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专题 02 二次函数（9 知识&23 题型&6 易错&6 方法清单）【清单01】 二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【清单02】二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x）（x–x），其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2 1 2
【清单03】二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，
图象特征
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
图
象 y
y y
y y h<0,k>0
x x x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=-
2a
b 4ac-b2
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (- ， )
2a 4a
a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
最
值
a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.4ac-b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
减
性 a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
【清单04】二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2）二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
【清单05】二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对
x +x
称轴可表示为直线x= 1 2 .
2
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=- 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=- 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图
象于x轴对称.
【清单06】二次函数的最值问题
自变量取值范围 图象 最大值 最小值
b
y 当x= - 时，二次函数
2a
x 4ac-b2
a>0 取得最小值
O 4a
全体实数
b
y 当x= - 时，二次函数
2a
4ac-b2
a<0 取得最大值
x 4a
O
当x=x2时，二次函数取 b
y 当x= - 时，二次函数
得最大值y2 2a
y
2
4ac-b2
x 取得最小值
4a
x O x
1 2y
当x=x1时，二次函数取
当x= -
b
时，二次函数
得最大值y1 2a
y
1 4ac-b2
x 取得最小值
x x 4a
1 2
x1≤x≤x2 a>0
y
2
当x=x2时，二次函数取 当x=x1时，二次函数取
y
得最大值y2 得最小值y1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
【清单07】二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程
的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程
根的情况.
与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac
2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0
1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0
0个交点 没有实数根 b2-4ac<0
【清单08】二次函数与不等式的关系:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象 y y y
x
x O x
1 2 x x
O x (x ) O
1 2
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点ax2＋bx＋c>0 xx2 b 取任意实数
-
x≠
2a
的解集情况
ax2＋bx＋c<0 x13时，y随x的增大而减小 D．当x=3时，y的最小值为1
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握函数的性质．
根据二次函数的性质判断即可．
1 1
【详解】解：y=- (x-3) 2+1，- <0，
3 3
1
A：抛物线y=- (x-3) 2+1，对称轴为直线x=3，故该选项不符合题意；
3
1
B：抛物线y=- (x-3) 2+1，顶点坐标为(3,1)，故该选项不符合题意；
3
C：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=3，当x>3时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
D：顶点坐标为(3,1)，函数有最大值，最大值为1，故该选项符合题意．故选：D．
【变式1】（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）抛物线的y=(x-2) 2+1顶点坐标是（ ）
A．(-1,2) B．(2,1) C．(-2,1) D．(-2,-1)
【答案】B
【分析】本题考查根据顶点式写顶点坐标．根据题意利用二次函数顶点式可以直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵y=(x-2) 2+1，
∴顶点坐标为：(2,1)，
故选：B．
(5 )
【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）抛物线y=2(x-1) 2+c过(-2,y ),(0,y ), ,y 三点，
1 2 2 3
则y ,y ,y 大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 3 2 1 2 3 2 1 3 2 3 1
【答案】A
【分析】本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小．
利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可．
【详解】解：抛物线y=2(x-1) 2+c的顶点为(1,c)，开口向上，
∴点离对称轴x=1越远，纵坐标越大．
计算各点横坐标到对称轴的距离：
x=-2时，距离为|-2-1|=3，
x=0时，距离为|0-1|=1，
5 |5 |
x= 时，距离为 -1 =1.5，
2 2
距离由大到小为3>1.5>1，
∴对应纵坐标y >y >y ．
1 3 2
故选A．
【变式3】（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数y=3x2-2，当-1≤x≤4时，y的最小值为
．
【答案】-2
【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可．【详解】解：∵y=3x2-2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，
∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵-1≤x≤4，
∴当x=0时，y有最小值为-2；
故答案为：-2
【题型三】与特殊二次函数有关的几何知识
【典例3】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3,2)，点B的坐
标是(-1,2)，连接AB，若抛物线y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是（ ）
2 2 2 2
A． 4
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质．
由点A、B的坐标结合抛物线y=a(x-h) 2+k的顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上，即
可得出h值以及k>0，分点M在线段AB下方及点M在线段AB上方两种情况考虑抛物线与线段AB无公共点，当点M在线段AB下方时，根据点M的坐标即可得出04，进而得解．
【详解】解：∵抛物线y=a(x-h) 2+k的顶点M位于第二象限且在线段AB的垂直平分线上，且点
A(0,3)，B(-4,3)，
∴h=-2，k>0．
抛物线与线段AB无公共点分两种情况：
①当点M在线段AB下方时，
∵点M的坐标为(-2,k)，
∴04．
综上所述：k的取值范围为04．
故答案为：04．
【题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质
【典例4】（24-25九年级下·湖北黄冈·开学考试）二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）部分x，
y的对应值如表：
x … 0 1 3 4 …
y … 1 -1 1 5 …
则下列判断中正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．当x>2时，y随x的增大而增大
C．当y>1时，x>3 D．y最小值为-1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质并结合表格的数据逐项分析即可得解，熟
练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
0+3 3 3
【详解】解：由表格可得，该二次函数图象的对称轴为直线x= = ，当x< 时，y随着x的增大
2 2 2
3
而减小，当x> 时，y随着x的增大而增大，故函数图象的开口向上，A错误；
2当x>2时，y随x的增大而增大，B正确；
当y>1时，x>3或x<0，C错误；
3
