专题 05 概率初步（3 知识&8 题型&3 易错&5 方法清单）【清单01】 事件类型
必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1
【清单02】概率的定义及公式
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概
率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的计算公式：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，
事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越
接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．
3.求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举
出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们
可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为
不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便
了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【清单03】频率与概率
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么，这个常
数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
【题型一】事件的分类
【典例1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中十环 B．抛掷一枚硬币，反面朝上
C．向空中抛出的排球会落地 D．太阳西升东落
【答案】C
【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确
定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．
根据事件的分类逐一判断即可．
【详解】A.射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件；
B.抛掷一枚硬币，反面朝上，是随机事件；
C.向空中抛出的排球会落地，是必然事件；
D.太阳西升东落，是不可能事件；
故选：C．
【变式1】（24-25九年级上·安徽六安·期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开手机就有未接电话
B．学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖
C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6
D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人
【答案】D
【分析】本题主要考查了必然事件，掌握必然事件是一定发生的事件成为解题的关键．
根据必然事件的定义逐项判断即可．
【详解】解：A． 打开手机就有未接电话是随机事件，不符合题意；
B． 学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖是随机事件，不符合题意；
C． 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6是不可能事件，不
符合题意；
D． 五个人分成四组，这四组中有一组有两人是必然事件，符合题意．
故选D．
【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．任画一个三角形，其内角和是360°
B．在单词mathematics中任选一个字母，字母为“b”
C．某射击运动员射击一次，命中靶心
D．在通常情况下，加热到100°C时，水沸腾
【答案】C
【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，一定不会发生的事
件为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件为随机事件，据此进行判断即可．
【详解】解：A、是不可能事件，不符合题意；
B、是不可能事件，不符合题意；C、是随机事件，符合题意；
D、是必然事件，不符合题意；
故选C．
【变式3】（24-25九年级上·四川泸州·期末）下列事件为必然事件的是（ ）
A．同位角相等
B．三角形的内角和为180°
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
【答案】B
【分析】此题考查了事件分类，解题关键在于掌握其定义，确定事件包括必然事件和不可能事件，必
然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，根据
定义进行求解即可．
【详解】解：A．同位角相等是随机事件，故A不符合题意；
B．三角形的内角和为180°是必然事件，故B符合题意；
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件，故C不符合题意；
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件，故D不符合同意．
故选：B．
【题型二】可能性的大小
【典例2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）某事件A发生的概率为0.99．关于事件A描述正确的是（
）
A．该事件是确定事件
B．该事件发生的可能性很小
C．该事件发生与不发生的可能性一样大
D．该事件发生的可能性很大，但不一定发生
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大
小，可能发生也可能不发生．
【详解】解：一个事件发生的概率是0.99，只说明发生的可能性很大，但不一定发生．
故选：D．
【变式1】（2024八年级下·江苏·专题练习）抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面的情况如下，则
下列选项中的说法正确的是（ ）①全是正面；②一正一反；③全是反面．
A．事件①发生的可能性最大 B．事件②发生的可能性最大
C．事件③发生的可能性最大 D．事件①②③发生的可能性相等
【答案】B
【分析】本题考查事件发生的可能性，可得抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，
反反，然后利用可能性大小的计算方法求解即可求得各个事件发生的可能性，继而求得答案，熟练掌
握求可能性的方法分析题目是解决此题的关键．
【详解】抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反，
1
∴全是正面的可能性： ，
4
2 1
