2.8 专题：点与直线对称问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：点关于点对称................................................................ 2
考点二：点关于直线对称............................................................. 2
考点三：直线关于点对称............................................................. 2
考点四：直线关于直线对称.......................................................... 2
考点五：常见的一些特殊的对称.................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：点关于点对称................................................................ 3
题型二：点关于直线对称问题....................................................... 3
题型三：直线关于点的对称问题.................................................... 5
题型四：直线关于直线对称.......................................................... 7
题型五：对称在光的反射中应用.................................................... 8
题型六：对称在线段和差最值中的应用..........................................14
2.8 专题：点与直线对称问题
模块一：基础知识
考点一：点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点
1
1
(
)
，
P x
y
关于点
0
0
(
)
，
Q x
y
的对称点为
2
2
(
)
，
P x
y
，则根据中
点坐标公式，有
1
2
0
1
2
0
2
2
x
x
x
y
y
y
可得对称点
2
2
(
)
，
P x
y
的坐标为
0
1
0
1
(2
2
)
，
x
x
y
y
考点二：点关于直线对称
方法一：原理法
点
1
1
(
)
，
P x
y
关于直线:
0
l Ax
By
C
对称的点为
2
2
(
)
，
P x
y
，连接
PP ，交l 于M 点，则l 垂直平分
PP ，
所以
PP
l ，且M 为
PP 中点，又因为M 在直线l 上，故可得
1
2
1
2
1
0
2
2
l
PP
k
k
x
x
y
y
A
B
C
，解出
2
2
(
)
，
x
y
即可．
方法二：公式法
点P（x0,y0）,则点P 关于直线Ax+By+c=0 对称点坐标为(x0 −
2A(Ax0+By0+C)
A2+B2
, y0 −
2B(Ax0+By0+C)
A2+B2
)
考点三：直线关于点对称
方法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出
直线方程；
方法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
方法三：公式法：设P（a,b）,则直线Ax+By+c=0 关于点P 对称的直线方程A(2a-x)+B(2b-y)+C=0
考点四：直线关于直线对称
1.当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；
求直线1 :
0
l
ax
by
c
，关于直线2 :
0
l
dx
ey
f
（两直线不平行）的对称直线3l
第一步：联立1
2
l
l
，算出交点
0
0
(
)
P x
y
，
；
第二步：在1l 上任找一点（非交点）
1
1
(
)
Q x
y
，
，求出关于直线对称的点
2
2
(
)
Q x
y
，
；
第三步：利用两点式写出3l 方程．
2.当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行．
两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得．
考点五：常见的一些特殊的对称
点(
)
，
x
y 关于x 轴的对称点为(
)
，
x
y ，关于y 轴的对称点为(
)
，
x
y ．
点(
)
，
x
y 关于直线
y
x 的对称点为(
)
，
y
x ，关于直线
y
x 的对称点为(
)
，
y
x ．
点(
)
，
x
y 关于直线
x
a 的对称点为(2
)
，
a
x
y ，关于直线
y
b 的对称点为(
2
)
，
x
b
y ．
点(
)
，
x
y 关于点(
)
，
a
b 的对称点为(2
2
)
，
a
x
b
y ．
点(
)
，
x
y 关于直线
x
y
k 的对称点为(
)
，
k
y
k
x ，关于直线
x
y = k 的对称点为(
)
，
k
y
x
k ．
模块二：题型分类
题型一：点关于点对称
1.点
( 3,1),
(1, )
A
C
y
关于点
( 1, 3)
B
对称，则AC
．
【答案】4 5
【解析】由已知得
1
3
2
y ，解得
7
y ，即
(1, 7)
C
，
2
2
1
( 3)
( 7
1)
4 5
AC
故答案为：4 5
2.点A(2，－3)关于点B(－1,0)的对称点A′的坐标是(
)
A．(5，－6)
B．(－4,3)
C．(3，－3)
D．1
3
( ,
)
2
2
【答案】B
【解析】设点
( , )
A x y
则
2
1
2
3
0
2
x
y
解得
4
3
x
y
故选B
3.已知点
( ,2)
A x
与
( 3, )
B
y
关于坐标原点对称，则x
y
等于（
）
A．5
B．1
C．5
D．1
【答案】B
【解析】由
( ,2)
A x
与
( 3, )
B
y
关于坐标原点对称，则
3,
2
x
y
，
所以
1
x
y
.故选：B
4.已知不同的两点
( ,
),
(
1,
1)
P a
b Q b
a
关于点(3,4) 对称，则ab＝
.