当x= 时，取得最小值，这个最小值小于-1，D错误；
2
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）对于二次函数y=2x2+8x-3，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向上
B．对称轴是直线x=-2
C．当00，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2，故A、B说法正确，不符合题意；
∴当x>-2时，y随x增大而增大，
当x=2时，y=2×22+8×2-3=21，
∴当01时，
x=1时， 函数有最大值y=-(1-a) 2+2，
x=-3时，函数有最小值y=-(-3-a) 2+2，
∵当-3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，
∴-(1-a) 2+2-[-(-3-a) 2+2]=9，
1
解得：a= (舍去)，
8
当 a<-3时，
x=-3时，函数有最大值y=-(-3-a) 2+2，
x=1时，函数有最小值y=-(1-a) 2+2，
∵当 -3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，
∴-(-3-a) 2+2-[-(1-a) 2+2]=9，
17
解得：a=- (舍去) ，
8
当-3≤a≤1时，x=-3时，函数有最小值y=-(-3-a) 2+2，函数有最大值y=2，
∴2-[-(-3-a) 2+2]=9，
解得：a=0或-6(舍去)，
当-3≤a≤1时，x=1时，函数有最小值y=-(1-a) 2+2，函数有最大值y=2，
∴2-[-(1-a) 2+2]=9，
解得a=-2或4(舍去)，
∴a=0或-2，
故选：D．【变式1】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1)，当x=-1时，函数取得最
大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．00的解集为10的解集为11=4-1，
∴当x=-1时，有最小值y=a+6a+c=a+6a+c，
∵函数最大值与最小值的差为2，
1
∴9a-18a+c-(a+6a+c)=2，解得：a=- ．
8
1
故答案为：- ．
8
【变式3】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当m≤x≤m+1，函数y=x2-2x-1的最小值为2，则m的值
为 ．
【答案】3或-2
【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的
关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，y=x2-2x-1在x=1时取得最小值-2，再结合
二次函数最值情况进行求解，即可解题．
【详解】解：y=x2-2x-1=x2-2x+1-2=(x-1) 2-2，
∵1>0，
∴二次函数开口向上，y=x2-2x-1在x=1时取得最小值-2，
∵当m≤x≤m+1，函数y=x2-2x-1的最小值为2，
∴当m>1时，(m-1) 2-2=2，解得m=3或m=-1（不合题意，舍去），
当m+1<1时，(m+1-1) 2-2=2，解得m=-2或m=2（不合题意，舍去），
综上所述，m的值为3或-2．
【题型六】二次函数y=ax²+bx+c的图像与各项系数符号关系
【典例6】（24-25九年级上·湖北荆州·期末）如图，函数y=ax2+bx+c经过点(3,0)，对称轴为直线x=1：
①b2-4ac>0；②abc<0；③9a-3b+c=0；④5a+b+c=0；⑤若点A(a+1,y )、B(a+2,y )在
1 2
抛物线上，则y >y ；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有（ ）个
1 2A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特
征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
①根据图象与x轴有两个交点，Δ>0即可判断；
②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断；
③根据图象可得对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(3,0)，则另一个交点为(-1,0)，再根据抛物线增
减性即可判断；
④根据图象抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，可得9a+3b+c=0，对称轴为x=1，可得b=-2a，将
2b=-4a代入9a+3b+c=0，即可判断；
⑤根据图象可得a>0，即可得出10 ，运用二次函数增减性即可判断．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ>0，
∴b2-4ac>0，故①符合题意；
②∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b<0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0,
∴abc>0，故②不符合题意；
③∵抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0)，
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，∴当x=-3时，y>0，
∴9a-3b+c>0，故③不符合题意；
④∵抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，
∴9a+3b+c=0，
∵抛物线对称轴为x=1，
b
∴- =1，
2a
∴b=-2a，
∴5a+b+c=0，故④符合题意；
⑤∵a>0，
∴10； ⑤对于任意实数m，都有
1 2 2 1 2
m(am+b)≥a+b，其中错误结论的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据抛物线
的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊
点判断④；最值判断⑤．
b
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=- =1，与y轴交于负半轴，
2a
∴a>0,b=-2a<0,c<0，
∴abc>0；故①错误；
由图可知，抛物线与x轴的一个交点的横坐标的取值范围为：-10，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，
(3 ) |3 |
∵(0,y ), ,y 是抛物线上的两点，且|0-1|> -1 ，
1 2 2 2
∴y >y ；故③错误；
1 2
∵a>0,b=-2a
∴11a+2c=5a+2a-2b+2c=5a+2(a-b+c)，
由图像知：x=-1，y=a-b+c>0，
∴11a+2c=5a+2(a-b+c)>0；故④正确；
∵a>0，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，函数值最小为：a+b+c，
∴对于任意实数m，都有am2+bm+c≥a+b+c，
即：am2+bm≥a+b，∴m(am+b)≥a+b；故⑤正确；
综上：错误的有2个．
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·云南玉溪·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为
直线x=1，现有以下结论：，①abc>0；②b2>4ac；③b=2a；④a-b+c>0；⑤
a+b>m(am+b)(m≠1)，其中正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方
程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与坐标轴的交点位置可逐一判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
b
∴- =1，
2a
∴b=-2a>0，③错误，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，①错误．
∵x=-1时，y=a-b+c<0，④错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，即b2>4ac，故②正确；
∵x=1时y取最大值，
∴a+b+c>am2+bm+c(m≠1)，即a+b>m(am+b)(m≠1)，⑤正确．
故选：B．
【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2-4ac>0）的图象（如图所示）是由函数y=ax2+bx+c（a>0，b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上
翻折而成，则下列结论：①2a+b=0；②c=-3；③abc<0；④将图象向上平移1个单位长度后与直
线y=5有3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①② D．②③
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，
熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与x轴的两个交
点，求出对称轴，即可得到结论；②由y=|ax2+bx+c|的图象可知：与y轴的交点为(0,3)，根据翻折
特点，即可解题；③根据对称轴，判断b的符号，结合a，c的符号，即可得到abc的符号；④先求出
图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论．
【详解】解：由图知，函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2-4ac>0）的图象与x轴交于(-1,0)，(3,0)，
-1+3
∴函数对称轴为直线x= =1，
2
b
∴ - =1，
2a
则b=-2a，2a+b=0，故①正确；
∵函数图象与y轴交于(0,3)，
由翻折性质可知，c=-3，故②正确；
