|k-1|+x-3是二次函数，则k的值为 ．
【答案】-1
【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如
y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数
为2，二次项系数不能为0，可知|k-1|=2，k-3≠0，由此可解．
【详解】解：∵函数y=(k-3)x|k-1|+x-3是二次函数，
∴ |k-1|=2，k-3≠0，
解|k-1|=2得：k=3或k=-1，
解k-3≠0得：k≠3，
∴ k=-1，
故答案为：-1．
【题型二】特殊二次函数的图像和性质
1
【典例2】（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线y=- (x-3) 2+1，下列说法错误的是（ ）
3
A．对称轴是直线x=3 B．顶点坐标是(3,1)
C．当x>3时，y随x的增大而减小 D．当x=3时，y的最小值为1
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握函数的性质．
根据二次函数的性质判断即可．
1 1
【详解】解：y=- (x-3) 2+1，- <0，
3 3
1
A：抛物线y=- (x-3) 2+1，对称轴为直线x=3，故该选项不符合题意；
3
1
B：抛物线y=- (x-3) 2+1，顶点坐标为(3,1)，故该选项不符合题意；
3
C：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=3，当x>3时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
D：顶点坐标为(3,1)，函数有最大值，最大值为1，故该选项符合题意．故选：D．
【变式1】（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）抛物线的y=(x-2) 2+1顶点坐标是（ ）
A．(-1,2) B．(2,1) C．(-2,1) D．(-2,-1)
【答案】B
【分析】本题考查根据顶点式写顶点坐标．根据题意利用二次函数顶点式可以直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵y=(x-2) 2+1，
∴顶点坐标为：(2,1)，
故选：B．
(5 )
【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）抛物线y=2(x-1) 2+c过(-2,y ),(0,y ), ,y 三点，
1 2 2 3
则y ,y ,y 大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 3 2 1 2 3 2 1 3 2 3 1
【答案】A
【分析】本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小．
利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可．
【详解】解：抛物线y=2(x-1) 2+c的顶点为(1,c)，开口向上，
∴点离对称轴x=1越远，纵坐标越大．
计算各点横坐标到对称轴的距离：
x=-2时，距离为|-2-1|=3，
x=0时，距离为|0-1|=1，
5 |5 |
x= 时，距离为 -1 =1.5，
2 2
距离由大到小为3>1.5>1，
∴对应纵坐标y >y >y ．
1 3 2
故选A．
【变式3】（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数y=3x2-2，当-1≤x≤4时，y的最小值为
．
【答案】-2
【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可．【详解】解：∵y=3x2-2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，
∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵-1≤x≤4，
∴当x=0时，y有最小值为-2；
故答案为：-2
【题型三】与特殊二次函数有关的几何知识
【典例3】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3,2)，点B的坐
标是(-1,2)，连接AB，若抛物线y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是（ ）
2 2 2 2
A． <a<2 B． ≤a≤2 C． <a≤2 D． ≤a<2
9 9 9 9
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点A(3,2)，B(-1,2)
代入求出a的值，再结合函数图象求解即可得．
2
【详解】解：将点A(3,2)代入抛物线y=ax2(a≠0)得：9a=2，解得a= ，
9
将点B(-1,2)代入抛物线y=ax2(a≠0)得：a=2，
如图，若抛物线y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，2
则a的取值范围是 ≤a<2，
9
故选：D．
【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限的图
象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，点C的横坐标为-1，则点A的横坐标为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．2
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质解
题的关键，根据题意求出点B坐标，从而得到OB的长，根据正方形的性质得到AC长, 过点C作
CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E,可证△CDO≌△OEA(AAS),得到CD=OE,在直角
△CDO中,利用勾股定理解得CD的长,进而得到OE的长,即可得到答案．
【详解】解：由题可得：设B(x,2x)
∵点B在抛物线y=x2的第一象限的图象上，
∴x2=2x
解得：x =2或x =0（舍去），
1 2
∴B(2,4)，
∴OB=❑√22+42=2❑√5,
∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC=❑√10,
过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E,∵∠COD+∠DCO=90°,∠COD+∠AOE=90°,
∴∠AOE=∠DCO,
∵OC=AO,∠CDO=∠OEA=90°,
∴△CDO≌△OEA,
∴CD=OE,
∵点C的横坐标为-1，
∴OD=1
∴在Rt△CDO中，CD=❑√OC2-OD2=❑√(❑√10) 2-12=3,
∴OE=3,
点A的横坐标为3,
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线y =a(x-h) 2和
1
y =b(x-13) 2 （a<b）相交于点A，B，C，D．若AB=8，BC=3，CD=6，则h的值为 ．
2
【答案】6
【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交AD于M、N，令直线AD交y轴
1 11 1 9
于E，由题意可得EN=13，CM= (AB+BC)= ，BN= (BC+CD)= ，由
2 2 2 2
EM+CM+BN-BC=EN求出EM=6，即可得解．
【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交AD于M、N，令直线AD交y轴于E，∵平行于x轴的直线与两条抛物线y =a(x-h) 2和y =b(x-13) 2（a<b）相交于点A，B，C，D．
1 2
∴抛物线y =b(x-13) 2 的对称轴为直线x=13，即EN=13，
2
∵AB=8，BC=3，CD=6，
1 11 1 9
∴CM= (AB+BC)= ，BN= (BC+CD)= ，
2 2 2 2
∵EM+CM+BN-BC=EN，
11 9
∴EM+ + -3=13，
2 2
∴EM=6，
∴抛物线y =a(x-h) 2 的对称轴为直线x=6，即h=6，
1
故答案为：6．
【变式3】（2024·江苏扬州·二模）如图，已知A(0,3)，B(-4,3)，C(2,0)，抛物线y=a(x-h) 2+k过点
C，顶点M位于第二象限且在线段AB的垂直平分线上，若该抛物线与线段AB没有公共点，则k的取值
范围是 ．
【答案】0<k<3或k>4
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质．
由点A、B的坐标结合抛物线y=a(x-h) 2+k的顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上，即
可得出h值以及k>0，分点M在线段AB下方及点M在线段AB上方两种情况考虑抛物线与线段AB无公共点，当点M在线段AB下方时，根据点M的坐标即可得出0<k<3；当点M在线段AB上方时，由抛
物线过点C及当x=0时y值大于3，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k>4，进而得解．
【详解】解：∵抛物线y=a(x-h) 2+k的顶点M位于第二象限且在线段AB的垂直平分线上，且点
A(0,3)，B(-4,3)，
∴h=-2，k>0．
抛物线与线段AB无公共点分两种情况：
①当点M在线段AB下方时，
∵点M的坐标为(-2,k)，
∴0<k<3．
②当点M在线段AB上方时，
有¿，
解得：k>4．
综上所述：k的取值范围为0<k<3或k>4．
故答案为：0<k<3或k>4．
【题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质
【典例4】（24-25九年级下·湖北黄冈·开学考试）二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）部分x，
y的对应值如表：
x … 0 1 3 4 …
y … 1 -1 1 5 …
则下列判断中正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．当x>2时，y随x的增大而增大
C．当y>1时，x>3 D．y最小值为-1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质并结合表格的数据逐项分析即可得解，熟
练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
0+3 3 3
【详解】解：由表格可得，该二次函数图象的对称轴为直线x= = ，当x< 时，y随着x的增大
2 2 2
3
而减小，当x> 时，y随着x的增大而增大，故函数图象的开口向上，A错误；
2当x>2时，y随x的增大而增大，B正确；
当y>1时，x>3或x<0，C错误；
3
当x= 时，取得最小值，这个最小值小于-1，D错误；
2
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）对于二次函数y=2x2+8x-3，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向上
B．对称轴是直线x=-2
C．当0<x≤2时，y的最大值为21
D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为(1,-12)
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，二次函数图象的平移问题，
把二次函数解析式化为顶点式得到对称轴和顶点坐标，再根据二次项系数可得开口方向，进而得到增
减性，再求出当x=2时的函数值，接着根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出平移后的抛物线
顶点坐标即可得到答案。
【详解】解：∵抛物线解析式为y=2x2+8x-3=2(x+2) 2-11，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2，故A、B说法正确，不符合题意；
∴当x>-2时，y随x增大而增大，
当x=2时，y=2×22+8×2-3=21，
∴当0<x≤2时，y的最大值为21，故C说法正确，不符合题意；
∵原抛物线顶点坐标为(-2,-11)，
∴将原抛物线的图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为
(-2+3,-11+1)，即(1,-10)，故D说法错误，符合题意；
故选：D。
【变式2】（24-25九年级上·广西钦州·期中）若(-4,y ),(-3,y ),(2,y )在函数y=x2+4x-5的图象上，
1 2 3
则y ,y ,y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，通过代入各点横坐标计算对应的函数值，比较大小即可．
【详解】解：将各点的横坐标代入二次函数y=x2+4x-5中：当x=-4时，y =(-4) 2+4×(-4)-5=16-16-5=-5；
1
当x=-3时，y =(-3) 2+4×(-3)-5=9-12-5=-8；
2
当x=2时，y =22+4×2-5=4+8-5=7．
3
比较得：y =-8<y =-5<y =7，
2 1 3
故选：D．
【变式3】（24-25九年级上·广西崇左·期末）把二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h) 2+k的形式，下列
正确的是（ ）
A．y=(x-1) 2+2 B．y=(x-1) 2+3
C．y=(x-2) 2+2 D．y=(x+1) 2+3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数解析式的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．
根据配方法，把二次函数的解析式转化成顶点式即可求解．
【详解】解：y=x2-2x+4
y=x2-2x+1-1+4
y=(x-1) 2+3，
故选：B．
【题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题
【典例5】（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数y=-x2+2ax-a2+2（a为常数，且a≠0），当
-3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（ ）
A．－6 B．4 C．-6或0 D．0或-2
【答案】D
【分析】根据题意可知二次函数y=-x2+2ax-a2+2=-(x-a) 2+2，故该函数的对称轴为直线 x=a,
函数的最大值为2，然后根据对称轴x=a所在的位置进行分类讨论计算即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当-3≤x≤1时，函数的最值会发生变化，从而结合方程
解决问题是关键．【详解】解：二次函数y=-x2+2ax-a2+2=-(x-a) 2+2,
∴该函数的对称轴为直线x=a， 函数的最大值为2，
当a>1时，
x=1时， 函数有最大值y=-(1-a) 2+2，
x=-3时，函数有最小值y=-(-3-a) 2+2，
∵当-3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，
∴-(1-a) 2+2-[-(-3-a) 2+2]=9，
1
解得：a= (舍去)，
8
当 a<-3时，
x=-3时，函数有最大值y=-(-3-a) 2+2，
x=1时，函数有最小值y=-(1-a) 2+2，
∵当 -3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，
∴-(-3-a) 2+2-[-(1-a) 2+2]=9，
17
解得：a=- (舍去) ，
8
当-3≤a≤1时，x=-3时，函数有最小值y=-(-3-a) 2+2，函数有最大值y=2，
∴2-[-(-3-a) 2+2]=9，
解得：a=0或-6(舍去)，
当-3≤a≤1时，x=1时，函数有最小值y=-(1-a) 2+2，函数有最大值y=2，
∴2-[-(1-a) 2+2]=9，
解得a=-2或4(舍去)，
∴a=0或-2，
故选：D．【变式1】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1)，当x=-1时，函数取得最
大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0<t≤2 B．0<t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性
质是解题的关键．
由y=x2-2x=(x-1) 2-1，可知图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-1)，当x=-1
时，y=3，即(-1，3)关于对称轴对称的点坐标为(3，3)，由当x=-1时，函数取得最大值；当x=1
时，函数取得最小值，可得1≤t-1≤3，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵y=x2-2x=(x-1) 2-1，
∴图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-1)，
当x=-1时，y=3，
∴(-1，3)关于对称轴对称的点坐标为(3，3)，
∵当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，
∴1≤t-1≤3，
解得，2≤t≤4，
故选：C．
【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，y>0的解集为1<x<5，
且当-1≤x≤4时，函数最大值与最小值的差为2，则a的值为 ．
1
【答案】- /-0.125
8
【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，灵活利用二次函数的性质是解答
本题的关键．
根据题意可以根据a的正负得到关于a的方程，从而可以求得a的值即可．
【详解】
解：∵y=ax2+bx+c(a≠0)，y>0的解集为1<x<5，
∴a<0，方程ax2+bx+c=0的解集为x =1，x =5，
1 2b 1+5
∴该函数的对称轴是直线x=- = =3，即b=-6a，
2a 2
∵a<0，
∴当x=3时，有最大值y=ax2-6ax+c=9a-18a+c，
∵3-(-1)=4>1=4-1，
∴当x=-1时，有最小值y=a+6a+c=a+6a+c，
∵函数最大值与最小值的差为2，
1
∴9a-18a+c-(a+6a+c)=2，解得：a=- ．
8
1
故答案为：- ．
8
【变式3】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当m≤x≤m+1，函数y=x2-2x-1的最小值为2，则m的值
为 ．
【答案】3或-2
【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的
关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，y=x2-2x-1在x=1时取得最小值-2，再结合
二次函数最值情况进行求解，即可解题．
【详解】解：y=x2-2x-1=x2-2x+1-2=(x-1) 2-2，
∵1>0，
∴二次函数开口向上，y=x2-2x-1在x=1时取得最小值-2，
∵当m≤x≤m+1，函数y=x2-2x-1的最小值为2，
∴当m>1时，(m-1) 2-2=2，解得m=3或m=-1（不合题意，舍去），
当m+1<1时，(m+1-1) 2-2=2，解得m=-2或m=2（不合题意，舍去），
综上所述，m的值为3或-2．
【题型六】二次函数y=ax²+bx+c的图像与各项系数符号关系
【典例6】（24-25九年级上·湖北荆州·期末）如图，函数y=ax2+bx+c经过点(3,0)，对称轴为直线x=1：
①b2-4ac>0；②abc<0；③9a-3b+c=0；④5a+b+c=0；⑤若点A(a+1,y )、B(a+2,y )在
1 2
抛物线上，则y >y ；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有（ ）个
1 2A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特
征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
①根据图象与x轴有两个交点，Δ>0即可判断；
②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断；
③根据图象可得对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(3,0)，则另一个交点为(-1,0)，再根据抛物线增
减性即可判断；
④根据图象抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，可得9a+3b+c=0，对称轴为x=1，可得b=-2a，将
2b=-4a代入9a+3b+c=0，即可判断；
⑤根据图象可得a>0，即可得出1<a+1<a+2，再结合对称轴x=1，运用二次函数增减性即可判断；
⑥对称轴为x=1，a>0 ，运用二次函数增减性即可判断．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ>0，
∴b2-4ac>0，故①符合题意；
②∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b<0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0,
∴abc>0，故②不符合题意；
③∵抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0)，
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，∴当x=-3时，y>0，
∴9a-3b+c>0，故③不符合题意；
④∵抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，
∴9a+3b+c=0，
∵抛物线对称轴为x=1，
b
∴- =1，
2a
∴b=-2a，
∴5a+b+c=0，故④符合题意；
⑤∵a>0，
∴1<a+1<a+2,
∵抛物线对称轴为x=1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴y <y ,
1 2
∴y - y <0,故⑤不符合题意；
1 2
⑥抛物线对称轴为x=1，抛物线开口向上，
∴x=1时，y有最小值，
∴am2+bm≥a+b（m为任意实数），故⑥符合题意；
综上所述，①④⑥符合题意，共有3个；
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·安徽黄山·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，对称
轴是直线x=1．下列结论：①abc<0；②方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根大于2且小于3；③若
(3 )
(0,y ), ,y 是抛物线上的两点，那么y <y ；④11a+2c>0； ⑤对于任意实数m，都有
1 2 2 1 2
m(am+b)≥a+b，其中错误结论的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据抛物线
的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊
点判断④；最值判断⑤．
b
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=- =1，与y轴交于负半轴，
2a
∴a>0,b=-2a<0,c<0，
∴abc>0；故①错误；
由图可知，抛物线与x轴的一个交点的横坐标的取值范围为：-1<x<0，
∵抛物线关于直线x=1对称，
∴抛物线与x轴的一个交点的横坐标的取值范围为：2<x<3，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；故②正确；
∵a>0，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，
(3 ) |3 |
∵(0,y ), ,y 是抛物线上的两点，且|0-1|> -1 ，
1 2 2 2
∴y >y ；故③错误；
1 2
∵a>0,b=-2a
∴11a+2c=5a+2a-2b+2c=5a+2(a-b+c)，
由图像知：x=-1，y=a-b+c>0，
∴11a+2c=5a+2(a-b+c)>0；故④正确；
∵a>0，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，函数值最小为：a+b+c，
∴对于任意实数m，都有am2+bm+c≥a+b+c，
即：am2+bm≥a+b，∴m(am+b)≥a+b；故⑤正确；
综上：错误的有2个．
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·云南玉溪·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为
直线x=1，现有以下结论：，①abc>0；②b2>4ac；③b=2a；④a-b+c>0；⑤
a+b>m(am+b)(m≠1)，其中正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方
程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与坐标轴的交点位置可逐一判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
b
∴- =1，
2a
∴b=-2a>0，③错误，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，①错误．
∵x=-1时，y=a-b+c<0，④错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，即b2>4ac，故②正确；
∵x=1时y取最大值，
∴a+b+c>am2+bm+c(m≠1)，即a+b>m(am+b)(m≠1)，⑤正确．
故选：B．
【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2-4ac>0）的图象（如图所示）是由函数y=ax2+bx+c（a>0，b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上
翻折而成，则下列结论：①2a+b=0；②c=-3；③abc<0；④将图象向上平移1个单位长度后与直
线y=5有3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①② D．②③
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，
熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与x轴的两个交
点，求出对称轴，即可得到结论；②由y=|ax2+bx+c|的图象可知：与y轴的交点为(0,3)，根据翻折
特点，即可解题；③根据对称轴，判断b的符号，结合a，c的符号，即可得到abc的符号；④先求出
图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论．
【详解】解：由图知，函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2-4ac>0）的图象与x轴交于(-1,0)，(3,0)，
-1+3
∴函数对称轴为直线x= =1，
2
b
∴ - =1，
2a
则b=-2a，2a+b=0，故①正确；
∵函数图象与y轴交于(0,3)，
由翻折性质可知，c=-3，故②正确；
∵ a>0，对称轴为直线x=1，
∴b<0，
∵ c=-3，
∴ abc>0，故③错误；
由图知，y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-3)，∵函数y=|ax2+bx+c|图象与y轴交于(0,3)，
∴ y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-3)过点(0,-3)，
即a×(0+1)×(0-3)=-3，
解得a=1，
∴函数y=ax2+bx+c为y=x2-2x-3，
即y=|ax2+bx+c|=|x2-2x-3|，
当x=1时，y=|12-2-3|=4，
即y=|ax2+bx+c|的顶点坐标为(1,4)，