【答案】14
【解析】由题意知
1
3
2
1
4
2
a
b
a
b
，即
5
9
a
b
a
b
，解得
7
2
a
b
，故
14
ab
.
故答案为：14
题型二：点关于直线对称问题
1.已知直线:
1
l y
x
，则点
2,4
P
关于l 的对称点的坐标为
.
【答案】
3,3
【解析】设对称点
0
0
,
P x
y
，线段PP中点为
0
0
2
4
,
2
2
x
y
，
则
0
0
0
0
4
1
2
4
2 1
2
2
y
x
y
x
，解得
0
0
3
3
x
y
，
点
2,4
P
关于直线l 的对称点坐标为
3,3 .
故答案为：
3,3 .
2.已知直线:
3
3
l y
x
，则点
4,5
P
关于l 的对称点的坐标为
．
【答案】
2,7
【解析】设点P 关于直线l 的对称点为
1
1
1
,
P x y ，则线段
1
PP 的中点
1
1
4
5
,
2
2
x
y
M
在直线l 上，且直线PP
垂直于直线l ，
可得
1
1
1
1
5
4
3
3
2
2
5
3
1
4
y
x
y
x
，解得
1
1
2,
7
x
y
，
所以点
1P 的坐标为
2,7
.
故答案为：
2,7
.
3.点
3,4
P
关于直线4
1
0
x
y
的对称点的坐标为
．
【答案】
5,2
【解析】设
3,4
P
的对称点P坐标为
,a b ，
则
4 4
1
3
3
4
4
1
0
2
2
b
a
a
b
，解得
5
2
a
b
，
即所求对称点的坐标是
5,2 ．
故答案为：
5,2
4.点
1,0
A
关于直线
:
0
l y
kx k
的对称点的坐标为
．
【答案】
2
2
2
1
2
,
1
1
k
k
k
k
【解析】设点
1,0
A
关于直线
:
0
l y
kx k
的对称点的坐标为
,a b ，则
1
·
2
2
·
1
1
b
a
k
b
k a
，解得
2
2
2
1
1
2
1
k
a
k
k
b
k
，
即点
1,0
A
关于直线
:
0
l y
kx k
的对称点的坐标为
2
2
2
1
2
,
1
1
k
k
k
k
.
故答案为：
2
2
2
1
2
,
1
1
k
k
k
k
.
5.直线
3
1
0
ax
y
a
恒过定点M ，则点M 关于直线2
3
6
0
x
y
对称的点N 坐标为
．
【答案】
3 67
,
13 13
【解析】直线
3
1
0
ax
y
a
，即
3
1
0
a x
y
，
当
3
0
x
，即
3
x 时，
1
y ，
故直线
3
1
0
ax
y
a
恒过定点
3,1
M
，
设点M 关于直线2
3
6
0
x
y
对称的点N 坐标为
,
m n ，
1
2
1
3
3
3
1
2
3
6
0
2
2
n
m
m
n
，
67
13
12
13
n
m
，即
3 67
,
13 13
N
，
故答案为：
3 67
,
13 13
.
题型三：直线关于点的对称问题
1.直线2
3
0
x
y
关于点
5,3
A
的对称直线方程是
．
【答案】2
17
0
x
y
【解析】设对称直线为
0
: 2
0
l
x
y
C
，
则有
0
2
2
2
2
2 5
3
5 2
3
3
2
1
2
1
C
，即
0
7
10
C
解这个方程得
0
3
C （舍）或
0
17
C
.
所以对称直线l的方程中2
17
0
x
y
.
故答案为：2
17
0
x
y
.