∵ a>0，对称轴为直线x=1，
∴b<0，
∵ c=-3，
∴ abc>0，故③错误；
由图知，y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-3)，∵函数y=|ax2+bx+c|图象与y轴交于(0,3)，
∴ y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-3)过点(0,-3)，
即a×(0+1)×(0-3)=-3，
解得a=1，
∴函数y=ax2+bx+c为y=x2-2x-3，
即y=|ax2+bx+c|=|x2-2x-3|，
当x=1时，y=|12-2-3|=4，
即y=|ax2+bx+c|的顶点坐标为(1,4)，
将图象向上平移1个单位长度后y=|ax2+bx+c|的顶点坐标为(1,5)，
∴将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点，故④正确．
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
【题型七】二次函数与一次函数的图像问题
【典例7】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）在同一平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx与直线
y=ax+b的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象，解答本题的关键是明确函数图象与a、b的关系．
根据各个选项中的函数图象可以判断函数y=ax2+bx与y=ax+b中a、b的正负，从而可以得到哪个
选项是正确的．
【详解】解：A、由一次函数图象可知，a<0，b<0，由二次函数图象可知，a>0，b>0，故A选项
不符合题意；
B、由一次函数图象可知，a<0，b>0，由二次函数图象可知，a>0，b>0，故B选项不符合题意；
C、由一次函数图象可知，a>0，b>0，由二次函数图象可知，a>0，b<0，故C选项不符合题意；
D、由一次函数图象可知，a>0，b<0，由二次函数图象可知，a>0，b<0，故D选项符合题意；
故选：D．
【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）一次函数y=ax+c（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（
a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图
象相比较看是否一致．
本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，
以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【详解】解：A、一次函数y=ax+c与y轴交点应为(0,c)，二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点也
应为(0,c)，图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a>0，a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a<0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·内蒙古·期末）在同一平面直角坐标系中，函数y=-ax+b与y=ax2+bx的图
象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，根据a、b的符号根据一次函数与反比例函数的
图象，逐项分析即可作出判断．
【详解】解：A．一次函数y=-ax+b的图象经过一、二、四象限，则a>0，b>0，二次函数
y=ax2+bx的图象开口向下，则a<0，矛盾，故A错误；
B．一次函数y=-ax+b的图象经过一、二、三象限，则a<0，b>0，二次函数y=ax2+bx的图象开
口向上，则a>0，矛盾，故B错误；
C．一次函数y=-ax+b的图象经过一、二、三象限，则a<0，b>0，二次函数y=ax2+bx的图象开
口向上，则a>0，矛盾，故C错误；
D．一次函数y=-ax+b的图象经过一、二、三象限，则a<0，b>0，二次函数y=ax2+bx的图象开
b
口向下，则a<0，对称轴x=- >0，则b>0，故D正确；
2a
故选：D．
【变式3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=m(x+n) 2和一次函
数y=mx+n(m≠0,n≠0)的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图
象得到m,n的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一
次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：从一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)的图象开始：
A、由图可知，一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)中，m<0,n>0，
∴对于二次函数y=m(x+n) 2，由m<0可知，抛物线开口向下；由n>0可知，抛物线对称轴x=-n<0，
对称轴在y轴左侧，与选项图象一致，
故A图象正确，符合题意；
B、由图可知，一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)中，m>0,n>0，
∴对于二次函数y=m(x+n) 2，由m>0可知，抛物线开口向上；由n>0可知，抛物线对称轴x=-n<0，
对称轴在y轴左侧，与选项图象不一致，
故B图象错误，不符合题意；
C、由图可知，一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)中，m>0,n<0，
∴对于二次函数y=m(x+n) 2，由m>0可知，抛物线开口向上；由n<0可知，抛物线对称轴x=-n>0，
对称轴在y轴右侧，与选项图象不一致，
故C图象错误，不符合题意；D、由图可知，一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)中，m<0,n>0，
∴对于二次函数y=m(x+n) 2，由m<0可知，抛物线开口向下；由n>0可知，抛物线对称轴x=-n<0，
对称轴在y轴左侧，与选项图象不一致，
故D图象错误，不符合题意；
故选：A．
【题型八】二次函数的平移变换
【典例8】（24-25九年级上·福建福州·期末）抛物线y=x2+2x+1向右平移2个单位后再向下平移3个单
位，此时抛物线的解析式为（ ）
A．y=(x-1) 2-3 B．y=(x+3) 2-3 C．y=(x+3) 2+3 D．y=(x+1) 2-3
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移的“左加右减，上加下
减”法则．
将原抛物线解析式化为顶点式，确定其顶点坐标；根据平移方向和距离，计算平移后抛物线的顶点坐
标；依据新顶点坐标写出平移后的抛物线解析式，对比选项得出答案．
【详解】解：原抛物线y=x2+2x+1可化为顶点式：y=(x+1) 2,其顶点坐标为(-1,0)．向右平移2个
单位后，顶点的横坐标变为-1+2=1，纵坐标不变，此时顶点坐标为(1,0)．再向下平移3个单位后，
顶点的纵坐标变为0-3=-3，此时新抛物线的顶点坐标为(1,-3)．则平移后抛物线的解析式为
y=(x-1) 2-3．
故选：A．
【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）将携物线y=2x2向右平移6个单位，所得的抛物线解析式为
（ ）
A．y=2x2+6 B．y=2x2-6 C．y=2(x-6) 2 D．y=2(x+6) 2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行
解答即可．【详解】解：将抛物线y=2x2向右平移6个单位长度，所得的抛物线解析式为：y=2(x-6) 2．
故选：C．
【变式2】（24-25九年级上·重庆忠县·期末）将抛物线y=x2+3的图像先向右平移2个单位，再向下平移
3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y=(x-3) 2+5B．y=(x+3) 2-1 C．y=(x-2) 2 D．y=(x+2) 2
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据函数图像平移规则“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：将抛物线y=x2+3的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的
解析式是y=(x-2) 2+3-3，即y=(x-2) 2，
故选：C．
【变式3】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）将二次函数y=(x-1) 2+2的图象向下平移3个单位长度，再
向左平移2个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y=(x+2) 2-1 B．y=(x-3) 2+5
C．y=(x+1) 2-1 D．y=(x-1) 2+5
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得
出平移后解析式即可．
【详解】解：将二次函数y=(x-1) 2+2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得
到的抛物线相应的函数表达式为：y=(x-1+2) 2+2-3，即y=(x+1) 2-1，
故选：C．
【题型九】二次函数与一次函数交点综合问题
【典例9】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，二次函数y=-x2+x+2及一次函数y=x+m，将
该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直
