文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期期末模拟卷 01
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级数学上册。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直
线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、
正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转
动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )1 1 1 7
A． B． C． D．
6 4 3 12
【答案】B
【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，
90 1
所以黄区域所占的面积比例为 = ，
360 4
1
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是 ，
4
故选B．
【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了
单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科
的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
3．若要得到函数y=(x+1) 2+2的图象，只需将函数y=x2的图象（ ）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【答案】B
【分析】根据题意可得函数y=x2的定点坐标为(0,0) ，函数y=(x+1) 2+2的顶点坐标为(−1,2) ，即
可求解．
【详解】解：∵函数y=x2的定点坐标为(0,0) ，函数y=(x+1) 2+2的顶点坐标为(−1,2) ，
∴将函数y=x2的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数y=(x+1) 2+2的图
象．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
4．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．35° D．55°
【答案】A
【分析】连接AC，由圆周角定理可求得∠ACB＝90°，∠ACD＝∠ABD，则可求得答案．
【详解】如图，连接AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠ACD＝∠ABD＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣50°＝40°，
故选A．
【点睛】此题主要考查圆周角定理的运用，熟练掌握，即可解题.
5．已知关于x的一元二次方程：x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则（ ）
A．m<1 B．m>1 C．m≠0 D．00，
解得：m<1，故A正确．
故选：A．【点睛】本题主要考查了根的判别式，牢记“当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0”是解题的关键．
6．如图，在高3米，宽5米的矩形墙面上有一块长方形装饰板（图中阴影部分），装饰板的上面和左右两
边都留有宽度相同为x米的空白墙面．若矩形装饰板的面积为4.5平方米，则以下方程正确的是（ ）
A．(3−x)(5−x)=4.5 B．(3−x)(5−2x)=4.5
C．(3−2x)(5−x)=4.5 D．(3−2x)(5−2x)=4.5
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据长方形装饰板的面积为4.5m2，列一元二次
方程即可，理解题意是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得(3−x)(5−2x)=4.5，
故选：B．
7．如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过B´C上一点D作⊙O的切线，
交AB，AC于点E，F．若∠A=90°，△AEF的周长为4，则BC的长为（ ）
A．2 B．2❑√2 C．4 D．4❑√2
【答案】B
【分析】本题考查的是切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到AC=AB，
再根据切线长定理、三角形的周长公式、勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵AB、AC为⊙O的切线，
∴AC=AB，
∵FD、FC为⊙O的切线，
∴FD=FC，
同理，ED=EB，∴ △AEF的周长=AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=4，
∴AC=AB=2，
∴BC=❑√2AB=2❑√2．
故选：B
8．如图，Rt△ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，若BD=1，AD=4，则CE=（ ）
3 5 4 5
A． B． C． D．
2 2 3 3
【答案】D
【分析】设CE=x，根据切线长定理得出EB=BD=1，AC=AD+BD=4+x，进而勾股定理，即可
求解．
【详解】解：设CE=x，
∵Rt△ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，
∴BD=BE=1,BC=x+1，AC=AD+CE=4+x，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴
52+(1+x) 2=(x+4) 2
5
解得x= ，
3
5
即CE的长度为 ．
3
故选D．
9．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AB所在直线旋转一周．所得几何体的表面
积为（ ）．
84
A．15π B． π C．20π D．35π
5
【答案】B
【分析】本题考查求圆锥的表面积．根据题意，得到上下两个底面相同的圆锥，勾股定理求出圆锥的
底面圆的半径，求出两个圆锥的侧面积，求和即可．解题的关键是确定几何体的形状，掌握圆锥侧面积的计算方法．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴ ，
AB=❑√32+42=5
将△ABC绕AB所在直线旋转一周，得到如图所示的上下两个底面相同的圆锥的组合体，
设BD=x，则：AD=5−x，
∴CD2=BC2−BD2=AC2−AD2，
∴ ，
16−(5−x) 2=9−x2
9
∴x= ，
5
12
∴CD=❑√BC2−BD2= ，
5
12 12 84
∴组合体的表面积为：3× π+4× π= π；
5 5 5
故选：B．
10．如图，抛物线 与 轴交于点 (1 )，与 轴的交点 在 和 之间（不
y=ax2+bx+c(a≠0) x A ,0 y B (0,0) (0,−1)
2
3 4
包括这两点），对称轴为直线x= ，则下列结论：①x>3时，y<0；②4a+b<0；③− 3,y<0，故①正确；
∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∴4a+b=4a−3a=a<0；故②正确；
∵抛物线 与 轴交于点 (1 )，
y=ax2+bx+c(a≠0) x A ,0
2
1 1
∴ a+ b+c=0，
4 2
1 3
∴ a− a+c=0，
4 2
5a
∴c= ，
4
∵抛物线与y轴的交点B在(0,0)和(0,−1)之间（不包括这两点），
5a
∴−10，
∴a−3a+c>0，
∴c>2a；故④正确；
综上：正确的有4个；
故选：D．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．二次函数y=x2−4x+3的图象与y轴的交点坐标为 ．
【答案】(0,3)
【分析】令x=0，求得y的值即可.