2.直线: 4
3
2
0
l
x
y
关于点
1,1
A
对称的直线方程为（
）
A．4x＋3y－4＝0
B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0
D．4x－3y－12＝0
【答案】B
【解析】设直线: 4
3
2
0
l
x
y
关于点
1,1
A
对称的直线上任意一点
,
P x y ，
则
,
P x y 关于
1,1
A
对称点为
2
,2
x
y
，
又因为
2
,2
x
y
在4
3
2
0
x
y
上，
所以
4 2
3 2
2
0
x
y
，即4
3
12
0
x
y
。故选：B
3.点
1,2
P
在直线l 上，直线1l 与l 关于点
0,1 对称，则一定在直线1l 上的点为（
）
A．1 3
,
2 2
B．
3
1, 2
C．
1,0
D．（1，0）
【答案】C
【解析】由题设
1,2
P
关于
0,1 对称的点为( , )
x y ，若该点必在1l 上，
∴
1
0
2
2
1
2
x
y
，解得
1
0
x
y
，即
1,0
一定在直线1l 上.故选：C.
4.不论实数a 取何值时，直线
2
1
+3
5
0
a
x
a
y
都过定点M ，则直线2
3
0
x
y
关于点M 的对称
直线方程为（
）
A．
2
6
0
x
y
B．
2
0
x
y
C．2
9
0
x
y
D．2
3
0
x
y
【答案】D
【解析】由
2
1
+3
5
0
a
x
a
y
可得：
2
3
5
0
a
x
y
x
y
，
令
2
0
3
5
0
x
y
x
y
，解得：
1,
2
x
y
，
所以
1,2
M
，设直线2
3
0
x
y
关于点M 的对称直线方程为：2
0
x
y
b
，
则
1,2
M
到直线2
3
0
x
y
与2
0
x
y
b
的距离相等，
所以2
2
3
2
2
5
5
b
，解得：
3
b
，即
3
b
（舍去）或
3
b .
故直线2
3
0
x
y
关于点M 的对称直线方程为：2
3
0
x
y
.故选：D.
5.已知直线
2
3
0
x
y
与直线
4
0
ax
y
b
关于点
(1,0)
A
对称，则实数b 的值为（
）
A．2
B．6
C．2
D．6
【答案】A
【解析】由于直线
2
3
0
x
y
与直线
4
0
ax
y
b
关于点
(1,0)
A
对称，
所以两直线平行，故2
4
a
，则
2
a
，
由于点(3,0) 在直线
2
3
0
x
y
上，(3,0) 关于点
(1,0)
A
的对称点为( 1,0)
，
故( 1,0)
在
4
0
ax
y
b
上，代入可得
0
a
b
，故
2
b
a
，故选：A
题型四：直线关于直线对称
1.直线
2
1
0
x
y
关于直线
0
y
x
对称的直线方程是（
）
A．2
1
0
x
y
B．2
1
0
x
y
C．2
1
0
x
y
D．
2
1
0
x
y
【答案】A
【解析】在直线
2
1
0
x
y
上任取一点
( , )
P a b ，设点P 关于直线
0
y
x
的对称点为
( , )
Q x y ，
则
1
2
2
y
b
x
a
y
b
x
a
，解得
a
y
b
x
，即
( , )
P y x ，
因为点
( , )
P y x 在直线
2
1
0
x
y
上，
所以
2
1
0
y
x
，即2
1
0
x
y
，
所以所求直线方程为2
1
0
x
y
，故选：A.
2.已知直线1 :
3
0
l
x
y
，直线:
1
0
l x
y
，若直线1l 关于直线l 的对称直线为2l ，则直线2l 的方程
为
．
【答案】
5
0
x
y
.
【解析】由题意知1
2
l
l
// ，设直线
2 :
0
3,
1
l
x
y
m
m
m
，在直线1l 上取点
0,3
M
，
设点M 关于直线l 的对称点为
'
,
M
a b ，
则
3 1
1
0
3 1
0
2
2
b
a
a
b
，解得
4,
1
a
b
，即
' 4, 1
M
，
将
' 4, 1
M
代入2l 的方程得4
1
0,
5
m
m
，
所以直线2l 的方程为
5
0
x
y
.
故答案为：
5
0
x
y
3.直线1 :3
3
0
l
x
y
关于直线2 :
1
0
l
x
y
的对称直线方程为
．
【答案】
3
1
0
x
y
【解析】设直线1l 关于直线2l 对称的直线为3l ，
由
3
3
0
1
0
x
y
x
y
得：
1
0
x
y
，则点
1,0 在直线3l 上；
在直线1l 上取一点
0, 3
A
，设其关于直线2l 对称的点为
,
A m n
，
则
3
1
0
0
3 1
0
2
2
n
m
m
n
，解得：
4
1
m
n
，即
4,1
A
；
直线3l 的方程为：
1
4
0 1
1 4
y
x
，即
3
1
0
x
y
.