线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）1 25
A．
4
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用根的判别式的意义得到Δ=12-4m<0，然后解不等式
即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+x+m的图象与x轴没有公共点，∴关于x的一元二次方程x2+x+m=0没有实数解，
∴Δ=12-4m<0，
1
解得m> ，
4
1
即m的取值范围为m> ．
4
1
故答案为：m> ．
4
【题型十一】二次函数与不等式
【典例11】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，直线y =kx+2和抛物线y =x2+bx+c都经过点
1 2
A(2,0)和点B(0,2)，当y 2
【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与
数形结合．
由题意知，当y 2，
1 2
故答案为：x<0或x>2．
【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+b交于A，B两点，它
们的横坐标分别为-1和4，则不等式ax2+c-kx-b<0的解集是( )A．x<-1 B．x>4 C．x<-1或x>4 D．-10的解集是
．
【答案】-10的解集．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线x=2，且与x轴的一个交点为(5，0)，
∴另一个交点的横坐标为2-(5-2)=-1，
即另一个交点的坐标为(-1，0)，
∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，
∴不等式ax2+bx+c>0的解集是-1-1 C．-30，
2
∴052，不符合题意，舍去，
∴假设不成立，
即当CG=3AE时，扩建后的劳动基地的面积不能为1800m2．
【题型十三】二次函数的应用-图形运动问题
【典例13】（24-25九年级上·重庆开州·期末）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，
4
BC=4cm，动点E以每秒1cm的速度从点C出发，沿折线C→A→B方向运动，动点F以每秒 cm的速度
3
从点C同时出发，沿折线C→ B→A方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为xs(x>0)，
△CEF的面积为ycm2．
(1)请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)当△CEF的面积为5cm2时，请直接写出x的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）．
【答案】(1)y=¿
(2)作图见解析，该函数的一个性质：当x=3时，y有最大值6（答案不唯一）
(3)x=2.8或x=3.4
【分析】本题考查动点问题函数图象，一次函数和二次函数图象的作法，勾股定理，
12 36
（1）首先根据勾股定理求出AB=❑√AC2+BC2=5cm，然后求出CD= ，当两者相遇时，x= ，
5 7
36
然后分00)，正方形APDE和△AQF重叠部分图形的面积为y(cm2)．
(1)当点D落在QF上时，x的值为______．
(2)当点D落在BC上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
4
【答案】(1)
3
(2)x=24 4 7 1
(3)当02.65，
∴点(-1.2,2.8)和点(1.2,2.8)都在抛物线内．
∴这辆汽车能够通过大门．
【变式2】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）排水渠的横截面常常被设计成抛物线形状，其中蕴含的原理
很多．从结构力学角度看，抛物线形状能够使排水渠更好地承受来自土壤和水的压力．从水力学角度
讲，抛物线形状有利于水流的快速通过．如图，某一排水渠的横截面呈抛物线形，水面宽度AB=4m，
1
建立如图所示的平面直角坐标系，该抛物线对应的函数解析式是y= x2-3．
2
(1)求此时水面的最大高度；
(2)若水面上升0.5m，则水面宽度将增加多少米？
【答案】(1)2m
(2)(2❑√5-4)m
【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及解一元二次工程，解答本题的关键是熟练掌握并能灵活
运用二次函数的性质．
1 1
（1）依据题意，由AB=4，可得点B的横坐标是 AB= ×4=2，从而点B的纵坐标是
2 2
1 1
x2-3= ×22-3=-1，故-1-(-3)=2，即可得解；
2 2
（2）依据题意，由水面上升0.5m后，水面高度变为2.5m，由2.5-3=-0.5，故当y=-0.5时，
1
x2-3=-0.5，求出x后即可得解．
2
1 1
【详解】（1）解：由题意，得点B的横坐标是 AB= ×4=2，
2 2
1 1
∴点B的纵坐标是 x2-3= ×22-3=-1，
2 2∵-1-(-3)=2，
∴水面的最大高度是2m；
（2）解：水面上升0.5m后，水面高度变为2.5m，
∵2.5-3=-0.5，
1
∴当y=-0.5时， x2-3=-0.5，
2
解得：x =-❑√5,x =❑√5，
1 2
∴此时的水面宽度是2❑√5m，
∴水面的宽度将增加(2❑√5-4)m．
【变式3】（23-24九年级上·福建厦门·期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计警戒线之间的宽度
素
材
1
图1为某公园的抛物线型拱
桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB=24米，拱顶离水面的距离为CD=4米．
素 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩
材 形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米，
2 GH=IJ=1.26米，FG=JK=0.4米．
为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下：
素
材 ①游船底部HI在P，Q之间通行；
3
②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.25米．
问题解决
任 确定拱桥形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式．
务
1
任 设计警戒线之间的宽度 求PQ的最大值．
务
2
1
【答案】【任务1】y=- x2+4，【任务2】17.8
36【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决；
任务1：以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，得到点B的坐标为(12,0)，顶点为(0,4)，
利用待定系数法求出即可；
任务2：过点E作EM⊥FK于点M，得到EM=0.8米．由题意可知，当PQ最大时，点E的纵坐标为
0.8+1.26+0.5=2.56．令y=2.31，解方程，得出x =7.8，由FG=JK=0.4米得到MG=MJ=1.1米，
1
游船底部HI在P，Q之间通行，即可求得PQ的最大值．
【详解】解：任务1：
以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵ AB=24，CD=4
，
∴点B的坐标为(12,0)，顶点为(0,4)，
设抛物线解析式为y=ax2+4，
把B (12,0)代入得0=a×122+4，
1
a=- ，
36
1
∴ y=- x2+4．
36
任务2：
过点E作EM⊥FK于点M，
∵EF=EK=1.7，FK=3米
∴FM=1.5米
∴EM=❑√1.72-1.52=0.8米．
由题意可知，当PQ最大时，
点E的纵坐标为0.8+1.26+0.25=2.31．
1
令y=2.31，得2.31=- x2+4，
36解得x =7.8，x =-7.8，
1 2
∵FG=JK=0.4米，
∴MG=MJ=1.1米，
∵游船底部HI在P，Q之间通行，
∴PQ的最大值为(7.8+1.1)×2=17.8（米）．
【题型十五】二次函数的应用-销售问题
【典例15】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈
利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如
果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
(1)若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？
【答案】(1)30
(2)每件衬衫降价20元，利润最大是2500元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意正确的列方程和二次函数是解
题的关键．
（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意列方程求解，为了尽快减少库存，降价要取较大值；
（2）设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y，根据题意可得y=(45-x)(20+4x)，再化为顶点式，
根据二次函数的图象和性质求最值即可．
【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元，
根据题意，得(45-x)(20+4x)=2100，
解得x =10,x =30，
1 2
∵尽快减少库存，
∴x=30，
答：每件衬衫应降价30元；
（2）解：设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y，
由题意得y=(45-x)(20+4x) =-4x2+160x+900 =-4(x-20) 2+2500，
∵-4<0，
∴当x=20时，y有最大值，y最大=2500，
答：每件衬衫降价20元，利润最大是2500元．
【变式1】（24-25九年级下·江苏徐州·期末）一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价