将图象向上平移1个单位长度后y=|ax2+bx+c|的顶点坐标为(1,5)，
∴将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点，故④正确．
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
【题型七】二次函数与一次函数的图像问题
【典例7】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）在同一平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx与直线
y=ax+b的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象，解答本题的关键是明确函数图象与a、b的关系．
根据各个选项中的函数图象可以判断函数y=ax2+bx与y=ax+b中a、b的正负，从而可以得到哪个
选项是正确的．
【详解】解：A、由一次函数图象可知，a<0，b<0，由二次函数图象可知，a>0，b>0，故A选项
不符合题意；
B、由一次函数图象可知，a<0，b>0，由二次函数图象可知，a>0，b>0，故B选项不符合题意；
C、由一次函数图象可知，a>0，b>0，由二次函数图象可知，a>0，b<0，故C选项不符合题意；
D、由一次函数图象可知，a>0，b<0，由二次函数图象可知，a>0，b<0，故D选项符合题意；
故选：D．
【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）一次函数y=ax+c（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（
a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图
象相比较看是否一致．
本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，
以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【详解】解：A、一次函数y=ax+c与y轴交点应为(0,c)，二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点也
应为(0,c)，图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a>0，a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a<0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·内蒙古·期末）在同一平面直角坐标系中，函数y=-ax+b与y=ax2+bx的图
象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，根据a、b的符号根据一次函数与反比例函数的
图象，逐项分析即可作出判断．
【详解】解：A．一次函数y=-ax+b的图象经过一、二、四象限，则a>0，b>0，二次函数
y=ax2+bx的图象开口向下，则a<0，矛盾，故A错误；
B．一次函数y=-ax+b的图象经过一、二、三象限，则a<0，b>0，二次函数y=ax2+bx的图象开
口向上，则a>0，矛盾，故B错误；
C．一次函数y=-ax+b的图象经过一、二、三象限，则a<0，b>0，二次函数y=ax2+bx的图象开
口向上，则a>0，矛盾，故C错误；
D．一次函数y=-ax+b的图象经过一、二、三象限，则a<0，b>0，二次函数y=ax2+bx的图象开
b
口向下，则a<0，对称轴x=- >0，则b>0，故D正确；
2a
故选：D．
【变式3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=m(x+n) 2和一次函
数y=mx+n(m≠0,n≠0)的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图
象得到m,n的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一
次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：从一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)的图象开始：
A、由图可知，一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)中，m<0,n>0，
∴对于二次函数y=m(x+n) 2，由m<0可知，抛物线开口向下；由n>0可知，抛物线对称轴x=-n<0，
对称轴在y轴左侧，与选项图象一致，
故A图象正确，符合题意；
B、由图可知，一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)中，m>0,n>0，
∴对于二次函数y=m(x+n) 2，由m>0可知，抛物线开口向上；由n>0可知，抛物线对称轴x=-n<0，
对称轴在y轴左侧，与选项图象不一致，
故B图象错误，不符合题意；
C、由图可知，一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)中，m>0,n<0，
∴对于二次函数y=m(x+n) 2，由m>0可知，抛物线开口向上；由n<0可知，抛物线对称轴x=-n>0，
对称轴在y轴右侧，与选项图象不一致，
故C图象错误，不符合题意；D、由图可知，一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)中，m<0,n>0，
∴对于二次函数y=m(x+n) 2，由m<0可知，抛物线开口向下；由n>0可知，抛物线对称轴x=-n<0，
对称轴在y轴左侧，与选项图象不一致，
故D图象错误，不符合题意；
故选：A．
【题型八】二次函数的平移变换
【典例8】（24-25九年级上·福建福州·期末）抛物线y=x2+2x+1向右平移2个单位后再向下平移3个单
位，此时抛物线的解析式为（ ）
A．y=(x-1) 2-3 B．y=(x+3) 2-3 C．y=(x+3) 2+3 D．y=(x+1) 2-3
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移的“左加右减，上加下
减”法则．
将原抛物线解析式化为顶点式，确定其顶点坐标；根据平移方向和距离，计算平移后抛物线的顶点坐
标；依据新顶点坐标写出平移后的抛物线解析式，对比选项得出答案．
【详解】解：原抛物线y=x2+2x+1可化为顶点式：y=(x+1) 2,其顶点坐标为(-1,0)．向右平移2个
单位后，顶点的横坐标变为-1+2=1，纵坐标不变，此时顶点坐标为(1,0)．再向下平移3个单位后，
顶点的纵坐标变为0-3=-3，此时新抛物线的顶点坐标为(1,-3)．则平移后抛物线的解析式为
y=(x-1) 2-3．
故选：A．
【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）将携物线y=2x2向右平移6个单位，所得的抛物线解析式为
（ ）
A．y=2x2+6 B．y=2x2-6 C．y=2(x-6) 2 D．y=2(x+6) 2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行
解答即可．【详解】解：将抛物线y=2x2向右平移6个单位长度，所得的抛物线解析式为：y=2(x-6) 2．
故选：C．
【变式2】（24-25九年级上·重庆忠县·期末）将抛物线y=x2+3的图像先向右平移2个单位，再向下平移
3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y=(x-3) 2+5B．y=(x+3) 2-1 C．y=(x-2) 2 D．y=(x+2) 2
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据函数图像平移规则“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：将抛物线y=x2+3的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的
解析式是y=(x-2) 2+3-3，即y=(x-2) 2，
故选：C．
【变式3】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）将二次函数y=(x-1) 2+2的图象向下平移3个单位长度，再
向左平移2个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y=(x+2) 2-1 B．y=(x-3) 2+5
C．y=(x+1) 2-1 D．y=(x-1) 2+5
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得
出平移后解析式即可．
【详解】解：将二次函数y=(x-1) 2+2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得
到的抛物线相应的函数表达式为：y=(x-1+2) 2+2-3，即y=(x+1) 2-1，
故选：C．
【题型九】二次函数与一次函数交点综合问题
【典例9】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，二次函数y=-x2+x+2及一次函数y=x+m，将
该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直
线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）1 25
A． <m<-3 B． <m≤1 C．-2<m<1 D．-3<m<-2
4 4
【答案】D
【分析】如图所示，过点B作直线y=x+m，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数
y=x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解
【详解】解：在y=-x2+x+2中，
当y=0，0=-x2+x+2，
解得x =-1，x =2，
1 2
A(-1,0)，B(2,0)，
当x=0时，y=2，
∴原抛物线与y轴交点坐标为(0,2)，
∴翻折后与y轴的交点坐标为(0,-2)，
如图，当直线y=x+m经过点B时，直线y=x+m与新图有3个交点，
把B(2,0)代入y=x+m中，得m=-2，
∵抛物线y=-x2+x+2翻折到x轴下方的部分的解析式为：- y=-x2+x+2，
∴翻折后的部分解析式为：y=x2-x-2(-1<x<2)，
当直线y=x+m与抛物线y=x2-x-2(-1<x<2)只有一个交点C时，
直线y=x+m与图象有3个交点，
把y=x+m代入y=x2-x-2(-1<x<2)中，得到方程x+m=x2-x-2有两个相等的实数根，
整理得x2-2x-2-m=0，
∴Δ=(-2) 2-4×1×(-2-m)=0，
解得m=-3，
∴当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是-3<m<-2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键．
【变式1】（24-25九年级·浙江杭州·期中）已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m，将该二次
函数在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），
当直线y=-x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ．
【答案】-6<m<-2
【分析】求出二次函数y=-x2+x+6与x轴相交于(-2,0)，(3,0)，先求出当y=-x+m经过点(-2,0)
时m的值，再求出 y=-x+m与y=x2-x-6只有一个交点时m的值，即可解答．
【详解】解：把y=0代入y=-x2+x+6得：0=-x2+x+6，
解得：x =3，x =-2，
1 2
∴二次函数y=-x2+x+6与x轴相交于(-2,0)，(3,0)，
当y=-x+m经过点(-2,0)时，如图：
把(-2,0)代入y=-x+m得：0=2+m，
解得：m=-2，
∵将二次函数y=-x2+x+6在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴下方，
∴当-2<x<3时，y=x2-x-6，
当y=-x+m与y=x2-x-6只有一个交点时，方程-x+m=x2-x-6有两个相等的实数根，整理得：x2-6-m=0，
则Δ=b2-4ac=0-4(-6-m)=0，解得：m=-6，
∴m的取值范围是-6<m<-2，
故答案为：-6<m<-2．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握根据图象求一元二次方程
解的方法．
【题型十】二次函数与x轴交点问题
【典例10】（24-25九年级上·全国·期末）如图，若y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，则关于x
的方程ax2+bx+c=0的另一个解为 ．
【答案】x=-1
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴交点的横坐标即为对
应的一元二次方程的解，据此利用对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1且与x轴的一个交点坐标为
(3,0)，
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为(-1,0)，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的另一个解为x=-1，故答案为：x=-1．
1
【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）二次函数y=- x2-x+m的部分图象如图所示，则关于x的
2
1
一元二次方程- x2-x+m=0的解是 ．
2
【答案】x =-3，x =1
1 2
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据函数图象，
对称轴，可得二次函数与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程
的根的关系，即可．
1
【详解】解：由函数图象可得，二次函数y=- x2-x+m与x轴的交点为(-3,0)，对称轴为：
2
x +x -3+x
x= 1 2=-1= 2，
2 2
∴x =1，
2
1
∴二次函数y=- x2-x+m与x轴的另一个交点为(1,0)，
2
1
∴当x=-3或x=1时，y=- x2-x+m=0，
2
1
∴一元二次方程- x2-x+m=0的解为：x =-3，x =1．
2 1 2
故答案为：x =-3，x =1．
1 2
【变式2】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）已知二次函数y=x2+x+m的图象与x轴没有公共点，则m的
取值范围为 ．
1
【答案】m>
4
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用根的判别式的意义得到Δ=12-4m<0，然后解不等式
即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+x+m的图象与x轴没有公共点，∴关于x的一元二次方程x2+x+m=0没有实数解，
∴Δ=12-4m<0，
1
解得m> ，
4
1
即m的取值范围为m> ．
4
1
故答案为：m> ．
4
【题型十一】二次函数与不等式
【典例11】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，直线y =kx+2和抛物线y =x2+bx+c都经过点
1 2
A(2,0)和点B(0,2)，当y <y 时，x的取值范围是 ．
1 2
【答案】x<0或x>2
【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与
数形结合．
由题意知，当y <y 时，则x的取值范围是抛物线图象在直线图象上方对应的所有的x的取值，然后数
1 2
形结合求解即可．
【详解】解：由题意知，当y <y 时，则x的取值范围是抛物线图象在直线图象上方对应的所有的x的
1 2
取值，
∵图象交于点A(2,0)，点B(0,2)，
∴当y <y 时，x<0或x>2，
1 2
故答案为：x<0或x>2．
【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+b交于A，B两点，它
们的横坐标分别为-1和4，则不等式ax2+c-kx-b<0的解集是( )A．x<-1 B．x>4 C．x<-1或x>4 D．-1<x<4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与不等式
的关系求解．
【详解】解：由图象得：当-1<x<4时，ax2+c<kx+b，即ax2+c-kx-b<0，
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为
直线x=2，若该抛物线与x轴的一个交点为(5,0)，则由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是
．
【答案】-1<x<5
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式(组)、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运
用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线的对称轴是直线x=2，且与x轴的一个交点为(5，0)，
利用对称性可得另一个交点的坐标为(-1，0)，结合抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，进而可得不
等式ax2+bx+c>0的解集．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线x=2，且与x轴的一个交点为(5，0)，
∴另一个交点的横坐标为2-(5-2)=-1，
即另一个交点的坐标为(-1，0)，
∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，
∴不等式ax2+bx+c>0的解集是-1<x<5，故答案为：-1<x<5．
【变式3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图，对称轴为直线x=-1，
则当y<0时，x的取值范围是（ ）
A．x<1 B．x>-1 C．-3<x<1 D．-4<x<1
【答案】C
【分析】本题考查的是抛物线的对称性，利用抛物线的图像写不等式的解集，先利用抛物线的对称性
求解抛物线与x轴的另一个交点的坐标为：(-3,0), 再利用图像得到y<0时，函数图像在x轴的下方，
从而可得答案．
【详解】解：由抛物线的对称轴为：x=-1, 且过(1,0),
所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标为：(-3,0),
当y<0时，函数图像在x轴的下方，
所以：-3<x<1
故选：C．
【题型十二】二次函数的应用-图形问题
【典例12】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架
ABCD，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)当AB的长为多少厘米时，矩形ABCD面积最大？【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米．
(2)10
【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．
60-3x 60-3x
（1）设AB的长为x厘米，则有AD= 厘米，然后根据题意可得方程 ⋅x=144，进而
2 2
求解即可；
60-3x 3
（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有S= ⋅x=- (x-10) 2+150，然后根据二
2 2
次函数的性质可进行求解．
60-3x
【详解】（1）解：设AB的长为x厘米，则有AD= 厘米，
2
60-3x
由题意得： ⋅x=144，
2
整理得：x2-20x+96=0，
解得：x =8,x =12，
1 2
60-3x
∵ >0，
2
∴0<x<20，
∴x =8,x =12都符合题意，
1 2
答：AB的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：
60-3x 3 3
S= ⋅x=- x2+30x=- (x-10) 2+150，
2 2 2
3
∵- <0，且0<x<20，
2
∴当x=10时，S有最大值，
∴当AB的长为10厘米时，矩形ABCD面积最大．
【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，把一张长10 cm，宽8 cm的长方形硬纸板的四周各剪
去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．(1)要使无盖长方体盒子的底面积为48 cm2，求剪去的正方形的边长．
(2)折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由．
【答案】(1)1cm
(2)40.5cm2
【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键．
（1）设剪去的正方形的边长为xcm，根据题意列出方程求解即可；
（2）设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，根据可得可得y与x的函数关系式为
y=2(10-2x)x+2(8-2x)x，化为顶点式进行分析即可．
【详解】（1）解：设剪去的正方形的边长为xcm，则
(10-2x)(8-2x)=48,即 x2-9x+8=0,
解得：x =8(不合题意，舍去)，x =1，
1 2
答：剪去的正方形的边长为1cm；
（2）解：有侧面积更大的情况，
设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，
则y与x的函数关系式为y=2(10-2x)x+2(8-2x)x，
即y=-8x2+36x(0<x<4)，
( 9) 2 81
y=-8 x- + ，
4 2
当x=2.25时， y最大为40.5，
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．
【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，某饲养员想用长为29m的栅栏，并借助一段围墙围成
一个矩形鸡场ABCD，在边BC上留一个宽为1m的门EF（门不需要栅栏），已知围墙的长度为12m．(1)当AB为多少米时，能围成一个面积为100m2的鸡场？
(2)求鸡场能围成的最大面积．
【答案】(1)当AB为10米时，能围成一个面积为100m2的鸡场；
225
(2)鸡场能围成的最大面积是
m2
．
2
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到周长等量关系列出方程与矩形ABCD的边
AB的二次函数关系是解决本题的关键．
（1）根据BC=栅栏总长+1-2AB，再利用矩形面积公式即可求出；
（2）根据题意求出鸡场的面积与矩形ABCD的边AB的二次函数关系，再根据二次函数的性质求解即
可．
【详解】（1）解：设AB=xm,BC=(30-2x)m，
根据题意，得x(30-2x)=100，
解得x =10，x =5，
1 2
∵门的宽度是1m，围墙的长度为12m，
∴1<30-2x≤12，
解得：9≤x<14.5，
∴x=10，
答：当AB为10米时，能围成一个面积为100m2的鸡场；
（2）解：设羊圈的面积为ym2，则矩形ABCD的边AB=xm，
根据题意，得y=x(30-2x)=-2x2+30x=-2 ( x- 15) 2 + 225 ，
2 2
∵-2<0,
15 225
∴当x= 时，y有最大值，最大值为 ，
2 2
225
∴鸡场能围成的最大面积是
m2
，
2
225
答：鸡场能围成的最大面积是
m2
．
2
【变式3】（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践
项目主题：劳动基地扩建方案
项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了
一次项目学习．信息获取：
信息1，如图，原劳动基地为矩形，AB的长为25m，BC的长为45m；
信息2，如图，扩建后新劳动基地仍为矩形，BE的最大长度为32m，BG的最大长度为52m．
问题解决：
(1)设该劳动基地两边增加相同的宽度xm，请直接写出新劳动基地的面积y(m2 )与x(m)的函数关系式．
(2)在（1）的条件下，当新劳动基地的面积为1500m2时，求BG和BE的长．
(3)当CG=3AE时，新劳动基地的面积可以为1800m2吗？请说明理由．
【答案】(1)y=x2+70x+1125
(2)BE=30m,BG=50m
(3)不可以，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）求出新劳动基地的长和宽，根据矩形的面积公式求出面积y(m2 )与x(m)的函数关系式即可；
（2）当y=1500时，得一元二次方程，求解即可；
（3）假设扩建后的劳动基地的面积可以为1800m2，设AE= ym，则CG=3 ym，根据扩建后的劳动
基地的面积为1800m2，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将其正值代入45+3 y中，
可求出45+3 y=60，由该值大于52，即可得出假设不成立，即当CG=3AE时，扩建后的劳动基地
的面积不能为1800m2．
【详解】（1）解：设将原劳动基地的长增加xm，则扩建后的劳动基地的长为(45+x)m，宽为
(25+x)m，
所以，y=(45+x)(25+x)=x2+70x+1125；
（2）解：当y=1500时，x2+70x+1125=1500，
整理得：x2+70x-375=0，
解得：x =5，x =-75（不符合题意，舍去），
1 2
所以，BE=25+5=30m,BG=45+5=50m．
（3）解：当CG=3AE时，扩建后的劳动基地的面积不能为1800m2，理由如下：
假设扩建后的劳动基地的面积可以为1800m2，设AE= ym，则CG=3 ym，根据题意得：(45+3 y)(25+ y)=1800，
整理得：y2+40 y-225=0，
解得：y =5，y =-45（不符合题意，舍去），
1 2
∴45+3 y=45+3×5=60>52，不符合题意，舍去，
∴假设不成立，
即当CG=3AE时，扩建后的劳动基地的面积不能为1800m2．
【题型十三】二次函数的应用-图形运动问题
【典例13】（24-25九年级上·重庆开州·期末）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，
4
BC=4cm，动点E以每秒1cm的速度从点C出发，沿折线C→A→B方向运动，动点F以每秒 cm的速度
3
从点C同时出发，沿折线C→ B→A方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为xs(x>0)，
△CEF的面积为ycm2．
(1)请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)当△CEF的面积为5cm2时，请直接写出x的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）．
【答案】(1)y=¿
(2)作图见解析，该函数的一个性质：当x=3时，y有最大值6（答案不唯一）
(3)x=2.8或x=3.4
【分析】本题考查动点问题函数图象，一次函数和二次函数图象的作法，勾股定理，
12 36
（1）首先根据勾股定理求出AB=❑√AC2+BC2=5cm，然后求出CD= ，当两者相遇时，x= ，
5 7
36
然后分0<x≤3以及3<x≤ 分别求解即可得出答案；
7（2）根据函数解析式描点连线作图，根据图象可写出一条性质；
2 14 72
（3）将y=5分别代入y= x2 和y=- x+ 求解即可．
3 5 5
【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=❑√AC2+BC2=5cm．
如图1所示，过点C作CD⊥AB于点D，
1 1
∵S = ×3×4= ×5×CD
△ABC 2 2
12
∴CD=
5
4
∴当两者相遇时，x+ x=3+4+5
3
36
∴x= ；
7
分两种情况：