故答案为：
3
1
0
x
y
.
4.若直线
2
y
ax
与
3
6
y
x
关于直线y
x
对称，则实数a=
.
【答案】1
3
【解析】直线
3
6
y
x
过点
0, 6
，
点
0, 6
关于直线y
x
对称点为
6,0
，
依题意可知点
6,0
在直线
2
y
ax
上，
所以
1
6
2
0,
3
a
a
.
故答案为：1
3
题型五：对称在光的反射中应用
1.一条光线从点
1,3
A
射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点
3,1
B
，则点P 的坐标为
．
【答案】
2,0
【解析】由题可得
3,1
B
关于x 轴的对称点为
3, 1
B
，
则直线AB的方程为
3
1
1 3
3
( 1)
y
x
，可得
2
y
x
，
令
0
y
，可得
2
x
，所以点
(2,0)
P
.
故答案为：(2,0) .
2.一条光线从点
(6,0)
P
射出，经直线y 轴反射后过点
(2,8)
Q
，则反射光线所在的直线方程
为
．
【答案】
6
0
x
y
【解析】
(6,0)
P
关于y 轴的对称点为
( 6,0)
P
，
根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过
,
P Q
的直线，
由两点式得直线P Q
的方程为：
0
6
8
0
2
6
y
x
，即
6
0
x
y
.
故答案为：
6
0
x
y
3.一条光线从点
5,8
P
射出，与x 轴相交于点
1,0
Q
，则反射光线所在直线在y 轴上的截距为（
）
A．
3
4
B．3
4
C．
4
3
D．4
3
【答案】C
【解析】
5,8
P
关于x 轴的对称点为
5, 8
P
，则反射光线所在直线为P Q
.
因为
8
0
4
5 1
3
P Q
k
，所以反射光线所在直线的方程为
4
1
3
y
x
.
令
0
x
，得反射光线所在直线在y 轴上的截距为
4
3
.故选：C．
4.光线由点
2,5
P
射到直线
1
x
y
上，反射后过点
1,1
Q
，则反射光线所在直线的一般式方程为
．
【答案】4
7
3
0
x
y
【解析】设点
2,5
P
关于直线
1
x
y
的对称点
,
P a b
，
则
5
1
2
2
5
1
2
2
b
a
a
b
，解得：
6
3
a
b
，即
6, 3
P
，
点P在反射光线上，则
1 3
4
1 6
7
P Q
k
，
4
1
1
7
y
x
，整理为4
7
3
0
x
y
，
所以反射光线所在直线方程的一般式为4
7
3
0
x
y
.
故答案为：4
7
3
0
x
y
5.一条光线从点
7,5
P
射入，经x 轴反射后沿直线
3
0
x
ay
射出，则
a
．
【答案】2
【解析】点
7,5
P
关于x 轴对称的点为
7, 5
P
，
由题意可知，反射光线经过点
7, 5
P
，
将点
7, 5
P
的坐标代入方程
3
0
x
ay
，解得
2
a ．
故答案为：2
.
6.光线从(1,2)
A
射向x 轴上一点B ，又从B 反射到直线
3
0
x
y
上一点C ，最后从点C 反射回到点A ，
则BC 所在的直线方程为
．
【答案】3
1
0
x
y
【解析】点A 关于x 轴的对称点为
1, 2
A
，设点A 关于
3
0
x
y
的对称点为
0
0
,
A
x
y
，
则
0
0
0
0
2
1
1
1
2
3
0
2
2
y
x
x
y
，解得：
0
0
1
4
x
y
，即
1,4
A
,
由对称性可知，点
,
A A
在直线BC 上，
所以
2
4
3
1
1
BC
k
，直线BC 的方程为
2
3
1
y
x
，
即3
1
0
x
y
.