【详解】令x=0，得y=x2−4x+3=3，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0,3)，
故答案为：(0,3)．
【点睛】本题考查的是二次函数与y轴的交点，正确计算是解答此题的关键．
12．扇形的半径为3，圆心角θ为120°，这个扇形的面积是 ．
【答案】3π
【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
nπR2 120
【详解】解：根据题意，S = = π×32=3π.
扇形 360 360
故答案为：3π.
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：
nπR2
S= .
360
13．正方形ABCD的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影
部分）．在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是 ． （用含π的式子
表示）．4−π
【答案】
4
【分析】本题考查了几何概率，求出正方形的面积与阴影部分的面积，再用阴影部分的面积除以正方
形的面积即可得解．
【详解】解：由题意可得，正方形的面积为2×2=4，阴影部分的面积为4−π，
4−π
∴在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是 ，
4
4−π
故答案为： ．
4
14．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，2月份进馆 1000人次，
4月份进馆1440人次，则进馆人次的月平均增长率是 ．
【答案】20%
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，先设进馆人次的月平均增长率是r，根据2月份进馆
1000人次，4月份进馆1440人次，列式 ，然后计算，即可作答．
1000(1+r) 2=1440
【详解】解：依题意，设进馆人次的月平均增长率是r，
则 ，
1000(1+r) 2=1440
解得r =0.2=20%,r =−2.2<0（舍去）
1 2
∴进馆人次的月平均增长率是20%，
故答案为：20%．
1 1
15．已知x ，x 是一元二次方程x2+5x−6=0的两个根，则 + 的值为 ．
1 2 x x
1 2
5
【答案】
6
【分析】根据根与系数关系得到两根和与两根积的值，将式子通分代入求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵x ，x 是一元二次方程x2+5x−6=0的两个根，
1 2
5 −6
∴x +x =− =−5，x x = =−6，
1 2 1 1 2 1∴ 1 1 x +x −5 5
+ = 1 2= =
x x x x −6 6
1 2 1 2
5
故答案为： ．
6
b c
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟练掌握x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
16．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为❑√3，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线
PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
【答案】3
【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时
CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
【详解】解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP= = ，
❑√AC2−AP2 2❑√3
∵圆C的半径CQ=❑√3，
∴PQ= =3，
❑√CP2−CQ2
故答案为：3．【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助
线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：x2−2x=6．
【答案】 ，
x =1+❑√7 x =1−❑√7
1 2
【分析】用配方法求解即可．
【详解】解：x2−2x+1=6+1，
，
(x−1) 2=7
∴x−1=±❑√7，
∴ ， ．
x =1+❑√7 x =1−❑√7
1 2
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法求解一元二次方程是解题的关键．
18．（8分）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其中图象与x轴交于点A和点B．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)直接写出不等式x2+bx+c>0的解集．
【答案】(1)y=x2−2x−3；
(2)x<−1或x>3．