①当0<x≤3时，点E在AC上，点F在BC上时，如图2，
4
由题意得，EC=x，CF= x
3
1 1 4 2
∴y= EC⋅CF= x⋅ x= x2 ；
2 2 3 3
36
②当3<x≤ 时，点E和点F都在AB上时，过点C作CD⊥AB于D，如图3，
74
由题意得，AE=x-3，BF= x-4
3
(4 ) 7
∴EF=5-AE-BF=5-(x-3)- x-4 =12- x
3 3
1 1( 7 ) 12 14 72
∴y= EF⋅CD= 12- x × =- x+
2 2 3 5 5 5
综上所述，y关于x的函数解析式为y=¿；
（2）由（1）中得到的函数解析式可知，
当x=3时，y=6；
16
当x=4时，y= ；
5
如图，分别描出对应点然后顺次连线．
该函数的一个性质：当x=3时，y有最大值6（答案不唯一）．
2 2
（3）当y=5时，代入函数y= x2 ，得5= x2 ，
3 3
❑√30
解得x= ≈2.8（负值舍去）；
2
14 72 14 72
当y=5时，代入函数y=- x+ ，得5=- x+ ，
5 5 5 5
解得x=3.4．综上所述，当△CEF的面积为5cm2时，x=2.8或x=3.4．
【变式1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2，点M，N同时
从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度
的速度沿A→D→C的方向运动，当M、N两点相遇时，它们同时停止运动．设M，N两点运动的时间
为t秒，△AMN的面积为S（平方单位），则△AMN的面积S与运动时间t之间的函数图象大致是
（ ）
A． B．
C． D．
E．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的几何动点，一次函数，函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．读懂题意，则进行分类讨论，即当0≤t≤2时，当2≤x≤3时，当3≤x≤4时，点M在线段BC上，
分别根据面积公式列式化简，得S=¿，即可作答．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB=4,AD=2，且点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单
位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C的方向运动，
∴2÷1=2（秒），4÷2=2（秒），
∴当0≤t≤2时，点M在线段AB上，点N在线段AD上，
1 1
∴S= ×AN×AM= ×t×2t=t2 ，
2 2
此时它是开口向上的二次函数，
如图，当2≤x≤3时，点M在线段BC上，点N在线段CD上，∴S=S -S -S -S
矩形ABCD △ADN △ABM △CMN
1 1 1
=4×2- ×2×(t-2)- ×4×(2t-4)- ×(6-t)×(6-2t)
2 2 2
=-t2+4t．
∴S=-t2+4t(2≤t≤3)；，
此时它是开口向下的二次函数，
依题意，(4×2+2×2)÷(2+1)=4（秒），
∴点P、Q从出发到相遇所用的时间是4秒，
∴当3≤t≤4时，点M在线段DC上，点N在线段CD上，
∴MN=DC-DN-MC=4-(2t-2)-(4t-2-6)=-6t+12，
1 1
∴S= ×AD×MN= ×2×(-6t+12)=-6t+12，
2 2
此时S随着t的增大而减小的一次函数，
综上，S=¿．
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB=6cm，AD=4cm，
若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从A点出发沿AB以2cm/s的速度向B运动．
P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t(s)．
(1)当t为何值时，△PDQ的面积为3cm2？
(2)当t为何值时，△PDQ的面积最大？
【答案】(1)1s或3s
(2)t=2
【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际应用：
（1）由四边形ABCD为矩形，AB=6cm，AD=4cm，可得DQ=4-t，AP=2t，∠A=90°，结1
合 (4-t)⋅2t=6，再解方程即可；
2
1
（2）由题意可得：S= (4-t)⋅2t，建立函数模型，再利用二次函数的性质可得答案．
2
【详解】（1）解：由题意可得：AQ=t，AP=2t，
∵四边形ABCD为矩形，AB=6cm，AD=4cm，
∴DQ=4-t，AP=2t，∠A=90°，且0≤t≤3，
1
∴ (4-t)⋅2t=6，
2
∴t2-4t+3=0，
解得：t=1或t=3；
∴当t=1s或3s时，△PQD的面积为3cm2．
1
（2）解：由题意可得：S= (4-t)⋅2t=-(t-2) 2+4，
2
∵a=1<0，
∴当t=2时，S有最大值．
【变式3】（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm．动点P
从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿BA方向以1cm/s
的速度向终点A运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点
P的运动时间为x(s)(x>0)，正方形APDE和△AQF重叠部分图形的面积为y(cm2)．
(1)当点D落在QF上时，x的值为______．
(2)当点D落在BC上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
4
【答案】(1)
3
(2)x=24 4 7 1
(3)当0<x≤ 时，y=x2；当 <x≤2时，y=- x2+12x-8；当2<x≤4时，y= x2-4x+8
3 3 2 2
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问题，二次函数的应用，分
类讨论是解题的关键．
（1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得AP=PQ=BQ=x，进而即可求解；
（2）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得AP=BP=x，进而即可求解；
4 4
（3）分三种情况：当0<x≤ 时，当 <x≤2时，当2<x≤4时，画出图形，结合图形即可求解．
3 3
【详解】（1）∵∠A=90°，AB=AC=4cm，
∴∠B=∠C=45°，
当点D在QF上时，如图所示，此时AP=BQ=xcm，
∵QF∥BC，四边形APDE为正方形，
∴∠B=∠PDQ=45°，AP=DP，∠APD=∠DPQ=90°
∴∠PDQ=45°，则DP=PQ，
∴AP=PQ=BQ=x，则3x=AB=4cm，
4
∴x= ，
3
4
故答案为： ；
3
（2）∵∠A=90°，AB=AC=4cm，
∴∠B=∠C=45°，
当点D在BC上时，如图所示，此时AP=BQ=xcm，∵四边形APDE为正方形，
∴AP=DP，∠APD=∠DPQ=90°，
∴∠PDQ=45°，则DP=PB，
∴AP=BP=x，则2x=AB=4cm，
∴x=2；
4
（3）由（1）可知，当点D在QF上时，x= ，当点D在BC上时，x=2，
3
4
当0<x≤ 时，如图，正方形APDE和△AQF重叠部分图形的面积为正方形APDE的面积，
3
∴y=x2；
4
当 <x≤2时，如图，
3
∵OF∥BC，
∴∠AQF=∠B=45°，∠AFQ=∠C=45°，
∴AF=AQ=4-x，则PQ=EF=4-x-x=4-2x，又∵APDE是正方形，
∴∠FED=∠DPQ=∠D=90°，则∠FME=∠PNQ=45°，
∴EM=EF=PN=PQ=4-2x，则DM=DN=x-(4-2x)，
∴y=x2- 1 [x-(4-2x)] 2 =- 7 x2+12x-8；
2 2
当2<x≤4时，如图，
AQ=4-x
，
1 1
∴y= (4-x) 2= x2-4x+8．
2 2
【题型十四】二次函数的应用-拱桥问题
【典例14】（2025·河南南阳·三模）图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意
图，门拱底部与地面的交点记为A，B，最高点记为点P，以AB所在直线为x轴，过点P垂直平分AB
的直线为y轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得AB=20m，BC=2m，DC⊥AB且
DC=1.8m．
(1)求门拱所在的抛物线表达式；
(2)如图2，线段EF和线段GH分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量EF和GH等高且
AE=2.5m，在距离点E右侧2.5m处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手
到地面距离最高2.2m，求悬挂标语框时脚手架的最低高度．
1
【答案】(1)抛物线的表达式为 y =- x2 +5
20
(2)悬挂标语框时脚手架的高度最低为1.55米【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的二次函数解析式是解决本题的关键；易
错点是判断出悬挂位置处的点的横坐标．
（1）先求出点B和点D的坐标，设抛物线解析式为：y=ax2+h，把点B和点D的坐标代入可得a和
h的值；
（2）根据点A，B关于y轴对称，B(10，0)，求出点A的坐标，设点 E 右侧2.5m处为点I，从而得
到I的坐标，求出x=-5时的高度，减去2.2即可．
【详解】（1）解：∵PO垂直平分AB，AB=20
1
∴OB= AB=10，
2
∴B(10，0)，
∵BC=2m，DC⊥AB且 DC=1.8m，
∴D(8，1.8)，
设抛物线的表达式为y=ax2+h，
将 B(10,0)，D(8,1.8)分别代入得
¿，
∴¿，
1
∴抛物线的表达式为y=- x2+5；
20
（2）由题意可知，点A，B关于y轴对称，B(10，0)，
∴A(-10，0)，
设点 E 右侧2.5m处为点I，
则I(-5,0)，
1
当x=-5时，y=- ×(-5) 2+5=3.75，
20
∴3.75-2.2=1.55米，
答：悬挂标语框时脚手架的高度最低为1.55米．
【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部AB宽为4m，顶
部C距地面的高度为4.4m．(1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65 m，装货宽度为2.4 m，那么这辆汽车能否
顺利通过大门？
【答案】(1)y=-1.1x2+4.4
(2)这辆汽车能够通过大门
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数
图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键．
（1）先过AB的中点作AB的垂直平分线建立直角坐标系，得出点A、B、C的坐标，用待定系数法即
可求出过此三点的抛物线解析式
（2）根据题意，判断点(-1.2,2.65)或点(1.2,2.65)与抛物线的关系即可．
【详解】（1）解：如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A，B，C的坐
标分别为 A(-2,0)，B(2,0)，C(0,4.4)．
设抛物线的表达式为y=a(x-2)(x+2)．
将点C(0,4.4)代入得
a(0-2)(0+2)=4.4，解得a=-1.1，
∴ y=-1.1(x-2)(x+2)=-1.1x2+4.4
故此抛物线的表达式为y=-1.1x2+4.4；（2）∵货物顶点距地面2.8m，装货宽度为2.4m，
∴只要判断点(-1.2,2.8)或点(1.2,2.8)与抛物线的位置关系即可．
将x=1.2代入抛物线，得y=2.816>2.65，
∴点(-1.2,2.8)和点(1.2,2.8)都在抛物线内．
∴这辆汽车能够通过大门．
【变式2】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）排水渠的横截面常常被设计成抛物线形状，其中蕴含的原理
很多．从结构力学角度看，抛物线形状能够使排水渠更好地承受来自土壤和水的压力．从水力学角度
讲，抛物线形状有利于水流的快速通过．如图，某一排水渠的横截面呈抛物线形，水面宽度AB=4m，
1
建立如图所示的平面直角坐标系，该抛物线对应的函数解析式是y= x2-3．
2
(1)求此时水面的最大高度；
(2)若水面上升0.5m，则水面宽度将增加多少米？
【答案】(1)2m
(2)(2❑√5-4)m
【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及解一元二次工程，解答本题的关键是熟练掌握并能灵活
运用二次函数的性质．
1 1
（1）依据题意，由AB=4，可得点B的横坐标是 AB= ×4=2，从而点B的纵坐标是
2 2
1 1
x2-3= ×22-3=-1，故-1-(-3)=2，即可得解；
2 2
（2）依据题意，由水面上升0.5m后，水面高度变为2.5m，由2.5-3=-0.5，故当y=-0.5时，
1
x2-3=-0.5，求出x后即可得解．
2
1 1
【详解】（1）解：由题意，得点B的横坐标是 AB= ×4=2，
2 2
1 1
∴点B的纵坐标是 x2-3= ×22-3=-1，
2 2∵-1-(-3)=2，
∴水面的最大高度是2m；
（2）解：水面上升0.5m后，水面高度变为2.5m，
∵2.5-3=-0.5，
1
∴当y=-0.5时， x2-3=-0.5，
2
解得：x =-❑√5,x =❑√5，
1 2
∴此时的水面宽度是2❑√5m，
∴水面的宽度将增加(2❑√5-4)m．
【变式3】（23-24九年级上·福建厦门·期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计警戒线之间的宽度
素
材
1
图1为某公园的抛物线型拱
桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB=24米，拱顶离水面的距离为CD=4米．
素 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩
材 形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米，
2 GH=IJ=1.26米，FG=JK=0.4米．
为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下：
素
材 ①游船底部HI在P，Q之间通行；
3
②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.25米．
问题解决
任 确定拱桥形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式．
务
1
任 设计警戒线之间的宽度 求PQ的最大值．
务
2
1
【答案】【任务1】y=- x2+4，【任务2】17.8
36【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决；
任务1：以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，得到点B的坐标为(12,0)，顶点为(0,4)，
利用待定系数法求出即可；
任务2：过点E作EM⊥FK于点M，得到EM=0.8米．由题意可知，当PQ最大时，点E的纵坐标为
0.8+1.26+0.5=2.56．令y=2.31，解方程，得出x =7.8，由FG=JK=0.4米得到MG=MJ=1.1米，
1
游船底部HI在P，Q之间通行，即可求得PQ的最大值．
【详解】解：任务1：
以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵ AB=24，CD=4
，
∴点B的坐标为(12,0)，顶点为(0,4)，
设抛物线解析式为y=ax2+4，
把B (12,0)代入得0=a×122+4，
1
a=- ，
36
1
∴ y=- x2+4．
36
任务2：
过点E作EM⊥FK于点M，
∵EF=EK=1.7，FK=3米
∴FM=1.5米
∴EM=❑√1.72-1.52=0.8米．
由题意可知，当PQ最大时，
点E的纵坐标为0.8+1.26+0.25=2.31．
1
令y=2.31，得2.31=- x2+4，
36解得x =7.8，x =-7.8，
1 2
∵FG=JK=0.4米，
∴MG=MJ=1.1米，
∵游船底部HI在P，Q之间通行，
∴PQ的最大值为(7.8+1.1)×2=17.8（米）．
【题型十五】二次函数的应用-销售问题
【典例15】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈
利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如
果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
(1)若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？
【答案】(1)30
(2)每件衬衫降价20元，利润最大是2500元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意正确的列方程和二次函数是解
题的关键．
（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意列方程求解，为了尽快减少库存，降价要取较大值；
（2）设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y，根据题意可得y=(45-x)(20+4x)，再化为顶点式，
根据二次函数的图象和性质求最值即可．
【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元，
根据题意，得(45-x)(20+4x)=2100，
解得x =10,x =30，
1 2
∵尽快减少库存，
∴x=30，
答：每件衬衫应降价30元；
（2）解：设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y，
由题意得y=(45-x)(20+4x) =-4x2+160x+900 =-4(x-20) 2+2500，
∵-4<0，
∴当x=20时，y有最大值，y最大=2500，
答：每件衬衫降价20元，利润最大是2500元．
【变式1】（24-25九年级下·江苏徐州·期末）一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价
部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表：
7
售价x（元/千克） … 50 60 80 …
0
… 10 90 8 70 …
销售量y（千克）
0 0
(1)求y与x的函数表达式；
(2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？
(3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润．
【答案】(1)y=-x+150
(2)应将售价定为70元
(3)该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为4225元
【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是根据
题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．
（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元)=售量×每千克利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用
二次函数的最值可得出利润最大值．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，把(50,100)、(60,90)代入得，
¿， 解得¿，
∴y与x的函数关系式为y=-x+150；
（2）解：根据题意得，(-x+150)(x-20)=4000，
解得x =70，x =100>90（不合题意，舍去），
1 2
答：该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）解：由题意得，w=(-x+150)(x-20)
=-x2+170x-3000
=-(x-85) 2+4225，
∵-1<0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．
答：该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为4225元．
【变式2】（24-25九年级上·山西朔州·期末）AI自习室的出现方便了学生的学习，提高了学习效率．小李
经营一家AI自习室，共有24个房间，当每个房间的定价为200元/天时，房间会全部被占用．小李调研发现，当每个房间的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．请利用二次函数的知识，帮助小李
计算当每间房间的定价x(x>200)为多少时，AI自习室每天的营业额y最大，最大营业额为多少元？
【答案】当每间房间的定价为220元时，AI自习室每天的营业额y最大，最大营业额为4840元
【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立二次函数关系式．根据“每天
的营业额=每间房间的定价×房间数”建立二次函数关系式，再结合二次函数性质求解，即可解题．
(
x-200)
【详解】解：由题知，y= 24- x，
10
1
整理得y=- x2+44x，
10
1
有y=- (x2-440x+2202)+4840，
10
1
化为顶点式为y=- (x-220) 2+4840，
10
1
∵- <0，
10
∴当x=220时，每天的营业额y最大，最大营业额为4840元．
【变式3】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）根据背景素材，探索解决问题．
素 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头
材1 盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
素 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价
材2 1元/个，则月销售量将减少10个．
问题解决
任 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________．
务1
任 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示）
务2
任 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
务3【答案】任务1：150(1+a) 2=216；任务2：1000-10x；任务3：当x为65时，销售总利润达到最
大，最大总利润为12250元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程、
得到二次函数关系式是解题的关键
任务1：设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方程；
任务2：根据售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个列代数式；
任务3：利用二次函数的最值求解即可
【详解】解：任务1：设增长百分率为a，依题意列方程为：150(1+a) 2=216；
故答案为：150(1+a) 2=216；
任务2：该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为600-10(x-40)=1000-10x；
故答案为：1000-10x；
任务3：设总利润为w元，销售量为y个
∴w= y(x-30)
=(1000-10x)(x-30)
=1000x-30000-10x2+300x
=-10x2+1300x-30000
=-10(x-65) 2+12250，
∴当x=65时，w =12250元，
最大
∴当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元．
【题型十六】二次函数的应用-投球问题
【典例16】（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射
门，已知球门高OB为2.32m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为
6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示．(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算判断球能否射进球门；
(3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了n(n>0)米射门，若运动员射门路线的形状、最大高
度均保持不变，结果恰好在点O正上方2.25m处进球，求n的值．
1
【答案】(1)y=- (x-2) 2+3
12
(2)球不能射进球门
(3)1
【分析】本题考查的是二次函数的应用，
（1）用待定系数法求出表达式即可；
（2）计算当x=0时，y的值与2.32m比较即可得出答案；
1
（3）由题意得出移动后的抛物线为y=- (x-2-n) 2+3，把点(0,2.25)代入求出结论即可．
12
【详解】（1）解：∵8-6=2，
∴抛物线的顶点坐标为(2,3)，
设抛物线表示的二次函数的表达式为y=a(x-2) 2+3，
把点A(8,0)代入，得36a+3=0，
1
解得a=- ，
12
1
∴抛物线的表达式为y=- (x-2) 2+3；
12
1 8
（2）当x=0时，y=- ×4+3= >2.32，
12 3
∴球不能射进球门；
1
（3）由题意，移动后的抛物线为y=- (x-2-n) 2+3，
12
1
把点(0,2.25)代入，得2.25=- ×(0-2-n) 2+3，
12
解得n =-5（舍去），n =1，
1 2
∴n的值为1．
【变式1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球
的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在
一次投掷中，实心球从y轴上的点A(0,2)处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为(4,3.6)，落在x轴上的点C处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)某市男子实心球的得分标准
如表：
得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10
掷远 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0
（米
）
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
(3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.3米的小朋友在玩耍，问该小朋友
是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．
【答案】(1)y=-0.1x2+0.8x+2
(2)小强在这次训练中的成绩为10米，小强的得分是90分
(3)有危险，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法求解析式是关
键．
（1）依据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为y=a(x-4) 2+3.6(a≠0)，把点A(0,2)代入，运
用待定系数法即可求解；
（2）依据题意，令y=0时，求出点C的坐标，进行比较即可求解；
（3）依据题意，当 x=9时，代入计算即可求解．
【详解】（1）解:由题意可得，抛物线的顶点B的坐标为(4,3.6)
设该抛物线的解析式为y=a(x-4) 2+3.6(a≠0)
∵抛物线经过点A(0,2)
∴ a(0-4) 2+3.6=2
解得a=-0.1，∴该抛物线的解析式为: y=-0.1(x-4) 2+3.6=-0.1x2+0.8x+2
（2）解:当y=0时，-0.1(x-4) 2+3.6=0
解得: x =10，x =-2
1 2
∵点C在x轴的正半轴
∴ x =-2舍去
2
∴x=10，即小强在这次训练中的成绩为10米
∵ 9.6<10<11.2 .