故答案为：3
1
0
x
y
7.已知
1,3
A
，
3,1
B
，从点
m,2 处射出的光线经x 轴反射后，反射光线与AB 平行，且点B 到该反射
光线的距离为
5 ，则实数m
．
【答案】4 或14
【解析】因为
3 1
1
1 3
2
AB
k
，故可设反射光线的方程为
2
0
x
y
C
，
因为B 到该直线的距离为5 ，故3
2
5
5
C
，解得
0
C
或－10．
当
0
C
时，反射光线的方程为
2
0
x
y
，
点
m,2 关于x 轴对称的点坐标为
, 2
m
，显然点
, 2
m
在反射光线上，
把点
, 2
m
代入方程得
4
0
m
，故
4
m
；
当
10
C
时，反射光线的方程为
2
10
0
x
y
，
将点
, 2
m
代入方程解得
14
m =
．综上，
4
m
或14．
故答案为：4 或14
8.在等腰直角三角形ABC 中，
4
AB
AC
，点P 是边AB 上异于A，B 的一点，光从点P 出发经
,
AC BC
反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR 经过ABC
的重心，则AP
.
【答案】4
3 / 1
13
【解析】依题意，以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，
则
0,0
A
，
4,0
B
，
0,4
C
，ABC
的重心G 的坐标为4 4
,
3 3
，
设点P 的坐标为
0,0
x
，
0
0,4
x
，则点P 关系y 轴对称点
0
1(
,0)
x
P
，
设点P 关于直线BC 对称点
2( , )
a b
P
，显然直线BC 的方程为
4
0
x
y
，
于是
0
0
0
1
0
4
0
2
2
b
a
x
a
x
b
，解得
0
4,
4
a
b
x
，即点
0
2(4,4
)
x
P
，
由光的反射定律知，光线QR 过点
1P ，也过点
2P ，而光线QR 经过ABC
的重心G ，因此点
1
2
,
,
P G P 共线，
则有
0
0
0
4
0
(4
)
0
3
4
4
(
)
(
)
3
x
x
x
，整理得
0
0
0
4
4
4
3
4
x
x
x
，解得
0
4
3
x
，
所以
4
3
AP
.
故答案为：4
3
9.已知入射光线经过点
3,4
M
，被直线:
3
0
l x
y
反射，反射光线经过点
3,7
N
，则反射光线所在直
线的方程为
.
【答案】7
2
7
0
x
y
【解析】设
3,4
M
关于直线:
3
0
l x
y
的对称点为
,
A a b ，
则线段AM 的中点为
3
4
,
2
2
a
b
，直线AM 的斜率为
4
3
b
a
，
则
3
4
3=0
2
2
4 1=
1
3
a
b
b
a
，解得=1, =0
a
b
，则
1,0
A
.
所以反射光线所在直线为直线AN ，
直线AN 的方程为
7
0
7=
3
3 1
y
x
，整理得7
2
7
0
x
y
.
故答案为：7
2
7
0
x
y
10.光线沿着直线
2
2
y
x
a
射到直线
0
x
y
上，经反射后沿着直线
1
2
2
y
x
射出，则实数
a
．
【答案】6 或－2
【解析】在直线
1
2
2
y
x
上任意取一点
0
0
(
,
)
A x
y
，
由题知点A 关于直线
0
x
y
的对称点
0
0
(
,
)
B
y
x
在直线
2
|
2 |
y
x
a
上，
则
0
0
0
0
1
=
2
2
=2
+
2
y
x
x
y
a
，整理得
2
4
a
，解得
6
a
或
2
a .
故答案为：6 或－2.
11.如图，在等腰直角三角形ABC 中，
2
AB
AC
，点P 是边AB 上异于
,
A B 的一点，光线从点P 出发，
经
,
BC CA发射后又回到原点P ，若光线QR 经过ABC
的重心，则BP 长为
.
【答案】4
3
【解析】以A 为坐标原点，以
,
AB AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则
(0,0), (2,0),
(0,2)
A
B
C
，
所以直线BC 的方程为
2
0
x
y
，且ABC
的重心
2 2
( ,
)
3 3
G
，
设
,
M N 分别是点P 关于直线BC 和y 轴的对称点，设
( ,0)
P a
，
设
0
0
(
,
)
M x
y
，可得
0
0
0
0
( 1)
1
2
0
2
2
y
x
a
x
a
y
，解得
0
0
2,
2
x
y
a
，即
(2,2
)
M
a
，
又由
(
,0)
N
a
，根据光的反射原理，可知
,
, ,
M Q R N 四点共线，
所以
MN
NG
k
k
，即
2
2
3
2
2
3
a
a
a
，解得
2
3
a
，即AP 长为2
3 ，所以BP 长为4
3 .