一正一反的可能性： = ，
4 2
1
全是反面可能性： ，
4
∴“一正一反”发生的可能性大．
故选：B．
【变式2】（2025·湖北·二模）下列成语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．水涨船高 B．瓜熟蒂落 C．守株待兔 D．旭日东升
【答案】C
【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，根据成语描述的事件是否为必然事件或随机事件，
判断可能性大小，必然事件的可能性大于随机事件的可能性，得出答案即可．
【详解】解：A．水涨船高：水位上升，船随之升高，属于必然事件，可能性最大；
B．瓜熟蒂落：瓜成熟后瓜蒂自然脱落，属于必然事件，可能性最大；
C．守株待兔：偶然捡到撞树的兔子，属于极小概率的随机事件，可能性最小；
D．旭日东升：太阳每天从东方升起，属于必然事件，可能性最大．
故选：C．
【变式3】（2025七年级上·广东·专题练习）一个盒子里装有3个红球、4个黄球、5个白球和6个黑球，
1
这些球形状与大小完全相同．从盒子中任意摸一个球，摸到（ ）球的可能性是 ．
3
A．红 B．黄 C．白 D．黑
【答案】D
【分析】本题考查事件的可能性，明确等可能事件中，满足要求的可能结果的数量是解题的关键，1
计算盒中球的总数，再分别求出各颜色球的可能性，比较哪个等于 ．
3
【详解】解：因为，红球3个，黄球4个，白球5个，黑球6个，
所以，总数为3+4+5+6=18个．
3 1
摸到红球的可能性是： =
18 6
4 2
摸到黄球的可能性是： =
18 9
5
摸到白球的可能性是：
18
6 1
摸到黑球的可能性是： =
18 3
1
所以，黑球的可能性为 ，
3
故选：D．
【题型三】概率的意义
【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）若气象部门预报，明天下雨的概率是10％，下列说法正
确的是（ ）
A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨
C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小
【答案】D
【分析】本题考查概率的意义，理解概率的意义是正确判断的前提．
利用概率的意义结合具体的选项进行判断即可．
【详解】解：明天下雨的概率是10％，说明明天下雨的可能性比较小，有可能下雨，也可能不下雨，
因此选项D符合题意，
故选：D．
【变式1】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花一定会有95株成活
B．天气预报“明天降水概率是20%”是指明天有20%的时间会下雨
C．某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖
D．连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”
【答案】D
【分析】本题考查的是概率的意义，熟知概率只是表示某事件发生的可能性是解答此题的关键．根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花不一定会有95株成活，故A说法错
误，不符合题意；
B、天气预报“明天降水概率是20%”，是指明天有20%的概率会下雨，故B说法错误，不符合题意；
C、某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛不一定能获得大奖，故C说法错误，不符合题意；；
D、连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”, 故D说法正确，符
合题意；
故选：D．
【变式2】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）掷一枚质地均匀的硬币 5 次，其中 2 次正面朝上，3
次反面朝上，现再掷一次，这一次正面朝上的概率是（ ）
1 2 2
A．1 B． C． D．
2 5 3
【答案】B
【分析】本题考查了概率．硬币质地均匀，每次掷硬币是独立事件，每次掷硬币的正面朝上的概率恒
1
为 ，据此进行分析，即可作答．
2
【详解】解：∵硬币质地均匀，
1
∴每次掷硬币正面朝上的概率均为 ，且各次掷硬币相互独立，
2
1
∴再掷一次正面朝上的概率为 ，
2
故选：B．
【题型四】根据概率公式计算
【典例4】（24-25九年级上·四川成都·期中）“水中捞月”这个事件发生的概率是（ ）
1 1
A．1 B．0 C． D．
2 100000
【答案】B
【分析】本题考查了概率的意义，“水中捞月”是不可能事件，据此即可求解，理解概率的意义是解
题的关键．
【详解】解：“水中捞月”是不可能事件，
∴“水中捞月”这个事件发生的概率是0，
故选：B．1
【变式1】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）从 ，3.14，❑√5，0四个数中随机抽取一个数，这个数是无
7
理数的概率是（ ）
3 1 1
A． B． C． D．无法确定
4 2 4
【答案】C
【分析】本题考查了无理数，简单概率的计算，理解概率公式是解题的关键．从所给实数中找出无理
数，利用无理数的个数与总个数的比值计算即可．
1
【详解】解：∵ 是分数，属于有理数；
7
3.14是有限小数，属于有理数；
❑√5是开方不尽的数，属于无理数；
0是整数，属于有理数．
∴ 四个数中无理数只有1个．
1
∴无理数的概率为 ．
4
故选：C．
【变式2】（25-26九年级上·浙江·期中）从甲、乙、丙、丁四人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选
中的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 3 2
【答案】B
【分析】本题考查概率公式，从甲、乙、丙、丁四人中任选一人，总可能结果数为4，甲被选中的可
1
能结果数为1，因此概率为 ．
4
【详解】解：∵总人数为4，
∴总可能结果数为4，
∵甲被选中只有1种情况，
1
∴甲被选中的概率是 ．
4
故选：B．
【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个
红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）2 5 2 1
A． B． C． D．
7 7 5 3
【答案】A
【分析】本题考查了概率公式的应用．由一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个
红球，5个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，
2
∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是： ．
7
故选：A．
【变式4】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任
意闭合其中一个开关，小灯泡不发光的概率为（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