∴小强的得分是90分
（3）解:有危险;理由如下:
把x=9代入y=-0.1x2+0.8x+2得
y=-0.1×92+0.8+2=1.1
∵1.1<1.3
∴该小朋友有危险.
【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐．
活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣
小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究．
模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直
角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．
信息整理：
素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度AB=3米，篮球出手位置与篮
筐中心的水平距离OB=m米，篮球距地面的最大高度CD=h米，此时离篮球出手位置的水平距离
OD=a米．
素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约
是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足2.95≤n≤3.10
时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：c=2.2米，m=6米，h=4米，a=3米．
(1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”）
(2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了t米后
再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）．
(3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，
小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？
【答案】(1)不能
(2)t的值为3-❑√5
(3)不能，c的取值范围是1.95≤c≤2.1
【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点．
（1）易得小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点P的坐标代
入可得a的值，取x=6，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐；
（2）设出向右平移后的抛物线解析式，把(6,3)代入可得t的值；
（3）判断出运动后的抛物线解析式，取x=6，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高
度后的抛物线解析式，取x=6，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取x=1，得
到c的值，即可判断c的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得：小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标为：(3,4)，
∴设y=a(x-3) 2+4，
∵经过点(0,2.2)，
∴2.2=a(0-3) 2+4，
1
解得：a=- ，
5
1
∴y=- (x-3) 2+4，
5
当x=6时，y=2.2，
∵2.95≤n≤3.10时，篮球命中篮筐，
∴小玫初次投篮时不能命中篮筐．
故答案为：不能；
1
（2）解：向前走了t米后抛物线的解析式为：y=- (x-3-t) 2+4，
5∵经过点(6,3)，
1
∴3=- (6-3-t) 2+4，
5
∴(3-t) 2=5，
解得：t =3+❑√5（不合题意，舍去），t =3-❑√5，
1 2
答：t的值为3-❑√5；
（3）解：由题意得：小玫在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：
1 1
y=- (x-3-1) 2+4=- (x-4) 2+4，
5 5
当x=6时，y=3.2>3，
∴不能命中篮筐；
1
设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：y=- (x-4) 2+4+m，
5
当x=6时，y=m+3.2，
∴2.95≤m+3.2≤3.10，
解得：-0.25≤m≤-0.1，
∵出手点的坐标为(1,c)，
1
∴c=- (1-4) 2+4+m=2.2+m，
5
∴1.95≤c≤2.1．
【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期末）某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投
石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点B端拉至水平地面B'处，放手后投石竿绕支点A旋
转，从点B处把石头甩出．石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为x轴，竖直方向OB为y
(3 17)
轴建立平面直角坐标系，如图3．已知OB=0.5米，抛物线顶点P的坐标为 , ．
2 16(1)求出抛物线的解析式；
(2)为了检验投石器的性能，在点O的正前方3米~ 3.5米处设置了一个长为0.5米，内壁DE高为0.75
米，外壁HF高为1米的目标箱(其中DE、HF垂直x轴)．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高
投石器或在x轴正方向移动投石器．（注：假设每次都以相同的角度和力度投石；以下问题的取值范
围都不取端点）
①当垫高投石器时，设垫高的高度为h米，求h的取值范围；
②当在x轴正方向上移动投石器时，设向前移动的距离为m米，求m的取值范围．
1( 3) 2 17
【答案】(1)y=- x- +
4 2 16
1 15 3-❑√5 3 5 3+❑√5
(2)① <h< ；② <m< 或 <m<
4 16 2 2 2 2
【分析】本题考查二次函数的额应用，正确进行计算是解题关键．
( 3) 2 17
（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a x- + ，代入数据求解即可；
2 16
1( 3) 2 17
（2）①设垫高后的抛物线解析式为y=- x- + +h，代入数据求解即可；
4 2 16
1( 3 ) 2 17
②设水平平移的解析式为y=- x- -m + ，代入数据求解即可．
4 2 16
(3 17)
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 , ，
2 16
( 3) 2 17
∴设抛物线的解析式为y=a x- + ，
2 16( 3) 2 17
把点B(0,0.5)代入可得0.5=a 0- + ，
2 16
1
解得：a=- ，
4
1( 3) 2 17
所以抛物线的解析式为y=- x- + ；
4 2 16
1( 3) 2 17
（2）解：①设垫高后的抛物线为y=- x- + +h，
4 2 16
1
把(3,0.75)代入可得h= ，
4
15
把(3.5,1)代入可得h= ，
16
1 15
所以 <h< ，
4 16
1( 3 ) 2 17
②设水平平移的解析式为y=- x- -m + ，
4 2 16
3-❑√5 3+❑√5
把(3,0.75)代入可得m = ，m = ，
1 2 2 2
3 5
把(3.5,1)代入可得m = ，m = ，
3 2 4 2
3-❑√5 3 5 3+❑√5
∵ < < < ，
2 2 2 2
3-❑√5 3 5 3+❑√5
∴m的取值范围是 <m< 或 <m< ．
2 2 2 2
【题型十七】二次函数的应用-喷水问题
【典例17】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放
置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线y=a(x+3) 2+5的一部分，已
知落水点B到池中心O的距离为8米．(1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管OA的长度；
(2)若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯EF，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观
射灯EF与池中心的水平距离；
(3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出
的水柱形状和对称轴不变，求水管OA要升高多少米？
16
【答案】(1)水管OA的长度为 米
5
(2)景观射灯EF与池中心的水平距离为7米
24
(3)水管OA要升高 米
5
【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．
（1）将点B的坐标(-8,0)代入即可求解；
（2）把y=1.8代入解析式，即可求解；
（3）设水管OA要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解；
【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米，
将点B的坐标(-8,0)代入y=a(x+3) 2+5中，
得a(-8+3) 2+5=0
a(-5) 2+5=0
25a+5=0
25a=-5
1
解得a=- ，
5
1 1 6 16
∴y=- (x+3) 2+5=- x2- x+ ．
5 5 5 5
16
令x=0，得y= ，
516
∴水管OA的长度为 米；
5
1
（2）解：由题意得，令- (x+3) 2+5=1.8
5
1 18
- (x2+6x+9)+5=
5 10
1 6 9 9
- x2- x- +5=
5 5 5 5
1 6 9 9
- x2- x- +5- =0
5 5 5 5
1 6 7
- x2- x+ =0
5 5 5
x2+6x-7=0
(x+7)(x-1)=0
解得x =-7，x =1（舍去），
1 2
∴顶端F的横坐标为-7，
∴景观射灯EF与池中心的水平距离为7米；
（3）解：设水管OA要升高h米，
1
∴升高后的抛物线的解析式为y=- (x+3) 2+5+h．
5
当x=-10时，y=0，
1
∴- (-10+3) 2+5+h=0
5
1
- ×(-7) 2+5+h=0
5
1
- ×49+5+h=0
5
1
h= ×49-5，
5
24
∴h= ，
5
24
答：水管OA要升高 米．
5
【变式1】（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个
柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一
个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为
x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA=1m，OB=2m，OC=3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距离x(m)
1 1
之间的关系式分别是y=- x2+bx+c和y=- x2+bx+c' ．
3 3
(1)求A喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点D处，OD=4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所
站的点D处？
4
【答案】(1) m
3
(2)不会
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键．
（1）根据A喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出y的最大值即可；
（2）根据B喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令x=4，通过计算y的值即可判断．
【详解】（1）解：∵OA=1m，OB=2m，OC=3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与
1 1
水平距离x(m)之间的关系式分别是y=- x2+bx+c和y=- x2+bx+c' ．
3 3
∴A(0,1),B(0,2)，C(3,0)
令x=0，易得c=1,c'=2，
1
令x=3，得y=- x2+bx+c=-3+3b+1，
3
2
可求得b= ，
3
因此A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是
1 2 1 2
y=- x2+ x+1和y=- x2+ x+2；
3 3 3 32
1 2 3
函数y=- x2+ x+1的对称轴为直线 x=- =1 ，
3 3 ( 1)
2× -
3
1 2 1 2 4
把x=1代入y=- x2+ x+1，得y=- + +1=
3 3 3 3 3
4
因此A喷头喷出的水流的最大高度是 m；
3
1 2
（2）解：依题意，函数y=- x2+ x+2，
3 3
1 2 2
令x=4，得y=- ×42+ ×4+2=- <0，
3 3 3
因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．
【变式2】（2024·山西·模拟预测）项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水
车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，
该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为
两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平
距离为2米，高出喷水口0.4米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=1.8米，竖直高度EF=1.1米，洒水车
到绿化带的距离OD为d米．
（3）当调整与绿化带距离为d=2.2米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请
说明理由．【答案】（1）y=-0.1(x-2) 2+1.6；（2）(2,0)；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合A(2,1.6)为上边缘抛物线的顶点，设y=a(x-2) 2+1.6，再把(0,1.2)代入计算，即可作答．
（2）结合二次函数的对称性得出点(0,1.2)的对称点为(4,1.2)，把y=0代入y=-0.1(x-2) 2+1.6，求
出x =6，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为(2,0)；
1
（3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为(4,1.1)，代入y=-0.1(x-2) 2+1.6得
y=-0.1(4-2) 2+1.6=1.2>1.1，即可作答．
【详解】解：（1）由题意得：A(2,1.6)为上边缘抛物线的顶点，
设y=a(x-2) 2+1.6，
又∵抛物线过点(0,1.2)，
∴1.2=4a+1.6，
解得：a=-0.1，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=-0.1(x-2) 2+1.6．
（2）∵对称轴为直线x=2，
∴点(0,1.2)的对称点为(4,1.2)，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，
当y=0时，0=-0.1(x-2) 2+1.6解得x =6，x =-2（舍去），
1 2
∴6-4=2
∴点B的坐标为(2,0)；
（3）∵矩形DEFG，其水平宽度DE=1.8米，竖直高度EF=1.1米，OD=d=2.2米，
则2.2+1.8=4（米）
∴点F的坐标为(4,1.1)，
当x=4时，y=-0.1(4-2) 2+1.6=1.2>1.1，
当x>2时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约80%的火灾都在
充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电
动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在△AOB中，OA=OB，喷射角
∠AOB=60°，地面有效保护直径AB为2❑√3米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池
降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋
头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示
意图为矩形OABC，创新小组以点O为坐标原点，墙面OA所在直线为y轴，建立如图4所示的平面
直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米
处，即OA=3米，AM=2米，水喷射到墙面D处，且OD=1米．
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径OE为 米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度OC为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一
水平线AB上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离
喷淋头M至少 米．
【答案】（1）3；（2）①y=- 1 x2+2x+1；②(2+❑√6)；（3） ( 5- 2 ❑√35 )
2 5
【分析】（1）证明△OAB为等边三角形，得出OA=OB=AB=2❑√3，根据等边三角形的性质得出
1
AC= AB=❑√3，根据勾股定理求出OC=❑√OA2-AC2=❑√(2❑√3) 2-(❑√3) 2=3；
2
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
②求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案；
1
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：y=- (x-2-m) 2+3，把
2
1 1
(7,0.2)代入y=- (x-2-m) 2+3得出0.2=- (7-2-m) 2+3，求出m的值即可．
2 2
【详解】解：（1）∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=2❑√3，
∵OC⊥AB，
1
∴AC= AB=❑√3，
2
∴根据勾股定理得：OC=❑√OA2-AC2=❑√(2❑√3) 2-(❑√3) 2=3；
（2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为(2,3)，点D的坐标为(0,1)，
设抛物线的解析式为：y=a(x-2) 2+3，把(0,1)代入得：4a+3=1，
1
解得：a=- ，
2
1 1
∴抛物线的解析式为：y=- (x-2) 2+3=- x2+2x+1；
2 2
1 1
②把x=0代入y=- x2+2x+1得：0=- x2+2x+1，
2 2
x =2+❑√6或x =2-❑√6（舍去），
1 2
∴OE=(2+❑√6)米；
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为(2+m,3)，则顶点为N的抛物
1
线解析式为：y=- (x-2-m) 2+3，
2
放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为(7,0.2)，
1 1
把(7,0.2)代入y=- (x-2-m) 2+3得：0.2=- (7-2-m) 2+3，
2 2
2❑√35 2❑√35
解得：m =5+ >7（舍去）或m =5- ，
1 5 2 5
( 2 )
∴喷淋头N距离喷淋头M至少 5- ❑√35 米．
5
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，
解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式．
【题型十八】二次函数的应用-其他问题
【典例18】（24-25九年级上·广东·期末）【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的
关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一
步应用．
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开
始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：
cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据：任务一：数据收集 记录的数据如下：
运动时间
0 2 4 6 8 10 ．．．
x/s
运动速度 1 9 8 7 6 5 ．．．
v/cm/s 0
滑行距离 0 19 36 5 64 75 ．．．
y/cm 1
任务二：观察分析
（1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数
关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数
关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．）
任务三：问题解决
（2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离；
（3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以4cm/s的速度匀速向右
直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围．
1 1
【答案】（1）v=- x+10，y=- x2+10x
2 4
（2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为100cm
（3）若小球不能撞上小车， n的取值范围为n>36
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）令v=0，求得小球停下来的时间，再将x=20代入y与x的函数关系解答即可；
（3）假定经过t秒小球追上电动小车，得到关于t的一元二次方程，令Δ<0，得到关于n的不等式，
解不等式即可得出结论．
【详解】解：（1）∵v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系，
∴设v与x的函数关系为v=kx+m，y与x的函数关系为y=ax2+bx+c，
将(0,10)，(2,9)代入v=kx+m，得
¿，
解得¿，
1
∴ v与x的函数关系为v=- x+10，
2
将(0,0)，(2,19)，(4,36)代入y=ax2+bx+c，得
¿，
¿1
∴ y与x的函数关系为y=- x2+10x；
4
1
（2）当v=0时，则- x+10=0，
2
解得x=20，
1
将x=20代入y=- x2+10x，得
4
1
y=- ×202+10×20=100，
4