故答案为：4
3 .
12.
2,0
A
，
2,0
B
，
0,2
C
，
3 ,0
2
E
，
1,0
F
，一束光线从点F 出发射到BC 上的点D ，经BC 反
射后，再经AC 反射，落到x 轴上的E 点，则光线经历的路程是（
）
A．5
B．4
C．
65
2
D．
63
2
【答案】C
【解析】设光线与AC 交点为G ，
直线BC 的方程为2
2
1
x
y
，即
2
0
x
y
，
直线AC 的方程为
1
2
2
x
y
，即
2
0
x
y
，
设
1,0
F
关于直线BC 的对称点为
,
M x y ，
则
1
1
1
2
0
2
2
y
x
x
y
，解得
2
1
x
y
，即
2,1
M
，
设
3 ,0
2
E
关于直线AC 的对称点为
,
N a b ，
则
1
3
2
3
2
2
0
2
2
b
a
a
b
，解得
2
1
2
a
b
，即
1
2, 2
N
，
由光的反射性质可知，
,
,
,
M D G N 四点共线，
,
FD
MD GE
GN
,
∴光线经历的路程是
2
2
1
65
2
2
1
2
2
FD
DG
GE
MD
DG
GN
MN
.
故选：C.
题型六：对称在线段和差最值中的应用
1.已知点
(2,0)
A
、
( 2, 4)
B
，P 在直线:
2
8
0
l x
y
上，则PA
PB
的最小值等于
.
【答案】12
【解析】设A 关于l 的对称点为
( , )
A m n
则
2,
2
2
2
8
0
2
2
n
m
m
n
，解得
2
m ，
8
n ，
( 2,8)
A
，则
12
A B
，
所以PA
PB
的最小值是12.
故答案为：12.
2.已知点
2,1
A
，
1, 2
B
，点P 在x 轴上，则PA
PB
的取值范围是
.
【答案】0,
2
【解析】作点
2,1
A
关于x 轴的对称点
2, 1
A
，则PA
PA
，
过A B
的中点E 作EF
A B
交x 轴于点F ，当P 点在F 点时，
PA
PA
PB
，此时
min
0
PA
PB
；
当P ，A，B 三点共线时，
2
2
max
2 1
1
2
2
P
P
A
PB
A
PB
A B
，
所以PA
PB
的取值范围是0,
2
.
故答案为：0,
2
.
3.2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐
代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的
边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题
———“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使
总路程最短?在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（2，4），军营所在位置为B（6，2），河岸线所在
直线的方程为x+y-3=0，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为
.
【答案】5 2
【解析】
由题可知A，B 在
3
0
x
y
的同侧，设点B 关于直线
3
0
x
y
的对称点为
,
B a b
，
则
6
2
3
0
2
2
2
1
1
6
a
b
b
a
，解得
1
3
a
b
，即
1, 3
B
，
所以“将军饮马”的总路程的最小值为
5 2
AB
.
故答案为：5 2 .
4.已知P 为直线l ：2
3
0
x
y
上一点，点P 到(
)
1,0
A
和
2,2
B
的距离之和最小时点P 的坐标
为
.
【答案】(
, )
1
2
2
【解析】点
,
A B 在直线的同侧
设点
(1,0)
A
关于l 的对称点为
0
0
(
,
)
A x
y
0
0
0
0
1
2
3
0
2
2
0 2
1
1
x
y
y
x
解得
0
0
3
2
x
y
，即
( 3,2)
A
由题意，点P 为直线A B
与l 的交点
直线A B
的方程为：
2
y
故点P 的坐标为(
, )
1
2
2
故答案为：(
, )
1
2
2
5.函数
2
2
2
5
4
13
y
x
x
x
x
的值域为
.