部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表：
7
售价x（元/千克） … 50 60 80 …
0
… 10 90 8 70 …
销售量y（千克）
0 0
(1)求y与x的函数表达式；
(2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？
(3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润．
【答案】(1)y=-x+150
(2)应将售价定为70元
(3)该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为4225元
【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是根据
题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．
（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元)=售量×每千克利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用
二次函数的最值可得出利润最大值．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，把(50,100)、(60,90)代入得，
¿， 解得¿，
∴y与x的函数关系式为y=-x+150；
（2）解：根据题意得，(-x+150)(x-20)=4000，
解得x =70，x =100>90（不合题意，舍去），
1 2
答：该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）解：由题意得，w=(-x+150)(x-20)
=-x2+170x-3000
=-(x-85) 2+4225，
∵-1<0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．
答：该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为4225元．
【变式2】（24-25九年级上·山西朔州·期末）AI自习室的出现方便了学生的学习，提高了学习效率．小李
经营一家AI自习室，共有24个房间，当每个房间的定价为200元/天时，房间会全部被占用．小李调研发现，当每个房间的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．请利用二次函数的知识，帮助小李
计算当每间房间的定价x(x>200)为多少时，AI自习室每天的营业额y最大，最大营业额为多少元？
【答案】当每间房间的定价为220元时，AI自习室每天的营业额y最大，最大营业额为4840元
【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立二次函数关系式．根据“每天
的营业额=每间房间的定价×房间数”建立二次函数关系式，再结合二次函数性质求解，即可解题．
(
x-200)
【详解】解：由题知，y= 24- x，
10
1
整理得y=- x2+44x，
10
1
有y=- (x2-440x+2202)+4840，
10
1
化为顶点式为y=- (x-220) 2+4840，
10
1
∵- <0，
10
∴当x=220时，每天的营业额y最大，最大营业额为4840元．
【变式3】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）根据背景素材，探索解决问题．
素 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头
材1 盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
素 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价
材2 1元/个，则月销售量将减少10个．
问题解决
任 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________．
务1
任 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示）
务2
任 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
务3【答案】任务1：150(1+a) 2=216；任务2：1000-10x；任务3：当x为65时，销售总利润达到最
大，最大总利润为12250元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程、
得到二次函数关系式是解题的关键
任务1：设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方程；
任务2：根据售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个列代数式；
任务3：利用二次函数的最值求解即可
【详解】解：任务1：设增长百分率为a，依题意列方程为：150(1+a) 2=216；
故答案为：150(1+a) 2=216；
任务2：该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为600-10(x-40)=1000-10x；
故答案为：1000-10x；
任务3：设总利润为w元，销售量为y个
∴w= y(x-30)
=(1000-10x)(x-30)
=1000x-30000-10x2+300x
=-10x2+1300x-30000
=-10(x-65) 2+12250，
∴当x=65时，w =12250元，
最大
∴当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元．
【题型十六】二次函数的应用-投球问题
【典例16】（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射
门，已知球门高OB为2.32m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为
6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示．(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算判断球能否射进球门；
(3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了n(n>0)米射门，若运动员射门路线的形状、最大高
度均保持不变，结果恰好在点O正上方2.25m处进球，求n的值．
1
【答案】(1)y=- (x-2) 2+3
12
(2)球不能射进球门
(3)1
【分析】本题考查的是二次函数的应用，
（1）用待定系数法求出表达式即可；
（2）计算当x=0时，y的值与2.32m比较即可得出答案；
1
（3）由题意得出移动后的抛物线为y=- (x-2-n) 2+3，把点(0,2.25)代入求出结论即可．
12
【详解】（1）解：∵8-6=2，
∴抛物线的顶点坐标为(2,3)，
设抛物线表示的二次函数的表达式为y=a(x-2) 2+3，
把点A(8,0)代入，得36a+3=0，
1
解得a=- ，
12
1
∴抛物线的表达式为y=- (x-2) 2+3；
12
1 8
（2）当x=0时，y=- ×4+3= >2.32，
12 3
∴球不能射进球门；
1
（3）由题意，移动后的抛物线为y=- (x-2-n) 2+3，
12
1
把点(0,2.25)代入，得2.25=- ×(0-2-n) 2+3，
12
解得n =-5（舍去），n =1，
1 2
∴n的值为1．
【变式1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球
的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在
一次投掷中，实心球从y轴上的点A(0,2)处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为(4,3.6)，落在x轴上的点C处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)某市男子实心球的得分标准
如表：
得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10
掷远 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0
（米
）
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
(3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.3米的小朋友在玩耍，问该小朋友
是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．
【答案】(1)y=-0.1x2+0.8x+2
(2)小强在这次训练中的成绩为10米，小强的得分是90分
(3)有危险，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法求解析式是关
键．
（1）依据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为y=a(x-4) 2+3.6(a≠0)，把点A(0,2)代入，运
用待定系数法即可求解；
（2）依据题意，令y=0时，求出点C的坐标，进行比较即可求解；
（3）依据题意，当 x=9时，代入计算即可求解．
【详解】（1）解:由题意可得，抛物线的顶点B的坐标为(4,3.6)
设该抛物线的解析式为y=a(x-4) 2+3.6(a≠0)
∵抛物线经过点A(0,2)
∴ a(0-4) 2+3.6=2
解得a=-0.1，∴该抛物线的解析式为: y=-0.1(x-4) 2+3.6=-0.1x2+0.8x+2
（2）解:当y=0时，-0.1(x-4) 2+3.6=0
解得: x =10，x =-2
1 2
∵点C在x轴的正半轴
∴ x =-2舍去
2
∴x=10，即小强在这次训练中的成绩为10米
∵ 9.6<10<11.2 .