∴当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为100cm；
（3）假定经过t秒小球追上电动小车，
1
∴- t2+10t=n+4t，
4
1
∴
t2-6t+n=0，
4
1
由题意得Δ=(-6) 2-4× n<0，
4
∴n>36，
∴若小球不能撞上小车， n的取值范围为n>36．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数
的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与教师
讲授概念所用时间x（min）之间满足函数关系y=ax2+2.6x+44(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能
力越强．当x=10时，y=60．
(1)求函数关系式；
(2)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？最强时y的值为多少？
(3)请你从数学角度，给老师提出一个讲授此类概念所用时间的建议，并说明理由．
【答案】(1)y=-0.1x2+2.6x+44
(2)当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强，最强时y的值为60.9
(3)老师在讲授此类概念所用时间应该控制在13分钟左右，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由当x=10时，y=60．从而60=a×102+2.6×10+44，求出a后即可判断得解；（2）依据题意，结合（1）y=-0.1(x-13) 2+60.9．又-0.1＜0，进而可以判断得解；
（3）依据题意，结合（2）y=-0.1(x-13) 2+60.9，从而当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；
当13<x≤30时，学生的接受能力逐步减弱，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意，∵当x=10时，y=60．
∴ 60=a×102+2.6×10+44．
∴ a=-0.1．
∴ y=-0.1x2+2.6x+44．
（2）由题意，结合（1）
y=-0.1x2+2.6x+44=-0.1(x2-26x+169)+0.1×169+44=-0.1(x-13) 2+60.9．
∵-0.1<0，
∴当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强，最强时y的值为60.9．
（3）由题意，结合（2）y=-0.1(x-13) 2+60.9，
∴当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；当13<x≤30时，学生的接受能力逐步减弱．
∴老师在讲授此类概念所用时间应该控制在13分钟左右．
【变式2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）2024年7月31日，巴黎奥运会跳水项目女子双人10米台决
赛结束，中国组合陈宇汐/全红婵以359.10分领先第二名43.20分的巨大优势夺冠，获得中国代表团奥
运会第7金．跳水运动员起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，跳水运动员甲从起跳到入水的
过程中，她到水面的垂直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系
y=a(x-h) 2+k(a<0)．
(1)如图2，在完成一次跳水动作的过程中，运动员甲的水平距离x与到水面的垂直高度y的几组数据记录如下：
水平距离
0 3 3.5 4 4.5
x/m
垂直高度 10 1 k 10 6.25
y/m 0
①根据上述数据，直接写出该函数图象的对称轴______；
②直接写出该函数的解析式______；
(2)某次跳水过程中，运动员乙到水面的垂直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-5x2+40x-68，
记她的入水点的水平距离为d ．若运动员甲的入水点的水平距离为d ，则d ______d ；（填“>”“=”
2 1 1 2
或“<”）
(3)在（2）的情况下，运动员乙某次起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水面的垂直高度为c，则
她到水面的垂直高度y与时间t之间近似满足y=-5t2+c，如果运动员乙在达到最高点后需要1.6秒的
时间才能完成跳水动作．请通过计算说明，她此次跳水能否成功完成此动作？
【答案】(1)直线x=3.5，y=-5(x-3.5) 2+11.25；
(2)<；
(3)她不能成功完成此动作，见解析．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据表格可求函数对称轴，然后再从表格中代入三个点的坐标进行求解函数解析式即可；
2❑√15
（2）由题意易得d =5米，然后可得d = +4，进而问题可求解；
1 2 5
（3）由题意易得B(4,12)，则有y=-5t2+12，然后把t=1.6代入进行求解即可
【详解】（1）解：由表格可知，图象过点(3,10)，(4,10)，(4.5,6.25)，
3+4
∴h= =3.5，
2
∴y=a(x-3.5) 2+k，
∴¿，
解得：¿，
∴y=-5(x-3.5) 2+11.25；
故答案为：直线x=3.5，y=-5(x-3.5) 2+11.25；（2）解：∵y=-5(x-3.5) 2+11.25，
当y=0时：0=-5(x-3.5) 2+11.25，
解得：x=5或x=2（不合题意，舍去）
∴d =5米；
1
∵y=-5x2+40x-68，
当y=0时：-5x2+40x-68=0，
2❑√15 2❑√15
解得：x= +4或x=- +4（不合题意，舍去）
5 5
2❑√15
∴d = +4>5，
2 5
∴d <d ，
1 2
故答案为：<；
（3）解：y=-5x2+40x-68=-5(x-4) 2+12，
∴B(4,12)，
∴c=12，
∴y=-5t2+12，
当t=1.6时，y=-5×1.62+12=-0.8，
∵-0.8<0，
∴她不能成功完成此动作．
【变式3】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的
纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖
高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记
为 C ，锅盖纵断面的抛物线记为 C ．
1 2(1)求C 和C 的解析式：
1 2
(2)如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径（结果保留根号）；
(3)如果将一个底面直径为2dm，高度为3.6dm的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常
盖上？请说明理由．
1 1
【答案】(1)C :y= x2-3(-3≤x≤3)，C :y=- x2+1(-3≤x≤3)
1 3 2 9
(2)此时水面的直径为2❑√3dm
(3)锅盖不能正常盖上，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质，
(1)根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
(2)根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高度；
(3)将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可．
【详解】（1）解：抛物线过点A(-3,0),B(3,0)，
设C 和C 的解析式为：y=a (x-3)(x+3),y=a (x-3)(x+3)；
1 2 1 2
∵抛物线C 经过 ，
1
1
∴-3=a (0-3)(0+3)，解得a = ，
1 1 3
1
则y= x2-3(-3≤x≤3)，
3
∵抛物线C 还经过C(0,1)，
2
1
∴1=a (0-3)(0+3)，解得a =- ，
2 2 9
1
则C :y=- x2+1(-3≤x≤3)；
2 9
1
（2）解：当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y=-2，即 x2-3=-2，解得x=±❑√3，
3
则此时水面的直径为2❑√3dm；
（3）解：锅盖不能正常盖上，理由如下，
1 8 1 8
当x=1时，抛物线C :y= ×12-3=- ，C :y=- ×12+1= ，
1 3 3 2 9 9
8 8 8 24 32
则 -(- )= + = <3.6，
9 3 9 9 9
那么，锅盖不能正常盖上．【题型十九】二次函数的综合-面积问题
【典例19】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-1,0)，
B(3,0)，与y轴交于点C，点D为直线BC下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点D作y轴的平行线，交BC于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时DP最大，试判断小
明的说法是否正确，并说明理由．
(3)求三角形BCD面积的最大值．
【答案】(1)y=x2-2x-3
(2)不正确，理由见解析
27
(3)
8
【分析】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与
性质是解决本题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，进而求出直线BC的解析式，设D(t，t2-2t-3)(0<t<3)，则P(t，t-3)，
则DP=(t-3)-(t2-2t-3)=-t2+3t=- ( t- 3) 2 + 9 ，由此即可求出答案；
2 4
3( 3) 2 27
（3）根据S =S +S 求出S =- t- + ，然后根据二次函数的性质求解即可．
△BCD △BPD △CPD △BCD 2 2 8
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，
∴抛物线解析式可设为y=a(x-3)(x+1)，
即y=ax2-2ax-3a，∴-3a=-3，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3；
（2）解：小明的说法不正确．
理由如下：
∵y=x2-2x-3=(x-1) 2-4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,-4)，
当x=0时，y=x2-2x-3=-3，则C(0,-3)，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B(3,0)，C(0,-3)分别代入得¿，
解得¿，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设D(t，t2-2t-3)(0<t<3)，则P(t，t-3)，
∴DP=(t-3)-(t2-2t-3)=-t2+3t=- ( t- 3) 2 + 9 ，
2 4
3
∴当t= ，DP最大，
2
而抛物线的顶点坐标为(1,-4)，
∴小明的说法不正确．
( 3) 2 9
（3）解：由（2）知DP=- t- + ，
2 4
∴S =S +S
△BCD △BPD △CPD
1 [ ( 3) 2 9] 1 [ ( 3) 2 9]
= (t-0) - t- + + (3-t) - t- +
2 2 4 2 2 4
1 [ ( 3) 2 9]
= ×3⋅ - t- +
2 2 4
3( 3) 2 27
=- t- + ，
2 2 83 27
∴当t= ，S 最大，最大值为 ．
2 △BCD 8
3
【变式1】（九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知抛物线y=ax2+ x+4的对称轴是直线x=3，与x轴
2
相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线表达式；
(2)求A，B两点的坐标；
(3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形
PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC的最大面积；若不存在，请说明理由；
1 3
【答案】(1)y=- x2+ x+4
4 2
(2)点A的坐标为(-2,0)，点B的坐标为(8,0)
(3)存在点P(4,6)，使得四边形PBOC的面积最大，最大值是32
【分析】本题考查的是一道综合题，考查的是二次函数与一次函数的综合问题，能够熟练掌握一次函
数与二次函数的相关问题是解题的关键．
（1）根据对称轴公式可以求出a，从而可得抛物线解析式，
（2）解出抛物线解析式y=0是的两个根，即可得到A，B的坐标；
（3）根据解析式可求出C点坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，从而可求该解析式方
程，假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，设点P的坐标为 ( x,- 1 x2+ 3 x+4 ) ，然后过点P作
4 2
PD∥y轴，交直线BC于点D，从而可求答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线x=3，
3
∴ 2 ，
- =3
2a
1
解得a=- ，
41 3
∴抛物线的解析式为：y=- x2+ x+4；
4 2
1 3
（2）解：当y=0时，- x2+ x+4=0，
4 2
解得x =-2，x =8，
1 2
∴点A的坐标为(-2,0)，点B的坐标为(8,0)；
1 3
（3）解：当x=0时，y=- x2+ x+4=4，
4 2
∴点C的坐标为(0,4)，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将B(8,0),C(0,4)代入y=kx+b得¿，
解得¿，
1
∴直线BC的解析式为y=- x+4，
2
假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，
设点P的坐标为 ( x,- 1 x2+ 3 x+4 ) ，
4 2
如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，
( 1 )
则点D的坐标为 x,- x+4 ，
2
则PD=- 1 x2+ 3 x+4- ( - 1 x+4 ) =- 1 x2+2x，
4 2 2 4
∴S =S +S
四边形PBOC △BOC △PBC
1 1
= ×8×4+ PD⋅OB
2 2=16+ 1 ×8 ( - 1 x2+2x )
2 4
=-x2+8x+16
=-(x-4) 2+32；
∴当x=4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32；
∵0<x<8，
∴存在点P(4,6)，使得四边形PBOC的面积最大．
【变式2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，已知抛物线y=x2+bx-3经过A(-1,0)，B两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当0<x<3时，直接写出y的取值范围；
(3)P为抛物线上一点，若S =10，求出此时点P的坐标．
△PAB
【答案】(1)y=x2-2x-3，(1,-4)
(2)-4≤ y<0
(3)(-2,5)或(4,5)
【分析】本题考查了求函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数与面积的应用，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）根据题意，将A(-1,0)的坐标代入y=x2+bx-3，进行计算，得b=-2，再把y=x2-2x-3化为
顶点式，即可作答．
（2）先求出B(3,0)，再运用数形结合思想进行作答即可；
1
（3）由（2）得B(3,0)，则AB=4，设P(x,y)，则S = AB⋅|y|=2|y|=10，则|y|=5．
△PAB 2
结合二次函数的图象性质得y =5，再代入二次函数的解析式，即可作答．
1
【详解】（1）解：将A(-1,0)的坐标代入y=x2+bx-3，得0=1-b-3，
解得b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．则y=x2-2x-3=x2-2x+1-4=(x-1) 2-4，
∴顶点坐标为(1,-4)；
（2）解：由（1）得A(-1,0)，顶点坐标为(1,-4)；
∴对称轴为直线x=1，
∴1-(-1)+1=3，
∴B(3,0)，
观察函数图象，得当0<x<3时，-4≤ y<0；
（3）解：由（2）得B(3,0)，
∵A(-1,0)
∴AB=3-(-1)=4．
1
设P(x,y)，则S = AB⋅|y|=2|y|=10，
△PAB 2
∴|y|=5．
∵抛物线的顶点坐标为(1,-4)，开口向上，
即当x=1时，函数最小值为-4，
∴y =5，y =-5<-4（舍去）
1 2
∴x2-2x-3=5，
解得x =-2，x =4，
1 2
∴此时点P的坐标为(-2,5)或(4,5)．
【题型二十】二次函数的综合-线段周长问题
2
【典例20】（25-26九年级上·重庆·月考）如图，抛物线y=ax2+ x+c过A，B(6,0)，C(0,8)三点，点
3
P是抛物线上动点．
(1)试求抛物线的表达式；
(2)如图，当P在第一象限时，过点P作PN∥y轴并交BC于点N，作PM∥x轴并交抛物线的对称轴2
于点M，若PM= PN，求点P的坐标；
3
1
(3)当点P运动到使∠PAB= ∠ABC时，请直接写出P点的坐标．
2
1 2
【答案】(1)抛物线解析式为y=- x2+ x+8
3 3
(2)P(3,7)
(9 17) (15 23)
(3)P点的坐标为 , 或 ,-
2 4 2 4
【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式和直线BC的表达式，从而求得抛物线的对称
轴；
（2）结合（1）求得抛物线的对称轴为直线x=1，根据待定系数法即可求得直线BC的表达式
y=- 4 x+8；设P ( m,- 1 m2+ 2 m+8 ) ，M ( 1,- 1 m2+ 2 m+8 ) ，N ( m,- 4 m+8 ) ，进而得
3 3 3 3 3 3
PN=- 1 m2+2m，PM=m-1，由PM= 2 PN得m-1= 2( - 1 m2+2m ) ，解m=3，即可得解；
3 3 3 3
（3）先求得点C(0,8)关于直线x=1的对称点为D(2,8)，过点A作AP平分∠BAD交抛物线于点P，交
1
BD于点H，再求得H(4,4)，从而求得设直线AP的解析式，联立直线AP为：y= x+2与抛物线解析
2
1 2
式为y=- x2+ x+8即可求解；同理，作点C,D,H关于x的对称点C',D',H'，运用待定系数法得
3 3
到直线AP'的解析式，联立方程组求解即可．
2
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+ x+c过点B(6,0)，C(0,8)，
3
∴¿，
解得¿，
1 2
∴抛物线解析式为y=- x2+ x+8，
3 3
1 2 1 25
（2）解：∵y=- x2+ x+8=- (x-1) 2+ ，
3 3 3 3∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线BC：y=kx+b(k≠0)，
∵B(6,0)，C(0,8)在y=kx+b(k≠0)上，
∴¿，
解得¿，
4
∴直线BC为：y=- x+8；
3
1 2
由点P是第一象限内抛物线y=- x2+ x+8上的动点，点P的横坐标是m，且1<m<6，设
3 3
P ( m,- 1 m2+ 2 m+8 ) ，
3 3
4
∵PN∥y轴，PM∥x轴，抛物线的对称轴为直线x=1，直线BC为：y=- x+8，
3
∴M ( 1,- 1 m2+ 2 m+8 ) ，N ( m,- 4 m+8 ) ，
3 3 3
1
∴PN=- m2+2m，PM=m-1，
3
2
∵PM= PN，
3
∴m-1= 2( - 1 m2+2m ) ，
3 3
3
解得m =3，m =- （舍去），
1 2 2
1 2
当m=3时，- m2+ m+8=7，
3 3
∴P(3,7)；
1 2
（3）解：∵抛物线y=- x2+ x+8的对称轴为直线x=1，A(-4,0)，B(6,0)，C(0,8)，
3 3
∴A、B两点关于直线x=1成轴对称，设点C(0,8)关于直线x=1的对称点为D(x ,8)，
0
x +0
∴ 0 =1，
2
∴x =2，
0∴点C(0,8)关于直线x=1的对称点为D(2,8)，
∵A、B两点关于直线x=1成轴对称，点C(0,8)关于直线x=1的对称点为D(2,8)，连接AC,AD,BD，
∴△ABC与△BAD关于直线x=1成轴对称，
∴∠ABC=∠BAD，
1 1
过点A作AP平分∠BAD交抛物线于点P，交BD于点H，则∠PAB= ∠BAD= ∠ABC，点P为
2 2
所求的点，
∵A(-4,0)，B(6,0)，D(2,8)，
∴AB=4+6=10，AD=❑√(2+4) 2+82=10，
∴AB=AD，
∵AP平分∠BAD交抛物线于点P，交BD于点H，
∴AH⊥BD，HD=HB，
∴B(6,0)，D(2,8)，
(6+2 0+8)
∴H , ，即H(4,4)，
2 2
设直线AP为：y=mx+n，∵直线AP为：y=mx+n过H(4,4)，A(-4,0)，
∴¿，
解得¿，
1
∴直线AP为：y= x+2，
2
1 1 2
联立直线AP为y= x+2与抛物线解析式为y=- x2+ x+8得，
2 3 3
¿，
解得¿或¿（舍去），
(9 17)
∴P , ；
2 4
同理，作点C,D,H关于x轴的对称点C',D',H'，
∴∠ABC'=∠ABC,C'(0,-8),D'(2,-8),H'(4,-4)，
∴设直线AP'的解析式为y=fx+e(f ≠0)，
∴¿，
解得，¿，
1
∴直线AP'的解析式为y=- x-2，
2
联立方程组得，¿，
整理得，2x2-7x-60=0，
解得，¿，¿（不符合题意，舍去），
∴P'(15
,-
23)
；
2 4
(9 17) (15 23)
综上所述，P点的坐标为 , 或 ,- ．
2 4 2 4
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数，二次函数与几何综合，一次函数与几何
综合，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
1
【变式1】（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线y=- (x+1)(x-4)与x轴相交于点A，B（点
2
B在点A的右边），与y轴相交于点C．(1)求直线BC的解析式；
(2)点P在第一象限内该抛物线上的一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．求线段PQ的最
大值．
1
【答案】(1)y=- x+2
2
4❑√5
(2)
5
【分析】（1）根据抛物线和坐标轴的交点求出B,C坐标，设直线BC的解析式为y=kx+2，利用待定
系数法求解，即可解题；
PQ PM
（2）过点P作PM∥y轴，交BC于点M，证明△OBC∽△QPM，得到等式 = ，设
OB BC
P ( m,- 1 m2+ 3 m+2 ) ，则M ( m,- 1 m+2 ) ，PM=- 1 m2+2m，将其代入等式整理得到
2 2 2 2
❑√5 4❑√5
PQ=- (m-2) 2+ ，再结合二次函数最值情况求解，即可解题．
5 5
1
【详解】（1）解：∵抛物线y=- (x+1)(x-4)与x轴相交于点A，B（点B在点A的右边），
