2.8 专题：点与直线对称问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：点关于点对称................................................................ 2
考点二：点关于直线对称............................................................. 2
考点三：直线关于点对称............................................................. 2
考点四：直线关于直线对称.......................................................... 2
考点五：常见的一些特殊的对称.................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：点关于点对称................................................................ 3
题型二：点关于直线对称问题....................................................... 3
题型三：直线关于点的对称问题.................................................... 3
题型四：直线关于直线对称.......................................................... 4
题型五：对称在光的反射中应用.................................................... 4
题型六：对称在线段和差最值中的应用............................................6
2.8 专题：点与直线对称问题
模块一：基础知识
考点一：点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点
1
1
(
)
，
P x
y
关于点
0
0
(
)
，
Q x
y
的对称点为
2
2
(
)
，
P x
y
，则根据中
点坐标公式，有
1
2
0
1
2
0
2
2
x
x
x
y
y
y
可得对称点
2
2
(
)
，
P x
y
的坐标为
0
1
0
1
(2
2
)
，
x
x
y
y
考点二：点关于直线对称
方法一：原理法
点
1
1
(
)
，
P x
y
关于直线:
0
l Ax
By
C
对称的点为
2
2
(
)
，
P x
y
，连接
PP ，交l 于M 点，则l 垂直平分
PP ，
所以
PP
l ，且M 为
PP 中点，又因为M 在直线l 上，故可得
1
2
1
2
1
0
2
2
l
PP
k
k
x
x
y
y
A
B
C
，解出
2
2
(
)
，
x
y
即可．
方法二：公式法
点P（x0,y0）,则点P 关于直线Ax+By+c=0 对称点坐标为(x0 −
2A(Ax0+By0+C)
A2+B2
, y0 −
2B(Ax0+By0+C)
A2+B2
)
考点三：直线关于点对称
方法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出
直线方程；
方法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
方法三：公式法：设P（a,b）,则直线Ax+By+c=0 关于点P 对称的直线方程A(2a-x)+B(2b-y)+C=0
考点四：直线关于直线对称
1.当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；
求直线1 :
0
l
ax
by
c
，关于直线2 :
0
l
dx
ey
f
（两直线不平行）的对称直线3l
第一步：联立1
2
l
l
，算出交点
0
0
(
)
P x
y
，
；
第二步：在1l 上任找一点（非交点）
1
1
(
)
Q x
y
，
，求出关于直线对称的点
2
2
(
)
Q x
y
，
；
第三步：利用两点式写出3l 方程．
2.当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行．
两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得．
考点五：常见的一些特殊的对称
点(
)
，
x
y 关于x 轴的对称点为(
)
，
x
y ，关于y 轴的对称点为(
)
，
x
y ．
点(
)
，
x
y 关于直线
y
x 的对称点为(
)
，
y
x ，关于直线
y
x 的对称点为(
)
，
y
x ．
点(
)
，
x
y 关于直线
x
a 的对称点为(2
)
，
a
x
y ，关于直线
y
b 的对称点为(
2
)
，
x
b
y ．
点(
)
，
x
y 关于点(
)
，
a
b 的对称点为(2
2
)
，
a
x
b
y ．
点(
)
，
x
y 关于直线
x
y
k 的对称点为(
)
，
k
y
k
x ，关于直线
x
y = k 的对称点为(
)
，
k
y
x
k ．
模块二：题型分类
题型一：点关于点对称
1.点
( 3,1),
(1, )
A
C
y
关于点
( 1, 3)
B
对称，则AC
．
2.点A(2，－3)关于点B(－1,0)的对称点A′的坐标是(
)
A．(5，－6)
B．(－4,3)
C．(3，－3)
D．1
3
( ,
)
2
2
3.已知点
( ,2)
A x
与
( 3, )
B
y
关于坐标原点对称，则x
y
等于（
）
A．5
B．1
C．5
D．1
4.已知不同的两点
( ,
),
(
1,
1)
P a
b Q b
a
关于点(3,4) 对称，则ab＝
.
题型二：点关于直线对称问题
1.已知直线:
1
l y
x
，则点
2,4
P
关于l 的对称点的坐标为
.
2.已知直线:
3
3
l y
x
，则点
4,5
P
关于l 的对称点的坐标为
．
3.点
3,4
P
关于直线4
1
0
x
y
的对称点的坐标为
．
4.点
1,0
A
关于直线
:
0
l y
kx k
的对称点的坐标为
．
5.直线
3
1
0
ax
y
a
恒过定点M ，则点M 关于直线2
3
6
0
x
y
对称的点N 坐标为
．
题型三：直线关于点的对称问题
1.直线2
3
0
x
y
关于点
5,3
A
的对称直线方程是
．
2.直线: 4
3
2
0
l
x
y
关于点
1,1
A
对称的直线方程为（
）
A．4x＋3y－4＝0
B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0
D．4x－3y－12＝0
3.点
1,2
P
在直线l 上，直线1l 与l 关于点
0,1 对称，则一定在直线1l 上的点为（
）
A．1 3
,
2 2
B．
3
1, 2
C．
1,0
D．（1，0）
4.不论实数a 取何值时，直线
2
1
+3
5
0
a
x
a
y
都过定点M ，则直线2
3
0
x
y
关于点M 的对称
直线方程为（
）
A．
2
6
0
x
y
B．
2
0
x
y
C．2
9
0
x
y
D．2
3
0
x
y
5.已知直线
2
3
0
x
y
与直线
4
0
ax
y
b
关于点
(1,0)
A
对称，则实数b 的值为（
）
A．2
B．6
C．2
D．6
题型四：直线关于直线对称
1.直线
2
1
0
x
y
关于直线
0
y
x
对称的直线方程是（
）
A．2
1
0
x
y
B．2
1
0
x
y
C．2
1
0
x
y
D．
2
1
0
x
y
2.已知直线1 :
3
0
l
x
y
，直线:
1
0
l x
y
，若直线1l 关于直线l 的对称直线为2l ，则直线2l 的方程
为
．
3.直线1 :3
3
0
l
x
y
关于直线2 :
1
0
l
x
y
的对称直线方程为
．
4.若直线
2
y
ax
与
3
6
y
x
关于直线y
x
对称，则实数a=
.