∴小强的得分是90分
（3）解:有危险;理由如下:
把x=9代入y=-0.1x2+0.8x+2得
y=-0.1×92+0.8+2=1.1
∵1.1<1.3
∴该小朋友有危险.
【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐．
活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣
小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究．
模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直
角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．
信息整理：
素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度AB=3米，篮球出手位置与篮
筐中心的水平距离OB=m米，篮球距地面的最大高度CD=h米，此时离篮球出手位置的水平距离
OD=a米．
素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约
是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足2.95≤n≤3.10
时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：c=2.2米，m=6米，h=4米，a=3米．
(1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”）
(2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了t米后
再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）．
(3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，
小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？
【答案】(1)不能
(2)t的值为3-❑√5
(3)不能，c的取值范围是1.95≤c≤2.1
【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点．
（1）易得小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点P的坐标代
入可得a的值，取x=6，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐；
（2）设出向右平移后的抛物线解析式，把(6,3)代入可得t的值；
（3）判断出运动后的抛物线解析式，取x=6，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高
度后的抛物线解析式，取x=6，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取x=1，得
到c的值，即可判断c的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得：小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标为：(3,4)，
∴设y=a(x-3) 2+4，
∵经过点(0,2.2)，
∴2.2=a(0-3) 2+4，
1
解得：a=- ，
5
1
∴y=- (x-3) 2+4，
5
当x=6时，y=2.2，
∵2.95≤n≤3.10时，篮球命中篮筐，
∴小玫初次投篮时不能命中篮筐．
故答案为：不能；
1
（2）解：向前走了t米后抛物线的解析式为：y=- (x-3-t) 2+4，
5∵经过点(6,3)，
1
∴3=- (6-3-t) 2+4，
5
∴(3-t) 2=5，
解得：t =3+❑√5（不合题意，舍去），t =3-❑√5，
1 2
答：t的值为3-❑√5；
（3）解：由题意得：小玫在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：
1 1
y=- (x-3-1) 2+4=- (x-4) 2+4，
5 5
当x=6时，y=3.2>3，
∴不能命中篮筐；
1
设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：y=- (x-4) 2+4+m，
5
当x=6时，y=m+3.2，
∴2.95≤m+3.2≤3.10，
解得：-0.25≤m≤-0.1，
∵出手点的坐标为(1,c)，
1
∴c=- (1-4) 2+4+m=2.2+m，
5
∴1.95≤c≤2.1．
【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期末）某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投
石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点B端拉至水平地面B'处，放手后投石竿绕支点A旋
转，从点B处把石头甩出．石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为x轴，竖直方向OB为y
(3 17)
轴建立平面直角坐标系，如图3．已知OB=0.5米，抛物线顶点P的坐标为 , ．
2 16(1)求出抛物线的解析式；
(2)为了检验投石器的性能，在点O的正前方3米~ 3.5米处设置了一个长为0.5米，内壁DE高为0.75
米，外壁HF高为1米的目标箱(其中DE、HF垂直x轴)．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高
投石器或在x轴正方向移动投石器．（注：假设每次都以相同的角度和力度投石；以下问题的取值范
围都不取端点）
①当垫高投石器时，设垫高的高度为h米，求h的取值范围；
②当在x轴正方向上移动投石器时，设向前移动的距离为m米，求m的取值范围．
1( 3) 2 17
【答案】(1)y=- x- +
4 2 16
1 15 3-❑√5 3 5 3+❑√5
(2)① 1.1，即可作答．
【详解】解：（1）由题意得：A(2,1.6)为上边缘抛物线的顶点，
设y=a(x-2) 2+1.6，
又∵抛物线过点(0,1.2)，
∴1.2=4a+1.6，
解得：a=-0.1，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=-0.1(x-2) 2+1.6．
（2）∵对称轴为直线x=2，
∴点(0,1.2)的对称点为(4,1.2)，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，
当y=0时，0=-0.1(x-2) 2+1.6解得x =6，x =-2（舍去），
1 2
∴6-4=2
∴点B的坐标为(2,0)；
（3）∵矩形DEFG，其水平宽度DE=1.8米，竖直高度EF=1.1米，OD=d=2.2米，
则2.2+1.8=4（米）
∴点F的坐标为(4,1.1)，
当x=4时，y=-0.1(4-2) 2+1.6=1.2>1.1，
当x>2时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约80%的火灾都在
充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电
动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在△AOB中，OA=OB，喷射角
∠AOB=60°，地面有效保护直径AB为2❑√3米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池
降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋
头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示
意图为矩形OABC，创新小组以点O为坐标原点，墙面OA所在直线为y轴，建立如图4所示的平面
直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米
处，即OA=3米，AM=2米，水喷射到墙面D处，且OD=1米．
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径OE为 米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度OC为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一
水平线AB上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离
喷淋头M至少 米．
【答案】（1）3；（2）①y=- 1 x2+2x+1；②(2+❑√6)；（3） ( 5- 2 ❑√35 )
2 5
【分析】（1）证明△OAB为等边三角形，得出OA=OB=AB=2❑√3，根据等边三角形的性质得出
1
AC= AB=❑√3，根据勾股定理求出OC=❑√OA2-AC2=❑√(2❑√3) 2-(❑√3) 2=3；