2
1
当- (x+1)(x-4)=0时，解得x =-1,x =4，
2 1 2
∴A(-1,0),B(4,0)，
∵抛物线与y轴相交于点C，
1
当x=0时，解得y=- ×1×(-4)=2，
2
∴C(0,2)，
设直线BC的解析式为y=kx+2，
将B(4,0)代入y=kx+2中，1
有4k+2=0，解得k=- ，
2
1
∴直线BC的解析式为y=- x+2；
2
（2）解：过点P作PM∥y轴，交BC于点M，
∴∠OCB=∠PMQ
，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQM=∠BOC=90°，
∴△OBC∽△QPM，
PQ PM
∴ = ，
OB BC
∵OB=4,OC=2，
∴BC=❑√OB2+OC2=2❑√5，
1 1 3
∵ y=- (x+1)(x-4)=- x2+ x+2，
2 2 2
设P ( m,- 1 m2+ 3 m+2 ) ，
2 2
( 1 )
则M m,- m+2 ，
2
1
∴PM=- m2+2m，
2
1
- m2+2m
∴ PQ 2 ，
=
4 2❑√5
❑√5 4❑√5
整理得PQ=- (m-2) 2+ ，
5 5
❑√5
∵- <0，
54❑√5
则当m=2时，线段PQ有最大值为 ．
5
【点睛】本题考查了抛物线和坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判
定，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
【变式2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c经过
A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
(3)如图2，若E是线段AD上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线
于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形AODF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2-2x+3
(2)3❑√2+❑√10
(3)①S=-m2-4m+3；②S存在最大值，最大值为7，此时点E(-2,2)
【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）根据BC是定值，可得当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，再由点A、B关于对称轴l对称，
可得PB+PC=PA+PC≥AC，从而得到△PBC的周长最小的最小值为AC+BC，即可求解；
（3）①先求出直线AD的解析式，再由点E的横坐标为m，可得点E(m,2m+6)，点
F(m,-m2-2m+3)，从而得到EF=-m2-4m-3，然后根据四边形AODF的面积=S +S ，
△ADF △AOD
得到S与m的函数关系；②根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点，
∴¿，
解得：¿，
∴该抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；（2）解：如图，连接AC交DH于点P，
∵B(1,0),C(0,3)，
∴BC=❑√12+32=❑√10，是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，
∵点A、B关于对称轴l对称，
∴PB=PA，
∴PB+PC=PA+PC≥AC，
∴△PBC的周长最小的最小值为AC+BC，
∴A(-3,0)，
∴AC=❑√32+32=3❑√2，
∴△PBC的周长最小的最小值为3❑√2+❑√10；
（3）解：①∵y=-x2-2x+3=-(x+1) 2+4，
∴顶点D(-1,4)，
如图，
设直线AD的解析式为y=kx+n，
把点A(-3,0)，D(-1,4)代入得：
¿，
解得：¿，
∴直线AD的解析式为y=2x+6，∵点E的横坐标为m，
∴点E(m,2m+6)，
∵EF⊥x轴，
∴点F(m,-m2-2m+3)，
∴EF=-m2-2m+3-(2m+6)=-m2-4m-3，
∴四边形AODF的面积=S +S
△ADF △AOD
1 1
= (x -x )×EF+ DH×OA
2 D A 2
1 1
= (-1+3)×(-m2-4m-3)+ ×4×3
2 2
=-m2-4m+3，
即S=-m2-4m+3；
②存在，
S=-m2-4m+3=-(m+2) 2+7，
∵-1<0，
∴当m=-2时，S取得最大值，最大值为7，此时点E(-2,2)．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；
会利用待定系数法求函数解析式；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题．
【变式3】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图①，已知二次函数y=ax2+bx-3与x轴相交于A(-1,0)、
B(3,0)两点，与y轴相交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图②，连结AC、BC．
①在对称轴上是否存在一个点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标和此时△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
②点D为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点D，使得△BDC的面积最大？若存在，请
求出点D的坐标和此时△BDC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2-2x-3
(2)①存在一个点P，使△PAC的周长最小，P(1,-2)，△PAC的周长最小值为3❑√2+❑√10；②存在
(3 15) 27
D ,- ，此时△BDC面积的最大值为 ．
2 4 8
【分析】（1）运用待定系数法计算即可．
（2）①运用待定系数法计算即可直线BC为y=x-3，判定A(-1,0)、B(3,0)是对称点，计算当x=1时
的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长．
②设D(n,n2-2n-3)，过点D作DE⊥x交直线BC于点E，则E(n,n-3)，根据面积法构造二次函数，
根据二次函数的最值计算即可．
【详解】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx-3与x轴相交于A(-1,0)、B(3,0)两点，
∴¿，
解得¿，
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
（2）解：①存在，点P(1,-2)．理由如下：
y=x2-2x-3中，当x=0时，y=-3，
∴C(0,-3)，
设直线BC为y=kx+m，
把B(3,0)，C(0,-3)代入y=kx+m得，
¿，
解得k=1，m=-3，
∴直线BC为y=x-3；
∵抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，C(0,-3)，
∴A(-1,0)、B(3,0)关于二次函数对称轴对称，
∴PA=PB，AC=❑√12+32=❑√10，BC=❑√32+32=3❑√2，
∴△PAC的周长为PA+PC+AC=PB+PC+AC=PB+PC+❑√10，
根据两点之间线段最短得，当P在直线BC上时，PB+PC最短，即△PAC的周长最小，∵直线BC的解析式为y=x-3，
∴当x=1时，y=1-3=-2，
∴点P(1,-2)，
∴△PAC的周长最小值为PA+PC+AC=BC+AC=3❑√2+❑√10；
③存在，设D(n,n2-2n-3)，过点D作DE⊥x交直线BC于点E，则E(n,n-3)，
∵B(3,0)，C(0,-3)，
1
∴S = [(n-3)-(n2-2n-3)](3-0)，
△BDC 2
3
=- (n2-3n)
2
3( 3) 2 27
=- n- +
2 2 8
3 27
故当n= 时，S 取得最大值，且为 ，
2 △BDC 8
3 15
当n= 时，n2-2n-3=- ，
2 4
(3 15)
∴D ,- ．
2 4
(3 15) 27
∴存在D ,- ，此时△BDC面积的最大值为 ．
2 4 8
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角
形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．
【题型二十一】二次函数的综合-角度问题
【典例21】（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(-1,0)，B(m,0)两点，与y轴相交于点C(0,-3)，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，求线段PM
长度的最大值．
(3)若点E在x轴上，且∠ECB=∠CBD，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)y=x2-2x-3
9
(2)
4
(3 )
(3) ,0 或(6,0)
2
【分析】（1）将A(-1,0)，C(0,-3)代入y=x2+bx+c求解即可；
（2）根据BC的解析式和抛物线的解析式，设P(x,x2-2x-3)，则M(x,x-3)，表示PM的长，根
据二次函数的最值可得PM的最大值即可；
（3）如图1，连接BD，CE'，CE'交BD于点T．然后分点E在点B的左侧和右侧两种情况解答即可．
【详解】（1）解：把A(-1,0)，C(0,-3)代入抛物线y=x2+bx+c中
得：¿，
解得：¿，
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3．
（2）解：∵y=x2-2x-3，
当y=0时，x2-2x-3=0，
解得：x=3或-1，
∴B(3,0)；
设BC的解析式为：y=kx+t，
∵B(3,0)，C(0,-3)，
∴¿，解得：¿，
∴BC的解析式为：y=x-3，
设P(x,x2-2x-3)，
则M(x,x-3)，
∴PM=(x-3)-(x2-2x-3)=-x2+3x=- ( x- 3) 2 + 9 ，
2 4
3 9
当x= 时，PM有最大值为 ．
2 4
（3）解：如图1，连接BD,CE'，CE'交BD于点T．
y=x2-2x-3=(x-1) 2-4
，
∴顶点D(1,-4)，
设BD所在直线的解析式为：y=k(x-3)，
将D(1,-4)代入函数解析式得-2k=-4，
解得k=2，
故BD所在直线的解析式为：y=2x-6，
∵∠ECB=∠CBD，
∴CE∥BD，
设CE所在直线的解析式为：y=2x+p，
将C点坐标代入函数解析式，得p=-3，
故CE所在直线的解析式为：y=2x-3，
3
当y=0时，x= ，
2
(3 )
即点E的坐标为 ,0 ，
2
当点E在点B的右侧时，
∵B(3,0)，C(0,-3)，D(1,-4)，∴CB2=32+32=18，CD2=12+(4-3) 2=2，BD2=(3-1) 2+42=20，
∴CB2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，
BD是斜边，
∵∠ECB=∠CBD，
∴∠TCD=∠TDC，
∴CT=BT=DT，
∴T为BD的中点，
∴CE'经过BD的中点T(2,-2)，
1
∴直线CT的解析式为y= x-3，
2
∴点E'的坐标是(6,0)．
(3 )
∴综上所述，点E的坐标是 ,0 或(6,0)．
2
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理
等知识点，掌握分类讨论和数形结合的思想是解题的关键．
【变式1】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图1，拋物线y=x2+mx-3交x轴于A，B两点（A在B的
左边），与y轴负半轴交于点C，且OB=OC，连接BC．
(1)求拋物线的解析式；
(2)M为抛物线上一点，若∠MAB=∠ABC，求点M的坐标；
(3)如图2，D(a,0)为线段OB上一动点，过点D作DE⊥x轴交抛物线于点E，第四象限的拋物线上
是否存在点P，连接AP，使DE与AP互相平分，若存在求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2-2x-3(2)点M的坐标为(4,5)或(2,-3)
(5 32)
(3)点P的坐标为 ,-
3 9
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数的综合应用，平行四边形
的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，先得出点C的坐标为(0,-3)，点B的坐标为(3,0)，结合令y=0,x2+mx-3=0,x=3
是该方程的根，解得m=-2，即可作答．
（2）读懂题意，然后进行分类讨论，即点M在x轴上方，或点M在x轴下方，分别作图，再运用二次
函数的图象性质列式计算，即可作答．
（3）依题意，假设存在点P(n,n2-2n-3)．因为DE与AP互相平分，所以PE∥AD且PE=AD，
a+n
因为D(a,0)且DE⊥x轴交抛物线于点E，则E(a,a2-2a-3)，得 =1①，n-a=a+1②，联立
2
1 5 5 32
①②，解得：a= ,n= ，将x= 代入y=x2-2x-3中得y=- ，即可作答．
3 3 3 9
【详解】（1）解：依题意，令x=0，得y=-3，即点C的坐标为(0,-3)，
∵OB=OC，
∴OB=OC=3，即点B的坐标为(3,0)，
令y=0,x2+mx-3=0,x=3是该方程的根，
∴32+3m-3=0，
得m=-2，
故抛物线的解析式为：y=x2-2x-3；
（2）解：依题意，设M点坐标为(t,t2-2t-3)，
如图，若点M在x轴上方，作MN⊥x轴于点N，由（1）知：∠MAN=∠ABC=45°，
∴AN=MN，
t2-2t-3=t+1，
即：t2-3t-4=0，
得：t=4或-1（舍去），
此时M点坐标为(4,5)，
若点M在x轴下方，
同理得：-(t2-2t-3)=t+1，
即：t2-t-2=0，
得：t=2或-1（舍去），
此时M点坐标为(2,-3)；
综上：点M的坐标为(4,5)或(2,-3)；
（3）解：依题意，假设存在点P(n,n2-2n-3)．
当四边形ADPE是平行四边形时，DE与AP互相平分，
∴PE∥AD且PE=AD，
∵D(a,0)且DE⊥x轴交抛物线于点E，
则E(a,a2-2a-3)，
故点P与点E是一对对称点，
a+n
∴ =1①，
2
又∵PE=AD，
∴n-a=a+1②，1 5
联立①②，解得：a= ,n= ，
3 3
5 32
将x= 代入y=x2-2x-3中得：y=- ，
3 9
(5 32)
∴点P的坐标为 ,- ．
3 9
【变式2】（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，一次函数y =x-4与二次函数y =ax2+bx+2交于点
1 2
A(2,m)和点B(6,2)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为直线AB下方抛物线上一动点，PM∥y轴交AB于点M，PN⊥AB，垂足为N，求
PM-PN的最大值，及此时点P的坐标；
(3)将二次函数图象向某个方向平移，平移后（2）中求得的点P的对应点为P'(2,-4)，且新抛物线与
x轴交于E，F两点（点E在点F的左侧），交y轴于点G．H为新抛物线位于第四象限上的一动点，
过H作HK⊥x轴，垂足为K，连接EG,EH．若∠EHK=2∠HEG，直接写出新抛物线的解析式
和点H的坐标．
1
【答案】(1)y= x2-3x+2
2
(2)PM-PN的最大值为2-❑√2，此时，点P(4,-2)
(3)y=
1
x2-x-4，H
(5
,-
27)
2 2 8
【分析】（1）根据题意，先得到A(2,-2)，把点A(2,-2)，B(6,2)代入二次函数解析式，运用待定
系数法即可求解；
（2）如图所示，设直线y =x-4分别与x、y轴交于点T、R，可得△TOR是等腰直角三角形，由平
1行线的性质可得△PMN是等腰直角三角形，PN= ❑√2 PM，设点P ( x, 1 x2-3x+2 ) (2<x<6)，则
2 2
2-❑√2
点M(x,x-4)，所以PM-PN=- ×(x-4) 2+2-❑√2，当x=4时，有最大值，最大值为2-❑√2，
4
由此即可求解；
（3）根据题意可得P'(2,-4)，图象向左平移2个单位，向下平移2个单位，则得到平移后二次函数
解析式，根据二次函数与坐标轴的交点可得E(-2,0),F(4,0)，如图所示，设EH与y轴交于点W，可
5
得WE=WG，设设WE=WG=w，则OW=OG-WG=4-w，由勾股定理可得w= ，则可得点
2
( 3)
W 0,- ，联立直线与二次函数可得点H的坐标，由此即可求解．
2
【详解】（1）解：把点A(2,m)代入一次函数y =x-4，则m=2-4=-2，
1
∴A(2,-2)，
把A(2,-2)，B(6,2)代入二次函数表达式，
得：¿，
解得：¿，
1
则抛物线的表达式为：y= x2-3x+2；
2
（2）解：如图所示，设直线y =x-4分别与x、y轴交于点T、R，
1
一次函数y =x-4，当x=0时，y=-4；当y=0时，x=4，
1
∴T(4,0),R(0,-4)，
∴OT=OR，
∵∠TOR=90°，
∴△TOR是等腰直角三角形，∴∠OTR=∠ORT=45°，
∴TR=❑√OR2+OT2=❑√42+42=4❑√2，
∵PM∥y轴，
∴∠PMN=∠ORT=45°，
∵PN⊥AB，
∴∠NPM=45°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PN=MN，
∴PM=❑√PN2+M N2=❑√2PN，
❑√2
∴PN= PM，
2
∵点P为直线AB下方抛物线上一动点，
设点P ( x, 1 x2-3x+2 ) (2<x<6)，则点M(x,x-4)，
2
则PM=(x-4)- (1 x2-3x+2 ) =- 1 x2+4x-6，
2 2
则PM-PN
❑√2
=PM- PM
2
2-❑√2
= PM
2
= 2-❑√2 × ( - 1 x2+4x-6 )
2 2
2-❑√2
=- ×(x2-8x+12)
4
2-❑√2
=- ×(x-4) 2+2-❑√2，
4
2-❑√2
∵- <0
4
∴当x=4时，有最大值，最大值为2-❑√2，1
∴y= ×42-3×4+2=-2，
2
此时，点P(4,-2)；
（3）∵平移后（2）中求得的点P的对应点为P'(2,-4)，
则函数向左平移2个单位向下平移2个单位，
1 1
则新抛物线的表达式为： y= (x+2) 2-3(x+2)+2-2 = x2-x-4，
2 2
当x=0时，y=-4，则G(0,-4)，
1
当y=0时， x2-x-4=0，
2
∴x =-2,x =4，
1 2
∴E(-2,0),F(4,0)，
如图所示，设EH与y轴交于点W，
∵HK⊥x
轴，
∴HK∥OG，
∴∠EHK=∠EWO，
∵∠EWO=∠WEG+∠WGE,∠EHK=2∠HEG，
∴∠EWO=∠WEG+∠WGE=2∠WEG，
∴∠WEG=∠WGE，
设WE=WG=w，则OW=OG-WG=4-w，
在Rt△OEW中，w2=(4-w) 2+22，
5
解得：w= ，
2
( 3)
∴W 0,- ，
23
设直线WE的解析式为y=kx- ，把E(-2,0)代入，
2
3
∴-2k- =0，
2
3
解得：k=- ，
4
3 3
∴直线WE的解析式为y=- x- ，
4 2
∴¿，
解得：¿，¿（不合题意舍去），
∵H在第四象限，
(5 27)
∴H ,- ．
2 8
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，正弦值的计算与运用，二次
函数与直线的交点解一元二次方程，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合，掌握二次函数
与一次函数，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
2
【变式3】（24-25九年级上·天津·期末）如图，抛物线，y=- x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴
3
交于点C，点A坐标为(-1,0)，点B坐标为(3,0)．
(1)求此拋物线的函数解析式．
(2)点P是直线BC上方拋物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂
线，垂足为点E，求2PD+PE的最大值，及此时P点的坐标．
(3)点M为该拋物线上的点，当∠MCB=45°时，请直接写出满足条件的点M的坐标．
2 4
【答案】(1)y=- x2+ x+2
3 3
75 (15 69)
(2)2PD+PE的最大值为 ，P点的坐标为 ,
16 8 32(17 117) (19 91)
(3)点M的坐标为 , 或 ,-
10 50 2 2
【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；
（2）先求解C(0,2)，及直线BC为y=- 2 x+2，设P ( x,- 2 x2+ 4 x+2 ) ，可得D ( x,- 2 x+2 ) ，再
3 3 3 3
建立二次函数求解即可；
（3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK，可得∠BCK=∠BCT=45°，CK,CT与抛物线的另
一个交点即为M，如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB=GQ=3，设
TQ=GB=m，则CQ=TG=3-m，求解T(m,m-1)，进一步求解直线CT为：y=-5x+2，直线
1
CK为y= x+2，再求解函数的交点坐标即可.
5
2
【详解】（1）解：∵抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为
3
(-1,0)，点B坐标为(3,0)．
2 2 4
∴y=- (x+1)(x-3)=- x2+ x+2；
3 3 3
2 4
（2）解：当x=0时，y=- x2+ x+2=2，
3 3
∴C(0,2)，
设直线BC为y=kx+2，
2
∴3k+2=0，解得：k=- ，
3
2
∴直线BC为y=- x+2，
3
设P ( x,- 2 x2+ 4 x+2 ) ，
3 3
( 2 )
∴D x,- x+2 ，
3
∴2PD+PE
=2 ( - 2 x2+ 4 x+2+ 2 x-2 ) +x
3 3 34
=- x2+5x；
3
5 15
x=- =
75
当 ( 4) 8 时，有最大值 ；
2× - 16
3
(15 69)
此时P , ；
8 32
（3）解：如图，以CB为对角线作正方形CTBK，
∴∠BCK=∠BCT=45°，
∴CK,CT与抛物线的另一个交点即为M，
如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB=GQ=3，
∴∠CTB=90°=∠CQT=∠QGB，
∴∠QCT+∠CTQ=90°=∠CTQ+∠BTG，
∴∠QCT=∠BTG，
∵CT=BT，
∴△CQT≌△TGB，
∴QT=GB，CQ=TG，
设TQ=GB=m，则CQ=TG=3-m，
∴QO=3-m-2=1-m,
∴T(m,m-1)，
由TC=TB可得：
∴m2+(m-3) 2=(m-3) 2+(m-1) 2，
1
解得：m= ，
2
(1 1)
∴T ,- ，
2 2设CT为：y=nx+2，
1 1
∴ n+2=- ，解得：n=-5，
2 2
∴直线CT为：y=-5x+2，
∴¿，
解得：¿或¿，
(19 91)
∴M ,- ，
2 2
(1 1)
∵T ,- ，C(0,2)，B(3,0)，正方形CTBK，
2 2
(5 5)
∴K , ，
2 2
1
同理可得：直线CK为y= x+2，
5
∴¿，
解得：¿或¿，
(17 117)
∴M , ，
10 50
(17 117) (19 91)
综上：点M的坐标为 , 或 ,- .