【答案】
26,
【解析】原式为
2
2
2
2
2
2
2
5
4
13
1
0
2
2
0
3
y
x
x
x
x
x
x
，即可看作是动点
,0
A x
到定点
1,2 ,
2,3
M
N
的距离之和，
设
2,3
N
关于x 轴的对称点为
2, 3
N
，连接MN交x 轴于A ，此时AM
AN
最小，且最小值为
2
2
1 2
2
3
26
MN
，故函数
2
2
2
5
4
13
y
x
x
x
x
的值域为
26,
，
故答案为：
26,
6.设
1
0
x
y
，求
2
2
2
2
6
10
34
4
30
229
d
x
y
x
y
x
y
x
y
的最小值是
．
【答案】5 13
【解析】根据题意可得
2
2
2
2
3
5
2
15
d
x
y
x
y
，
表示直线
1
0
x
y
上一点
,
P x y 到点
3,5
A
和点
2,15
B
的距离之和，
点A 关于直线
1
0
x
y
的对称点为
,
C a b ，
则满足
5
1
3
3
5 1
0
2
2
b
a
a
b
解得
4,
2
a
b
；
所以点A 关于直线
1
0
x
y
的对称点为
4, 2
C
，如下图所示：
则PA
PB
PB
PC
BC
所以
2
2
min
4
2
15
2
5 13
PA
PB
BC
.
故答案为：5 13
7.已知点(5,2), (7, 7)
A
B
，点P 是直线y
x
上动点，则|
|
|
|
PA
PB
的最小值是
．
【答案】13
【解析】作A 点关于直线的对称点
(2,5)
A
，如图所示，
易知PA
PA
，
故|
|
|
|
|
|
13
PA
PB
PA
PB
A B
，此时A B
与直线y
x
的交点为P 点，
故|
|
|
|
PA
PB
的最小值是13．
故答案为：13
8.若直线l：x－2y＋8＝0 上存在一点P 到两点A（2，0），B（－2，－4）的距离之和最小，则点P 的坐标
为
．
【答案】
2,3
【解析】设点A 关于l：x－2y＋8＝0 的对称点为A1（m，n），
则
0 1
1
2 2
2
0
2
8
0
2
2
n
m
m
n
，解得
2
8
m
n
，故A1（－2，8）．
则直线A1B 的方程为x＝－2．
如图所示：
当点P 是直线A1B 与直线x－2y＋8＝0 的交点时，PA
PB
最小，
将x＝－2 代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P 的坐标为
2,3
．
故答案为：
2,3
9.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有
趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军
营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为
1, 4
B
，若将军从点
1, 1
A
处
出发，河岸线所在直线方程为
0
x
y
．则“将军饮马”的最短总路程为
．
【答案】5
【解析】作出图示，
设点
1, 4
B
关于直线
0
x
y
的对称点为
4, 1
C
，
在直线
0
x
y
上取点P ，由对称性可得PB
PC
，
所以
2
2
4 1
1 1
5
PA
PB
PA
PC
AC
，
当且仅当A、P 、C 三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为5.
故答案为：5.
10.直线:
2
8
0
l x
y
和
2 0 ,
2 4
A
B
，
，两点，若直线l 上存在点M 使得MA
MB
最小，求点M 的坐
标
.
【答案】
2, 3
【解析】如图，作出点A 关于直线l 的对称点A，连接A B
，交直线l 于M ，则
则MA
MA
，
所以MA
MB
MA
MB
A B
，当
, ,
A B M
三点共线时取等号，
即
, ,
A B M
三点共线时，MA
MB
最小，
设
( , )
A a b
，则
1
1
2 2
2
2
8
0
2
2
b
a
a
b
，解得
2
8
a
b
，即
(2, 8)
A
，
因为
2 4
B
，，所以直线A B
为
2
x
，
由
2
2
8
0
x
x
y
，得
2
3
x
y
，即
(2, 3)
M
，
故答案为：
2, 3
11.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几
何问题加以解决，如：
2
2
x
a
y
b
可以转化为平面上点
,
M x y 与点
,
N a b 的距离，结合上述观点，
若x、y 为实数，则代数式
2
2
2
2
6
10
4
5
x
x
y
y
x
y
的最小值为
.
【答案】5
【解析】
2
2
2
2
2
2
2
4
5
2
0 1
0
0
y
y
x
y
y
x
y
，
其表示
0, x 到
,0 , 2,1
y
两点间的距离之和，
2
2
2
2
2
2
2
2
0 1
0
0
0
2
1
4
1
y
x
y
x
x
，
2
2
2
2
2
4
1
6
10
4
1
3
0 1
x
x
x
x
x
其表示
,0
x
到
1,2 , 3,1
两点的距离之和.
2
2
2
4
1
3
0 1
x
x
2
2
1 3
2 1
5
故答案为：5