2
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
②求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案；
1
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：y=- (x-2-m) 2+3，把
2
1 1
(7,0.2)代入y=- (x-2-m) 2+3得出0.2=- (7-2-m) 2+3，求出m的值即可．
2 2
【详解】解：（1）∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=2❑√3，
∵OC⊥AB，
1
∴AC= AB=❑√3，
2
∴根据勾股定理得：OC=❑√OA2-AC2=❑√(2❑√3) 2-(❑√3) 2=3；
（2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为(2,3)，点D的坐标为(0,1)，
设抛物线的解析式为：y=a(x-2) 2+3，把(0,1)代入得：4a+3=1，
1
解得：a=- ，
2
1 1
∴抛物线的解析式为：y=- (x-2) 2+3=- x2+2x+1；
2 2
1 1
②把x=0代入y=- x2+2x+1得：0=- x2+2x+1，
2 2
x =2+❑√6或x =2-❑√6（舍去），
1 2
∴OE=(2+❑√6)米；
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为(2+m,3)，则顶点为N的抛物
1
线解析式为：y=- (x-2-m) 2+3，
2
放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为(7,0.2)，
1 1
把(7,0.2)代入y=- (x-2-m) 2+3得：0.2=- (7-2-m) 2+3，
2 2
2❑√35 2❑√35
解得：m =5+ >7（舍去）或m =5- ，
1 5 2 5
( 2 )
∴喷淋头N距离喷淋头M至少 5- ❑√35 米．
5
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，
解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式．
【题型十八】二次函数的应用-其他问题
【典例18】（24-25九年级上·广东·期末）【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的
关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一
步应用．
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开
始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：
cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据：任务一：数据收集 记录的数据如下：
运动时间
0 2 4 6 8 10 ．．．
x/s
运动速度 1 9 8 7 6 5 ．．．
v/cm/s 0
滑行距离 0 19 36 5 64 75 ．．．
y/cm 1
任务二：观察分析
（1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数
关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数
关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．）
任务三：问题解决
（2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离；
（3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以4cm/s的速度匀速向右
直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围．
1 1
【答案】（1）v=- x+10，y=- x2+10x
2 4
（2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为100cm
（3）若小球不能撞上小车， n的取值范围为n>36
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）令v=0，求得小球停下来的时间，再将x=20代入y与x的函数关系解答即可；
（3）假定经过t秒小球追上电动小车，得到关于t的一元二次方程，令Δ<0，得到关于n的不等式，
解不等式即可得出结论．
【详解】解：（1）∵v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系，
∴设v与x的函数关系为v=kx+m，y与x的函数关系为y=ax2+bx+c，
将(0,10)，(2,9)代入v=kx+m，得
¿，
解得¿，
1
∴ v与x的函数关系为v=- x+10，
2
将(0,0)，(2,19)，(4,36)代入y=ax2+bx+c，得
¿，
¿1
∴ y与x的函数关系为y=- x2+10x；
4
1
（2）当v=0时，则- x+10=0，
2
解得x=20，
1
将x=20代入y=- x2+10x，得
4
1
y=- ×202+10×20=100，
4
∴当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为100cm；
（3）假定经过t秒小球追上电动小车，
1
∴- t2+10t=n+4t，
4
1
∴
t2-6t+n=0，
4
1
由题意得Δ=(-6) 2-4× n<0，
4
∴n>36，
∴若小球不能撞上小车， n的取值范围为n>36．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数
的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与教师
讲授概念所用时间x（min）之间满足函数关系y=ax2+2.6x+44(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能
力越强．当x=10时，y=60．
(1)求函数关系式；
(2)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？最强时y的值为多少？
(3)请你从数学角度，给老师提出一个讲授此类概念所用时间的建议，并说明理由．
【答案】(1)y=-0.1x2+2.6x+44
(2)当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强，最强时y的值为60.9
(3)老师在讲授此类概念所用时间应该控制在13分钟左右，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由当x=10时，y=60．从而60=a×102+2.6×10+44，求出a后即可判断得解；（2）依据题意，结合（1）y=-0.1(x-13) 2+60.9．又-0.1＜0，进而可以判断得解；
（3）依据题意，结合（2）y=-0.1(x-13) 2+60.9，从而当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；
当13”“=”
2 1 1 2
或“<”）
(3)在（2）的情况下，运动员乙某次起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水面的垂直高度为c，则
她到水面的垂直高度y与时间t之间近似满足y=-5t2+c，如果运动员乙在达到最高点后需要1.6秒的
时间才能完成跳水动作．请通过计算说明，她此次跳水能否成功完成此动作？
【答案】(1)直线x=3.5，y=-5(x-3.5) 2+11.25；
(2)<；
(3)她不能成功完成此动作，见解析．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据表格可求函数对称轴，然后再从表格中代入三个点的坐标进行求解函数解析式即可；
2❑√15
（2）由题意易得d =5米，然后可得d = +4，进而问题可求解；
1 2 5
（3）由题意易得B(4,12)，则有y=-5t2+12，然后把t=1.6代入进行求解即可
【详解】（1）解：由表格可知，图象过点(3,10)，(4,10)，(4.5,6.25)，
3+4
∴h= =3.5，
2
∴y=a(x-3.5) 2+k，
∴¿，
解得：¿，
∴y=-5(x-3.5) 2+11.25；
故答案为：直线x=3.5，y=-5(x-3.5) 2+11.25；（2）解：∵y=-5(x-3.5) 2+11.25，
当y=0时：0=-5(x-3.5) 2+11.25，
解得：x=5或x=2（不合题意，舍去）
∴d =5米；
1
∵y=-5x2+40x-68，
当y=0时：-5x2+40x-68=0，
2❑√15 2❑√15
解得：x= +4或x=- +4（不合题意，舍去）
5 5
2❑√15
∴d = +4>5，
2 5
∴d 0时，y随x的增大而减小，x=-1,与x=1关于y轴对称，
得当x>0时，y随x的增大而减小，然后把x的值代入进行计算即可得解．