10 50 2 2
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，正方形的性质，作出
合适的辅助线是解本题的关键.
【题型二十二】二次函数的综合-特殊三角形问题
【典例22】（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线L:y=ax2+bx-1经过点
A(2,7)，B(-1,-2)．
(1)求抛物线L的表达式；
(2)设L关于原点O对称的抛物线为L'，L'的顶点为P，对称轴为l．若点Q在L'上，点M在l上，连接
PQ、QM．若△PQM为等腰直角三角形，求点M的坐标．【答案】(1)y=x2+2x-1；
(2)点M的坐标为(1,1)或(1,0)．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进
行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出新的抛物线的解析式，分P,Q,M分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把点A(2,7)，B(-1,-2)代入函数解析式，得：
¿，解得：¿，
∴y=x2+2x-1；
（2）解：∵y=x2+2x-1=(x+1) 2-2，
∴顶点坐标为(-1,-2)，
则：(-1,-2)关于原点对称的点为(1,2)，
∵L，L'关于原点O对称，抛物线的开口大小不变，方向相反，
∴L'的解析式为：y=-(x-1) 2+2=-x2+2x+1，
∴P(1,2)，对称轴为直线x=1，
设M(1,m)，Q(t,-t2+2t+1)，
当点P为直角顶点时，则QP⊥MP，此时不存在点Q在抛物线上，不符合题意，
当点M为直角顶点时，则QM⊥PM，且QM=PM，点M在P点下方：
∴QM∥x轴，
∴¿，
∴|t-1|=2+t2-2t-1，
解得：t=0或t=1（舍去）或t=2，
当t=0或t=2时，m=1，
∴M(1,1)，当点Q为直角顶点时，过点Q作QN⊥PM于点N，则：N(1,-t2+2t+1)，
∵△PQM是等腰直角三角形，
∴QN=PN=MN，
∴|1-t|=2-(-t2+2t+1)，
解得：t=0或t=1（舍去）或t=2，
当t=0或t=2时，-t2+2t+1=1，
∴N(1,1)，
∴MN=PN=1，
∴1-m=1，
∴m=0；
∴M(1,0)，
综上：点M的坐标为(1,1)或(1,0)．
【变式1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0)，
B(3,0)两点，与y轴交于点C，直线y=x+1与抛物线交于A，D两点．点P为直线AD上方抛物线上
的一点（不与A、D重合），连接AP,DP．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)请求出四边形ABDP的面积的最大值；
(3)点Q是直线AD上的任意一点，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；D(2,3)75
(2)
8
(3)(3,4)或(-1+❑√5,❑√5)或(-1-❑√5,-❑√5)
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线
与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面
积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，
利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立¿即可求出点D的坐标；
（2）根据△ABD面积一定，知需令得△ADP的面积最大即可，过点P作x轴的垂线交AD于点K，
设点P(p,-p2+2p+3)(-1<p<2)，则K(p,p+1)，求出PK=-p2+p+2，由
1
S = PK⋅(x -x )，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解；
△ADP 2 D A
（3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设Q(q,q+1)，分AC=CQ和AC=AQ两种情况，
利用两点间距离公式建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，
则¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
联立¿，则x2-x-2=0，
解得x=-1或x=2，
当x=2时，y =2+1=3，
D
∴ D(2,3)；
1 1
（2）∵ S = AB⋅y = ×(3+1)×3=6为定值，且S =S +S ，
△ABD 2 D 2 四边形ABPD △ABD △ADP
∴当△ADP的面积最大时，四边形ABDP的面积最大，
过点P作x轴的垂线交AD于点K，P(p,-p2+2p+3)(-1<p<2) K(p,p+1)
设点 ，则 ，
∴ PK=-p2+p+2，
∴ S =
1
PK⋅(x -x )=
1
×[2-(-1)](-p2+p+2)=
3
×(-p2+p+2)=-
3(
p-
1) 2
+
27
，
△ADP 2 D A 2 2 2 2 8
∵-1<0，
1 27
当p= 时，S 有最大值，最大值为 ，
2 △ADP 8
27 75
此时S =S +S =6+ = ，
四边形ABPD △ABD △ADP 8 8
75
∴四边形ABDP的面积的最大值为 ；
8
（3）解：∵抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
设Q(q,q+1)，
∴AQ2=(q+1) 2+(q+1) 2=2(q+1) 2，CQ2=q2+(q+1-3) 2=2q2-4q+4，
AC2=(-1-0) 2+(0-3) 2=10，
∵ △ACQ是以AC为腰的等腰三角形，
当AC=CQ时，即AC2=CQ2，
∴2q2-4q+4=10，
解得：q=3或q=-1（舍去）；
∴Q(3,4)；
当AC=AQ时，即AC2=AQ2，
∴2(q+1) 2=10，
解得：q=-1+❑√5或q=-1-❑√5，∴Q(-1+❑√5,❑√5)或Q(-1-❑√5,-❑√5)；
综上，△ACQ是以AC为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为(3,4)或(-1+❑√5,❑√5)或(-1-❑√5,-❑√5)．
【变式2】（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴相交于
A(-1,0)，B(5,0)两点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线BC的上方，试求△PBC面积的最大值；
(3)点E是线段BC上异于B，C的动点，过点E的直线EN⊥x轴于点N，交抛物线于点M．当
△ECM为直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1)y=-x2+4x+5
125
(2)
8
(3)(4,5)或(3,8)
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数
的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键．
（1）将点A(-1,0)，B(5,0)代入关系式求得a、b的值即可解答；
（2）如图1：过点P作PM⊥x轴，垂足为M，交BC于点D，设点P的横坐标为m，则
P(m,-m2+4m+4)，D(m,-m+5)，求出S ，再根据二次函数的最值即可；
△PBC
（3）分∠CGQ=90°和∠GCQ=90°两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性
质求解即可．
【详解】（1）解：抛物线y=ax2+bx+5与x轴相交于A(-1,0)，B(5,0)两点，
则¿，解得：¿，
∴抛物线的关系式为y=-x2+4x+5．
（2）解：∵抛物线y=-x2+4x+5与y轴相交于点C，即当x=0时，y=5，∴点C(0,5)．
设直线BC的关系为y=kx+b ，
1
将点B，点C的坐标分别代入得：
¿，解得：¿，
∴y=-x+5．
如图1：过点P作PM⊥x轴，垂足为M，交BC于点D，
设点P的横坐标为m，则P(m,-m2+4m+5)，D(m,-m+5)，
∴PD=-m2+4m+5-(-m+5)=-m2+5m，
∴S =S +S
△PBC △PDC △PDB
1 1
= PD⋅OM+ PD⋅MB
2 2
1
= PD⋅OB
2
5
= (-m2+5m)
2
5( 5) 2 125
=- m- + ，
2 2 8
5
∵- <0，
2
∴抛物线开口向下，
5 125
∴当m= 时，S 的最大值为 ．
2 △PBC 8
（3）解： 如图2，当∠CME=90°时，CM∥x轴，4
∴点C与点M关于对称轴直线x=- =2对称，
2×(-1)
∴点M(4,5)．
如图3，当∠MCE=90°，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠BEN=∠CEM=∠CME=45°，∠FCM=∠FMC=45°，
∴CF=FM．
设FC=x，则点M(x,x+5)，
∴x+5=-x2+4x+5，解得：x =0（不合题意，舍去），x =3，
1 2
∴点M(3,8)．
综上所述，点M的坐标为(4,5)或(3,8)．
【变式4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究
1
如图，已知直线y=- x+2与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，B，点P
2
为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点M，设点P的横
坐标为t．(1)求抛物线解析式；
(2)当MN=2MP，t的值为___________；
(3)若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值；
(4)在y轴上是否存在点Q，使△QBN是以BN为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
7
【答案】(1)y=-x2+ x+2
2
(2)1
8
(3) ❑√5
5
❑√17-9 ❑√17+9 ❑√57-3
(4)存在，Q (0, )，Q (0, )，Q (0, )
1 4 2 4 3 2
【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，然后代入二次函数求解即可；
1 7
（2）根据点P(t,0)，确定点M(t,- t+2)，N(t,-t2+ t+2)，得出MN=-t2+4t，
2 2
1
MP=- t+2，根据题意代入求解即可；
2
（3）点N到直线AB的距离为d，求d的最大值即为求△ANB面积的最大值，连接NA、NB，根据
（2）中MN=-t2+4t代入确定面积最大值，然后由等面积法求解即可；
（4）分两种情况分析：当∠QNB=90°时，当∠QBN=90°时，分别利用全等三角形的判定和性质
及二次函数的性质求解即可．
1
【详解】（1）解：当x=0时，y=- x+2=2，
2
∴点A的坐标为(0,2)；1
当y=0时，0=- x+2，解得；x=4，
2
∴点B的坐标为(4,0)．
将A(0,2)，B(4,0)代入y=-x2+bx+c，
得：¿，
解得：¿，
7
∴这个抛物线的解析式为y=-x2+ x+2；
2
1 7
（2）点P(t,0)，则点M(t,- t+2)，N(t,-t2+ t+2)，
2 2
∴MN=-t2+ 7 t+2- ( - 1 t+2 ) =-t2+4t，MP=- 1 t+2，
2 2 2
∵MN=2MP，
1
∴-t2+4t=2(- t+2)，
2
解得：t=1或t=4（与点B重合，舍去），
故答案为：1；
（3）点N到直线AB的距离为d，求d的最大值即为求△ANB面积的最大值，
连接NA、NB，如图所示：
∵点B的坐标为(4,0)．A(0,2)
∴OB=4，OA=2，
由（2）得MN=-t2+4t，
1 1
∴S = ×MN×OB= (-t2+4t)×4=-2(t-2) 2+8，
ΔANB 2 2
∴面积最大为：8，∵AB=❑√OA2+OB2=2❑√5，
1 8❑√5
∴ ×AB×d=8，解得：d= ；
2 5
❑√17-9 ❑√17+9 ❑√57-3
（4）存在， Q (0, )，Q (0, )，Q (0, )，理由如下：
1 4 2 4 3 2
当∠QNB=90°时，如图所示：NQ=BN，
过点N作ND⊥y轴，过点B作BC⊥x轴交DN延长线于点C，
∴∠CDQ=∠BCN=90°，∠QND+∠BNC=90°，∠QND+∠DQN=90°，ND=PO=t，
∴∠BNC=∠DQN，
∴△DQN≌△NCB(AAS)，
∴ND=BC=t，DQ=NC=BP=4-t，
∴PN=BC=OD=t，
∴N(t,t)，
7
∴-t2+ t+2=t，
2
5+❑√57
解得：t= ，（负值舍去）
4
5+❑√57-8 ❑√57-3
∴OQ=OD-DQ=t-(4-t)=2t-4= = ；
2 4
当∠QBN=90°时，如图所示：QB=BN，∵∠QOB=∠BPN=∠QBN=90°，
∴∠QBO+∠OQB=90°，∠QBO+∠OBN=90°，
∴∠OQB=∠OBN，
∴△OQB≌△PBN(AAS)，
∵BP=4-t，OB=4，
∴OQ=BP=4-t，NP=OB=4，
∴N(t,4)，
7
∴-t2+ t+2=4，
2
7±❑√17
解得：t= ，
4
7+❑√17 9-❑√17 7-❑√17 9+❑√17
∴OQ=4- = 或OQ=4- = ，
4 4 4 4
∵点Q在x轴下方，
❑√17-9 ❑√17+9
∴Q(0, )，Q(0, )；
4 4
❑√17-9 ❑√17+9 ❑√57-3
综上可得：Q (0, )，Q (0, )，Q (0, )．
1 4 2 4 3 2
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段及面积问题，特
殊三角形的问题及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解
题关键．
【题型二十三】二次函数的综合-特殊四边形
【典例23】（24-25九年级上·广东中山·期中）抛物线y=ax2-2x+c(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C(0,3)，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数解析式和直线AC的解析式；
(2)如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，
PD交AC于点E．若点P的横坐标为x，请用x的式子表示PE，并求PE的最大值；
(3)如图2，点M是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点N，使得以点A，C，M，N
为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】(1)y=-x2-2x+3，y=x+3
9
(2)PE=-x2-3x；最大值为
4
(3)(-1,-8)或(-1,-2)或(-1,0)
【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解；
（2）由题意可知，P(x,-x2-2x+3)，E(x,x+3)，进而可得PE=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x，
再根据二次函数的性质解答即可求解；
（3）分AC为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求
解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想
解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把A(-3,0)和C(0,3)代入y=ax2-2x+c得，
¿，
解得¿，
∴抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3，
设直线AC的解析式为y=kx+b，把A(-3,0)和C(0,3)代入得，
¿，
解得¿，∴直线AC的解析式为y=x+3；
（2）解：若点P的横坐标为x，则P(x,-x2-2x+3)，E(x,x+3)，
∴PE=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x，
∵PE=-x2-3x=- ( x+ 3) 2 + 9 ，
2 4
3 9
∴当x=- 时，PE取最大值，最大值为 ；
2 4
（3）解：①当AC为平行四边形的边，点N在对称轴右侧时，如图3，则有MN∥AC，且MN=AC，
过点N作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG=∠ACO=∠NMG，
在△NMG和△ACO中，
¿，
∴△NMG≌△ACO(AAS)，
∴NG=AO=3，MG=CO=3，
∴点N到对称轴的距离为3，
又∵y=-x2-2x+3=-(x+1) 2+4，
∴抛物线对称轴为直线x=-1，
设点N(x,y)，则NG=|x+1|=3，
解得x=2 或x=-4（不合，舍去），
当x=2时，y=-4-4+3=-5，
∴N (2,-5)，∴M(-1,-8)；
②当AC为平行四边形的边，点N在对称轴左侧时，如图4，则有MN∥AC，且MN=AC，过点N
作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
同理①可证△NMG≌△ACO(AAS)，
∴NG=AO=3，MG=CO=3，
∴点N到对称轴的距离为3，
设点N(x,y)，则NG=|-1-x|=3，
解得x=-4或x=2（不合，舍去），
当x=-4时，y=-16+8+3=-5，
∴N(-4,-5)，
∴M(-1,-2)
③当AC为平行四边形的对角线时，如图5，设AC的中点为T，
∵A(-3,0)，C(0,3)，
( 3 3)
∴T - , ，
2 2∵点M在对称轴上，
∴点M的横坐标为-1，
x-1 3
设点N的横坐标为x，根据中点公式得 =- ，
2 2
∴x=-2，
把x=-2代入y=-x2-2x+3，得y=-4+4+3=3，
∴N(-2,3)，
∵AM∥CN，
∴点M在x轴上，
∴M(-1,0)；
综上所述，点M的坐标为(-1,-8)或(-1,-2)或(-1,0)．
【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象
与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,-3)点，点P是直线
BC下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，是否存在点P，使四边形
POP'C为菱形？若存在，请求出这个菱形的面积；若不存在，请说明理由；
(3)当点P运动到什么位置时，由A，B，P，C这四点组成的四边形的面积最大？并求出此时P点的坐
标和该四边形的最大面积．
【答案】(1)y=x2-2x-3
6+3❑√10
(2)存在，S =
菱形 2
(3 15) 75
(3)P点的坐标为 ,- ，四边形ABPC的面积的最大值为
2 4 8
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设P点坐标为(x,x2-2x-3)，则有PC=PO，连接PP'，并设PP'交CO于E，则有PE⊥CO
于E，确定P在OC的垂直平分线上，从而知道P的纵坐标，然后将纵坐标代入二次函数中，即可求得
横坐标；
（3）先求得直线BC的解析式，然后过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，又设
P(x,x2-2x-3)，则Q点的坐标为(x,x-3)，那么有S =S +S +S ，推出
四边形ABPC △ABC △BPQ △CPQ
3( 3) 2 75 3
S ==- x- + ，从而知道当x= 时，四边形ABPC的面积最大．
四边形ABPC 2 2 8 2
【详解】（1）解：将B、C两点的坐标代入y=x2+bx+c得¿
解得：¿
所以二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；
（2）解：存在点P，使四边形POP'C为菱形
设P点坐标为(x,x2-2x-3)
假设四边形POP'C是菱形，则有PC=PO
连接PP'，并设PP'交CO于E，则有PE⊥CO于E
3
∴OE=EC=
2
3
∴P点的纵坐标为y=-
2
3
∴x2-2x-3=-
2
2+❑√10 2-❑√10
解得x = ，x = （不合题意，舍去）
1 2 2 2
2+❑√10
∴PE的长为
21 3 2+❑√10 6+3❑√10
∴ S =4× × × =
菱形 2 2 2 2
（3）解：设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将B和C两点代入，得¿
解得¿
∴直线BC的解析式为y=x-3
过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F
又设P(x,x2-2x-3)，则Q点的坐标为(x,x-3)
∴ S =S +S +S
四边形ABPC △ABC △BPQ △CPQ
1 1 1
= AB⋅OC+ QP⋅BF+ QP⋅OF
2 2 2
1 1
= ×4×3+ (-x2+3x)×3
2 2
3( 3) 2 75
=- x- +
2 2 8
3
当x= 时，四边形ABPC的面积最大
2
(3 15) 75
此时P点的坐标为 ,- ，四边形ABPC的面积的最大值为 ．
2 4 8
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，以及图形对称变换，菱形的判定，点的坐标的确定，
一元二次方程的求解，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图1，若二次函数y=ax2-2x+c(a≠0)的图象与x轴交于
点A和点B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线y=ax2-2x+c(a≠0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新
的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边
形是矩形，求点E的坐标．
【答案】(1)y=x2-2x-3
27 (3 15)
(2)△PBC面积的最大值为 此时P ,-
8 2 4
( -3-❑√17) ( -3+❑√17)
(3)存在点E(5,-2)或(-1,-2)或 1, 或 1,
2 2
【分析】（1）把B(3,0)和C(0,-3)代入y=ax2-2x+c(a≠0)求解即可;
（2）先解得直线BC的解析式为y=x-3，设P(a,a2-2a-3)，M(a,a-3)，得到的PM的值，当
3
a= 时，PM最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解;
2
（3）分情况讨论，当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当BC为矩形一边时，且点D在x轴的
上方；当BC为矩形对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把B(3,0)和C(0,-3)代入y=ax2-2x+c(a≠0)，得：
¿，解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B，C点的坐标代入得：
¿，解得：¿，∴直线BC的解析式为y=x-3
点P为直线BC下方抛物线上的点，
设P(a,a2-2a-3)，
∴M(a,a-3)，
∴PM=a-3-a2+2a+3=-a2+3a=- ( a- 3) 2 + 9 ，
2 4
3 9
当a= 时，PM = ，
2 max 4
1 3 9 27 27
∴S = PM⋅3= × = 即△PBC面积的最大值为
△PBC 2 2 4 8 8
(3 15)
∴P ,- ；
2 4
（3）由题意可得：y'=(x-1) 2-2(x-1)-3-1=x2-4x-1=(x-2) 2-5，
y'的对称轴为x=2.