题型五：对称在光的反射中应用
1.一条光线从点
1,3
A
射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点
3,1
B
，则点P 的坐标为
．
2.一条光线从点
(6,0)
P
射出，经直线y 轴反射后过点
(2,8)
Q
，则反射光线所在的直线方程
为
．
3.一条光线从点
5,8
P
射出，与x 轴相交于点
1,0
Q
，则反射光线所在直线在y 轴上的截距为（
）
A．
3
4
B．3
4
C．
4
3
D．4
3
4.光线由点
2,5
P
射到直线
1
x
y
上，反射后过点
1,1
Q
，则反射光线所在直线的一般式方程为
．
5.一条光线从点
7,5
P
射入，经x 轴反射后沿直线
3
0
x
ay
射出，则
a
．
6.光线从(1,2)
A
射向x 轴上一点B ，又从B 反射到直线
3
0
x
y
上一点C ，最后从点C 反射回到点A ，
则BC 所在的直线方程为
．
7.已知
1,3
A
，
3,1
B
，从点
m,2 处射出的光线经x 轴反射后，反射光线与AB 平行，且点B 到该反射
光线的距离为
5 ，则实数m
．
8.在等腰直角三角形ABC 中，
4
AB
AC
，点P 是边AB 上异于A，B 的一点，光从点P 出发经
,
AC BC
反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR 经过ABC
的重心，则AP
.
9.已知入射光线经过点
3,4
M
，被直线:
3
0
l x
y
反射，反射光线经过点
3,7
N
，则反射光线所在直
线的方程为
.
10.光线沿着直线
2
2
y
x
a
射到直线
0
x
y
上，经反射后沿着直线
1
2
2
y
x
射出，则实数
a
．
11.如图，在等腰直角三角形ABC 中，
2
AB
AC
，点P 是边AB 上异于
,
A B 的一点，光线从点P 出发，
经
,
BC CA发射后又回到原点P ，若光线QR 经过ABC
的重心，则BP 长为
.
12.
2,0
A
，
2,0
B
，
0,2
C
，
3 ,0
2
E
，
1,0
F
，一束光线从点F 出发射到BC 上的点D ，经BC 反
射后，再经AC 反射，落到x 轴上的E 点，则光线经历的路程是（
）
A．5
B．4
C．
65
2
D．
63
2
题型六：对称在线段和差最值中的应用
1.已知点
(2,0)
A
、
( 2, 4)
B
，P 在直线:
2
8
0
l x
y
上，则PA
PB
的最小值等于
.
2.已知点
2,1
A
，
1, 2
B
，点P 在x 轴上，则PA
PB
的取值范围是
.
3.2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐
代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的
边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题
———“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使
总路程最短?在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（2，4），军营所在位置为B（6，2），河岸线所在
直线的方程为x+y-3=0，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为
.
4.已知P 为直线l ：2
3
0
x
y
上一点，点P 到(
)
1,0
A
和
2,2
B
的距离之和最小时点P 的坐标
为
.
5.函数
2
2
2
5
4
13
y
x
x
x
x
的值域为
.
6.设
1
0
x
y
，求
2
2
2
2
6
10
34
4
30
229
d
x
y
x
y
x
y
x
y
的最小值是
．
7.已知点(5,2), (7, 7)
A
B
，点P 是直线y
x
上动点，则|
|
|
|
PA
PB
的最小值是
．
8.若直线l：x－2y＋8＝0 上存在一点P 到两点A（2，0），B（－2，－4）的距离之和最小，则点P 的坐标
为
．
9.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有
趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军
营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为
1, 4
B
，若将军从点
1, 1
A
处
出发，河岸线所在直线方程为
0
x
y
．则“将军饮马”的最短总路程为
．
10.直线:
2
8
0
l x
y
和
2 0 ,
2 4
A
B
，
，两点，若直线l 上存在点M 使得MA
MB
最小，求点M 的坐
标
.
11.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几
何问题加以解决，如：
2
2
x
a
y
b
可以转化为平面上点
,
M x y 与点
,
N a b 的距离，结合上述观点，
若x、y 为实数，则代数式
2
2
2
2
6
10
4
5
x
x
y
y
x
y
的最小值为
.