【答案】D
【分析】本题主要考查概率的计算，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率的值．
【详解】解：有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，其它开关闭合小灯都不发亮，
3
所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡不发光的概率是 ；
4
故选：D．
【题型五】几何概率
【典例5】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个
同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
【答案】A【详解】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的意义，概率公式是解题的关键．用空白区域的面积除
以总面积即可．
解：由题意可知，空白区域的面积和阴影部分的面积相同，
1
∴小明掷在空白区域的概率是 ．
2
故选：A．
【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1
次，指针指向的数字为偶数的概率为（ ）
1 5 3 1
A． B． C． D．
4 6 4 2
【答案】D
【分析】本题考查计算几何概率，掌握相关知识是解决问题的关键．用符合条件的图形面积÷总面积
来计算概率．
【详解】解：图中四个扇形的面积都相等，其中偶数数字占两个扇形面积，
2 1
∴P= = ．
4 2
故选：D．
【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和
240°，让转盘自由转动1次，则指针落在白色区域的概率为（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 3 3 4
【答案】B
【分析】本题考查了几何概率的求法，正确求出转动一次指针指向某一区域的概率是解题关键．根据概率的求法，求出指针指向白色区域的概率，进而即可得出答案．
【详解】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，
120 1
故转动一次，指针落在白色区域的概率为 = ．
360 3
故选：B．
【变式3】（2025·贵州遵义·一模）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样假设飞镖击中任何一
个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是（ ）.
1 4 5 2
A． B． C． D．
3 9 9 3
【答案】B
【分析】本题主要考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为
解题的关键．
先计正方形和空白部分的面积，然后计算空白部分的面积与整个图形的面积的比即可解答．
1
【详解】解：∵整个正方形的面积为3×3=9，空白部分的面积为：4× ×2×1=4，
2
4
∴飞镖击中阴影区域的概率是 ．
9
故选：B．
【题型六】列表法和树状图法求概率
【典例6】（25-26九年级上·山西晋中·期中）为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了
“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕
拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】B【分析】本题考查列表法或树状图法、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果数，再利用概率公
式可得出答案．
【详解】解：将《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，画树状图如下：
∴共有6 种等可能的结果，其中恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果有 2 种，
2 1
∴选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为 = ，
6 3
故选：B．
【变式1】（25-26九年级上·江西九江·期中）小张与小李相约去江西省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙
两个入口，A，B，C三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 6 8 12
【答案】B
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合
于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种，再
由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种，
1
∴小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的概率为 ，
6
故选：B．【变式2】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，有三张卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡
片背面朝上洗均匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，放回后再从中随机抽取一张，以其
正面的数字作为b的值，则点(a,b)在第三象限的概率是（ ）．
4 1 1 2
A． B． C． D．
9 3 2 3
【答案】A
【分析】本题考查的是概率的计算，掌握列举法求概率的方法是解题的关键．通过列举所有放回抽取
的可能结果，结合第三象限点的坐标特征（横、纵坐标均为负），找出符合条件的结果数，进而根据
概率公式求出点(a,b)在第三象限的概率．
【详解】根据题意列表得：
−1 1 −2
−1 (−1,−1) (1,−1) (−2,−1)
1 (−1,1) (1,1) (−2,1)
−2 (−1,−2) (1,−2) (−2,−2)
共有9种可能的情况，在第三象限的点有4个，
4
∴P= ．
9
故选：A．
【变式3】（2025·吉林·一模）为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会
上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打
虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分
别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放
回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．(1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是 ；
