文档内容
专题 23 解析几何解答题分类练
一、圆锥曲线方程与轨迹方程的确定
1. （2024届广东省江门市部分学校高三上学期9月联考）在直角坐标系xOy中，动点P到直线 的距
离是它到点 的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线 与曲线C交于A，B两点，求 面积的最大值．
2．（2023届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考）已知椭圆 的对称中心为坐标原点，对称轴为
坐标轴，焦点在 轴上，离心率 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于 两点，且直线 的倾斜角互补，判断直线 的斜率是否为定值？若是，
求出该定值；若不是，请说明理由．
3.（2024届安徽省皖东智校协作联盟高三上学期10月联考）平面直角坐标系 中， 为动点， 与直
线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线 垂直，垂足 位于第四象限， 且
，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ， ，设点 与点 关于原点 对称， 的角平分线为直线 ，过点 作 的
垂线，垂足为 ，交 于另一点 ，求 的最大值.
二、长度与周长问题
4. （2024届云南省三校高三联考）已知点 到定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常
数 ．(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)若直线 ： 与圆 相切，切点 在第四象限，直线 与曲线 交于 ， 两点，求证：
的周长为定值．
5．（2023届福建省厦门第一中学高三四模）已知 ， 分别是椭圆 ： 的右顶点和
上顶点， ，直线 的斜率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 ，与 ， 轴分别交于点 ， ，与椭圆相交于点 ， .
（i）求 的面积与 的面积之比；
（ⅱ）证明： 为定值.
三、面积问题
6.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟） 已知椭圆 的左、右焦点
为 ，离心率为 .点 是椭圆 上不同于顶点的任意一点，射线 分别与椭圆 交于点 ，
的周长为8.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 ， ， 的面积分别为 .求证： 为定值.
7．（2023届河北省唐山市迁西县第一中学高三二模）已知椭圆 ，连接E的四个顶
点所得四边形的面积为4， 是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为 的直线 与椭圆E交于A，B两点，D为线段 的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得 ，求三角形 的面积．
8．（2023届新疆伊犁州伊宁县第三中学高三上学期诊断）已知椭圆C： 经过点
，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM
的斜率乘积为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.
四、斜率问题
9. （2024届陕西省商洛市部分学校高三上学期10月测试）已知椭圆C： 过点 ，
且C的右焦点为 ．
(1)求C的离心率；
(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线 上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分
别为 ， ， ，证明： ．
10．（2024届山东省金科大联考高三上学期9月质量检测）如图，已知点 和点 在双
曲线 上，双曲线 的左顶点为 ，过点 且不与 轴重合的直线 与双曲
线 交于 ， 两点，直线 ， 与圆 分别交于 ， 两点.(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)证明：直线 过定点.
11．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考）已知 是椭圆 上的两点， 关
于原点 对称， 是椭圆 上异于 的一点，直线 和 的斜率满足 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线 交椭圆 于 两点 异于椭圆 的上、下顶点），当 的
面积最大时，求 的值.
五、定点问题
12. （2024届四川省达州外国语学校高三9月月考）已知椭圆 ： 经过 ，
两点， 是椭圆 上异于 的两动点，且 ，直线 的斜率均存在.并分
别记为 ， .
(1)求椭圆 的标准方程
(2)证明直线 过定点.
13．（2024届广西玉林市高三联考）已知椭圆 的左焦点为 ，且点在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 的上、下顶点分别为 ，点 ，若直线 与椭圆 的另一个交点分别
为点 ，证明：直线 过定点，并求该定点坐标.
14．（2024届贵州省高三适应性联考）已知双曲线 的一条渐近线方程为
，焦点到渐近线的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过双曲线 的右焦点 作互相垂直的两条弦（斜率均存在） 、 .两条弦的中点分别为 、 ，那
么直线 是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
六、定值问题
15.（2023届陕西省丹凤中学高三模拟演练）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，
长轴长为短轴长的2倍，点 在 上运动，且 面积的最大值为8．
(1)求 的方程；
(2)若直线 经过点 ，交 于 两点，直线 分别交直线 于 ， 两点，试问
与 的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
16．（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知椭圆 的左右焦点分别为
是椭圆的中心，点 为其上的一点满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设定点 ，过点 的直线 交椭圆 于 两点，若在 上存在一点 ，使得直线 的斜率与直线
的斜率之和为定值，求 的范围．
17．（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知双曲线C： 一个焦点F到渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得 为定值？如
果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．
七、最值与范围问题
18. （2023届重庆市南开中学校高三下学期质量检测）已知椭圆 的左右焦点为
为椭圆 上异于长轴端点的一个动点， 为坐标原点，直线 分别与椭圆
交于另外三点 ，当 为椭圆上顶点时，有 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求 的最大值．
19．（2024届四川省南充高级中学高三上学期月考）已知 ， 为椭圆 的两个焦
点．且 ，P为椭圆上一点， ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过右焦点 的直线 交椭圆于 两点，若 的中点为 为坐标原点，直线 交直线 于点 ．
求 的最大值．
20．（2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知椭圆 过 和
两点.(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线 上运动时，直线 ， 分别
交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以 为直径的圆内；
（ii）求四边形 面积的最大值.
八、与向量交汇问题
21. （2023届广东省揭阳市惠来县第一中学高三最后一模）如图，矩形 ， ， ， 、
分别是 、 的中点，以某动直线 为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点 都落在
上，记为 ，过点 作 ，与直线 交于点 ，设点 的轨迹是曲线 .
(1)建立恰当的直角坐标系，求曲线 的方程；
(2) 是 上一点， ，过点 的直线交曲线 于 、 两点， ，求实数 的取值范
围.
22．（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟 ）已知椭圆 的左、右焦
点为 ， ，离心率为 ．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线 、 分别与椭圆C交于点
A、B， 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ， ，求证： 为定值．