【分析】本题考查二次函数与不等式、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性
质、待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键．（1）将已知点坐标代入y=x2+bx+c，利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据二次函数的图象可得答案．
【详解】（1）解：由已知，函数图象经过A(−1,0),B(3,0)，
{0=1−b+c
)
将点A，B坐标代入y=x2+bx+c，得 ，
0=9+3b+c
{b=−2)
解得： ，
c=−3
∴二次函数的解析式为y=x2−2x−3；
（2）由已知，二次函数图象与x轴的交点横坐标分别为−1,3，
不等式x2+bx+c>0的解集为x<−1或x>3．
19．（8分）为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加
的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个
场地进行训练．
(1)小明抽到甲训练场的概率为______；
(2)用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．
1
【答案】(1)
3
1
(2)
3
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
1
【详解】（1）解：小明抽到甲训练场的概率为 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且这些结果出现的可能性相等．
小明和小天抽到同一场地训练（记为事件A）的结果有3种，
3 1
所以，P(A)= = ．
9 3【点睛】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步
或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若BE=4，BD=8，求⊙O的半径
【答案】(1)证明见解析
(2)⊙O的半径为6．
【分析】本题考查圆的切线的性质以及勾股定理的应用，等腰三角形的性质等，理解并熟练运用切线
的性质是解题关键．
（1）连接OD，根据切线的性质可得到∠ODB=90°，从而OD∥AC，再结合平行线的性质以及圆
的性质推出结论即可；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=r，OB=4+r，由OB2=BD2+OD2，再建立方程求解即可．
【详解】（1）证明： 连接OD，
∴OD=OA
，
∴∠1=∠3，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠ODB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠2，∴AD是∠BAC的平分线 ．
（2）∵BE=4，BD=8
设⊙O的半径为r，则OD=r，OB=4+r，
在Rt△BOD中，OB2=BD2+OD2，
∴ ，
(r+4) 2=r2+82
解得：r=6，
即⊙O的半径为6．
21．（10分）某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价
1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大
销售额是多少？
设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．
（I） 分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：
原价 每件降价1元 每件降价2元 … 每件降价x元
每件售价 35 34 33 …
（元）
每天售量 50 52 54 …
（件）
（Ⅱ）（由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）
【答案】（1）35-x，50+2x；（2）y=-2（x-5）2+1800，每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，
最大销售额为l 800元．
【详解】试题分析：（1）现在的售价为每件35元，则每件商品降价x元，每件售价为（35-x）元；
多买2x件，即每天售量为（50+2x）件；
（2）每天的销售额=每件售价×每天售量，即y=（35-x）（50+2x），配方后得到y=-2（x-5）2+1800，
根据二次函数的性质得到当x=5时，y取得最大值1800．
试题解析：（1）35-x，50+2x；
（2）根据题意，每天的销售额y=（35-x）（50+2x），（0＜x＜35）
配方得y=-2（x-5）2+1800，
∵a＜0，
∴当x=5时，y取得最大值1800．
答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元．
考点：二次函数的应用．22．（10分）消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的