(2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事(A,B)的概率．
1
【答案】(1)
4
1
(2)
6
【分析】本题主要考查概率的相关知识，包括简单随机事件的概率计算以及通过列表法或树状图法计
算两步随机事件的概率．解题的关键在于准确找出所有可能的结果数以及符合特定条件（如本题中两
人都抽到神话故事）的结果数是解题的关键．在使用列表法或树状图法时，要确保不重不漏地列出所
有情况．
m
（1）利用简单随机事件概率公式，即事件A发生的概率P(A)= （其中n是所有可能的结果数，m是
n
事件A发生的结果数），计算甲从四张卡片中抽到“三顾茅庐”这一卡片的概率．
（2）通过列表或画树状图的方法，列出甲、乙两人抽取卡片的所有可能结果，然后找出甲、乙两人
都抽取到神话故事A、B的结果数，最后根据概率公式计算其概率．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到三顾茅庐的结果有1种，
1
∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是 ．
4
1
故答案为： ；
4
（2）解：列表如下：
A B C D
A (A,B)(A,C()A,D)
B (B,A) (B,C)(B,D)
C (C,A()C,B) (C,D)
D (D,A()D,B)(D,C)共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人都抽取到神话故事的结果有：(A,B)，(B,A)共2种，
2 1
∴甲、乙两人都抽取到神话故事的概率为 = ．
12 6
1 1
综上所述答案为：（1） ；（2） ．
4 6
【题型七】游戏的公平性
【典例7】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装
有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一
个球．
(1)若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________；
(2)若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方
公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由．
3
【答案】(1)
5
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，根据概率公式进行列式计算，即可作答．
（2）理解题意，画树状图，得共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，
颜色不一样的结果有12种，再列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球，
3 3
∴随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是 =
2+3 5
（2）解：这个规定对双方不公平，理由如下：
根据题意画出树状图如下：
如图，共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有
12种，8 2 12 3
∴P（小明胜）= = ，P（小颖胜）= = ，
20 5 20 5
2 3
∵ < ，
5 5
∴这个规定对双方不公平．
【变式1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）某校计划在运动会期间，组织一次拔河比赛，裁判员让甲、
乙两队长通过“石头、剪刀、布”的方式选择场地．游戏规则如下：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石
头，获胜一方可优先选择场地．若两人出相同的手势，则平局．请用列表或画树状图的方法，列出甲、
乙两队长的手势可能出现的情况，并判断裁判员这种做法是否合理．
【答案】裁判员这种做法合理，理由见解析
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，根据题意准确列表或画出树状图是解题的关键．根
据表格，得出所有的等可能的结果数，以及甲队长获胜的结果数和乙队长获胜的结果数，根据概率公
式计算出甲队长获胜和乙队长获胜的概率，再比较即可得出结论．
【详解】解：分别用A表示石头，B表示剪刀，C表示布．根据题意，列表如下：
乙甲 A B C
A (A,A) (A,B) (A,C)
B (B,A) (B,B) (B,C)
C (C,A) (C,B) (C,C)
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲队长获胜的结果有3种，乙队长获胜的结果有3种．
3 1 3 1
∴甲队长获胜的概率为 = ，乙队长获胜的概率为 = ．
9 3 9 3
1 1
∵ = ，
3 3
∴裁判员这种做法合理．
【变式2】（24-25九年级上·山东威海·期末）绝大多数的彩色都可以利用红、绿、蓝三种颜色按不同比例
混合而成，这叫做三原色原理．如：红色与蓝色重叠现紫色，红色与绿色重叠现黄色…小刚和小亮利
用如图所示的两个转盘作游戏，转动两个转盘各一次，若配成紫色小刚赢，若配成黄色小亮赢．请利
用画树状图或者列表的方法说明这个游戏是否公平．【答案】公平，见解析
【分析】本题考查了用树状图或列表法计算概率，分别计算出小刚、小亮获胜的概率，比较大小即可
得出结论，熟练利用树状图或列表法求概率是解题的关键．
【详解】解：如下表所示：
红 蓝 绿
红 （红，红） （红，蓝） （红，绿）
蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，绿）
绿 （绿，红） （绿，蓝） （绿，绿）
白 （白，红） （白，蓝） （白，绿）
由表可知，共有12种等可能结果，其中配成紫色的有2种结果，其中配成黄色的有2种结果，
1 1
所以P = ，P = ，
(能配成紫色) 6 (能配成黄色) 6
∵ P =P ，
(能配成紫色) (能配成黄色)
∴小刚、小亮获胜的概率相同，
故游戏公平．
【变式3】（24-25九年级上·广东揭阳·期末）小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将
“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小
都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若
他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两
张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．
(1)小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______；
(2)这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