【详解】解：∵a=-1<0，对称轴为y轴，
∴x>0时，y随x的增大而减小，
∵-1≤x≤5，x=-1,与x=1关于y轴对称，
∴x=0时，y的最大值=2；
当x=5时，y最小=-52+2=-23．
∴y的取值范围是-23≤ y≤2．
故答案为：-23≤ y≤2．
2．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）在二次函数y=-x2+4x+3中，当0- C．m≥- D．m≤-
2 2 2 2
【答案】D
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h) 2+k的性质是解答本题的关
键．当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大
而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的
增大而减小．
【详解】解：y=(x+2m) 2-1开口向上，对称轴是直线x=-2m，
∵当x≤5时y随x的增大而减小，
∴-2m≥5，
5
∴m≤- ．
2
故选D．
4．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）若抛物线y=-2(x+m-1) 2-3m+6的顶点在第二象限，则m的取值
范围是（ ）
A．m<1 B．m<2 C．m>1 D．10，
∴10)在自变量x的值满足2≤x≤3时，其
对应的函数值y的最大值为-3，则a的值为 ．
1
【答案】 /0.25
4
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．
先转化二次函数解析式为y=a(x-4) 2-16a，利用二次函数的增减性即可求得a的值．
【详解】解：∵二次函数y=ax2-8ax=a(x-4) 2-16a，且a>0，
∴该函数的对称轴是直线x=4，
该函数图象大致如下：∴该二次函数在x<4时，y随x的增大而减小，
又∵二次函数在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为-3，
∴可知当x=2时，函数值y的最大值为-3，
1
∴y=a×22-8a×2=-3，解得a= ，
4
1
则a的值为 ．
4
1
故答案为： ．
4
2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知点A（m，2m）（m>2）是二次函数y＝ax2+k（a>0）图
象上一点，当m-4≤x≤m时，二次函数的最大值和最小值分别为6和-2，则a的值为 ．
8
【答案】
9
【分析】本题考查了二次函数的增减性、区间最值，结合对称轴对区间进行分类讨论是解题的关键．
把A(m,2m)代入y=ax2+k中可得函数解析式，进而可得二次函数开口向上以及对称轴，结合m>2
知区间m-4≤x≤m的中点在对称轴的右侧，由于区间中点在对称轴右侧，故函数在区间右端点的值
大于左端点的值，再对区间左端点分类讨论即可．
【详解】解：∵把A(m,2m)代入y=ax2+k中，得：2m=am2+k,
∴k=2m-am2，
∴函数解析式为：y=ax2+2m-am2，
∵a>0，
∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，
∵m>2，
1
∴ (m-4+m)=m-2>0，m-4>-2，
2
①当-20，即m>4时，函数在x=m处取得最大值6，
∴am2+2m-am2=6，
解得：m=3，这与m>4矛盾，故不成立；
8
综上可得：a= ．
9
8
故答案为： ．
9
3．（23-24九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+a在-1≤x≤3的取值范围内最
大值是7，则该二次函数的最小值是 ．
7
【答案】- 或者-14
2
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分当a>0时和当a<0时两种情况讨论，先得出对称轴为
-4a
直线x=- =2，再根据二次函数的图象与性质即可作答．
2a
【详解】解：第一种情况：当a>0时，∵y=ax2-4ax+a，
-4a
∴对称轴为直线x=- =2，抛物线开口向上，
2a
∵二次函数在-1≤x≤3的取值范围内最大值7，
当x=-1时，有最大值y=7，当x=2时，该二次函数有最小值，
∴7=(-1) 2×a-4a×(-1)+a，
7
解得：a= ，
6
7 7 7
∴y= x2-4× x+ ，
6 6 6
7 7 7 7
即当x=2时，该二次函数有最小值，最小值为y= ×22-4× ×2+ =- ．
6 6 6 2
第二种情况：当a<0时，∵y=ax2-4ax+a=a(x-2) 2-3a，-4a
∴对称轴为直线x=- =2，抛物线开口向下，
2a
∵二次函数在-1≤x≤3的取值范围内最大值7，
当x=2时，有最大值y=7，当x=-1时，该二次函数有最小值，
∴y=a(2-2) 2-3a=7，
7
解得：a=- ，
3
7
∴y=- (x-2) 2+7，
3
7
即当x=-1时，该二次函数有最小值，最小值为y=- (-1-2) 2+7=-14．
3
7
综上：函数的最小值为- 或者-14，
2
7
故答案为：- 或者-14．
2
【题型05：二次函数与一次函数图像的综合】
1．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，函数y=ax2+3x+2和y=-ax+a（a是常数，且a≠0）
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，根据题意，分类讨论，当a>0时；当a<0时；结合
二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解．
【详解】解：当a>0时，则-a<0，
∴一次函数y=-ax+a的图象经过第一、二、四象限；3
二次函数y=ax2+3x+2的图象开口向上，对称轴为x=- <0，即对称轴在y轴的左边，当x=0时，
2a
y=2，即与y轴交于点(0,2)；
∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意；
B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意；
C、D选项均不符合该种情况；
当a<0时，-a>0，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限；
3
二次函数图象开口向下，对称轴x=- >0，即对称轴在y轴右边，与y轴交于点(0,2)；
2a
如图所示，
∴D选项的图符合题意，
故选：D ．
2．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据一次函数经过的象限和二次函数的
开口方向分别求出两个函数中字母a的符号，再结合二者都经过(0,1)进行求解即可．
【详解】解：A、图中一次函数经过第一、二、四象限，则a<0，抛物线开口向下，则a<0，但是两个函数都与y轴交于(0,1)，故此选项不符合题意；
B、图中一次函数经过第一、二、三象限，则a>0，抛物线开口向下，则a<0，故此选项不符合题意；
C、图中一次函数经过第一、二、三象限，则a>0，抛物线开口向上，则a>0，且两个函数都与y轴交于
(0,1)，故此选项符合题意；
D、图中一次函数经过第一、二、三象限，则a>0，抛物线开口向上，则a>0，但是两个函数都与y轴交
于(0,1)，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（24-25九年级上·安徽阜阳·月考）函数y=ax2-x+2和y=-ax-a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数
图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵y=ax2-x+2，
∴抛物线与y轴交于点(0,2)，
b -1
A、由y=-ax-a(a≠0)可得-a<0，则a>0，故抛物线开口向上，即对称轴x=- =- >0，符合题
2a 2a
意；
b -1
B、由y=-ax-a(a≠0)可得-a<0，则a>0，故抛物线开口向上，即对称轴x=- =- >0，不符合
2a 2a
题意；
b -1
C、由y=-ax-a(a≠0)可得-a>0，则a<0，故抛物线开口向下，即对称轴x=- =- <0，不符合
2a 2a题意；
b -1
D、由y=-ax-a(a≠0)可得-a<0，则a>0，故抛物线开口向上，即对称轴x=- =- >0，不符合
2a 2a
题意；
故选：A．
【题型06：根据交点确定不等式的解集】
1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，点
1
(-2,0)在该函数图象上，其对称轴为直线x=- ．则当y>0时，自变量x的取值范围正确的是（ ）
2
A．-21 C．x<1 D．-20时，自变量x的取值范围．
1 -2+1 1
【详解】解：∵图象过点(-2,0)，对称轴为直线x=- ，且 =- ，
2 2 2
∴图象与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，
由二次函数图象性质可知，
当函数值y>0时，
自变量x的取值范围是-2-x的解集是 ．【答案】-1-x的解集是：-1