水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离9m的点A处，水枪喷出的水
流在与高楼的水平距离为3m处达到最高，高度为18m，水流落到高楼的点B处．
(1)求水流抛物线的解析式；
(2)已知高楼的点C处，离地面的高度是16m．
①若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高
的高度；
②若在地面点A处水平移动水枪的位置，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，直接写出水枪水
平移动的方法．
1
【答案】(1)y=− (x−3) 2+18；
2
(2)①水枪竖直升高的高度为2.5m；②1m或5m
【分析】本题考查二次函数的应用，能够求出二次函数解析式是解题关键；
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）①先设出平移后的解析式，然后代入C点坐标进行计算即可；②同①方式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为(3,18)，A(9,0)，
∴设抛物线的解析式为： ，
y=a(x−3) 2+18
∵抛物线经过点A(9,0)，
，
∴0=a(9−3) 2+18
1
解得：a=− ，
2
1
∴水流抛物线的解析式为：y=− (x−3) 2+18；
2（2）解：①设水枪竖直升高的高度为hm，
1
∴向上平移后抛物线的解析式为：y=− (x−3) 2+18+h，
2
∵过点C(0,16)，
1
∴16=− (0−3) 2+18+h，
2
解得：h=2.5，
答：水枪竖直升高的高度为2.5m；
②设水枪水平向左移动km，
1
∴向左平移后抛物线的解析式为：y=− (x−3+k) 2+18，
2
∵过点C(0,16)，
1
∴16=− (0−3+k) 2+18，
2
解得：k =1，k =5，
1 2
答：水枪水平向左移动1m或5m．
23．（10分）如图①，将一个正方形纸片OABC和一个等腰直角三角形纸片OED放入平面直角坐标系中，
点O(0,0)，点A(0,5)，E(0,4)，D(4,0)．如图②，将纸片OED绕点O顺时针旋转，设旋转角为α
α．
(1)当旋转角α为30°时，求此时点E的坐标；
(2)当旋转角α为45°时，连接AE，求AE2的值．
(3)在旋转的过程中，当∠OAE最大时，求此时△COD的面积（直接写出结果即可）．
【答案】(1)E（2,2❑√3）
(2)AE2=41−20❑√2
(3)△COD的面积为6
【分析】（1）过E点作EF⊥OA于F，解直角三角形求出EF，OF，可得结论．（2）过E点作EF⊥OA于F，由勾股定理可求出答案；
（3）当OE⊥AE时，∠OAE的值最大，由勾股定理求出AE=3，再证明△OME≌△OFD(AAS)，
得出S =S ，可得结论．
△COD △AOE
【详解】（1）过E点作EF⊥OA于F，
∠AOE=30°
由题意 ，
1
∴EF= OE=2，
2
，
∴OF=❑√OE2−EF2=2❑√3
∴ E(2,2❑√3)；
（2）过E点作EF⊥OA于F，如图②，
由题意得∠AOE=45°，
∴∠OEF=90°−∠AOE=90°−45°=45°，
∴OF=EF，
，
∵OE=❑√OF2+EF2=4
∴OF=EF=2❑√2，
∴AF=AO−OF=5−2❑√2，
∵∠AFE=90°，
；
∴ AE2=AF2+EF2=(5−2❑√2) 2+(2❑√2) 2=41−20❑√2
（3）由题意知点E在以O为圆，OE为半径的圆上运动，当OE⊥AE时，∠OAE的值最大，此时
1 1
AE=❑√OA2−OE2=❑√52−42=3，S = ⋅OE⋅AE= ×4×3=6．
ΔOAE 2 2D DF⊥x F E EM⊥OA E
过点 作 轴于 ，过点 作 于 ．
∵∠AOF=∠EOD=90°，
∴∠AOE=∠DOF，
∵∠EMO=∠DFO=90°，OE=OD，
∴△OME≌△OFD(AAS)，
∴EM=DF，
1 1
∵S = ⋅OC⋅DF，S = ⋅OA⋅ME，OC=OA，
△COD 2 △AOE 2
∴S =S =6．
△COD △AOE
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直
角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
24．（12分）已知二次函数
y =m(x−3) 2+3−4m
（
m<0
），顶点为P，且二次函数的图像恒过两定点
1
A、B（点A在点B的左侧）．
(1)当m=−1时，求该二次函数的顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，二次函数y 的图像上是否存在一点D，使得∠ADB=90°，若存在，求出点D
1
的横坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将点P先沿水平方向平移 个单位，再向下移动 个单位得到 ，若二次函数
|m) (|4m)+5) P′(h,k)
y =(x−h) 2+k
经过点
P′(h,k)
，在二次函数
y
的图像上存在点Q，使得
QA+QB
的最小值为4，求m
2 2
的取值范围．
【答案】(1)(3,7)；
(2)存在；点D横坐标为3+❑√3或3−❑√3；
(3)−2−❑√5