1
【答案】(1)
2
(2)公平，理由见解析【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公
平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
2 1
【详解】（1）解：小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是 = ；
4 2
1
故答案为： ；
2
（2）解：公平，理由如下：
将冰雪融化、镜花水月、光合作用、冰雪消融、葡萄酿酒分别用A,B,C,D表示，列表如下：
小辉小宇 A B C D
A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D)
由表可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽取的两张卡片上都是化学变化的有4种，他们抽取的
两张卡片上都是物理变化的有4种．
4 1
∴P（抽取的两张卡片正面图案均为化学变化）= = ，
16 4
4 1
P（抽取的两张卡片上都是物理变化）= = ，
16 4
故这个规则对他们双方公平是公平的．
【题型八】频率估计概率
【典例8】（25-26九年级上·福建三明·期中）数学课上郑老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的
口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次
100 150 200 500 800 1000
数n
摸到黑球 23 31 60 130 203 251
的次数m
摸到黑球 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251m
的频率
n
(1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ，估计袋中白球的个数为 个；
(2)在（1）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白
球的概率．
【答案】(1)0.25，3；
9
(2)
16
【分析】本题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求
情况数与总情况数之比．
（1）根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率；
设袋子中白球的个数为x，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案；
（2）先列出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：观察表格得，通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
设袋子中白球的个数为x，
1
根据题意得， =0.25，
1+x
解得x=3，
经检验，x=3是分式方程的解，
∴估计袋中白球的个数为3；
故答案为：0.25，3；
（2）列表如下：
颜
黑球 白球 白球 白球
色
黑 （黑，黑） （黑， （黑，白） （黑，白）
球 白）
白 （黑，白） （白， （白，白） （白，白）
球 白）
白 （黑，白） （白， （白，白） （白，白）
球 白）
白 （黑，白） （白， （白，白） （白，白）
球 白）共有16种等可能的结果，其中恰好两个都是白球的结果有9种，
9
∴P（恰好两个都是白球的概率）＝ ．
16
【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据
回答问题：
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
投中的次数 61 93 165 246 753 996 1503
投中的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.502 0.498 0.501
根据表中的数据，估计这位同学投篮一次，投中的概率为 ．（保留一位小数）
【答案】0.5
【分析】本题考查用频率估计概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；随着试验次数的增加，
频率逐渐稳定在某个常数附近，这个常数即为概率的估计值，然后问题可求解．
【详解】解：由表中数据可知，当试验次数较小时，投中频率波动较大；但随着试验次数的增加，频
率逐渐稳定在0.50附近（如1500次时频率为0.502，2000次时为0.498，3000次时为0.501）；
因此，估计投中的概率为0.5（保留一位小数）；
故答案为0.5．
【变式2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，
在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发
现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计约有 条鱼．
【答案】2000
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率
=所求情况数与总情况数之比．设鱼塘中有鱼x条，根据频率估计概率，有记号的鱼的频率稳定在0.1
200
左右，即 =0.1，解方程即可估计鱼塘中鱼的数量．
x
【详解】解：设鱼塘中有鱼x条，
200
根据题意得： =0.1，
x
200
解得：x= =2000，
0.1
经检验，x=2000为原方程的解，
故鱼塘中估计约有2000条鱼．【变式3】（25-26九年级上·北京·期中）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某
一事件发生的频率，该事件可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2
C．从只装有2张黑桃和1张红桃(除花色外都相同)的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃
D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上
【答案】C
【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决
问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在0.33附近，
1
所以估计该事件发生的概率为 ，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解．
3
1
【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在0.33附近，所以估计该事件发生的概率为 ，
3
1
A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 ，故不符合题意；
2
1