∵B(3,0)，C(0,-3)，
∴OC=OB=3，∠BCO=∠CBO=45°
如图3.1：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴于点F，∵D在y'的对称轴上，
∴FD=2，
∵∠BCD=90°，∠BCO=45°，
∴∠DCF=45°，
∴CF=FD=2，OF=3+2=5，即点D(2,-5)，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位
可得到点E(5,-2)；
如图3.2：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x=2与x轴交于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FO=2，
∴BF=3-2=1，
∵∠CBO=45°，即∠DBO=45°，
∴BF=FD=1，即点D(2,1)，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位
可得到点E(-1,-2)；
(3 3)
如图3.3：当BC为矩形对角线时，设D(2,d)，E(m,n)，BC的中点F的坐标为 ,- ，
2 2依意得：¿，解得¿，
又∵DE=BC，
∴(2-1) 2+(d-n) 2=32+32，
解得：d-n=±❑√17，
联立¿，
-3±❑√17
解得：n= ，
2
( -3-❑√17) ( -3+❑√17)
∴点E的坐标为 1, 或 1, .
2 2
( -3-❑√17) ( -3+❑√17)
综上，存在点E(5,-2)或(-1,-2)或 1, 或 1, ，使得以点B，C，D，E为顶
2 2
点的四边形是矩形．
【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点(A点在B
点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
(3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平
行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)A(-1,0)，B(3,0)，y=-x-1
9
(2)
4
(3)F (1,0)，F (-3,0)，F (4+❑√7,0),F (4-❑√7,0)
1 2 3 4
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的
判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结
合的数学思想方法，此题有一定的难度．
(1)因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐
标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；
(2)根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴
的直线上，所以两点之间的距离为y - y ，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
p E
(3)此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边
形的性质求出F点的坐标．
【详解】（1）解：令y=0，得
x2-2x-3=0，
解得x =-1或x =3，
1 2
∴A(-1,0),B(3,0)，
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得
y=4-4-3=-3，
∴C(2,-3)，
∴设直线AC的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，将A(-1,0)，C(2,-3)分别代入，得
¿，解得¿，
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；
（2）设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)，
则P、E的坐标分别为P(x,-x-1)，E(x,x2-2x-3)，
∵P点在E点的上方，
1 2 9
∴PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x- ) + ，
2 4
1
由a=-1<0，对称轴x= ，抛物线开口向下，
21 9
∴当x= 时，PE的最大值为 ；
2 4
（3）(3)存在4个这样的点F，分别是F (1,0)，F (-3,0),F (4+❑√7,0),F (4-❑√7,0)．
1 2 3 4
①如图1，
连接C与抛物线和y轴的交点，
∴CG∥x轴，
∴AF=CG=2，A(-1,0)，
∴F点的坐标是(-3，0)；
②如图2，
AF=CG=2 (-1，0)
，A点的坐标为 ，
∴F点的坐标为(1，0)；
③如图3，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，
∴G点的纵坐标为3，代入抛物线y=x2-2x-3中，得
x2-2x-3=3，
解得x =1+❑√7,x =-1-❑√7（不符合题意，舍去），
1 2
∴G点的坐标为(1+❑√7,3)，
设直线GF的解析式为y=-x+h，
将G(1+❑√7,3)代入y=-x+h，得
3=-(1+❑√7)+h，解得h=4+❑√7，
∴直线GF的解析式为y=-x+4+❑√7，
当y=0时，-x+4+❑√7=0，
解得x=4+❑√7，
∴直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+❑√7,0)；
④如图4，
同③可求出F的坐标为(4-❑√7,0)，
∴符合条件的F点共有4个，为F (1,0)，F (-3,0)，F (4+❑√7,0),F (4-❑√7,0)．
1 2 3 4【题型01 ：根据二次函数的定义求参数】
1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）若y=(a+2)xa2+1+(a+1)x+a是关于x的二次函数，则a的值为
．
【答案】±1
【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义易得a2+1=2，且a+2≠0，解得a的值即可
得到答案．熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】∵解：y=(a+2)xa2+1+(a+1)x+a是关于x的二次函数，
∴ a2+1=2，且a+2≠0，
解得a=±1，
故答案为：±1．
【题型02 ：根据二次函数的自变量取值范围求函数值取值范围】
1．（23-24八年级上·山东德州·月考）已知抛物线y=-x2+2，则当-1≤x≤5时，y的取值范围为 ．
【答案】-23≤ y≤2
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
根据二次函数a=-1<0，对称轴为y轴，得x>0时，y随x的增大而减小，x=-1,与x=1关于y轴对称，
得当x>0时，y随x的增大而减小，然后把x的值代入进行计算即可得解．
【详解】解：∵a=-1<0，对称轴为y轴，
∴x>0时，y随x的增大而减小，
∵-1≤x≤5，x=-1,与x=1关于y轴对称，
∴x=0时，y的最大值=2；
当x=5时，y最小=-52+2=-23．
∴y的取值范围是-23≤ y≤2．
故答案为：-23≤ y≤2．
2．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）在二次函数y=-x2+4x+3中，当0<x<3时，则y的取值范围是
．
【答案】3<y≤7【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题目中的函数解析式和二次
函数的性质，可以得到当0<x<3时y的取值范围．
【详解】解：∵二次函数y=-x2+4x+3=-(x-2) 2+7，
∴该函数图象开口向下，当x=2有最大值7，
∴当x=0时，y=3，当x=3时，y=6，
∵0<x<3，
∴y的取值范围为3<y≤7，
故答案为：3<y≤7．
【题型03 ：根据二次函数的增减性求参数取值范围】
1．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）已知二次函数y=-x2-2x+4，当a≤x≤a+1时，函数值y的最小
值为1，则a的值为 ．
【答案】0或-3
【分析】利用二次函数图像上点的特征找出y=1时自变量x的值，结合a≤x≤a+1时，函数值y的最
小值为1，可得到关于a的一元一次方程，解即可．
【详解】解：令y=1，则-x2-2x+4=1，
解得：x =-3，x =1．
1 2
∵ a≤x≤a+1时，函数值y的最小值为1
∴ a=-3或a+1=1，
∴ a=-3或a=0．
故答案为： -3或0．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图像上点的特征找
出y=1时自变量x的值是解题的关键．
2．（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知抛物线y=(x-2) 2+k-1的顶点在x轴上，当k≤x≤4时，函数
值y的取值范围是 ．
【答案】0≤ y≤4
【分析】先根据顶点在x轴上求出k的值，再分析抛物线的性质，结合给定的x的取值范围，确定函数
值y的取值范围．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标、对称轴、开口方向
以及函数最值的求法是解题的关键．
【详解】解：抛物线y=(x-2) 2+k-1的顶点坐标为(2,k-1)．∵顶点在x轴上，x轴上的点纵坐标为0
∴k-1=0，解得k=1．
∴抛物线解析式为y=(x-2) 2，其对称轴为x=2，开口向上．
当x=2时，y有最小值0；
当x=4时，y=(4-2) 2=4；
当x=k=1时，y=(1-2) 2=1．
∵在1≤x≤4中，x=2时y最小为0，x=4时y最大为4
∴函数值y的取值范围是0≤ y≤4．
故答案为：0≤ y≤4．
3．（24-25九年级上·河南南阳·月考）二次函数y=(x+2m) 2-1，当x≤5时y随x的增大而减小，则m的取
值范围是（ ）
5 5 5 5
A．m<- B．m>- C．m≥- D．m≤-
2 2 2 2
【答案】D
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h) 2+k的性质是解答本题的关
键．当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大
而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的
增大而减小．
【详解】解：y=(x+2m) 2-1开口向上，对称轴是直线x=-2m，
∵当x≤5时y随x的增大而减小，
∴-2m≥5，
5
∴m≤- ．
2
故选D．
4．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）若抛物线y=-2(x+m-1) 2-3m+6的顶点在第二象限，则m的取值
范围是（ ）
A．m<1 B．m<2 C．m>1 D．1<m<2【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能够熟练的利用二次函数的顶点式，得到顶点坐标是解题
的关键，利用y=-2(x+m-1) 2-3m+6，可得顶点坐标为(1-m,-3m+6)，根据顶点在第二象限，
即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵y=-2(x+m-1) 2-3m+6，
∴顶点为(1-m,-3m+6)，
∴顶点在第二象限，
∴1-m<0，-3m+6>0，
∴1<m<2，
故选：D．
【题型04：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
1．（九年级上·浙江温州·期末）函数y=ax2-8ax(a为常数，且a>0)在自变量x的值满足2≤x≤3时，其
对应的函数值y的最大值为-3，则a的值为 ．
1
【答案】 /0.25
4
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．
先转化二次函数解析式为y=a(x-4) 2-16a，利用二次函数的增减性即可求得a的值．
【详解】解：∵二次函数y=ax2-8ax=a(x-4) 2-16a，且a>0，
∴该函数的对称轴是直线x=4，
该函数图象大致如下：∴该二次函数在x<4时，y随x的增大而减小，
又∵二次函数在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为-3，
∴可知当x=2时，函数值y的最大值为-3，
1
∴y=a×22-8a×2=-3，解得a= ，
4
1
则a的值为 ．
4
1
故答案为： ．
4
2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知点A（m，2m）（m>2）是二次函数y＝ax2+k（a>0）图
象上一点，当m-4≤x≤m时，二次函数的最大值和最小值分别为6和-2，则a的值为 ．
8
【答案】
9
【分析】本题考查了二次函数的增减性、区间最值，结合对称轴对区间进行分类讨论是解题的关键．
把A(m,2m)代入y=ax2+k中可得函数解析式，进而可得二次函数开口向上以及对称轴，结合m>2
知区间m-4≤x≤m的中点在对称轴的右侧，由于区间中点在对称轴右侧，故函数在区间右端点的值
大于左端点的值，再对区间左端点分类讨论即可．
【详解】解：∵把A(m,2m)代入y=ax2+k中，得：2m=am2+k,
∴k=2m-am2，
∴函数解析式为：y=ax2+2m-am2，
∵a>0，
∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，
∵m>2，
1
∴ (m-4+m)=m-2>0，m-4>-2，
2
①当-2<m-4≤0，即2<m≤4时，函数在x=m处取得最大值6，在x=0处取得最小值-2，∴am2+2m-am2=6，
解得：m=3，
且2m-am2=-2，
则有6-9a=-2，
8
解得：a= ；
9
②当m-4>0，即m>4时，函数在x=m处取得最大值6，
∴am2+2m-am2=6，
解得：m=3，这与m>4矛盾，故不成立；
8
综上可得：a= ．
9
8
故答案为： ．
9
3．（23-24九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+a在-1≤x≤3的取值范围内最
大值是7，则该二次函数的最小值是 ．
7
【答案】- 或者-14
2
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分当a>0时和当a<0时两种情况讨论，先得出对称轴为
-4a
直线x=- =2，再根据二次函数的图象与性质即可作答．
2a
【详解】解：第一种情况：当a>0时，∵y=ax2-4ax+a，
-4a
∴对称轴为直线x=- =2，抛物线开口向上，
2a
∵二次函数在-1≤x≤3的取值范围内最大值7，
当x=-1时，有最大值y=7，当x=2时，该二次函数有最小值，
∴7=(-1) 2×a-4a×(-1)+a，
7
解得：a= ，
6
7 7 7
∴y= x2-4× x+ ，
6 6 6
7 7 7 7
即当x=2时，该二次函数有最小值，最小值为y= ×22-4× ×2+ =- ．
6 6 6 2
第二种情况：当a<0时，∵y=ax2-4ax+a=a(x-2) 2-3a，-4a
∴对称轴为直线x=- =2，抛物线开口向下，
2a
∵二次函数在-1≤x≤3的取值范围内最大值7，
当x=2时，有最大值y=7，当x=-1时，该二次函数有最小值，
∴y=a(2-2) 2-3a=7，
7
解得：a=- ，
3
7
∴y=- (x-2) 2+7，
3
7
即当x=-1时，该二次函数有最小值，最小值为y=- (-1-2) 2+7=-14．
3
7
综上：函数的最小值为- 或者-14，
2
7
故答案为：- 或者-14．
2
【题型05：二次函数与一次函数图像的综合】
1．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，函数y=ax2+3x+2和y=-ax+a（a是常数，且a≠0）
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，根据题意，分类讨论，当a>0时；当a<0时；结合
二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解．
【详解】解：当a>0时，则-a<0，
∴一次函数y=-ax+a的图象经过第一、二、四象限；3
二次函数y=ax2+3x+2的图象开口向上，对称轴为x=- <0，即对称轴在y轴的左边，当x=0时，
2a
y=2，即与y轴交于点(0,2)；
∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意；
B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意；
C、D选项均不符合该种情况；
当a<0时，-a>0，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限；
3
二次函数图象开口向下，对称轴x=- >0，即对称轴在y轴右边，与y轴交于点(0,2)；
2a
如图所示，
∴D选项的图符合题意，
故选：D ．
2．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据一次函数经过的象限和二次函数的
开口方向分别求出两个函数中字母a的符号，再结合二者都经过(0,1)进行求解即可．
【详解】解：A、图中一次函数经过第一、二、四象限，则a<0，抛物线开口向下，则a<0，但是两个函数都与y轴交于(0,1)，故此选项不符合题意；
B、图中一次函数经过第一、二、三象限，则a>0，抛物线开口向下，则a<0，故此选项不符合题意；
C、图中一次函数经过第一、二、三象限，则a>0，抛物线开口向上，则a>0，且两个函数都与y轴交于
(0,1)，故此选项符合题意；
D、图中一次函数经过第一、二、三象限，则a>0，抛物线开口向上，则a>0，但是两个函数都与y轴交
于(0,1)，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（24-25九年级上·安徽阜阳·月考）函数y=ax2-x+2和y=-ax-a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数
图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵y=ax2-x+2，
∴抛物线与y轴交于点(0,2)，
b -1
A、由y=-ax-a(a≠0)可得-a<0，则a>0，故抛物线开口向上，即对称轴x=- =- >0，符合题
2a 2a
意；
b -1
B、由y=-ax-a(a≠0)可得-a<0，则a>0，故抛物线开口向上，即对称轴x=- =- >0，不符合
2a 2a
题意；
b -1
C、由y=-ax-a(a≠0)可得-a>0，则a<0，故抛物线开口向下，即对称轴x=- =- <0，不符合
2a 2a题意；
b -1
D、由y=-ax-a(a≠0)可得-a<0，则a>0，故抛物线开口向上，即对称轴x=- =- >0，不符合
2a 2a
题意；
故选：A．
【题型06：根据交点确定不等式的解集】
1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，点
1
(-2,0)在该函数图象上，其对称轴为直线x=- ．则当y>0时，自变量x的取值范围正确的是（ ）
2
A．-2<x<0 B．x<-2或x>1 C．x<1 D．-2<x<1
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键．根据二次函
1
数图象的对称性，由图象过点(-2,0)，对称轴为直线x=- ，可得图象与x轴的另一个交点坐标为
2
(1,0)，再由二次函数图象性质得出函数值y>0时，自变量x的取值范围．
1 -2+1 1
【详解】解：∵图象过点(-2,0)，对称轴为直线x=- ，且 =- ，
2 2 2
∴图象与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，
由二次函数图象性质可知，
当函数值y>0时，
自变量x的取值范围是-2<x<1．
故选：D．
2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=-x的图象交于点
A(-1,1)和原点O，则关于x的不等式ax2+bx>-x的解集是 ．【答案】-1<x<0
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据函数与不等式的关系求解．
【详解】解：由图象得：不等式ax2+bx>-x的解集是：-1<x<0，
故答案为：-1<x<0．
3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P是抛物线与x轴
的交点，若点P的坐标为(4,0)，则ax2+bx+c<0的解集为 ．
【答案】-2<x<4
【分析】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，轴对称的性质，二次函数的图象与性质等知识
点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．
首先根据轴对称的性质求出点P关于直线x=1的对称点的坐标，然后运用数形结合思想即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴根据轴对称的性质，点P关于直线x=1的对称点的坐标为(-2,0)，
∴不等式ax2+bx+c<0的解集为-2<x<4，
故答案为：-2<x<4．
题型1二次函数的图象与性质
1.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：b b 4ac−b2
x=− (− ， )
2a 2a 4a
形状：抛物线； 对称轴：直线 ；顶点坐标： ；
2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是
不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；
3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值
都是定点坐标的纵坐标。
题型2 二次函数图象与几何变换
1.、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：
①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
2、二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法
题型3 二次函数图象与系数的关系
二次函数图象与系数a、b、c的关系
a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右 c的特征与作用
异”）
a＞0⇔抛物线开口向上 a⋅b＞0⇔对称轴在y轴的左侧 c＞0⇔抛物线与y轴的正半轴相交
a＜0⇔抛物线开口向下 a⋅b＜0⇔对称轴在y轴的右侧 c=0⇔抛物线与原点相交
|a|越大，抛物线开口越窄 b=0⇔对称轴为y轴 c＜0⇔抛物线与y轴的负半轴相交
2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判
断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
题型4 抛物线与x轴交点问题
1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解
法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③
交点横坐标与其对称轴的关系的考点；2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大
多依然适用，使用时注意联想和甄别。
题型5 二次函数与不等式
1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，
根据图象直接写出不等式的解集。
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝
向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围
题型6 利用二次函数的性质求最值
1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤
如下：
①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
②用含自变量的代数式表示销售商品成本
③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数
表达式
④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值
2.利润最大化问题与二次函数模型
牢记两公式：①单位利润=售价-进价；
②总利润=单件利润×销量；
谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；
②总利润转化为售价的二次函数；
函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；