B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为 ，故不符
6
合题意；
C、从只装有2张黑桃和1张红桃(除花色外都相同)的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概
1
率为 ，故符合题意；
3
D、同时掷两枚质地均匀的硬币，共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向
1
上，一枚硬币反面向上的概率为 ，故不符合题意；
2
故选：C
【题型01：列表法和树状图法求概率】
1．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图
中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ）
如
2 3 4 5
A． B． C． D．
7 7 7 7
【答案】B
【分析】本题考查了概率公式，轴对称图形，熟记概率公式和能识别轴对称图形是解题的关键．
分别将7个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算．
【详解】解：如图①②③任意一处涂黑时，图案为轴对称图形，
共有7个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共3处，
3
故构成轴对称图形的概率是 ，
7
故选：B．2．（25-26九年级上·内蒙古·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，能让灯
1 2 3
泡L 发光的概率是 ．
2
1
【答案】
3
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概
率=所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L 发光的有2种情况，
2
2 1
∴能让灯泡L 发光的概率为： = ．
2 6 3
1
故答案为： ．
3
3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）中国古代的“五经”是指《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周
易》、《春秋》，若从这5部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），
则抽取的两本恰好是《诗经》和《尚书》的概率是 ．
1
【答案】
10
【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，根据题意列出抽取两本书的所有可能，再求概率
即可．找出所有可能出现的结果是解题的关键．
【详解】解：把《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》分别记为：A、B、C、D、E，
画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《诗经》和《尚书》的结果有2种，
2 1
∴抽取的两本恰好是《诗经》和《尚书》的概率是 = ．
20 10
1
故答案为： ．
10
4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图是两个M型电子元件的组合，每个M型电子元件都有通电和断
开两种状态，且这两种状态发生的可能性相等．在一定时间段内，A，B之间的电流能够正常通过的概
率为 ．
3
【答案】
4
【分析】本题主要考查了树状图法求概率和概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．先画树状图，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：树状图如下：
由图可知共4种情况，有3种情况电流可通过，
3
∴A，B之间的电流能够正常通过的概率为 ，
4
3
故答案为： ．
4
【题型02：频率估计概率】
1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知不透明的袋中装有4个白球和若干黑球，这些球除颜色不同外
其他都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并摇匀，经过大量重复试验后发现摸出黑球的频率稳定在0.6，则估计袋中黑球的个数为（ ）
A．4个 B．6个 C．10个 D．8个
【答案】B
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，分式方程，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，
则摸出黑球的概率为0.6，再由概率计算公式建立方程求解即可．
【详解】解：设袋中黑球的个数为x，
随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频
率稳定在0.6附近，
∴摸出黑球的概率为0.6，
x
∴ =0.6，
x+4
解得x=6，
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，
故选：B．
2．（23-24九年级上·天津和平·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频
率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率
B．任意写一个整数，它能被2整除的概率
C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率
D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中
随机取出1个球，则它是绿球的概率
【答案】C
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，简单的概率计算等知识点，解题的关键是熟练掌握简单
概率的计算．
利用概率公式逐项进行求概率，然后对比图中概率，即可得出结果．1
【详解】解：A. 小明随机出的是“剪刀”的概率为 ，不符合题意；
3
B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率为0.5，不符合题意；
1
C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率为 ≈0.17，接近图中概率，该选项符合
6
题意；
7
D. 是绿球的概率为 =0.7，不符合题意；
10
故选：C．
题型 1：事件类型判断
根据定义判断事件是必然、不可能还是随机事件，注意结合实际情境。
题型 2：一步试验概率计算（直接列举）
列全结果→数 n→数 m→算 P (A)=m/n。
题型 3：两步试验概率计算（列表法）
定行 / 列因素→列表→数 n→数 m→算 P (A)=m/n。
题型 4：三步及以上试验概率计算（树状图）
分层画树状图→数 n→数 m→算 P (A)=m/n。
题型 5：用频率估计概率
算频率→用频率估计概率→解决实际问题（如估计总数、预测次数）。
